高中數(shù)學講義微專題62 點線面位置關系

微專題62點線面位置關系的判定

一、基礎知識

(-)直線與直線位置關系：

1、線線平行的判定

(1)平行公理：空間中平行于同一直線的兩條直線平行

(2)線面平行性質(zhì)：如果一條直線與平面平行，則過這條直線的平面與已知平面的交線和該

直線平行

(3)面面平行性質(zhì)：

2、線線垂直的判定

(1)兩條平行直線，如果其中一條與某直線垂直，則另一條直線也與這條直線垂直

直線與平面位置關系：

(2)線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與平面垂直，則該直線與平面上的所有直線均垂直

(二)直線與平面的位置關系

1、線面平行判定定理：

(1)若平面外的一條直線/與平面a上的一條直線平行，則/〃a

(2)若兩個平面平行，則一個平面上的任一直線與另一平面平行

2、線面垂直的判定：

(1)若直線/與平面a上的兩條相交直線垂直，則

(2)兩條平行線中若其中一條與平面垂直，則另一條直線也與該平面垂直

(3)如果兩個平面垂直，則一個平面上垂直于交線的直線與另一平面垂直

(三)平面與平面的位置關系

1、平面與平面平行的判定：

(1)如果一個平面上的兩條相交直線均與另一個平面平行，則兩個平面平行

(2)平行于同一個平面的兩個平面平行

2、平面與平面垂直的判定

如果一條直線與一個平面垂直，則過這條直線的所有平面均與這個平面垂直

(四)利用空間向量判斷線面位置關系

1刻畫直線，平面位置的向量：直線：方向向量

平面：法向量

2、向量關系與線面關系的轉(zhuǎn)化：

設直線〃力對應的法向量為。1,平面a,〃對應的法向量為機(其中凡。在外)

(1)a//b<=>a//b

(2)a_Lb=a

(3)aLa<=>a//m

(4)a//aoaVm

(5)a//f3<=>m//n

(6)aL/3mA_n

3、有關向量關系的結(jié)論

(1)若￡〃及B〃乙則￡〃2平行+平行一平行

(2)若〃入則￡，"平行+垂直一垂直

(3)若則Q,C的位置關系不定。

4、如何用向量判斷位置關系命題真假

(1)條件中的線面關系翻譯成向量關系

(2)確定由條件能否得到結(jié)論

(3)將結(jié)論翻譯成線面關系，即可判斷命題的真假

二、典型例題：

例1：已知a,/?是兩個不同的平面，相，〃是兩條不同的直線，現(xiàn)給出下列命題：

①若mua,nua,m〃仇〃〃B、則a〃,；

②若a_1_民ua,則加_L力；

③若m±a,m//[5,則aJ_4；

④若根〃〃，mua,則〃〃a.

其中正確命題的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

思路：①為面面平行的判定，要求一個平面上兩條相交直線，而①中加，〃不一定相交。所以

無法判定面面平行；②為面面垂直的性質(zhì)，要求一個平面上垂直交線的直線，才與另一平面

垂直。而②中m不一定與交線垂直。所以不成立；③可用向量判定，設a,夕對應法向量為m,n,

直線加方向向量為a,則條件轉(zhuǎn)換為：a//m,a±n,可推得mJ.〃，即a_L尸，③正確；

④為線面平行判定，要求“在a夕卜，所以④錯誤；綜上只有1個命題正確

答案：B

例2：已知是不同的直線，a,￡是不同的平面，以下命題正確的是（）

//n,mua,〃u。,則a〃/?；

mua,nu。,a//p,IVm,貝

③_La,〃J_p,a〃夕，則〃？〃〃；

a_L，，m//a,n//(3,WJm±/i；

A.②③B.③?C.②④D.③

思路：題目中涉及平行垂直較多，所以考慮利用正方體（舉反例）或向量判斷各個命題

①兩平面各選一條直線，兩直線平行不能判斷出兩個平面平

行，例如在正方體中在平面ABCO和平面CG。。中，雖然

AB//C.D,,但兩個平面不平行，所以①錯誤

②例如：平面A5CO〃平面A4GA，BD±AC,但8D

與AB|不垂直，所以②錯誤

③考慮利用向量幫助解決：mnm"a,〃,0-n"B、a//B=a//B,所以可以推

斷，？;〃〃，所以可得相〃〃

④考慮利用向量解決：a工B0a工B，ni〃a=m，a,n〃00n工B,由垂直關系不

能推出，"_L”,所以④錯誤

答案：D

例3：對于直線小〃和平面a,a〃尸的一個充分條件為（)

