北師大版九年級下冊數(shù)學(xué)全冊課時練習(xí)

L1銳角三角函數(shù)

一、選擇題

1.在aABC中，NC=90°,BC=2,AB=3,則下列結(jié)論正確的是（）

A..sinA=—B.cosA=-

33

C.sinA=-.D.tanA=—

32

2.如圖1—21所示的是一水庫大壩橫截面的一部分，壩高力=6m,

迎水坡18=10m,斜坡的坡角為a,則tana的值為（）

A.-B.-C.-D.-

5534

3.如圖1-22所示，在矩形力驅(qū)中，力。于E,設(shè)/ADE=a,且

cosa=|,AB=4,則力〃的長為)

A.3B.—

3

C型D.16

35

圖1-22

二、填空題

4.如圖1—23所示，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離

米，cosZB.AC=-f則梯子AB的長度為米.

4

5.若d是銳角，且sin2m'cos?48°=1,則4.

6.如圖1一24所示，在RtZVI"中，ZC=90c°,48=3,BC=1,求

N/的三角函數(shù)值.

BB

圖1-24圖1-25

三、計算與解答題

7.如圖1一25所示，在口△〃》中，ZACB=90°,切為48邊上的

高，加=3,AD=—,求sin4cosA,tan4的值.

3

8.如圖1-26所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，。為原點，點4的坐標(biāo)為

(10,0),點,B在第一象限內(nèi)，B0=5,sin/加=|.

(1)求點8的坐標(biāo);

⑵求cosN物。的值.

9.請你畫出一個以BC為底邊的等腰三角形ABC,使底邊上的高

BC

(1)求tanZABCsinN/BC的值;

(2)在你所畫的等腰三角形ABC中，假設(shè)底邊BC=5米，求腰上

的高BE.

參考答案

1.C［提示：sinA=更.］"

ABB

2.D［提示：過力點作垂線交底部于。點，則△力⑶為直角三24"、

角形，/.BC=^AB2-AC2=V102-62=8(m),/.tana=-=

8圖1-28

故選〃］

4

3.B［提示：/ADE和/EDC互余,Jcosa=sinN顧6三|,sin/EDC

=-=—=由勾股定理，得DE=3.在RtAAED中，cos

DC4555

16

'=著會”加甘?故選日】

4.4［提示：在RtZ\M中，/。=3米，COSZBAC=-=-所以4?

AB49

=4。米，即梯子的長度為4米.]

5.48°［提示：Vsin2a+cos2a=l,/.a=48°.］

6.提示:sinA=-,cosA=^^9tanA=—.

334

7.解：VZJC?=90o,CDLAB,：./\ACD^/\CBD,：?CI^=AD*DB=

16,=4,：.AO>JAD2^CD2=—.AsinA==—=-cosA

3AC59AC5

tanA=^-=-.

AD4

8.解：（1）如圖1—27所示，作BH上（M,垂足為〃在Rt△嬲中，

?：B0=3,sin/加=|,:.B43,?,?加=4,???點8的坐標(biāo)為（4,

3）.（2）V614=10,0H=4,:.AH=6,在中，,:Blk3,：.

AB=>JBH2+AH2=732+62=3>/5,/.cosZBA0=—=~^==—.

AB3后5

9.解：（1）根據(jù)題意畫出圖形，如圖1-28所示，??,四=4C,ADLBQ

AD=BC,：.BD=-RC=-AD,BPAD=2BD,：.AB=^BD2+AD2=75BD,

22

AtanZABC=—=2,sinZABC=—⑵作BEL4C于E,SRtA

BDAB5

BEC中，sinOsin/ABC二述..又〈sinC=殷，，氈=延.故BE=2石

5BC55

（米）.

