北師大版數(shù)學初二年級下冊冊全部

一元一次不等式（組）（一）

一、全章教學內(nèi)容及要求

1、理解不等式的概念和基本性質(zhì)

2、會解一元一次不等式，并能在數(shù)軸上表示不等式的解集

3、會解一元一次不等式組，并能在數(shù)軸上表示不等式組的解集。

二、技能要求

1、會在數(shù)軸上表示不等式的解集。

2、會運用不等式的基本性質(zhì)（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。

3、掌握一元一次不等式組的解法，會運用數(shù)軸確定不等式組的解集。

三、重要的數(shù)學思想：

1、通過一元一次不等式解法的學習，領會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

2、通過在數(shù)軸上表示一元一次不等式的解集與運用數(shù)軸確定一元一次不等式組的解集，進一

步領會數(shù)形結(jié)合的思想。

四、主要數(shù)學能力

1、通過運用不等式基本性質(zhì)對不等式進行變形訓練，培養(yǎng)邏輯思維能力。

2、通過一元一次不等式解法的歸納及一元一次方程解法的類比，培養(yǎng)思維能力。

3、在一元一次不等式，一元一次不等式組解法的技能訓練基礎上，通過觀察、分析、靈活運

用不等式的基本性質(zhì)，尋求合理、簡捷的解法，培養(yǎng)運算能力。

五、類比思想：

把兩個（或兩類）不同的數(shù)學對象進行比較，如果發(fā)現(xiàn)它們在某些方面有相同或類似之處，那

么就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。這種數(shù)學思想通常稱為“類比”，它體現(xiàn)了

“不同事物之間存在內(nèi)部聯(lián)系”的唯物辯證觀點，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理和解題方法的重要手段之一，在

數(shù)學中有著廣泛的運用。

在本章中，類比思想的突出運用有：

1、不等式與等式的性質(zhì)類比。

對于等式（例如a=b）的性質(zhì)，我們比較熟悉。不等式（例如a>b或a<b）與等式雖然是不同

的式子，表達的也是不同的數(shù)量關(guān)系，但它們在形式上顯然有某些相同或類似的地方，于是可推斷

在性質(zhì)上兩者也可能有某些相同或類似之處。這就是“類比”思想的運用之一，它也是我們探索不

等式性質(zhì)的基本途徑。

等式有兩個基本性質(zhì)：

1、等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，等號不變。（即兩邊仍然相等）。

2、等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等于0的數(shù)，等號不變（即兩邊仍然相等）。

按“類比”思想考慮問題，自然會問：不等式是否也具有這樣相類似的性質(zhì)，通過實例的反復

檢驗得到的回答是對的，即有。

不等式的性質(zhì)；1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變

（即原來大的一邊仍然大，原來較小的一邊仍然較?。?。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個

正數(shù)，不等號方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變（即原

來較大的一邊反而較小，原來較小的一邊反而較大）。

例如：-5x>20,兩邊都乘以-5,得，

-3~2-10123

x<-100,(變形根據(jù)是不等式基本性質(zhì)3)。

等式的基本性質(zhì)是等式變形的根據(jù)，與此類似，不等式的基本性質(zhì)是不等式變形的根據(jù)。

2、不等式的解與方程的解的類比

從形式上看，含有未知數(shù)的不等式與方程是類似的。按“類比”思想來考慮問題，同樣可以仿

效方程解的意義來理解不等式的解的意義。

例如：當x=3時，方程x+4=7兩邊的值相等。x=3是方程x+4=7的解。而當x=2時，方程x+4=7

兩邊值不相等，x=2不是方程x+4=7的解。

類似地當x=5不等式x+4>7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一個解。若x=2不等式x+4>7不

成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。

注意：1、不等式與方程的解的意義雖然非常類似，但它們的解的情況卻有重大的區(qū)別。一般

地說，一元方程只有一個或幾個解；而含有未知數(shù)的不等式，一般都有無數(shù)多個解。

例如：x+6=5只有一個解x=-l,在數(shù)軸上表示出來只是一個點，如圖，

而不等式x+6>5則有無數(shù)多個解——大于T的任何一個數(shù)都是它的解。它的解集是x>-l,

在數(shù)軸上表示出來是一個區(qū)間，如圖-----------

??—??

