北師大版八年級上冊數學全冊教案設計

備

課

教

案

八年級數學上冊教學計劃

一、學情分析

八年級是初中學習過程中的關鍵時期，在我們班上，兩極分化問題很是嚴重，對優(yōu)等生來說他

們能夠理解知識形成技能具備-定的數學能力，而對后進生來說簡單的基礎知識還不能夠掌握成績

不容樂觀。為使學生學好進一步學習所必需的代數、幾何的基礎知識與基本技能，進一步培養(yǎng)學生

運算能力、發(fā)展思維能力和空間觀念，使學生能夠運用所學知識解決實際問題，逐步形成數學創(chuàng)新

意識，作為教師，我將實行因材施教策略。

二、教材內容分析

本學期數學內容包括第一章《勾股定理》、第二章《實數》，第三章《圖形的平移與旋轉》，第四

章《四邊形性質探索》，第五章《位置的確定》，第六章《一次函數》，第七章《二元一次方程組》，

第八章《數據的代表》。

第一章《勾股定理》的主要內容是勾股定理的探索和應用。

第二章《實數》主要內容是平方根、立方根的概念和求法，實數的概念和運算。本章的內容雖

然不多，但在初中數學中占有十分重要的地位。。

第三章《圖形的平移與旋轉》主要內容是生活中一些簡單幾何圖形的平移和旋轉。

第四章《四邊形性質探索》的主要內容是四邊形的有關概念、兒種特殊的四邊形（平行四邊形、

矩形、菱形、正方形、梯形）的性質和判定以及三角形、梯形的中位線。

第五章《位置的確定》主要講述平面直角坐標系中點的確定，會找出一些點的坐標。

第六章《一次函數》的主要內容是介紹函數的概念，以及一次函數的圖像和表達式，學會用一

次函數解決一些實際問題。

第七章《二元一次方程組》要求學會解二元一次方程組，并用二元一次方程組來解一些實際的

問題。

第八章《數據的代表》主要講述平均數和中位數、眾數的概念，會求平均數和能找出中位數及

眾數。

三、教學目標要求

上半學期完成第一章到第四章第四節(jié)，下半學期完成第四章第五節(jié)到本冊教材結束。掌握平方

根與立方根、實數、平面坐標系、一次函數、勾股定理、四邊形性質等知識并形成相應數學技能。

在情感與價值觀上認識圖形中的數量關系，培養(yǎng)學生的實事求是認真嚴肅的學習態(tài)度，在民主和諧

合作的學習過程中養(yǎng)成獨立探究勤與思考大膽創(chuàng)新，發(fā)展學生的非智力因素提高學生的數學素質與

素養(yǎng)。

具體教學目標如下：

1.正確理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本運算，并能熟練地進行二次根式的化簡。

2.掌握二次根式加、減、乘、除的運算法則，能夠進行二次根式的運算。掌握二次根式的化簡,

進一步提高學生的運算能力。

3.理解四邊形及有關概念，掌握幾種特殊四邊形的性質定理及判定。

4.理解相似一次函數的概念，掌握一次函數的圖像和表達式，學會用一次函數解決一些實際問

題。

四、教材的重點和難點

重點：勾股定理探索、四邊形性質的探索、實數的概念、一次函數圖象及其應用、二元一次方

程組及其應用.

難點：勾股定理探索、四邊形性質的掌握一次函數圖象及其應用的數形結合技能、二元一次方

程組及其應用能力培養(yǎng)。

五、本學期提高教學質量的主要措施：

1、認真做好教學工作。把認真教學作為提高成績的主要方法，認真研讀新課程標準，鉆研新教材，

根據新課程標準，擴充教材內容，認真上課，批改作業(yè)，認真輔導，認真制作測試試卷，也讓學生

學會認真學習。

2、興趣是最好的老師，愛因斯坦如是說。激發(fā)學生的興趣，給學生介紹數學家，數學史，介紹相應

的數學趣題，給出數學課外思考題，激發(fā)學生的興趣。

3、引導學生積極參加知識的構建，營造民主、和諧、平等、自主、探索、交流、分享發(fā)現(xiàn)快樂的高

效的學習課堂，讓學生體會學習的快樂，享受學習。引導學生寫小論文，寫復習提綱，使知識來源

于學生的創(chuàng)造。

4、引導學生積極歸納解題規(guī)律，引導學生一題多解，多解歸一，培養(yǎng)學生透過現(xiàn)象看本質，提高學

生舉一反三的能力，這是提高學生素質的根本途徑之一，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，讓學生處于一種思

如泉涌的狀態(tài)。

5、運用新課程標準的理念指導教學，積極更新自己腦海中固有的教育理念，不同的教育理念將帶來

不同的教育效果。

6、培養(yǎng)學生良好的學習習慣，陶行知說：教育就是培養(yǎng)習慣，有助于學生穩(wěn)步提高學習成績，發(fā)展

學生的非智力因素，彌補智力上的不足。

7、開展分層教學，布置作業(yè)設置A、B、C三類分層布置分別適合于差、中、好三類學生，課堂上

的提問照顧好好、中、差三類學生，讓每個學生盡可能獲得最大發(fā)展。

六、教學進度安排

教學進度表

起止

周次教材內容及備注節(jié)數備注

時間

1.1探索勾股定理（2）

1.2能得到直角三角形（1）

193-9.95

1.3螞蟻怎樣爬最近（1）

回顧與思考（1）

第一章測試講解（1）

29.10-9.162.1數怎么不夠用了（2）5教師節(jié)