A.tnuaj/u氏〃〃aB.m//n,m//a,n///3

C.m//n,m±a,n±(3D.m±n,m±a,n±f3

思路：求a〃夕的充分條件，即從A,B,C,D中選出能判定a〃/

的條件，A選項：例如正方體中的平面ABCD和平面CD￡>1C|

可知雖然A8〃平面CDRG,GR〃平面但這兩個

平面不平行。B選項：也可利用A選項的例子說明無法推出

a//p,C選項可用向量模型進行分析：

m//n=>m//n,mLa=>m//a,n±/7=>n//(3,所以可得：a//(5,即a〃4；D選項可利

用A選項的例子：m=BC,n-CCt,可知m_L_L平面CDE>|G，平面ABC。，但

這兩個平面不平行，綜上所述，只有C為a〃4的一個充分條件

答案：C

例4：給定下列四個命題：

①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；

②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；

③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.

其中，為真命題的是（）

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

思路：分別判斷四個命題：①必須是一個平面內(nèi)兩條“相交”直線與另一個平面平行，才可

判定兩平面平行，所以①錯誤；②該命題為面面垂直的判定，正確；③空間中垂直同一條

直線的兩條直線不一定平行，例如正方體中交于一點的三條棱；④可用反證法確定，假設該

直線與另一平面垂直，則必然垂直該平面上所有的直線，包括兩平面的交線。所以與條件矛

盾。假設不成立。綜上所述，正確的命題是②和④

答案：D

例5：已知加，〃表示兩條不同直線，a表示平面，下列說法中正確的是（）

A.若，"_La,〃ua,則租_L〃

B.若優(yōu)〃a,〃〃a則機〃n

C.若〃?J_a,mLn,則〃〃a

D.若加〃a,mLn,則

思路：A選項若直線與平面垂直，則直線與這個平面上的所有直線均垂直，所以A正確

B選項可用向量判斷，m//am±a,n//a=>n±a,由，”_La,無法判斷出

加，〃的關系，所以不能推出m〃〃；C選項并沒有說明直線〃是否在平面a上，所以結(jié)論不

正確；D選項也可用向量判斷，m//a=>mA,a,mA.n=>mA.n,同理由加_L_L”

