八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)角度計(jì)算中的經(jīng)典模型(舉一反三)(含解析版)

角度計(jì)算中的經(jīng)典模型【舉一反三】

模型1雙垂直模型

模型2A字模型

模型3雙內(nèi)角平分線模型

模型4內(nèi)外角平分級(jí)模型

。沏分沂】

【模型1雙垂直模型】

【條件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【結(jié)論】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.

【例1】（2019春?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，NAC8=90°,尸是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)D1AB,

垂足為。，尸。與8。相交于點(diǎn)￡,ZBED=55°.求NA的度數(shù).

【變式1?1】（2019秋?涼州區(qū)校級(jí)期中）如圖,△A8C中,/B=/C,FDLBC,DE1AB,ZAFD=152°,

求NA的度數(shù).

【變式1-2](2019春?蓮湖區(qū)期中)如圖，在△ACT?中，NAC8=90CO_LA8于。.

(1)求證：N4CO=N8：

(2)若AF平分NCA3分別交CO、BC于E、F,求證；/CEF=/CFE.

【變式如圖①，在RtAAAC,中，NAC8=9(T,CL)±AH,垂足為。，NAC1)與/〃有什么關(guān)系？

為什么？

(2)如圖②，在RlZXABC中，ZC=90°,。、E分別在AC,AB±,且NAOE=N3,判斷△AOE的形

狀是什么？為什么？

(3)如圖③，在RtAAAC和中，ZC=90°,ZE=90°,ABLBD,點(diǎn)C,B,E在同一直線上，

【模型2A字模型】

D

BC

【結(jié)論】ZBDE+ZCED=180°+ZA

【例2】（2019春?資中縣月考）如圖所示，ZVIBC中，ZC=75°，若沿圖中虛線截去NC,則N1+N2等

于多少度？

【變式2-1］（2019春?長(zhǎng)沙縣校級(jí)期中）如圖，已知NA=40°,求N1+N2+N3+N4的度數(shù).

【變式2-2］（2019春?吁胎縣期中）我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，那么,

三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

C

（圖2）

（圖3）

I.嘗試探究：

（1）如圖1,NO8C與NEC3分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究NA與N33C+NEC3之間存在怎樣的數(shù)

量關(guān)系？為什么？

II.初步應(yīng)用：

(2)如圖2,在△ABC紙片中剪去△CED,得到四邊形Zl=130°,則N2-NC=：

(3)小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問(wèn)題：如圖3,在△A8C中，BP、CP分別平分外角N/J8C、NECB,

NP與NA有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案.

【變式2-3](2019春?鹽都區(qū)期中)(I)如圖I,已知4A8c為直角三角形，NA=90",若沿圖中虛線剪

去NA,則N1+N2等于

A90°旦135°C.2700D.3150

(2)如圖2,己知△A8C中，ZA=50a,剪去NA后成四邊形，則/1+/2=°.

(3)如圖2,根據(jù)(1)與(2)的求解過(guò)程，請(qǐng)你歸納猜想N1+N2與NA的關(guān)系是.

(4)如圖3,若NA沒(méi)有剪掉，而是若它折成如圖3形狀，試探究N1+N2與NA的關(guān)系并說(shuō)明理由.

【模型3雙內(nèi)角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NABC、NACB的角平分線.

t結(jié)論】ZP=90°+1ZA.

2

【例3】(2018秋?開(kāi)封期中)如圖，中，

(1)若N8=70°,點(diǎn)P是△A4C的NBAC和N4C8的平分線的交點(diǎn)，求NAPC的度數(shù).

(2)如果把(I)中N3=700這個(gè)條件去掉，試探索NAPC和N5之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

B

【變式3-1](2018秋?徐聞縣期中)如圖，在△A8C中，N48C與NACB的平分線交于點(diǎn)O.

(1)如圖1,已知NA8C=40°,ZACB=6()a,求N8OC的度數(shù).

(2)如圖2.已知N人=90°，求NAOC的度數(shù).

(3)如圖1,設(shè)NA=〃/，求N80C的度數(shù).

【變式3-2](2019春?南崗區(qū)期末)已知在△ABC中，ZA=100°,點(diǎn)3在8c的內(nèi)部連接8Q,CD,

且NABO=NC8O,NACD=NBCD.

(1)如圖1,求N8OC的度數(shù)：

(2)如圖2,延長(zhǎng)8。交AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)CO交A8于點(diǎn)凡若/AEO?NAF7)=12°,求NA。/的度數(shù).