2.2平方根（2）

2.3立方根（1）

2.4公園有多寬（1）

39.17?9.232.5用計算機開方（1）5

2.6實數（1）

2.7回顧與思考（1）

3.1生活中的平移（0.5）

3.2簡單的平移作圖（0.5）

3.3生活中的旋轉（0.5）

49.24?9.303.4簡單的旋轉作圖（0.5）5

3.5它們是怎樣變過來的（0.5）

3.6簡單的圖案設計（0.5）

復習與第三章測試（2）

510.1-10.7國慶節(jié)國慶節(jié)

前三章小復習與題目講解（1）

610.8?10.144.1平形四邊形的性質（2）5

4.2平形四邊形的判別（2）

4.3菱形（1）

4.4矩形、正方形（1）

710.15~10.214.5梯形（1）5

4.6探索多邊形的內角和與外角和（1）

4.7中心對稱圖形（1）

810.22-10.28期中復習5

910.29-11.4期中考試及試題講解5

5.1確定位置（1）

5.2平面直角坐標系（1）

1011.5~11.115

5.3變化的“魚”（2）

回顧與反思（1）

6.1函數（1）

1111.12-11.186.2一次函數的圖象（2）5

6.3一次函數的圖象（2）

6.4確定一次函數表達式（1）

1211.19?11.256.5一次函數圖象的應用（2）5

回顧與思考、復習與測試

7.1誰的包裹多（1）

1311.26~12.27.2解二元一次方程組（2）5

7.3雞兔同籠（2）

7.4增收節(jié)支（2）

1412.3-12.97.5里程碑上的數（1）5

7.6二元一次方程與一次函數（2）

8.1平均數（2）

1512.10?12.168.2中位數與眾數（2）5

8.3利用計數器求平均數（1）

1612.17-12.23總復習15

1712.24-12.30總復習25

1812.31~1.6總復習35

191.7-1.13總復習45

201.14-1.120總復習5及期末考試5

以上計劃從制定之日起執(zhí)行，若有不妥之處，請學校教務處給予指正，并督促執(zhí)行

第一章勾股定理

§1.1探索勾股定理（一）

教學目標：

1、經歷用數格子的辦法探索勾股定理的過程，進一步發(fā)展學生的合情推力意識，主動探究的習慣，

進一步體會數學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系。

2、探索并理解直角三角形的三邊之間的數量關系，進一步發(fā)展學生的說理和簡單的推理的意識及能

力。

重點難點：

重點：了解勾股定理的由來，并能用它來解決一些簡單的問題。

難點：勾股定理的發(fā)現(xiàn)

教學過程

一、創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生的學習熱情，導入課題

出示投影1（章前的圖文pl）教師道白：介紹我國古代在勾股定理研究方面的貢獻，并結合課本

p5談一談，講述我國是最早了解勾股定理的國家之一，介紹商高（三千多年前周期的數學家）在勾股定

理方面的貢獻。

出示投影2（書中的P2圖1—2）并回答：

1、觀察圖1-2,正方形A中有個小方格，即A的面積為個單位。

正方形B中有個小方格，即A的面積為個單位。

正方形C中有個小方格，即A的面積為個單位。

2、你是怎樣得出上面的結果的？在學生交流回答的基礎上教師直接發(fā)問：

3、圖1—2中，A,B,C之間的面積之間有什么關系？

學生交流后形成共識，教師板書，A+B=C,接著提出圖1―1中的A.B,C的關系呢？

二、做一做

出示投影3（書中P3圖1—4）提問：

1、圖1—3中，A,B,C之間有什么關系？

2、圖1—4中，A,B,C之間有什么關系？

3、從圖1一1,1一2,1—3,1|一4中你發(fā)現(xiàn)什么？

學生討論、交流形成共識后，教師總結：

以三角形兩直角邊為邊的正方形的面積和，等于以斜邊的正方形面積。

三、議一議

1、圖1—1、1—2、1—3、1—4中，你能用三角形的邊長表示正方形的面積嗎？

2、你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊長度之間的關系嗎？

在同學的交流基礎上，老師板書：

直角三角形邊的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這就是著名的“勾股定理”

也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c

那么/+〃=/

我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的為股，斜邊為弦，這就是勾股定理的由來。

3、分別以5厘米和12厘米為直角邊做出一個直角三角形，并測量斜邊的長度（學生測量后回

答斜邊長為13）請大家想一想（2）中的規(guī)律，對這個三角形仍然成立嗎？（回答是肯定的:

成立）

四、想一想

這里的29英寸（74厘米）的電視機，指的是屏幕的長嗎？只的是屏幕的款嗎？那他指什么呢？

五、鞏固練習

1、錯例辨析：

△ABC的兩邊為3和4,求第三邊

解：由于三角形的兩邊為3、4

所以它的第三邊的c應滿足C2=32+42=25

即：c=5

辨析：（1）要用勾股定理解題，首先應具備直角三角形這個必不可少的條件，可本題

△ABC并未說明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就沒有依據。

（2）若告訴AABC是直角三角形,第三邊C也不一定是滿足/+〃=/,題目中并為交待C是

斜邊

綜上所述這個題目條件不足，第三邊無法求得。

2,練習P7§1.11

六、作業(yè)

課本P7§1.12、3、4

§1.1探索勾股定理（二）

教學目標：

1.經歷運用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程，在數學活動中發(fā)展學生的探究意識和合作交流

的習慣。

2.掌握勾股定理和他的簡單應用

重點難點：

重點：能熟練運用拼圖的方法證明勾股定理

難點：用面積證勾股定理

教學過程

七、創(chuàng)設問題的情境，激發(fā)學生的學習熱情，導入課題

我們已經通過數格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形三邊的關系，究竟是幾個實例，是否具有普遍的意義,

還需加以論證，下面就是今天所要研究的內容，下邊請大家畫四個全等的直角三角形，并把它剪下

來，用這四個直角三角形，拼一拼、擺一擺，看看能否得到一個含有以斜邊c為邊長的正方形，并與

同學交流。在同學操作的過程中，教師展示投影1（書中p7圖1—7）接著提問：大正方形的面積可

表示為什么？

（同學們回答有這幾種可能：（1）（a2+b2）（2）^ab-4+c2）

在同學交流形成共識之后，教師把這兩種表示大正方形面積的式子用等號連接起來。

a2+b2=-ab-4+c2請同學們對上面的式子進行化簡，得至U：

2

a~4-2clb-4-h~=2ab4-c~即a'+b2=c2

這就可以從理論上說明勾股定理存在。請同學們去用別的拼圖方法說明勾股定理。

八、講例

1.飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛機飛到一個男孩頭頂正上方4000多米處，過20秒，飛

機距離這個男孩頭頂5000米，飛機每時飛行多少千米？

分析：根據題意：可以先畫出符合題意的圖形。如右圖，圖中△ABC的Nc=90。,AC=4000

米，AB=5000米，欲求飛機每小時飛行多少千米，就要知道飛機在20秒的時間里的飛行路程，即

圖中的CB的長，由于直角AABC的斜邊AB=5000米，AC=4000米，這樣的CB就可以通過勾股定理

得出。這里一定要注意單位的換算。

解：由勾股定理得BO?=43?-AC?=5?-4?=9（千米）

即BC=3千米飛機20秒飛行3千米，那么它1小時飛行的距離為：

生卬x3=540（千米/小時）

20

答：飛機每個小時飛行540千米。

九、議一議

展示投影2（書中的圖1—9）

觀察上圖，應用數格子的方法判斷圖中的三角形的三邊長是否滿足/+〃=c,2

同學在議論交流形成共識之后，老師總結。

勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。

十、作業(yè)

1、1、課文P11§1.21、2

2、選用作業(yè)。

§1.2能得到直角三角形嗎

教學目標：

知識與技能

1.掌握直角三角形的判別條件，并能進行簡單應用；

2.進一步發(fā)展數感，增加對勾股數的直觀體驗，培養(yǎng)從實際問題抽象出數學問題的能力，建立數

學模型.

3.會通過邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，并會辨析哪些問題應用哪個結論.

情感態(tài)度與價值觀

敢于面對數學學習中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決問題的成功經驗，進一步體會

數學的應用價值，發(fā)展運用數學的信心和能力，初步形成積極參與數學活動的意識.

教學重點

運用身邊熟悉的事物，從多種角度發(fā)展數感，會通過邊長判斷一個三角形是否是直角三角形，

并會辨析哪些問題應用哪個結論.

教學難點

會辨析哪些問題應用哪個結論.

課前準備

標有單位長度的細繩、三角板、量角器、題篇

教學過程：

復習引入：

請學生復述勾股定理；使用勾股定理的前提條件是什么？

已知AABC的兩邊AB=5,AC=12,貝ijBC=13對嗎？

創(chuàng)設問題情景：由課前準備好的一組學生以小品的形式演示教材第9頁古埃及造直角的方法.

這樣做得到的是一個直角三角形嗎？

提出課題：能得到直角三角形嗎

講授新課：

L如何來判斷？（用直角三角板檢驗）

這個三角形的三邊分別是多少？(一份視為1)它們之間存在著怎樣的關系？

就是說，如果三角形的三邊為a,b,c,請猜想在什么條件下，以這三邊組成的三角形是直角

三角形？(當滿足較小兩邊的平方和等于較大邊的平方時)

2.繼續(xù)嘗試：下面的三組數分別是一個三角形的三邊長a,b,c：

5,12,13；6,8,10；8,15,17.

(1)這三組數都滿足a?+b2=c2嗎？

(2)分別以每組數為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？

3.直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個三角形是直角

三角形.

滿足a?+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.

4.例1一個零件的形狀如左圖所示，按規(guī)定這個零件中NA和NDBC都應為直角.工人師

傅量得這個零件各邊尺寸如右圖所示，這個零件符合要求嗎？

隨堂練習：

1.下列幾組數能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由.