-2-1012

2、符號讀作“大于或等于"或也可以理解為“不小于"；符號讀作“小于或等

于”或可以理解為“不大于”。

例如；在數(shù)軸上表示出下列各式：

(1)x》2(2)x<-2(3)x>l(4)xWT

J—_1-->_1_1_1_>

0123-2-10012-2-10

x22x<-2x〉lxWT

3、不等式解法與方程的解法類比。

從形式上看，一元一次不等式與一元一次方程是類似的。在學習一元一次方程時利用等式的兩

個基本性質(zhì)求得一元一次方程解，按“類比”思想考慮問題自然會推斷出若用不等式的三條基本性

質(zhì)，采用與解一元一次方程相類似的步驟去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。

例如：解下列方程和不等式：

2+x2x-12+x2x-l

2=3+1223+1

解：3(2+x)=2(2x-l)+61、去分母：解：3(2+x)>2(2x-l)+6

6+3x=4x-2+62、去括號：6+3x24x-2+6

3x-4x=-2+6-63、移項：3x-4x2-2+6-6

-x=-24、合并同類項：-x2-2

x=25、系數(shù)化為1：xW2

...x-2是原方程的解xW2是原不等式的解集。

-J-1—?—1-?_1，，)

01230123

注意：解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟雖然完全相同，但是要注意步驟1和5,如

果乘數(shù)或除數(shù)是負數(shù)時，解不等式時要改變不等號的方向。

六、帶有附加條件的不等式：

2

例1,求不等式5(3x+4)-3W7的最大整數(shù)解。

分析：此題是帶有附加條件的不等式，這時應先求不等式的解集，再在解集中，找出滿足附加

條件的解。

2

解：2(3x+4)-3W7

去分母：3x+4-6W14

移項：3xW14-4+6

合并同類項：3x^16

系數(shù)化為1：X<53

，xW5§的最大整數(shù)解為x=5

x-13(x+2)

例2,x取哪些正整數(shù)時，代數(shù)式3-4的值不小于代數(shù)式8的值

x-13(x+2)

解：依題意需求不等式3-428的解集。

解這個不等式：

去分母：24-2(x-l)》3(x+2)

去括號：24-2x+223x+6

移項：-2x-3x26-24-2

合并同類項：-5x2-20

系數(shù)化為1：xW4

二xW4的正整數(shù)為x=l,2,3,4.

x-13(x+2)

答：當x取1,2,3,4時，代數(shù)式3-4的值不小于代數(shù)式8的值。

2

例3,當k取何值時，方程5x-2k=3(x-k)+l的解為負數(shù)。

分析：應先解關(guān)于x的字母系數(shù)方程，即找到x的表達式，再解帶有附加條件的不等式。

2

解：解關(guān)于X的方程：2x-2k=3(x-k)+l

去分母：x-4k=6(x-k)+2

去括號：x-4k=6x-6k+2

移項：x-6x=-6k+2+4k

合并同類項：-5x=2-2k

2-2無2k-2

系數(shù)化為1：X=-5=5.

2無一2

要使x為負數(shù)，即乂=5<0,

V分母>0,；.2k-2<0,:.k<l,

2

當k〈l時，方程5x-2k=3(x-k)+l的解是負數(shù)。

例4,若|3x-6|+(2x-y-m)z=0,求m為何值時y為正數(shù)。

分析：目前我們學習過的兩個非負數(shù)問題，一個是絕對值為非負數(shù)，另一個是完全平方數(shù)是非

負數(shù)。由非負數(shù)的概念可知，兩個非負數(shù)的和等于0,則這兩個非負數(shù)只能為零。由這個性質(zhì)此題

可轉(zhuǎn)化為方程組來解。由此求出y的表達式再解關(guān)于m的不等式。

解：V13x-6|+(2x-y-m)'=0,

|-61=0(3x-6=0

.(2x-y-m)=0.12x-y-m=0

'x=2

解方程組得[y=4-m

要使y為正數(shù)，即4-m>0,m<4.