【變式3-3](2019春?東阿縣期末)已知任意一個(gè)-:角形的三個(gè)內(nèi)角色和是1800.如圖1,在△ABC中，

ZABC的角平分線BO與NACB的角平分線CO的交點(diǎn)為O

(1)若NA=70°,求/8O。的度數(shù)；

(2)若NA=m求/8OC的度數(shù)：

(3)如圖2,若80、C。分別是NAB。、NACB的三等分線，也就是/O8C=g/48C,NOCB=fNACB,

NA=a,求的度數(shù).

OO

BB

圖1圖2

【模型4內(nèi)外角平分線模型】

【結(jié)論】ZA=1ZP.

2

【例4】（2018秋?江岸區(qū)期中）如圖，△ABC中，NA8C與NAC5的外角的平分線相交于點(diǎn)￡

（1）己知NA=60°,求NE的度數(shù)：

【變式4-1］（2019秋?衛(wèi)濱區(qū)校級(jí)期中）如圖，△A8C的外角NACO的平分線。戶與內(nèi)角NABC平分線8P

交于點(diǎn)P，若N8PC=40°,求NCA8的度數(shù).

【變式4-2］（2019秋?莆田校級(jí)期中）如圖所示，已知3。為aABC的角平分線，C。為aABC外角N4CE

的平分線，且與3。交于點(diǎn)。；

(1)若N48C=60°,ZDCE=70°,則NO=°:

(2)若N48C=70°,NA=80",則NO=°:

(3)當(dāng)NA8c和NAC8在變化，而/A始終保持不變，則/。是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么

【變式4-3](2018秋?彭水縣校級(jí)月考)如圖，已知BO是△ABC的角平分線，C。是△A8C的外角乙4CE

的外角平分線，CD與BD交于點(diǎn)D.

(1)若NA=50°,則NO=:

(2)若NA=80°,則NO=；

(3)若NA=130°,則NO=:

(4)若NO=36°,則NA=；

(5)綜上所述，你會(huì)得到什么結(jié)論？證明你的結(jié)論的準(zhǔn)確性.

【模型5雙外角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NEBC、NBCD的角平分線.

【結(jié)論】NP=90°qNA.

2

【例5】（2018秋?鄂倫春自治旗月考）如圖，人鉆。中，分別延長(zhǎng)△ABC的邊A3、AC至U。、E,NCBD

與N3CE的平分線相交于點(diǎn)P,愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在寫作業(yè)的時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

（1）若NA=60°,則/尸='；

（2）若NA=40°,則/尸='；

（3）若NA=100°,則/尸=°；

（4）請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納NA與NP的關(guān)系.

【變式5-1］（2019秋?團(tuán)風(fēng)縣校級(jí)月考）BD、CZ）分別是AABC的兩人外角NC8E、NBC/的平分線,

求證：N8OC=90°--7^A.

A

【變式5-2](2019春?雨城區(qū)校級(jí)期中)如圖，BLC7分別平分△A8C的外角/DBC和NEC&

(1)若NA3C=40°,NAC8=36°,求N8/C的大?。?/p>

(2)若NA=96°,試求N8/C；

(3)根據(jù)前面問(wèn)題的求解，請(qǐng)歸納/3/C和N4的數(shù)量關(guān)系并進(jìn)行證明.

【變式5-3]如圖，在△A8C中，BD,C。是內(nèi)角平分線，BP,CP是/ABC,NACZ?的外角平分線，分別

交于點(diǎn)。，P.

(1)若乙4=30°,求N8OC,/4PC的度數(shù).

(2)若乙4=小°,求NBDC,/3PC的度數(shù)(直接寫出結(jié)果，不必說(shuō)明理由)

(3)想一想，NA的大小變化，對(duì)NZH/尸的值是否有影響，若有影響，請(qǐng)說(shuō)明理由，若無(wú)影響，直接求

【結(jié)論】ZA+ZB=ZD+ZE.

【例6】(2019春?輝縣市期末)圖1,線段A3、CO相交于點(diǎn)。，連接八。、CB,我們把形如圖1的圖形稱

之為“8字形”.如圖2,在圖1的條件下，/ZMB和N3CO的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P,并且與CD、

A8分別相交于M、N.試解答下列問(wèn)題：

(1)在圖1中，請(qǐng)直接寫出乙4、NB、NC、NO之間的數(shù)量關(guān)系：:

(2)仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：個(gè)：

(3)圖2中，當(dāng)NO=50度，NB=40度時(shí)，求NP的度數(shù).