(1)9,12,15：(2)15,36,39：

(3)12,35,36；(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為_____三角形，是最大角.

3.四邊形ABCD中已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13,且NABC=90°,求這個四邊形的面積.

4.習題1.3

課堂小結：

1.直角三角形判定定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c?,那么這個三角形是直角

三角形.

2.滿足a?+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.勾股數擴大相同倍數后，仍為勾股數.

1.3.螞蟻怎樣走最近

教學目標

教學知識點：能運用勾股定理及直角三角形的判別條件(即勾股定理的逆定理)解決簡單的實際問題.

能力訓練要求：1.學會觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養(yǎng)學生的空間觀念.

2.在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想.

情感與價值觀要求：1.通過有趣的問題提高學習數學的興趣.

2.在解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性，體現(xiàn)人人都學有用的數學.

教學重點難點：

重點：探索、發(fā)現(xiàn)給定事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題.

難點：利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題.

教學過程

1、創(chuàng)設問題情境，引入新課：

前幾節(jié)課我們學習了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？

例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，至少需多長的梯子？

根據題意，(如圖)AC是建筑物，則AC=12米，BC=5米，AB是梯子的長度.所以在RtAABC中,

AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米.

3

所以至少需13米長的梯子.

2、講授新課：①、螞蟻怎么走最近

出示問題：有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓行柱的底面A點有一只螞

蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(。的值取3).

(1)同學們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條路線，你覺得哪條路

線最短呢？(小組討論)

(2)如圖，將圓柱側面剪開展開成一個長方形，從A點到B點的最短路線是什么?你畫對了嗎?

(3)螞蟻從A點出發(fā)，想吃到B點上的食物，它沿圓柱側面爬行的最短路程是多少？(學生分

組討論，公布結果)

我們知道，圓柱的側面展開圖是一長方形.好了，現(xiàn)在咱們就用剪刀沿母線AA'將圓柱的側面展開(如

下圖).

我們不難發(fā)現(xiàn)，剛才幾位同學的走法：

(1)A-A,-B：(2)A-B‘-B；

(3)A-D—B；(4)A--*B.

哪條路線是最短呢？你畫對了嗎？

第(4)條路線最短.因為“兩點之間的連線中線段最短”.

②、做一做：教材14頁。李叔叔隨身只帶卷尺檢測AD,BC是否與底邊AB垂直，也就是要檢測Z

DAB-900,NCBA=90°.連結BD或AC,也就是要檢測4DAB和4CBA是否為直角三角形.很顯

然，這是一個需用勾股定理的逆定理來解決的實際問題.

③、隨堂練習

出示投影片

1.甲、乙兩位探險者，到沙漠進行探險.某日早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時的速度向東

行走.1時后乙出發(fā)，他以5千米/時的速度向北行進.上午10：00,甲、乙兩人相距多遠？

2.如圖，有一個高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一小孔，從孔中插入

一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問這根鐵棒應有多長？

1.分析：首先我們需要根據題意將實際問題轉化成數學模型.

解：（如圖）根據題意，可知A是甲、乙的出發(fā)點，10：00時甲到達B點，則AB=2X6=12（千米）：乙

到達C點，則AC=1X5=5（千米）.

在R￡ABC中,BC2=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、乙兩人相距13千米.

2.分析：從題意可知，沒有告訴鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長是一個取值范圍而不是固定的

長度，所以鐵棒最長時，是插入至底部的A點處，鐵棒最短時是垂直于底面時.

解：設伸入油桶中的長度為x米，則應求最長時和最短時的值.

（l）x2=l.52+22,X2=6.25,X=2.5

所以最長是2.5+0.5=3（米）.

（2）x=1.5,最短是1.5+0.5=2（米）.

答：這根鐵棒的長應在2~3米之間（包含2米、3米）.

3.試一試（課本P15）

在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水

面是一個邊長為10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦

垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面.請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各為多少？

我們可以將這個實際問題轉化成數學模型.

解：如圖，設水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，由勾股定理可求得

（X+1）2=X2+52,X2+2X+1=X2+25

解得x=12

則水池的深度為12尺，蘆葦長13尺.

④、課時小結

這節(jié)課我們利用勾股定理和它的逆定理解決了生活中的幾個實際問題.我們從中可以發(fā)現(xiàn)用數學知識

解決這些實際問題，更為重要的是將它們轉化成數學模型.

⑤、課后作業(yè)

課本P25、習題1.52

第二章實數

§2.1數怎么又不夠用了（一）

教學目標

（一）知識目標：

1.通過拼圖活動，讓學生感受無理數產生的實際背景和引入的必要性.

2.能判斷給出的數是否為有理數；并能說出現(xiàn)由.

（二）能力訓練目標：

1.讓學生親自動手做拼圖活動，感受無理數存在的必要性和合理性，培養(yǎng)大家的動手能力和合作

精神.

2.通過回顧有理數的有關知識，能正確地進行推理和判斷，識別某些數是否為有理數，訓練他們

的思維判斷能力.