1.230°,45°,60°角的三角函數(shù)值

一.選擇題:

1.在△ABC中，都是銳角，且sinA=-,cosB=—,則△ABC三個

22

角的大小關(guān)系是O

A.ZC>ZA>ZBB.ZB>ZC>ZA

C.ZA>ZB>ZCD.ZC>ZB>ZA

2.若0°<<90°,且|sin—1+^cos0-,則tan的值等于()

A.V3B.3C.1D.在

322

3.如圖1—37所示，在△力比中，ZA=30.°tanB=—,4。=2百，貝的

2

長是()

A.3+6B.2+26

9

C.5.D.-

2

4.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°,腰長為a,則其底邊上的高

)

^(。

A.

在

11也

aaaaa或

2B.2-D.2-2

二、選擇題

5.在RtZiACB中，NC=90°,AC=0,AB=2,則

2-

6.若a為銳角，且「sin3=—,Mcos年.

2

7.在Rt4ACB中，若N￡90°,sinJ=—,Z^+c=6,則爐.

2

8.(1)在△ABC中，ZC=90°,sinA=-,則cos5=______

2

(2)已知為銳角，且cos(90°-)=-,則=；

2

(3)若乃tan(a+10。)=1,則銳角=.

三、計算與解答

9.II算(1)sin60°?cos30°——.

2

(2)2COS2300-2sin600?cos450；

(3)2sln300-3tan45°+4cos6.0°；

10.如圖1—38所示,在中，NBCA=90°,勿是斜邊上的高“4ACD

=30°,49=1,求力C,CD,BC,BD,力8的長.

用1-39

11.如圖1—39所示，在相距100米的力，8兩處觀測工廠C,測得N胡C=60°,

N4比―45°,則4夕兩處到工廠C的距離分別是多少？

12.在△力優(yōu)中，a,b,c分別是N4N8,NC的對邊，且。=5』，若關(guān)于x

的方程(56+6)f+2ax+(5^/3-b)=0有兩個相等的實數(shù)根，方程2x-(lOsin

4)x+5sin力=0的兩個實數(shù)根的平方和為6,求的面積.

參考答案

1.D；2°B.

3.4提示：過點C作血力區(qū)垂足為反構(gòu)造兩個直角三角形，再根據(jù)三角函

數(shù)即可求出AE,EB,則AB=AE+EB.1

4.D［提示：考慮等邊三角形和頂角為120°的等腰三角形.]

5.@［提示：???/仁90°,於=百，

AB=2,AcosA=—,：.ZJ=30°,

32

N於90°-30°=60°,A-=30°,/.tan—=tan30°=—.]

223

6.也［提示：,?,8為銳角，?,.sin45°

=cos45°=.]

22

7.2[提示：由sinJ=—,得N4=60°.又,../。=90°,，cosJ=-=-,

2c2

:.c=2b,又,.,b+c=6,/.2P+Z?=6,:.b=2.]

8.(1)-；(2)30°；(3)20°.

2

9.解：原式二旦立」=L1.(1)上叵；(2)0；

22242

10.提示：AC=2fCD=0BC:=20,BD=3,AB=4.

Ji.提示：過。作aa/s于〃然后利用特殊角解直角三角形.求得兒5兩處

到工廠C的距離分別是100(百一1)米，(150a-50O米.

12.解：:方程(5百+。)*+2斯+(56—6)=0有兩個相等的實數(shù)根，且戶

56，???4=(2"—4(0+8)(0—9=0,?,?才十斤。2,則^力第為直角三角形，且

Z6^90°.設(shè)為，房是方程2f—(lOsin4)x+5sinn=0的兩個根，則根據(jù)根

與系數(shù)的關(guān)系有x+x2=5sin力，X】?用=*sin4.??x：+若=(蜀+%)'一2M?也

2

532

=(5sinJ)J—2X—sinJ=6,解得sin4=-或sin/=——(舍去)，.*.a=csinA

255

=3>j3>\/c2—ci~—4y/3tS△ABC=—ab——x3y/3x4,>/3—18.