...當m<4時，y為正數(shù)。

注意：要明確“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超過”、“至多”、“至

少”、“非負數(shù)”、“正數(shù)”、“負數(shù)”、“負整數(shù)”……這些描述不等關(guān)系的語言所對應的不等

號各是什么。求帶有附加條件的不等式時需要先求這個不等式的所有的解，即這個不等式的解集，

然后再從中篩選出符合要求的解。

七、字母系數(shù)的不等式：

例：解關(guān)于x的不等式3(a+1)x+3a22ax+3

分析：由于x是未知數(shù)，所以應把a看作已知數(shù)，又由于a可以是任意有理數(shù)，所以在應用同

解原理時，要區(qū)別情況，進行分類討論。

解：移項，得3(a+l)x-2ax23-3a

合并同類項：(a+3)x23-3a

3-3a

(1)當a+3>0,即a>-3時，x》a+3,

(2)當a+3=0,即a=-3時，0x5:12,不等式無解。

3-3a

(3)當a+3<0,即a<-3時，xWa+3。

注意：在處理字母系數(shù)的不等式時，首先要弄清哪一個字母是未知數(shù)，而把其他字母看作已知

數(shù)，在運用同解原理把未知數(shù)的系數(shù)化為1時，應作合理的分類，逐一討論，例題中只有分為a+3>0,

a+3=0,a+3<0,三種情況進行研究，才有完整地解出不等式，這種處理問題的方法叫做“分類討

論”。

八、有關(guān)大小比較的問題

例1.根據(jù)給定條件，分別求出a的取值范圍。

(1)若a?>a,則a的取值范圍是；

1

(2)若a>￡,則a的取值范圍是—

解：(1)Va2>a,

a2—a>0,BPa(a—1)>0,

<7>0,p<0,

...>0.或［a-1<0.

解得a〉l或a〈O。

答：a的取值范圍是a<?；騛>l。

11df2-1

(2)a>a,a-a>0,即a>0.

-l>0,p2-1<0,

口>?；?/p>

]a|>L

*

a>0.或<0,

解得a>l或一l<a<0.

答：a的取值范圍是一l〈a〈O或a>L

例2.(1)比較下列各組數(shù)的大小，找規(guī)律，提出你的猜想:

11+322+133+2

23ITT；4472；

44+622+588+10

55+?；97+?；1717+10.

從上面的各式發(fā)現(xiàn)：一個正分數(shù)的分子和分母，所得分數(shù)的值比原分數(shù)的值要

bm

猜想：設a>b>0,m>0,則aa+就。

(2)試證明你的猜想：

分析：1.易知：前面的各個空都填.

一個正分數(shù)的分子和分母都加上同一個正數(shù)，所得分數(shù)的值比原分數(shù)的值要大。

bb+mbb+m

2.欲證a〈a+龍，只要證白一。+加〈0.

b（a+m）-a（b+m）

即證a（a+M<o,

m（b-a）

即證"3+狗〈o,

證明：a>b>0,b-a<0,

又丁m>0,m（b_a）<0,

bb+m-（?+第）-??+刑）

,/a—a+m=a（<?+加）

ab+bm-ab-am

_a（a+m）=a（a+那）〈°

bb+m

：.a<a+mo

上面這個不等式有很多有意義的應用。

例如，建筑學規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板

面積的比值應不小于10%,并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。若同時增加相等的窗戶面積

和地板面積，住宅的采光條件變好了。

aa+m

設窗戶面積為a,地板面積為b,若同時增加相等的窗戶面積和地板面積m,由石〈。面可知，

住宅的采光條件變好了。

中考解析

一元一次不等式和一元一次不等式組

不等式和它的基本性質(zhì)