(4)圖2中N。和N3為任意角時(shí)，其他條件不變，試問(wèn)NP與N。、N8之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.(直

接寫出結(jié)果，不必證明).

【變式6-1](2018春?新泰市期中)已知：如圖，AM,CM分別平分/區(qū)4。和N3CD

①若N8=32°,ZD=38°,求NM的度數(shù);

②探索NM與N5、N。的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

B

M

D

【變式6-2]（2018秋?南昌期中）如圖1,已知線段48、CQ相交于點(diǎn)。，連接AC、BD,則我們把形如這

樣的圖形稱為“8字型”.

(1)求證：N4+NC=NB+NO；

（2）如圖2,若NC48和N8QC的平分線AP和QP相交于點(diǎn)P,且與C。、分別相交于點(diǎn)M、N.

①以線段AC為邊的“8字型”有個(gè)，以點(diǎn)。為交點(diǎn)的“8字型”有個(gè)：

②若NB=10（r,ZC=120°,求NP的度數(shù)：

@若角平分線中角的關(guān)系改為NCA”,ZCD/*=1^CDB\試探究N/＞與N。、NC之間存在

【變式6-3]（2018秋?青島期末）【問(wèn)題背景】

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“X字形”，請(qǐng)說(shuō)理證明NA+N“=NC+/〃

【簡(jiǎn)單應(yīng)用】

（2）如圖2,AP.CP分別平分/BAD、/BCD,若NABC=20°,ZADC=26°,求NP的度數(shù)（可直接

使用問(wèn)題（1）中的結(jié)論）

【問(wèn)題探究】

（3）如圖3,直線AP平分/朋。的外角/用D,CP平分NBC。的外角NBCE,若NA3C=36°,ZADC

=16°,猜想NP的度數(shù)為

【拓展延伸】

（4）在圖4中，若設(shè)NC=x,NB=y,NC4P=；NC4&NCDP=；NCDB,試問(wèn)N/）與NC、NB之間

的數(shù)量關(guān)系為（用?。?，表示NP）

（5）在圖5中，AP平分NBA。，CP平分NBCO的外角N8CE,猜想NP與N8、NZ）的關(guān)系，直接寫出

結(jié)論，

【模型7燕尾模型】

AA

【結(jié)論】ZBPC=ZA+ZB+ZC.

【例7】（2019春?冠縣期末）（1）探究：如圖I,求證：NBOC=NA+NB+NC.

（2）應(yīng)用：如圖2,NA8C=100",NOE尸=130°,求N4+NC+NO+N尸的度數(shù).

【變式7-1］（2019秋?平度市期末）材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品-圓規(guī).我

們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”.

解決問(wèn)題：

.4

（】）觀察“規(guī)形圖”，試探究N8QC與N4,/艮NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：

（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：

I.如圖②，把一塊三角尺。EF放置在△A8C上，使三角尺的兩條直角邊?！?Q尸恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,C,若

ZA=40°,則NA8D+NACO=°.

II.如圖③，8。平分NA8P,C。平分N4CP,若乙4=40°,ZfiPC=130°,求N8OC的度數(shù).

【變式7-2］（2019秋?阜陽(yáng)月考）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中整體思想與轉(zhuǎn)化思想是我們常用到的數(shù)學(xué)思想.如圖（I）

中，求NA+N8+NC+NQ+NE的度教等于多少時(shí)，我們可以連接CO,利用三角形的內(nèi)角和則有NB+NE

=NECD+NBDC,這樣NA、NB、NC、ND、NE的和就轉(zhuǎn)化到同一個(gè)△AC。中，

即NA+N8+NC+//HNE=18（）°.

圖（2）中N4+N3+NC+NO+/E的度數(shù)等于.

圖（3）中N4+N3+NC+NO+/E的度數(shù)等于.

圖（4）中NA+N8+NC+NO+NE+NF的度數(shù)等于.

【變式7-3］（2019秋?襄城區(qū)期中）已知：點(diǎn)。是△A8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接A。、CD.