22

1.3三角函數(shù)的有關(guān)計算

一，選擇題

1.在4ABC中，NC=90°,a=5,c=17“用科學(xué)計算器求NA約等于（）

A.17.6°B.17°61C.17°16'D.17.16°

2.一個直角三角形有兩條邊長分別為3,4,則較小的銳角約為（）

A.37°B.41°C.37°或41。D.以上答案均不對

3.如圖，在AABC中，AC=3fBC=4fA8=5,則tan8的值是（

3434

A.-B.-C.-D.-

4355

4.在即2MBe中，ZC=90,AC=-AB,則cosA等于（）

3

A.竿B.1.C,242D.孝

5.如圖，已知正方形ABC。的邊長為2,如果將線段5。繞著點5旋轉(zhuǎn)

后，點。落在C3的延長線上的點。處，那么tan/34）'等于（）

A.1B.C.—D.272

2

二、填空題

6.計算tan46°g.（精確到0.01）

7.在A4BC中，NC=90'若tanB=2,a=lfMb=.

8.在RfAABC中，BC=3tAC=V3,ZC=W,則ZA=：.

9.在AA3C中，ZC=90,tanA=2,則sinA+cosA=.

10.在mAA3C中，ZC=90,sinA=^,BC=20,則AABC的面積為.

三、解答題

11.在等腰直角三角形ABC中，ZC=W,AC=10,。是AC上一點，若

tanZZ）BC=-,求AO的長.（9分）

5

12.如圖，學(xué)校的保管室里“有一架5米長的梯子斜靠在墻上，此時梯子與地面

所成的角為4S,如果梯子的底端。固定不動，頂端靠在對面墻上“此時梯子與

地面所成的角為60。，求此保管室的寬度AB的長.（10分）

13.如圖1—48所示，一測量員站在岸邊的A處，剛好正對河岸另一邊B處的一

棵大樹，這位測量員沿河岸向右走了50m到達C處，.在C處測得NACB=38°,

求河的寬度.（精確到0.01m,tan38°^0.7813）

圖1?48圖1-49圖1-50

14.如圖1—49所示，兩建筑物的水平距離為24m,從A點測得D點的俯角為

60°,測得C點的仰角為40°,求這兩座建筑物的高.（6和1.732,tan40°

入08391,精確到0.01m）

15.如圖1—50所示，一個能張開54°的圓規(guī)，若兩腳長均為15cm,則該圓規(guī)

所畫的圓中最大的直徑是多少？（sin27°何0.4540,精確到0.01cm）

16.如圖1一51所示的是一輛自行車的側(cè)面示意圖.已知車鴕直徑為65cm,車

架中AC的長為42cm,座桿AE的長為18cm,點E,A,C在同一條直線上，后

軸軸心B與中軸軸心C,所在直線BC與地面平行，NC=73°,求車座E到地面的

距離EF.（結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin73°^0.96,cos73°^0.29,tan

73°^3.27）

圖1-51

參考答案

1.A2.B3.B4.B5.C[提示：設(shè)較小的銳角為a,若3,4為兩條直角邊,

則tan=0.75.若斜邊為4,先求另一直角邊為77則tan]

43

6.1.04[提示：用科學(xué)計算器求.]

7.2

8.60°

9.3根號5/310.

11.AD=8

12.由于兩邊的墻都和地面垂直，所以構(gòu)成了兩個直角三角形...?cos45°二

AOJ2/八_5「BO15

5=2,.*/2；而cos60°=5=2,/.B0=2.

??.AB=A0+B0=2=2?一1J.

13.解：河的寬度AB=ACtanC=50Xtan38°^50X0.7813^39.07(m).

nr

14.解：作AEJ_CD于E,則AE=BD=24m,在Rt^AED中，tan/DAE=",

AE

ADE=AEtan60°鳧24X1.732比41.57(m),???AB=DE%41.57m.在RtZ\AEC中，

CF

tanZCAE=—,ACE=AEtan40°^24X0.8391^20.14(m),，CD=CE+DE心

AE

20.14+41.57=61.71(m),，甲建筑物的高AB約為41.57m,乙建筑物的高CD

約為61.71m.