（三）情感與價值觀目標：

1.激勵學生積極參與教學活動，提高大家學習數學的熱情.

2.引導學生充分進行交流，討論與探索等教學活動，培養(yǎng)他們的合作與鉆研精神.

3.了解有關無理數發(fā)現(xiàn)的知識，鼓勵學生大膽質疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的精神.

教學重點

1.讓學生經歷無理數發(fā)現(xiàn)的過程.感知生活中確實存在著不同于有理數的數.

2.會判斷一個數是否為有理數.

教學難點

1.把兩個邊長為1的正方形拼成一個大正方形的動手操作過程.

2.判斷一個數是否為有理數.

教學方法

教師引導，主要由學生分組討論得出結果.

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］同學們，我們學過不計其數的數，概括起來我們都學過哪些數呢？

［生］在小學我們學過自然數、小數、分數.

［生］在初一我們還學過負數.

［師］對，我們在小學學了非負數，在初一發(fā)現(xiàn)數不夠用了，引入了負數，即把從小學學過的

正數、零擴充到有理數范圍，有理數包括整數和分數，那么有理數范圍是否就能滿足我們實際生活

的需要呢？下面我們就來共同研究這個問題.

二、講授新課

1.問題的提出

［師］請大家四個人為一組，拿出自己準備好的兩個邊長為1的正方形和剪刀，認真討論之后，

動手剪一剪，拼一拼，設法得到一個大的正方形，好嗎？

［生］好.（學生非常高興地投入活動中）.

［師］經過大家的共同努力，每個小組都完成了任務，請各組把拼的圖展示一下.

同學們非常踴躍地呈現(xiàn)自己的作品給老師.

［師］現(xiàn)在我們一齊把大家的做法總結一下：

下面請大家思考一個問題，假設拼成大正方形的邊長為。，則4應滿足什么條件呢？

［生甲］。是正方形的邊長，所以“肯定是正數.

［生乙］因為兩個小正方形面積之和等于大正方形面積，所以根據正方形面積公式可知層=2.

［生丙］由。2=2可判斷a應是1點幾.

［師］大家說得都有道理，前面我們已經總結了有理數包括整數和分數，那么。是整數嗎？。是

分數嗎？請大家分組討論后回答.

［生甲］我們組的結論是：因為/口，22=4,32=9,…整數的平方越來越大，所以。應在1和2

之間，故。不可能是整數.

［生乙］因為LxL=L,2x2=9,_Lx!=’，…兩個相同因數的乘積都為分數，所以a不可

224339339

能是分數.

［師］經過大家的討論可知，在等式“2=2中，a既不是整數，也不是分數，所以a不是有理數,

但在現(xiàn)實生活中確實存在像“這樣的數，由此看來，數又不夠用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

(1)在下圖中，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？

(2)設該正方形的邊長為b,則b應滿足什么條件？b是有理數嗎？

［師］請大家先回憶一下勾股定理的內容.

［生］在直角三角形中，若兩條直角邊長為a,b,斜邊為c,則有/+/=上

［師］在這題中，兩條直角邊分別為1和2,斜邊為"根據勾股定理得序=12+22,即/=5,則

。是有理數嗎？請舉手回答.

［生甲］因為22-4,32=9,4<5<9,所以b不可能是整數.

［生乙］沒有兩個相同的分數相乘得5,故匕不可能是分數.

［生丙］因為沒有一個整數或分數的平方為5,所以5不是有理數.

［師］大家分析得很準確，像上面討論的數a,b都不是有理數，而是另一類數一一無理數.關于

無理數的發(fā)現(xiàn)是付出了昂貴的代價的.早在公元前，古希臘數學家畢達哥拉斯認為萬物皆“數”，即“宇

宙間的一切現(xiàn)象都能歸結為整數或整數之比”，也就是一切現(xiàn)象都可用有理數去描述.后來，這個學派

中的一個叫希伯索斯的成員發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形的對角線的長不能用整數或整數之比來表示，這

個發(fā)現(xiàn)動搖了畢達哥拉斯學派的信條，據說為此希伯索斯被投進了大海，他為真理而獻出了寶貴的

生命，但真理是不可戰(zhàn)勝的，后來古希臘人終于正視了希伯索斯的發(fā)現(xiàn).也就是我們前面談過的〃=2

中的a不是有理數.

我們現(xiàn)在所學的知識都是前人給我們總結出來的，我們一方面應積極地學習這些經驗，另一方

面我們也不能死搬教條，要大膽質疑，如不這樣科學就會永遠停留在某處而不前進，要向古希臘的

希伯索斯學習，學習他為捍衛(wèi)真理而勇于獻身的精神.

三、課堂練習

（一）課本P35隨堂練習

如圖，正三角形ABC的邊長為2,高為h,/?可能是整數嗎？可能是分數嗎？

解：由正三角形的性質可知8。=1,在中，由勾股定理得后=3力不可能是整數，也不

可能是分數.

（二）補充練習

為了加固一個高2米、寬1米的大門，需要在對角線位置加固一條木板，設木板長為“米，

則由勾股定理得標=12+22,即〃=5,。的值大約是多少？這個值可能是分數嗎？

解：a的值大約是2.2,這個值不可能是分數.