（1）如圖1,若NA=28°,ZZ?=72°,ZC=11O,求N4OC；

（2）如圖2,若存在一點(diǎn)P,使得P5平分NA3C,同時(shí)P。平分NAOC,探究NA,NP,NC的關(guān)系并證

明；

（3）如圖3,在（2）的條件下，將點(diǎn)。移至NA3C的外部，其它條件不變，探究NA,NP,NC的關(guān)系

并證明.

AA

CC'

圖1圖2圖3

【模型8箏型】

【結(jié)論】ZPBD+ZPCD=Z/\+ZP

【例8】(2019春?邳州市校級(jí)月考)如圖,在折紙活動(dòng)中,小明制作了一張△ABC紙片，點(diǎn)。、E分別在

邊AB、AC上，將△ABC沿著。E折蒞壓平，A與A'國(guó)曷合.

(1)若NA=75。,則Nl+N2=______.

(2)若NA=〃°,則Nl+/2=______.

(3)由(1)(2)探索NA與N1+N2之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

C

【變式8-1](2018春?遷安市期末)動(dòng)手操作：

一個(gè)三角形的紙片ABC沿OE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)人'處.

觀察猜想

（1）如圖1,若NA=40°,則Nl+/2=°：

若NA=55°,則Nl+N2=°：

若NA=〃°,則Nl+N2=°.

探索證明：

（2）利用圖I,探索N1、/2與NA有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

拓展應(yīng)用：

（3）如圖2,把△人/?（?折疊后，HA'平分NAAC,CA'平分N4。,若Nl+N2=10g",利用（2）中結(jié)

論求NZM'C的度數(shù).

【變式8-2］（2019春?宿城區(qū)校級(jí)月考）RlaABC中，NC=90°,點(diǎn)D、E分別是△ABC邊人C、BC卜.的

點(diǎn),點(diǎn)尸是一動(dòng)點(diǎn).令NPDA=/1,NPEB=N2,ZDPE=Za.

（1）若點(diǎn)尸在線段八8上，如圖（1）所示，且Na=50°,求N1+N2的度數(shù)：

（2）若點(diǎn)尸在邊AB上運(yùn)動(dòng)，如圖（2）所示，則Na、Nl、N2之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由：

（3）若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到邊AB的延長(zhǎng)線上，如圖（3）所示，直接寫出Na、Nl、N2之間關(guān)系為：.（不

需說(shuō)明理由）.

cc

圖1圖2

圖3

【變式8-3](2019秋?南漳縣校級(jí)月考)如圖(I),在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張△ABC的紙片，點(diǎn)Z)、

E分別在A3、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與4,重合，若/A=70°,則NI+/2=；

如圖(2),當(dāng)點(diǎn)A落在AAAC.外部時(shí)，那么/2-/1=.

圖1圖2

專題02角度計(jì)算中的經(jīng)典模型【舉一反三】

模型1雙垂直模型

模型2A字模型

模型3雙內(nèi)角平分線模型

模型4內(nèi)外角平分線模型

K典豳加I

【模型1雙垂直模型】

【條件】NR=ND=NACE=90。.

【結(jié)論】ZBAC=ZI)CE,ZACB=ZCEI).

【例1】(2019春?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)月考)如圖，在△ABC中,NACB=90°,戶是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),FDJ.AB,

垂足為。，與相交于點(diǎn)E,NBED=55°.求NA的度數(shù).

【分析】首先由FOL4B于。，根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出N8￡O+N3=90°,同理，由NACB=

90°,得出NA+N8=90°,然后根據(jù)同角的余角相等得出NA=N8￡7J=55°.

【答案】解：；FO_LA8于。，

:.NBED+NB=90",

VZACB=909,

.?.NA+NB=900,

??.NA=N8￡O=55°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)以及余角的性質(zhì)，比較符單.

【變式1-1］（2019秋?涼州區(qū)校級(jí)期中）如圖,ZkABC中，NB=NC,FDLBC,DE工AB,ZAFD=\52°,

【分析】利用外角性質(zhì)可求得NC,在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理可求得NA.

【答案】解：

AZroC=90°,

VZAFD=152Q,

：.ZC=ZAFD-ZFDC=152°-90°=62°,

":/B=/C,

??.NA=180°-ZZ?-ZC=180°-62°-62°=56°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形三個(gè)內(nèi)角和為180°是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2］（2019春?蓮湖區(qū)期中）如圖，在aACB中，NAC8=90CO_LA3于。.

（1）求證：NACO=N3：

（2）若4/平分NC44分別交C。、8C于E、F,求證：/CEF=/CFE.