考點掃描：

1.了解不等式的意義。

2.掌握不等式的三條基本性質(zhì)，并會運用這些基本性質(zhì)將不等式變形。

名師精講：

1.不等式的概念：用不等號把兩個代數(shù)式連接起來，表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。

2.不等式的基本性質(zhì)

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變。用式子表

示：如果a>b,那a+c>b+c（或a-c>b-c）

（2）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。用式子表示：如果a>b,

ab

且c>0,那么ac>bc（或c>c）

（3）不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變。用式子表示：如果a>b,

ab

且c〈0,那么ac<bc（或c<c）

3.不等式的基本性質(zhì)是對不等式變形的重要依據(jù)。不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)類似，但等式

的結(jié)論是“仍是等式”，而不等式的結(jié)論則是“不等號方向不變或改變”。在運用性質(zhì)（2）和性

質(zhì)（3）時，要特別注意不等式的兩邊乘以或除以同一個數(shù)，首先認清這個數(shù)的性質(zhì)符號，從而確

定不等號的方向是否改變。

中考典例：

1.（天津市）若a>b,則下列不等式一定成立的是（）

ba

A、^<1B、C、-a>-bD、a-b>0

考點：不等式的性質(zhì)

評析：不等式的性質(zhì)是：不等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)（或整式）不等號不變；不等式

兩邊同時乘以或除以正數(shù)不等號不變；不等式兩邊同時乘以或除以一個負數(shù)，不等號的方向改變。

因此a>b,所以a、b均可為負數(shù)也可為正數(shù)，所以A、B選項都不對，C選項不等號的方向沒改變,

所以也不對，因a>b,（a、b代表的是任意數(shù)）所以根據(jù)不等式的性質(zhì)運用排除法，可知正確選

項為D。

真題專練

1.（北京海淀區(qū)）比較大?。寒攲崝?shù)a<0時，1+a1_（填“<”或“>”）

2.（廣東?。┮阎獙崝?shù)a、b滿足ab>0,a+b<0,則滿足條件的實數(shù)a、b可分別為（寫

出滿足條件的兩個數(shù)即可）。

3.（北京西城區(qū)）如果a>b,那么下列結(jié)論中錯誤的是（）

ab

A、a-3>b_33a>3bC、3>3D、-a>-b

4.（北京海淀區(qū)）若a-b<0,則下列各式中一定正確的是（）

^<0

A、a>bB、ab>0C、bD、-a>-b

5.（天津市）若a>b,且c為實數(shù)則下列各式正確的是（）

A^ac>bcB、ac<bcC>ac'>bc-D、ac'^bc'