15.解：作AD_LBC于D,則NBAD=27°,.*.BD=ABsin27°=15Xsin27°

^15X0.4540=6.81(cm),ABC=23D^2X6.81=13.62(cm),工直徑=2BC=2X

13.62=27.24(cm).即該圓規(guī)所畫的圓中最大的直徑約是27.24cm.

DF

16.解：在RtZXEDC中，CE=AE+AC=18+42=60(cm).VsinC=—,/.

CE

DE=CEsinC=60Xsin73°^60X0.96=57.6(cm).XVDF=-X65=32.5(cm),

2

AEF=DE+DF^57.6+32.5^90(cm).，即車座E到地面的距離EF約為90cm.

1.4解直角三角形

知識點1已知兩邊求其他元素

圖1一4一1

1.如圖1一4一1，在R/Z\ABC中，ZC=90°，AC=1，BC=(§，則NB的度數(shù)為0

A-25°B.30°

C-45°D.60°

2?菱形ABCD的對角線AC=6小，BD=6，則菱形的四個角的度數(shù)分別是

3■在/CzAABC中，ZC=90°，/A，NB，NC所對的邊分別為a，b，c，且a=5，

c=5y[2'求這個直角三角形的其他元素.

知識點2已知一邊、一角求其他元素

4-在直角三角形ABC中，己知NC=90°，NA=40°，BC=3，則AC的長為()

A-3s加40°B.3sin5Q°

C-3s“40°D.3s，?50°

5?[2017?撫順模擬]在/?rAABC中，ZC=90°，cosA=^，AC=^§，則BC等于0

A.小B.1C.2D.3

6.如圖1一4一2，在心ZXABC中，ZC=90°，ZB=30°，BC=6，則AB的長為

7?在/?/AABC中，ZC=90°，c=10，ZA=45°，則a=，b=

ZB=°.(a，b，c分別為NA，/B，NC所對的邊)

8?已知R/ZXABC在直角坐標(biāo)系中的位置如圖1一4一3所示，求A，C兩點的坐標(biāo).

圖1一4一3

9?等腰三角形的腰長為2小，底邊長為6，則底角等于()

A?30°B.45°C.60°D.120°

圖1—4—4

10.如圖1一4一4，在AABC中，NC=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC

3

于點D，連接BD，若COS/BDC=5，則BC的長是0

A-4cmB.6cm

C-8cmD.10cm

11?如圖1一4一5，在AABC中，NA=30°，/B=45°，AC=2小，則AB的長為

12?如圖1一4一6，在R/Z\ABC中，NC=90°，/B=30。，AD是NBAC的平分線，

已知AB=4小，則AD=.

13?在/?/AABC中，ZC=90°，NA，NB，NC的對邊分別為a，b，c，a=2巾，

b=2加，小王得到下面四個結(jié)論：?c=4啦；②S〃A=坐；③s%A+cosB=l：④NB=

300.其中正確的結(jié)論是.（只填序號）

14?如圖1一4一7，河流兩岸a，b互相平行，A，B是河岸a上的兩座建筑物，C，D

是河岸b上的兩點，A，B之間的距離為200根.某人在河岸b上的點P處測得NAPC=

75°，NBPD=30°，則河流的寬度為m.

15?如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角

形”.在R/ZXABC中，NC=90°，若/?/AABC是“好玩三角形”，則tanK=.

16?如圖1一4一8，一塊四邊形土地，其中NABD=120°，AB1AC，BDJ_CD，AB=

30小機，CD=50y[3m，求這塊土地的面積.

圖1—4—8

17?如圖1—4一9，ZACB-900*AB-13，AC-12，ZBCM-ZBAC，求$i〃NBAC

和點B到直線MC的距離.

圖1一4一9

18?一副三角板如圖1一4一10放置，點C在FD的延長線上，AB/7CF，ZF=ZACB

=90°，NE=30°>ZA=45°，AC=12正，試求CD的長.