【分析】（1）由于NAC。與都是/3C。的余角，根據(jù)同角的余角相等即可得證;

（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余得出NCM=90'-ZCAF,NA占0=90°-NOAE,再根據(jù)角平分線

的定義得出NCAF=ND4￡,然后由對(duì)頂角相等的性質(zhì)，等量代換即可證明NCE"=NCFE.

【答案】證明：（1）???/AC8=90°,CDLAB于Q,

AZACD+ZBCD=9（）°,NB+N8CD=90°,

：.NACD=NB；

（2）在RtZXAFC中，ZCM=900-ZCAF,

同理在RtZkAEQ中，ZAED=9（）°-ADAE.

又："平分NC4B,

:.NCAF=NDAE,

二ZAED=/CFE,

又,：，CEF=ZAED,

：.NCEF=NCFE.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形角平分線的定義，對(duì)頂角的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，難度適

中.

【變式如圖①，在RLM8C中，N4c8=90°,CDA.AB,垂足為。，NACO與N8有什么關(guān)系？

為什么？

（2）如圖②，在RtZ\48C中，/C=90°,。、E分別在AC,AB上,且NAOE=N-判斷△/1/用的形

狀是什么？為什么？

（3）如圖③，在RtZ\A8c和RtAOBE中，ZC=90°,ZE=90°,ABA.BD,點(diǎn)C,B,E在同一直線上,

【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出/4。開(kāi)/A=/8+/。。8=90°,再解答即可；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出/AOE+NA=NA+N8=90",再解答即可；

（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出入4&:+/4=/48。+/。/^=//用/懺/￡>=90°,再解答即可.

【答案】解：（I）ZACD=ZB,理由如下：

??,在RtaABC中，/AC8=90°,CDA.AB,

.?./48+/4=/8+/。。8=90°,

:.NACD=NB：

（2）△?1￡）￡是直角三角形.

???在RtaABC中，ZC=90°,。、E分別在AC,48上，且NAQ￡=N8,NA為公共角,

AZAED=ZACB=9（）a,

.?.△AQE是直角三角新；

（3）Z4+ZD=90°.

二,在和Rt2\/J8￡中，NC=90°,N￡=90°,AHA.HD,

：.ZABC+ZA=ZABC+ZDBE=NDBE+ND=90",

：.ZA+ZD=9（）°.

【點(diǎn)睛】此題考查直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出兩銳角互余.

【模型2A字模型】

【結(jié)論】ZBDE+ZCED=180°+ZA

【例2】（2019春?資中縣月考）如圖所示，AABC中，ZC=75°,若沿圖中虛線截去NC,則N1+N2等

于多少度？

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N/UN從根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出即可.

【答案】解：VZA+ZB+ZC=180°,

AZA+ZB=1800-ZC,

VZC=75°,

AZA+ZB=180°-75°=105°，

VZl+Z2+ZA+ZZJ=360°,

.?.Nl+/2=360°-(/A+N8),

?,.Nl+N2=360°-105°=255°.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和多邊形的內(nèi)角和公式，能熟記定理是解此題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2019春?長(zhǎng)沙縣校級(jí)期中)如圖，已知/八=40°,求N1+N2+N3+N4的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理分別求得N1+/2,Z3+Z4,就可求得最后結(jié)果.

【答案】解：???N4=40°,

.,.Zl+Z2=Z3+Z4=180°-ZX=140a.

.,.Zl+Z2+Z3+Z4=280°.

【點(diǎn)睛】此題主要是三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用.

【變式2-2](2019春?吁胎縣期中)我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，那么,

三角形的一個(gè)內(nèi)角與它不相鄰的兩個(gè)外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？

（圖1）（圖2）

（圖3）

I.嘗試探究:

(1)如圖1,NO8C與NEC8分別為△ABC的兩個(gè)外角，試探究/人與ND8C+NEC8之間存在怎樣的數(shù)

量關(guān)系？為什么？

II.初步應(yīng)用:

(2)如圖2,在△ABC紙片中剪去△(?￡：?得到四邊形A8DE,Zl=130°,則N2-NC=

(3)小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個(gè)問(wèn)題：如圖3,在△A8C中，BP、CP分別平分外角ND8C、/ECB,

NP與NA有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)利用上面的結(jié)論直接寫出答案

【分析1（1）根據(jù)三角形的一個(gè)外帶等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出NQ8C+NEC8,再利用三角