四、課堂小結

1.通過拼圖活動，經歷無理數產生的實際背景，讓學生感受有理數又不夠用了.

2.能判斷一個數是否為有理數.

五、課后作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.1數怎么又不夠用了（二）

教學目標

（-）知識目標：

1.借助計算器探索無理數是無限不循環(huán)小數，并從中體會無限逼近的思想.

2.會判斷一個數是有理數還是無理數.

（二）能力訓練目標：

1.借助計算器進行估算，培養(yǎng)學生的估算能力，發(fā)展學生的抽象概括能力，并在活動中進一步發(fā)

展學生獨立思考、合作交流的意識和能力.

2.探索無理數的定義，以及無理數與有理數的區(qū)別，并能辨別出一個數是無理數還是有理數，訓

練大家的思維判斷能力.

（三）情感與價值觀目標：

1.讓學生理解估算的意義，掌握估算的方法，發(fā)展學生的數感和估算能力.

2.充分調動學生的積極性，培養(yǎng)他們的合作精神，提高他們的辨識能力.

教學重點

1.無理數概念的探索過程.

2.用計算器進行無理數的估算.

3.了解無理數與有理數的區(qū)別，并能正確地進行判斷.

教學難點

1.無理數概念的建立及估算.

2.用所學定義正確判斷所給數的屬性.

教學方法

老師指導學生探索法

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境，引入新課

［師］同學們，我們在上節(jié)課了解到有理數又不夠用了，并且我們還發(fā)現(xiàn)了一些數，如合=2,/=5

中的m人既不是整數，也不是分數，那么它們究竟是什么數呢？本節(jié)課我們就來揭示它的真面目.

二、講授新課

1.導入：［師］請看圖

大家判斷一下3個正方形的邊長之間有怎樣的大小關系？說說你的理由.

［生］因為3個正方形的面積分別為1,2,4,而面積又等于邊長的平方，所以面積大的正方形

邊長就大.

［師］大家能不能判斷一下面積為2的正方形的邊長a的大致范圍呢？

［生］因為片大于1且“2小于%所以。大致為1點幾.

［師］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示為l<a<2.那么a究竟是1點兒呢？請大家用計

算器進行探索，首先確定十分位，十分位究竟是幾呢？如1.注=1.21,1.22=1.44,1.32=1.69,1.42=1.96,

1.52=2.25,而，=2,故a應比1.4大且比1.5小，可以寫成所以“是1點4兒，即十分

位上是4,請大家用同樣的方法確定百分位、千分位上的數字.

［生］因為1.412=1.9為1,1.422=2.0164,所以a應比1.41大且比1.42小,所以百分位上數字為

1.

［生］因為1.4112=1.990921,1.4122=1.993744,1.4132=1.996569，1.4142=1.999396,

1.4152=2.002225,所以a應比1.414大而比1.415小,即千分位上的數字為4.

［生］因為1.41422=1.99996164,1.41432=2.00024449,所以a應比1.4142大且比1.4143小，即

萬分位上的數字為2.

［師］大家非常聰明，請一位同學把自己的探索過程整理一下，用表格的形式反映出來.

［生］我的探索過程如下.

邊長〃面積s

l<a<21<S<4

1.4<a<1.51.96<5<2,25

1.41<a<1.421.9881<S<2,0164

1.414<a<1.4151.999396VSV2.002225

1.4142VaV1.41431.99996164<5<2.00024449

［師］還可以繼續(xù)下去嗎？

［生］可以.

［師］請大家繼續(xù)探索，并判斷。是有限小數嗎？

［生］a=1.41421356…，還可以再繼續(xù)進行，且。是一個無限不循環(huán)小數.

［師］請大家用上面的方法估計面積為5的正方形的邊長b的值.邊長b會不會算到某一位時,

它的平方恰好等于5?請大家分組合作后回答.（約4分鐘）

［生］8=2.236067978…，還可以再繼續(xù)進行，戲也是一個無限不循環(huán)小數.

［生］邊長b不會算到某一位時，它的平方恰好等于5,但我不知道為什么.

［師］好.這位同學很坦誠，不會就要大膽地提出來，而不要冒充會，這樣才能把知識學扎實，

學透，大家應該向這位同學學習.這個問題我來回答.如果匕算到某一位時，它的平方恰好等于5,即

b是一個有限小數，那么它的平方一定是一個有限小數，而不可能是5,所以〃不可能是有限小數.

2.無理數的定義

請大家把下列各數表示成小數.

3,,并看它們是有限小數還是無限小數，是循環(huán)小數還是不循環(huán)小數.大家可以每

594511

個小組計算一個數，這樣可以節(jié)省時間.

45?

［生］3=3.0,—=0.8,—=0.5,

59

8?2??

—=0.17,—=1.818

4511

［生］3,4是有限小數，2,2是無限循環(huán)小數.

594511

［師］上面這些數都是有理數，所以有理數總可以用有限小數或無限循環(huán)小數表示.反過來，任

何有限小數或無限循環(huán)小數都是有理數.

像上面研究過的。2=2力2=5中的“，b是無限不循環(huán)小數.