6.（荊門市）已知a、b、c是有理數(shù)，且a>b>c,那么下列式子正確的是（）

a>b

A、a+b>b+cB、a-b>b-cC>ab>bcD、cc

答案：

1、<2、-1,-23,D4、1）

5、D（提示:按c>0、c=O^c<0三種情況討論）

6、A（提示：a、b、c是任意有理數(shù)，所以C、D不對，當C是負數(shù)或。時B不對，因a>c故

a+b>b+c）

不等式的解集

考點掃描：

1.了解不等式的解和解集的概念。

2.會在數(shù)軸上表示不等式的解集。

名師精講：

1.不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做這個不等式的解。一般地，一個一元一次不

等式有無數(shù)多個解。

2.不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個

不等式的解集。

“不等式的解”與“不等式的解集”是兩個不同的概念，前者是指能使不等式成立的每一個未

知數(shù)的值，后者是指能使不等式成立的所有未知數(shù)的值的集合。但二者之間也有著密切聯(lián)系，即所

有解組成了解集，解集中包括了每一個解。

求不等式的解集的過程，叫做解不等式。

3.不等式解集的表示方法。

（1）用不等式表示：如5x>10的解集是x>2,它的解集仍是一個不等式，這種表示法簡單明

了，容易知道哪些數(shù)不是原不等式的解。

（2）用數(shù)軸表示：它的優(yōu)點是數(shù)形結(jié)合、直觀形象，尤其是在解較復雜的不等式或解不等式

組時，易于找到正確的答案。在數(shù)軸上表示不等式的解集時，要注意：當解集包括端點時，在端點

處畫實心圓圈，否則，畫空心圓圈。

中考典例：

（龍巖市、寧德市）不等式2x+10>3的解集是。

考點：不等式的解集

評析：不等式的解集是使不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合。該題可用不等式的性質(zhì)兩

7

邊同時減10,然后兩邊再除以2,求得解集為x>2。

真題專練

1.（石家莊市）不等式-6x>4的解集是（）

2222

A、x>3B、x<3C>x>3D、x<3

2.（宜昌市）如果不等式（a-1）x>a-1的解集是x<l,則a的取值范圍是（）

3.（徐州市）不等式5x-4<6x的解集是?

4.（西安市）若代數(shù)式3x+4的值不大于0,則x的取值范圍是（）

4444

A、x<3B、xN號C、xW-3D、x<-3

答案:

1、B；

2、a<1（提示：因為不等號的方向改變了，所以a-lVO,即a〈l）；

3、x>-4；

4、C（提示：3x+4的值不大于0,即得不等式3x+4W0）

課外拓展

解不等式的通法與技巧

同學們在熟練掌握一元一次不等式解法的五個步驟后，可結(jié)合一元一次不等式的特點，采取一

些靈活、簡捷的方法與技巧，能使解題事半功倍。

一、湊整法

l+0,5x

-0.25X-7,5>

例1.解不等式2

分析：根據(jù)不等式性質(zhì)，兩邊同乘以適當?shù)臄?shù)，將小數(shù)轉(zhuǎn)化為整系數(shù)。

解：兩邊同乘以-4,得x+30<-2-x.

，x<-16.

二、化分母為整數(shù)

4x-1.55x-0.8.1.5-x

-----------------------)----------

例2.解不等式050.20.1。

分析：根據(jù)分數(shù)基本性質(zhì)，將兩邊分母化成整數(shù)。

解：原不等式變形，得8x-3-(25x-4)>15-10x.

-7x>14.即x<-2.

三、裂項法

2x-14x+1、4x+1

------------)-------1

例3.解不等式364。

分析：本題若采用去分母法，步驟較多，由除法意義，裂項相合并，過程簡潔。

2121、1,

—X----X-—>X+--1

解：原不等式變形，得33364。

x<l

移項、合并，得4。

四、整體處理法

3x-22-3x.3x-5,

例4.解不等式2340

解：視“3x-2”為一個整體,

3x-23x-23x-23

--------+--------->------------1

變形，得2344,

77

—(3x-2)

移項合并，將124,

x>-L

在線測試

選擇題

1.若a>b則下列不等式一定成立的是()

ab

[A、ac>bc「B、eye「C、a|c|>b|c|「D、a+c>b+c

2.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應點的位置如下圖所示，下列式子中正確的是()