無法判斷的情況，所以無法推斷出〃_La,綜上所述：A正確

答案：A

例6：給出下列命題，其中正確的兩個命題是（）

①直線上有兩點到平面的距離相等，則此直線與平面平行。②夾在兩個平行平面間的兩條異

面線段的中點連線平行于這兩個平面；③直線相_L平面a,直線〃_Lm,則〃〃a；@a,b

是異面直線，則存在唯一的平面a,使它與a力都平行且與a/距離相等

A.①②B.②③C.③④D.②④

答案：D

思路：①到平面距離相等的點可能位于平面的同側(cè)或是異側(cè)，如果是同側(cè)，則兩點所在直線

與平面平行，如果異側(cè)，則直線與平面相交，且交點為這兩點的中點。②正確，證明如下：

如圖，平面a〃尸,A,Cea,B,De尸，且民尸分別為的中點，過。作CG〃A8交夕

于G,連接BG,GD,設H是CG的中點

：.EH//BG,HF//GDEH//fi,HF//（3

.?.a〃平面￡/*〃/AEF//a,EF//（3

③命題中沒有說明直線〃是否在a上，所以不正確；④正確，設A8為異面直線。力的公垂

線段，E為A8中點，過后作。力的平行線。,5,從而由a,5確定的平面與a力平行且與a,b

的距離相等。所以該平面即為所求。

答案：D

例7：下列命題正確的個數(shù)是（）

①若直線/上有無數(shù)個點不在平面a內(nèi)，則/〃a

②若直線/〃a,則與平面a內(nèi)的任意一條直線都平行

③如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行

④若直線/〃a,則與平面a內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點

A.0B.1C.2D.3

思路：①“無數(shù)個點”只是強調(diào)數(shù)量多，并不等同于“任意點”，即使直線與平面相交，直

線上也有無數(shù)個點不在平面內(nèi)。所以①不正確；②若/〃a,說明/與a沒有公共點，所以/

與a上任意一條直線M都沒有公共點，但即使/,機無公共點，/,根的位置關系不只是有平行，

還有可能異面，所以②不正確；③線面平行的前提是直線在平面外，而命題③中沒有說明“另

一條”直線是否在平面上，所以③不正確；命題④可由②得知，/與a上任意一條直線”都

沒有公共點，命題④正確，綜上所述，正確的有1個

答案：B

例8：直線為兩異面直線，下列結(jié)論正確的是（）

A.過不在a,匕上的任何一點，可作一個平面與a,b都平行

B.過不在。力上的任何一點，可作一個直線與。力都相交

C.過不在a,b上的任何一點，可作一個直線與a,。都平行

D.過a有且只有一個平面與b平行

思路：A選項中，如果P點與。確定的平面與匕平行，則此平面只和。平行，a在此平面上，

所以這樣的P是無法作出符合條件的平面；B選項由A所構造出的平面可得，若過戶的直線/

與a相交，則/也在該平面上，所以/與人無公共點；若過P的直線/與人相交，則無法與a相

交，綜上所述對于這樣的P點無法作出符合條件的直線；C選項如果過戶的直線與。乃均平行,

則由平行公理可知a〃力，與已知條件矛盾，所以C錯誤：D選項，如果a,b異面，則過a只

能做出一個平面與〃平行。在a上取兩點分別作b的平行線c,d,則c,d所唯一確定的

平面和。平行，且a在此平面上。所以D正確

答案：D

例9：設/,加是兩條異面直線，P是空間任意一點，則下列命題正確的是（)

A.過戶點必存在平面與兩異面直線/，機都垂直

B.過P點必存在平面與兩異面直線/,機都平行

C.過P點必存在直線與兩異面直線/,機都垂直

D.過P點必存在直線與兩異面直線/,機都平行

思路：A選項，若平面與/，機均垂直，則推得/〃機，與/,加異面矛盾；B選項如果P點位于

某條直線上，則平面無法與該直線平行；C選項中直線的垂直包括異面垂直，所以可以講/，機

平移至共面，過P的直線只需與這個平面線面垂直，即和/，陽都垂直，所以C正確；D選項如

果直線與/，加均平行，則由平行公理可得/〃加，與/,相異面矛盾。所以C正確

答案：C

例10：設/，機，〃是不同的直線，a,4,了是不重合的平面，則下列命題不正確的是（）

A.若加〃〃，m//p,“在廠外，則〃〃夕

B.若a_!_4,/_LQ,a,則

C.若a〃尸,=加，則/〃加

D.若AG（X,CGOC,BG（3,DG仇AB〃CD,且AB=CD,則a〃夕

思路：A選項可通過向量來判斷：m//n=>m//n,m///?=>m±,由此可得：n工0,因

為〃在夕外，所以可判定〃〃4，A正確；B選項設a_1.4=〃z,y_L尸=〃，則a上所有點的

投影落在“？中，y上所有點的投影落在〃中，因為所以/上所有點的投影均在加,〃

的交點上，即/，尸，所以B正確；C選項符合面面平行的性質(zhì)，即兩個平面平行，第三個平

面與這兩個平面相交，則交線平行，所以C正確；D選項中若A,C位于p同側(cè)，則命題成立；

但如果位于0兩側(cè)，則滿足條件的a與p相交。故不正確

答案：D

三、歷年好題精選

1、（2016,山東膠州高三期末）設。,月,/為不同的平面，加,〃，/為不同的直線，則加，萬的

一個充分條件為（）

A.a±/3,a（｝/3=l,mLlB.aC\y=m,（x.Ly,p-Ly

C.a1，Y，/3Ly,ml.aD.nA.a,nl./3,mLa

2、給出下面四個命題：

①“直線?！ㄖ本€力”的充要條件是“。平行于匕所在的平面”；

②“直線/人平面a內(nèi)所有直線”的充要條件是“/，平面aM；

③“直線a,b為異面直線”的充分不必要條件是“直線a,〃不相交”；

④“平面a〃平面夕”的必要不充分條件是“a內(nèi)存在不共線三點到￡的距離相等”.