無限不循環(huán)小數叫無理數(irrationalnumber).

除上面的a,b外，圓周率"=3.14159265…也是一個無限不循環(huán)小數，0.5858858885…(相鄰兩個

5之間8的個數逐次加1)也是一個無限不循環(huán)小數，它們都是無理數.

3.有理數與無理數的主要區(qū)別

(1)無理數是無限不循環(huán)小數，有理數是有限小數或無限循環(huán)小數.

(2)任何一個有理數都可以化為分數的形式，而無理數則不能.

4.例題講解

下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？

4??

3.14,0.57,0.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數逐次加1).

3

4,?

解：有理數有3.14,一一，0.57.無理數有0.1010010001….

3

三、課堂練習

(一)隨堂練習

下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？

?1

0.4583,3.7,—"，18.

7

?1

解：有理數有0.4583,3.7,18.無理數有一”.

7

(二)補充練習

投影片(§2.1.2A)

判斷題

(1)有理數與無理數的差都是有理數.

(2)無限小數都是無理數.

(3)無理數都是無限小數.

(4)兩個無理數的和不一定是無理數.

解：⑴錯.例〃一1是無理數.

(2)錯.例L,是有理數.

(3)對.因為無理數就是無限不循環(huán)小數，所以是無限小數.

(4)對.因為兩個符號相反的無理數之和是有理數.例“一〃=().

投影片(§2.1.2B)

下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？

2,,

0.351,--,4.96,3.14159,—5.2323332…，123456789101112…(由相繼的正整數組成).

3

2??

解：有理數有0.351,一—,4.96,3.14159,

3

無理數有一5.2323332…，123456789101112-.

投影片（§2.1.2C）

［生］有理數集合填0,—,-3.

11

3

無理數集合填一萬，一一萬，0.323323332-.

2

四、課時小結

本節(jié)課我們學習了以下內容.

1.用計算器進行無理數的估算.

2.無理數的定義.

3.判斷一個數是無理數或有理數.

五、課后作業(yè)：見作業(yè)本。

§2.2平方根(1)

教學目標：

1、了解算術平方根的概念，會用根號表示一個數的算術平方根。

2、會求一個正數的算術平方根。

3、了解算術平方根的性質。

教學重點：算術平方根的概念、性質，會用根號表示一個正數的算術平方根。

教學難點：算術平方根的概念、性質。

教學過程：

一、問題引入

1.教師活動：回顧上節(jié)課的拼圖活動及探索無理數的過程，提出問題：面積為13的正方形的邊

長究竟是多少？

學生活動：

(1)完成課本P32的填空：

a2=b2=____,

c2=d2=e?=______,f2=

（2）a,b,c,d,e,f中哪些是有理數，哪些是無理數？你能表示它們嗎？

2.師生互動

集體交流后，說明無理數也需要一種表示方法。

二、講授新課：

算術平方根的概念：一般地，如果一個正數x的平方等于即，=a,那么，這個正數x就叫做a

的算術平方根。記為：“、萬”讀做根號特別地，。的算術平方根是0。

那么〃=2,則”=后b、3,則b=6；……

這樣的話，一個非負數的算術平方根就可以表示為近。

例1分別寫出下列各數的算術平方根

（要求一個數的算術平方根，一般的方法是先按平方的概念來找哪個數的平方等于這個數。）

例2自由下落物體的高度h（米）與下落時間t（秒）的關系為h=4.9t2.有一鐵球從19.6米高的建筑

物上自由下落，到達地面需要多長時間？

學生活動：一個同學在黑板上板演，其他同學在練習本上做，然后交流。

師生互動：完成引例中的/=13,則x=屈，以后我們可以利用計算器求出這個數的近似

值。

三、隨堂練習：P391

四、小結：

（1）內容總結：

①算術平方根的定義、表示；

②&的雙重非負性。

（2）方法歸納：

轉化的數學方法：即將陌生的問題轉化為熟悉的問題解決。

五、作業(yè)：

P40習題2.312

§2.2平方根（二）

教學目標：

1、了解平方根的概念，會用根號表示一個數的平方根。

2、會求一個正數的平方根。

3、了解平方根和算術平方根的性質。

4、了解乘方和開方是互逆運算，會利用這個互逆運算求某些非負數的算術平方根和平方根。

教學重點：了解平方根和開平方的概念、性質，會用根號表示一個正數的算術平方根和平方根。

教學難點：平方根和算術平方根的區(qū)別。負數沒有平方根，即負數不能進行開平方運算。

教學過程：

一、復習提問

1、算術平方根的概念，任何一個有理數都有算術平方根嗎？算術平方根有什么性質。

2、9的算術平方根是,3的平方是,

還有其他的數的平方是9嗎？

二、講授新課：

1.想一想

4

平方等于一的數有幾個？平方等于0.64的數呢？

25

學生活動：學生思考，然后交流，得出平方根的定義。

2.教師活動：

一般地，如果一個數x的平方等于即/=。，那么，這個數x就叫做。的平方根。也叫做

二次方根。

3和一3的平方都是9,即9的平方根有兩個3和一3；9的算術平方根只有一個，是3。

3.學生活動：

求出下列各數的平方根。

4

16,0,—,—25,

9

三、議一議：

(1)一個正數的有幾個平方根？

(2)0有幾個平方根？

(3)負數呢？

★教師活動：

一個正數有兩個平方根，0只有一個平方根，它是0本身；負數沒有平方根。

☆學生活動：

正數的兩個平方根有什么關系嗎？

討論，交流得出：

一個正數。有兩個平方根，一個是。的算術平方根，“&”，另一個是“-后”，它們互為相反數。

這兩個平方根合起來，可以記做“±JZ”，讀作“正、負根號

開平方：求一個數。的平方根的運算，叫做開平方。其中。叫做被開方數。(已知指數和塞，求

底數的運算是開方運算)