19?如圖1一4一11所示，把一張長方形卡片ABCD放在每格寬度為12mm的橫格紙

中，恰好四個頂點都在橫格線上，已知Na=36°，求長方形卡片的周長.（精確到1仙⑼（參

考數(shù)據(jù)：5/7136°*0.60，cos36°k0.80，s〃36°^0.75）

圖1—4—11

20.如圖1一4一12，在直角坐標(biāo)系中，點A，B分別在x軸、y軸上，點A的坐標(biāo)為

（-1，0），ZABO=30°，線段PQ的端點P從點O出發(fā)，沿△OBA的邊按O-B—A-0

運動一周，同時另一端點Q隨之在x軸的非負半軸上運動.如果PQ=，5，那么當(dāng)點P運動

一周時，點Q運動的總路程為.

參考答案

1.B2.600，120°，60°，120°

/.ZB=90°-NA=45°，

N8=N4?.\b=a=5.

4?D［解析］NB=90°-NA=90°-40°=50°，

又,.,tanB=整，.??AC=BCtan8=3tan50°.故選D.

oC

5-B6.4小7.5啦5也45

/V30。旨'

（8）DC

8?解：如圖所示，過點A作ADJ_8C于點。，

，點C的坐標(biāo)為（4，0）.

在RtAABD中?sin30°=爺,cos30°=翳,而A0=2小，

/.AD=AOsin30°=2正義尹小，

8O=AOcos30。=2小X坐=3，

???點4的坐標(biāo)為（3，?。?

9?A

10?A［解析「??NC=90<>，4C=8cm，■的垂直平分線MN交AC于點。，

???8O=AD，???CO+8O=8cm.

CD3CD3

???cosNBDC=^=g'???jZ而=5'

解得CO-3(cm)，???8￡>—5cm，

???8C=4cm.故選A.

11?3+小［解析］過點C作CD_LA8于點D，

C

AZADC=ZBDC=90°.

???NB=45°，???N8CO=NB=45°，

：.CD=BD.

?/ZA=30°，AC=2小，,CO=V§，

：.BD=CD=y［3.

由勾股定理得AD=、4C2—a)2=3,

?"B=AO+BD=3+小.

12?［解析］在RlZXABC中，sinB=^，AC=ABsinB=4巾X，=2巾.

在n△AC。中，ZD4C=1z^C=1x60°=30°，

cosZDAC=4^，AD=--->\廠=2充=4.

ADcosZD4Ccos30

13解析］由勾股定理易求。=4啦，①正確；匕M=￡=1^=乎，②正確；sinA

+cosB=￡+￡=^^+|^=T+T=l'③正確；tan8=(=|^=小'/.ZB=60°'④錯

誤.

14?100［解析］過點P作PE1AB于點E'

VZAPC=75°，ZBPD=30°，：?NAPB=75：

:NB4P=NA尸。=75°，：./APB=NBAP，

：.AB=PB=200m.

VZABP=30°，,PE=?3=100m.

15.坐或邛［解析］分兩種情況：

⑴如圖①，4。是4c邊上的中線，BD=AC.

設(shè)4O=OC=A，則BD=AC=2k.

在RtZ\8C。中，VZC=90°，

???BC=7BU—CD2=?，

..BC事kS

??laM-而-2k-2：

(2)如圖②，A。是6C邊，的中線，AD-6C.

設(shè)BD=DC=k，則AD=BC=2k.

在RtAACD中，VZC=90°，

：.AC=y]AD1-CD2=y[3k，

?.?4c事kS

??tan8-Bc-2k~2-

???/C48+NB=90°，

?…八122s

?而/。8=言飛=3.

綜上可知，所求值喈或邛.

故答案為由或邛.

cc

圖①圖②

16?

￡，|

叢—%

解：延長C4，DB交于點、P，

■:4ABD=120°?ABVAC，BDVCD，

???N48P=60°，NACD=60°.

在RtACDP中，tan/ACO=^，PD=CD-tanZACD=50巾Un60°=150(m).