形內(nèi)角和定理整理即可得解：

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論整理計(jì)算即可得解：

（3）表示出NO8C+NEC8,再根據(jù)角平分線的定義求出N〃BC+N/>C8,然后利用三角形內(nèi)角和定理列

式整理即可得解：

【答案】解：（1）NDBC+NECB

=180°-N4Adi800-ZACH

=360°-（NABC+NAC8）

=360°-（180°-NA）

=180°+NA；

（2）VZ1+Z2=Z18O0+ZC,

.?.130°+Z2=180;，+NC,

AZ2-ZC=50a：

（3）N/?C+NEC8=180"+ZA,

?；BP、”分別平分外角ND8C、/ECB,

:"PBC+/PCB=LQDBC+/ECB）=工（180。+ZA）

22

在8c中，/尸=180°■工（1X0°+/A）=90°?工/4

22

即NP=90°-工/4：

2

故答案為：50°,/k=9?！?

2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，

角平分線的定義，熟記性質(zhì)并讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2019春?鹽都區(qū)期中）（1）如圖1,已知aABC為直角三角形，ZA=90°,若沿圖中虛線剪

去NA,則N1+N2等于

人90°A1350C.270°0.315°

B

（2）如圖2,已知△ABC中，NA=50°,剪去/人后成四邊形，則Nl+N2=

（3）如圖2,根據(jù)（1）與（2）的求解過(guò)程,請(qǐng)你歸納猜想N1+N2與NA的關(guān)系是.

（4）如圖3,若/A沒(méi)有剪掉，而是?C它折成如圖3形狀，試探究/1+N2與NA的關(guān)系并說(shuō)明理由.

【分析】（1）利用了四邊形內(nèi)角和為360°和直角三角形的性質(zhì)求解；

（2）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求解；

（3）根據(jù)（1）（2）可以直接寫出結(jié)果：

（4）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等，以及鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求解.

【答案】解：（1）??,四邊形的內(nèi)角和為360°,直角三角形中兩個(gè)銳角和為90°

.,.Zl+Z2=360°-（NA+N8）=360°-90°=270°.

JN1+N2等于270°.

故選C：

（2）Zl+Z2=180°+50°=230°.

故答案是：230；

（3）N1+N2與NA的關(guān)系是:Zl+Z2=180°+ZA：

故答案是：Zl+Z2=180°+NA：

（4）?.?△EEP是由外折祿得到的，

:"AFE=NPFE,NAEF=/PEF

.,.Zl=180a-2NAFE,Z2=180°-2ZAEF

.,.Zl+Z2=360°-2（NAFE+NAEF）

又YNA產(chǎn)E+NAE尸=180°-NA,

...N1+N2=36O°-2（180°-NA）=2NA,

即N1+N2=2NA.

【點(diǎn)睛】主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系.

（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.

（2）三角形的內(nèi)角和是180度.求角的度數(shù)常常要用到“三角形的內(nèi)角和是180°”這一隱含的條件.

【模型3雙內(nèi)角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NABC、NACB的角平分線.

【結(jié)論】NP=90°+-J-ZA.

2

【例3】（2018秋?開(kāi)封期中）如圖，△ABC中，

（1）若N8=70°,點(diǎn)P是AABC的NBAC和NACB的平分線的交點(diǎn)，求NAPC的度數(shù).

（2）如果把（1）中N8=70°這個(gè)條件去掉，試探索NAPC和N8之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）依據(jù)點(diǎn)P是△A8C的/8AC和/4C8的平分線的交點(diǎn)，即可得到/%C=L/E4C,ZPCA

2

=IZZ;CA,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到NAPC的度數(shù).

2

（2）依據(jù)點(diǎn)P是aABC的/BAC和/ACB的平分線的交點(diǎn)，即可得到/用C=LNBAC,NPCA==/

22

BCA,進(jìn)而得出/出C+/PCA=L（/以C+NPCA）,再根據(jù)/P=180°-（/以C+/PCA）進(jìn)行計(jì)算

2

即可.