其中正確命題的序號是（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

3、（2016,大連二十中期中考試）已知三個互不重合的平面a,/3,y,且

a^\/3-a,aC\y-b,/3^\y-c,給出下列命題（）

①若a_LZ?,a_Lc,則b-Lc②若aCl匕=P，則aric=P

③若aJ■仇a_Lc,則e_Ly④若a〃b,則?！ā?/p>

其中正確命題的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4、（江西中南五校聯(lián)考）已知孫〃是兩條不同的直線，a,4是三個不同的平面，則下列命

題中正確的是（）

A.若a_L_L貝！jy//尸B.若〃"/〃，加ua,〃uQ,則a//4

C.若〃2//〃,〃2_La,〃_L,尸，則a//尸D.若M///,m//a,則〃//a

5、（2016,寧波高三期末）已知平面a與平面夕交于直線/,且直線aua,直線8u/?,則下

列命題箱號的是（）

A.若。_1_民。_1_/?,且。與/不垂直，則a_L/B.若a_L力，bA.1,則a_L〃

C.若a，。，b±l,且a與/不平行，則。J_/?D.若a_U,8_U,則aJ_/?

6、（2016）上海閘北12月月考）己知加，〃是兩條不同直線，％尸是兩個不同平面，給出下列

四個命題：

①若a,耳垂直于同一平面，則a與p平行

②若小,〃平行于同一平面，則加與〃平行

③若a,￡不平行，則在a內(nèi)不存在與尸平行的直線

④若小，〃不平行，則加與〃不可能垂直于同一平面

其中真命題的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

7、設a力為兩條直線，/，為兩個平面，則下列四個命題中，正確的命題是（）

A.若a_La,Z?_LAa_LZ?,則夕_1_尸B,a//a,b///7,a〃夕，則a〃Z?

C.若aJ/a、bu0,a//h,則a〃夕D.若a〃a,a_L〃，則

8、（2015,廣東文）若直線/「A是異面直線，4在平面a內(nèi)，4在平面夕內(nèi)，/是平面1與

平面，的交線，則下列命題正確的是（）

A./至少與//中的一條相交B./與//都相交

C./至多與4,4中的一條相交D./與都不相交

9、（2014,遼寧）已知加，〃表示兩條不同的直線，a表示平面，下列說法正確的是（）

A.若mHa，nila,則/”〃"B.若加_La,〃ua,則/〃_L“

C.若，〃J__L〃，則”〃aD.若加〃a，m_Lzi,則“_L<z

習題答案：

1、答案：D

解析：A選項若加不在月上，則無法判定機_L〃；B選項：若a〃夕，則相〃夕，所以無法

判定；C選項，如果a,4,y來兩兩垂直，則無法判定根J_/；D選項，如果〃_La,〃_L4，

則a〃/7,再由m_La可判定

2、答案：D

解析：①若。平行于b所在的平面，則。力的關系為平行或異面，所以不是充要條件；

②由線面垂直定義可知：直線/，平面a當且僅當直線/_L平面a內(nèi)所有直線，所以②正確；

③中若直線。力不相交，則可能平行。所以不能得到“直線a,b為異面直線”，③錯誤；④

若平面a〃平面△，則a內(nèi)所有點到P的距離相等，當a內(nèi)存在不共線三點到￡的距離相等,

則兩平面可能相交，這三點位于a的兩側(cè)。所以“a內(nèi)存在不共線三點到夕的距離相等”是

“平面a〃平面夕”的必要不充分條件

3、答案：C

解析：當三個平面兩兩相交，交線平行或交于一點，所以若=則三條交線交于一點,

即aPk=P，若?！╞，則三條交線平行，a//c,所以②④正確；當三條交線交于一點時，

a±b,a±c,則仇c夾角不確定，所以①錯誤；若a_L6,a_Lc,因為。，。均在/上，所以可

知綜上所述，②③④正確

4、答案：C

解析：A選項：垂直同一平面的兩個平面可以平行，也可以相交，所以A錯誤

B選項：在正方體中，右側(cè)面的棱與底面上的棱平行，但是這兩個面不平行，所以