DA

在RtAB45中，tanN?84=詬，B4=ABlan/PBA=3O小?lan600=90(m)，

；?S四邊彩土地=S"a>-S^8P=；X50V3X150-1X30^3X90=2400V3(m2).

即這塊土地的面積為2400V3m2.

MEC

17?解：如圖，過點B作8E_LMC，垂足為E，

在RtAABC中，BC=y{AB2-AC2=

4132—122=5，

BC5

sin/84C=而

13-

在RS石C中‘BE=BCsin^BCE=BCs\nZBAC>

525

BE=5XE=F

75

即點B到直線MC的距離是

18?過點B作BM_LF。于點M，

在△ACB中，ZACB=90°，ZA=45°，AC=12小，

：,BC=AC=\2小.

'：AB//CF>

，NBCM=45°，

???8M=BCXsin450=12啦X彳=12，

CM=BM=\2.

在AEFD中，ZF=90°，Z￡=30°，

，NEDF=6b°，

MD==4小，

tan60v

：.CD=CM-MD=\2~4小.

19?解：如圖，過點8作BE_L/于點E，過點。作。P_L/于點F.

???/a+NDA尸=180°—NBAO=180°-90°=90°?ZADF+ZDAF=90°，

AZADF=Za=36°.

根據(jù)題意，得BE—24mm?DF_48mm.

在RtAABE中，sin。=騎，

BE24

麗=40(mm).

在RtAADF中，cosNAD—器，

?MO=co黑。-血=60(mm).

，長方形卡片的周長心2X(40+60)=200(mm).

20?4［解析］在RtAAOB中、?:NA8O=30°，AO=I>：.AB=2，匚P=小.

(1)當(dāng)點P從0―8時?如圖①、圖②所示，點。運動的路程為、「；

(2)當(dāng)點P從3-C時，如圖③所示，這時QCLA5，則NACQ=90°.

CO

VZABO=30°，，NBAO=60°，：.ZOQD=90°-60°=30°，Acos30°=含，

/MG=^Sr-=2，

:.0。=2—1=1.則點Q運動的路程為QO=1;

(3)當(dāng)點P從C-A時。，如圖③所示，點Q運動的路程為QQ=2一蟲.

(4)當(dāng)點P從A-0時，點。運動的路程為AO=L

???點Q運動的總路程為小+1+2—小+1=4.

1.5三角函數(shù)的應(yīng)用

1.如圖,一枚運載火箭從地面。處發(fā)射,當(dāng)火箭到達A點時,從地面C處的雷達站

測得AC的距離是6%,仰角是43,16后，火箭到達5點，此時測得的距離是

6.13k〃，仰角為45.54,這枚火箭從A點到8點的平均速度是多少？(精

確到001&7#s)

2.如圖1—62所示，一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，自A

處經(jīng)半小時到達B處，在A處看見小島C在船的北偏東60°的方向上，在B處

看見小島C在船的北偏東30°的方向上，己知以小島C為中心周圍10海里以內(nèi)

為我軍導(dǎo)彈部隊軍，事演習(xí)的著彈危險區(qū)，則這艘船繼續(xù)向東追趕魚群，是否有進

入危險區(qū)域的可能?

圖1-62

3.某地震救援隊探測出某建筑物廢墟下方點C處有生命跡象，已知廢墟一側(cè)。地面

上兩探測點A,B相距3米:探測線與地面的夾角分別是30和60（如圖），.試確

定生命所在點C的深度.一（結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù)：立“41,6。L73）

、、

B\

4.如圖1—63所示，某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由A處運往

正西方向的B處，經(jīng)16小時到達，到達后立即卸貨，此時接到氣象部門通知，

一臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由A處向北偏西60°的AC方向移動，距臺

風(fēng)中心20.0海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會受到影響：

（DB處是否會受到臺風(fēng)的影響?清說明理由；

（2）為避免卸貨過程受到臺風(fēng)影響，船上人員應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完