【答案】解：（1）VZB=70°,

??.NBAC+N3CA=110°,

,??點(diǎn)P是aABC的N3AC和ZACB的平分線的交點(diǎn)，

N/XC=L/8AC,ZPCA=—ZHCA,

22

??.NB4C+NPCA=L(/以C+NPCA)=^X1IO°=55°,

22

AZP=180°-55°=125°：

(2)???點(diǎn)P是△ABC的/孫C和/ACB的平分線的交點(diǎn),

?，./出C=L/8AC,/尸CA=L/BC4,

22

：.^PAC+ZPCA=1-(ZBAC+ZPCA),

2

AZP=180°-(.ZPAC^ZPCAy

=180°-L(N8AC+N5c4)

2

=180°(180°?/8)

2

=90。+-kzB.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和

定理：三角形內(nèi)角和是1800.

【變式3-1](2018秋?徐聞縣期中)如圖，在△48。中，/A8c與NACB的平分線交于點(diǎn)。.

(1)如圖1,己知NA8C=40°,ZACZJ=60°,求N8OC的度數(shù).

(2)如圖2,已知乙4=90",求NBOC的度數(shù).

(3)如圖1,設(shè)乙4=m°,求/80C的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求解即可:

【答案】解：⑴???8C平分NA8C,NABC=40°,

：.ZOBC=^-ZABC=20°,

2

,；CO平分NACB,ZACB=60a,

：.ZOCB=1-ZACB=W，

2

AZBOC=180°-20°-30°=130°.

(2)VZA=90°,

AZABC+ZACB=180°-90°=90°,

乂??,/O8C=L/A8C,/OC8=L/AC8,

22

：.NOBC+NOCB=45°,

??.N3OC=180°-45°=135°.

(3)VZA=m°

??.NA3C+/4C8=I8O°-m°，

又,.,NO8C=LNA8C,ZOCB=kzACB,

22

："OBC+/OCB=90°-L?。，

2

AZBOC=90°+L/

2

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)

題,屬于中考常考題型.

【變式3-2］（2019春?南崗區(qū)期末）已知在△A3C中，NA=100°,點(diǎn)。在AABC的內(nèi)部連接8D,CD,

且NA3O=NC8。，NACD=/BCD.

（1）如圖1,求N8OC的度數(shù);

（2）如圖2,延長(zhǎng)8。交AC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)C。交A3于點(diǎn)凡若N4ED-NA"O=12°,求/ACT的度數(shù).

(圖1)(圖2)

【分析】（1）依據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義，即可得到NBDC的度數(shù);

（2）設(shè)NAC”=a,則/BCO=a,ZCBD=40°-a=ZABD,依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到N4E。

=NAC”+NC。凡NA/7）=NABE+/3。凡再根據(jù)/AE。-NA/D=12°,即可得到a的值.

【答案】解：（1）???NA=100°,

.?.NA8C+NAC8=80”,

又,：NABD=NCBD,NACD=NBCD,

：.ZCBD=1-ZABC,NBCD=L〃CB,

22

??./CB/)+/8CO=L(/A8C+/ACB)=40。,

2

??.N80C=I80°-40°=140°；

(2)設(shè)/AC”=a,則N3CO=a,

VZ/?DC=I4O°,

.,.ZC5D=40°-a=ZABD,

VZAED是△OCE的外角，ZAFD是尸的外角，

:.ZAED=^ACF+ZCDF,ZAFD=NABE+NBDF,

：.^AED-ZAFD=ZACF+^CDF-ZABE-^BDE=a-<400-a)=12°,

解得a=26°,

AZACF=26°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：三角形內(nèi)角和是

180°.

【變式3?3】(2019春?東阿縣期末)已知任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的和是180°.如圖1,在△ABC中,

NA8C的角平分線8。與NAC3的角平分線CO的交點(diǎn)為O

(1)若NA=70°,求N30。的度數(shù);

(2)若NA=a,求N8O。的度數(shù)；

(3)如圖2,若BO、CO分別是/ABC、NAC8的三等分線，也就是/04C=gNA4C,ZOCZ?=|ZACB,

NA=a,求NBOC的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出N/1BC+N/ICB,根據(jù)角平分線的定義求出/O8C+NOCB,

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可：

⑵根據(jù)三角形的內(nèi)知和定理求出/A8C+N4C8,根據(jù)角平分線的定義求出NO8C+NOC8,根據(jù)三角

形內(nèi)角和定理求出即可：

(3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出N48C+NAC8,求出NO8C+N0C8,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即

可.