★教師活動

開平方和平方互為逆運算，我們可以利用平方運算來求平方根。

四、例題精析：

例1求下列各數的平方根：

49

(1)64,(2)——，(3)0.0004,

121

(4)(-25)；⑸]]

注意書寫格式。

五、隨堂練習：P361、2

例2若/+4G?=41\求X；

★教師活動：

通過例2,要學生進一步明白平方根與算術平方根在應用上的區(qū)別。

六、想一想

師生互動，討論交流得出：(JZ)2=a(。20)

七、小結：

1.平方根的定義、表示方法、求法、性質。平方根和算術平方根的區(qū)別和聯(lián)系。

2.使學生學到由特殊到一般的歸納法。

八、作業(yè)：

P36習題2.4和試一試P533

§2.3立方根

教學目標

1.使學生了解一個數的立方根概念，并會用根號表示一個數的立方根；

2.理解開立方的概念；

3.明確立方根個數的性質，分清一個數的立方根與平方根的區(qū)別.

教學重點和難點

重點：立方根的概念及求法.

難點：立方根與平方根的區(qū)別.

教學過程設計

一、復習：請同學回答下列問題：

(1)什么叫一個數a的平方根?如何用符號表示數a(20)的平方根？

(2)正數有幾個平方根?它們之間的關系是什么？負數有沒有平方根?0平方根是什么？

(3)當a20時，式子a,—a,±a,的意義各是什么？

答：(1)如果一個數x的平方等于a,即x2=a,那么x叫做a的平方根，表示為x=±a.

(2)正數有兩個平方根，它們互為相反數，負數沒有平方根，0的平方根是0.

(3)a20,a表示a的算術平方根，一a表示a的負平方根，±a表示a的平方根.

二、引入新課

1.計算下列各題：

(1)0.13；(2)UR(3)03.

答：⑴0.13=0.001；(2)(-23)3=-827；(3)03=0.

指出：上面各題是己知底數和乘方指數求三次基的運算，也叫乘方運算.

怎樣求下列括號內的數?各題中已知什么?求什么？

f1wQ=IQ.(o\(\——9719R?)q二n

答：已知乘方足數和3次累，求底數，也薪是“已知某數的立方，求某數”.

設某數為x,則(1)式為=18,求X；⑵式為/=-27125,求x；(3)式為x3=0求X。

2.立方根的概念.

一般地，如果一個數的立方等于a,這個數就叫做a的立方根(也叫做三次方根).

用式子表示，就是，如果/=a,那么x叫做a的立方根.數a的立方根用符號“標”表示，讀

作“三次根號a,其中a是被開方數，3是根指數.(注意：根指數3不能省略).

3.開立方.

求一個數的立方根的運算，叫做開立方.開立方與立方也是互為逆運算，因此求一個數的立方根

可以通過立方運算來求.

三、講解例題：

例1求下列各數的立方根：

(1)8；(2)-8；(3)0.125；(4)-27125；(5)0.

分析：求一個數的立方根，我們可以通過立方運算來求.

解(1)因為23=8,所以8的立方根是2,即我=2.

問：除2以外，還有什么數的立方等于8?也就是說，正數8還有別的立方根嗎？

答：除2以外，沒有其它的數的立方等于8,也就是說，正數8的立方根只有一個.

(2)因為(—2了=8,所以一8的立方根是一2即"=一2

問：除一2以外，還有什么數的立方等于8?,也就是說，負數一8還有別的立方根嗎？

答：除一2以外，沒有其他的數的立方等于一8,也就是說，一8的立方根只有1個.

(3)因為0.53=0.125,所以0.125的立方根是0.5,即-0.125=0.5.

327I~27-3

(4)因為(一三)3二一不工，所以一27125的立方根是一35,即，一不彳二一

⑸因為。3=0,所以0的立方根是0,BPVO=O.

問：一個正數有幾個立方根?一個負數有幾個立方根?零的立方根是什么？

答：正數有一個正的立方根；負數有一個負的立方根；零的立方根仍舊是零.

指出：立方根的個數的性質可以概括為立方根的唯一性，即一個數的立方根是唯一的.

例2求下列各式的值：

(1)V27；(2)；⑶

解(1)327=3；(2)切耳=—4；

四、隨堂練習

1.判斷題：

(1)4的平方根是2；()(2)8的立方根是2；()

(3)—0.064的立方根是一0.4；()(4)127的立方根是±13()

(5)一上的平方根是土4；()；

⑹一12是