【答案】解：(1)???NA=70°,

.?.48dNACB=180°-Z4=1IO°,

:在△ABC中，ZABC的角平分線B。與N4C8的角平分線C。的交點(diǎn)為。，

.\ZOBC=^ZABC,ZOCB=^/ACB,

220

:.NOBC+NOCB=L(NABC+NACB)=55°，

2

??.N30C=I80°-(N03C+/0C8)=125°；

(2)??NA=a,

??.NA3C+/AC8=I8O°-ZA=I3O0-a,

??,在△ABC中，ZABC的角平分線BO與/ACB的角平分線CO的交點(diǎn)為O,

：.ZOBC=^ZABC,ZOCB=^./ACB,

22

.,.NOBC+NOC”工(NA8C+NACB)=-^(180°-a)=90°--^a，

222

??,/8OC=180°-(NORC+NOCB)=180°-(90°-^a)=90°+—a-

22

(3)???NA=a,

r.ZABC+ZACB=1800-NA=IS00-a,

VZOBC=—ZABC,ZOCB=^ACB,

33

...NOBC+NOC8=L(NA8C+NACB)=-^(180°-a)=60°--^a，

333

???/6OC-180。-(/OBC+JOCB)-180°-(60°-1a.)-1200Q.

33

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和角平分線的定義，能求出/O8C+NOC3是解此題的關(guān)鍵,

求解過(guò)程類似.

【模型4內(nèi)外角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NABC、NACD的角平分線.

【結(jié)論】ZA=1ZR

【例4】（2018秋?江岸區(qū)期中）如圖，AABC中，N48c與N4C8的外角的平分線相交于點(diǎn)￡

（1）己知N4=60°,求NE的度數(shù);

【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到NECO=L/ACDNEBC=LNABC,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)

22

計(jì)算：

（2）仿照（1）的計(jì)算過(guò)程證明.

【答案】解：（1）VCE.BE分別平分NACD、/ABC,

;.NECD=LNACD,NEBC=L/ABC,

22

AZE=AECD-ZEBD=1-（ZACD-ZABC）=L/A=30°；

22

（2）由（1）得，NE=L/A,

2

I.NA=2NE

故答案為：ZA=2ZE.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰

的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2019秋?衛(wèi)濱區(qū)校級(jí)期中）如圖，△八8。的外角NACO的平分線CP與內(nèi)角NABC平分線3P

交于點(diǎn)P.若NBPC=40°,求NC48的度數(shù).

【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得NACO=N&IC+N/3CNPCD=

/P+/〃CB,根據(jù)角平分線的定義可得/PC/）=L/AC。，NPBC=LNABC,然后整理得到/PCQ=

22

400+L/A8C,再代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解.

2

【答案】解：在△A8C中，ZACD=ZBAC+ZABC,

在APBC中，NPCD=NBPC+NPBC,

?；PB、PC分別是NA8C和NA。。的平分線，

.,.ZPCD=A.ZACD,NPBC=L/ABC,

22

二ZPCD=NRPC+/PRC=4U°+^ZABC,

2

.」NACO=L/"C+4（r,

22

...NACO-NA8C=80°,

：.ZBAC=ZACD-ZABC=^，

即NCA8=80。.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角

平分線的定義，熟記定理與性質(zhì)并求出/產(chǎn)（曾=4。°+L/Azyc是解題的關(guān)鍵.

2

【變式4-2］（2019秋?莆111校級(jí)期中）如圖所示，已知8。為△A8C的角平分線，CO為△ABC外角N4CE

的平分線，且與8。交于點(diǎn)。：

（1）若NA8C=60°,NOC￡=70°,則ND=°：

（2）若NA8C=70°,ZA=80°,則NO=°:

（3）當(dāng)NABC和/人CB在變化，而/人始終保持不變，則/。是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么

結(jié)論？（用含N/\的式子表示ND）

B

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)即可求得；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)即可求得；

(3)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線性質(zhì)，先求出N。、NA的等式，推出即可求得

2

結(jié)論.

【答案】解：(I):8。為△ABC的角平分線，N4BC=60°,

??.NOBC=30°,

VZDCE=70°,

:./D=/DCE-/DBC=：O0-30°=40°：

(2)VZABC=70°,NA=80°,

?IZACE=150°

,：BD為△ABC的角平分線，CD為△ABC外角/ACE的平分線，

AZD?C=1Z4^C=35°,ZDCE=lzACE=750,

22

：,ZD=ZDCE-^DBC=75°-35°=40°；

(3)不變化,

理由；?:/DCE=NDBC+/D,

：.ZD=^