CA、b+c>0CB、a+b<a+c

C、ac>bcD、ab>ac

3.下列各題的解法中，正確的是（）

1A、-x<-5,兩邊都乘以-1,得x>5

CB、-x》-5,兩邊都乘以-1,得x25

CC、-x<-5,兩邊都乘以T,得x<5

「D、-x>-5,兩邊都乘以-1,得x>5

4.在數(shù)軸上表示不等式x2-2的解集正確的是（）

'cA、'CB、'CC、'CD、

5.若代數(shù)式3戶4的值不大于0,則x的取值范圍是（）

4444

CA、A<-3CB、XW-百CC.A<31I）、X》可

6.如果不等式（aT）x>aT的解集是x〈l,那么a的取值范圍是（）

「A、aWlCB、a>lCC、a<lCD、a<0

7.設a、b是已知數(shù)，不等式ax+b〈0（a<0）的解集是（）

「A、x〈a「B、x<-a「C、x〉a「D、x>-a

7+3>5

8.不等式組1-2無>2的解集的情況為（）

「A、解集是*>2,B、解集是KT「C、解集是T<x<2,D、無解

r3x+l>0（1）

9.不等式組l2x（5Q）的整數(shù)解的個數(shù)是（）

「A、1個「B、2個「C、3個「I）、4個

x-5<-2

10.不等式組H-x<4的解集表示在數(shù)軸上應為圖中的（）

IcA、<CB、ICC、<CD、

答案與解析

答案：

解析：

1.評析：根據(jù)不等式性質(zhì)可以排除A、B、C,在D中無論C為任何實數(shù)，總有a+c>b+c成立。

答案：D?

2.評析：由圖可知:a>b>O>c,|c|>|b|,很明顯，A、B都是錯的,對于C也是錯的，因為c〈0,

不等式兩邊乘以同一個負數(shù)，不等號的方向要改變，D正確，因為b>c,a>0,ab>ac.

答案:Do

3.評析：主要考察不等式的性質(zhì)3,在不等號的兩邊同時乘上一個負數(shù)，不等號的方向要改

變。

答案：A。

4.評析：x2-2,方向應向右，且包含x=-2,故選C。

答案：C?

5.答案：B

評析：注意“不小于零”與“大于零”的區(qū)別，由語言敘述寫成不等式并解不等式即可。

6.評析：通過觀原不等式與解集發(fā)現(xiàn)，不等號方向發(fā)生了改變，說明未知數(shù)前的系數(shù)是負數(shù),

即a-K0?

解答：由題意可知a-l〈0,...a<l,故選C。

注意：從不等號方向的改變這一重要線索入手，推斷出未知數(shù)系數(shù)的符號是解含有未知字母系數(shù)

的不等式的一個重要方法。

b

7.評析：移項得ax<-b,然后把系數(shù)化為1。因為a〈0,x>-a

答案：D

8.評析：直接求即可。

答案：D

注：

（1）解每一個不等式時，如果要利用不等式性質(zhì)3,注意不等號改變方向問題；

（2）找不等式的公共解時，借助數(shù)軸更直觀；

9.評析：求（1）（2）中公共部分，且x要為整數(shù)，由（1）得

x>-3,由⑵得x<2],-3<X<22,

因為x為整數(shù)，所以x可以為0或1或2。

答案：C

10.解答：由X-5W-2,得xW3；由3_x<4,得x〉T.

二不等式組解集是T〈xW3.

故選擇Bo

注意：在數(shù)軸上表示時空心圈和實心點應該注意加以區(qū)別：避免出現(xiàn)全部畫成實心圓點，或空

心圓圈。

說明：在不等式作為一種命題點時?，其考察形式在各地中考試題中各具一格。但是此類題目一

般可采用直接法求解，即直接求出正確答案與各選擇支對照，也可采用排除法，即分別用兩個不等

式的解集一一排除不合理的選擇項

一元一次不等式（組）（二）

一、重點難點提示

重點：理解一元一次不等式組的概念及解集的概念。

難點：一元一次不等式組的解集含義的理解及一元一次不等式組的幾個基本類型解集的確定。

二、學習指導：

1、幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。但這“幾個一元一次不

等式”必須含有同一個未知數(shù)，否則就不是一元一次不等式組了。

2、前面學習過的二元一次方程組是由二個一次方程聯(lián)立而成，在解方程組時，兩個方程不是

獨立存在的（代入法和加減法本身就說明了這點）；而一元一次不等式組中幾個不等式卻是獨立的，

而且組成不等式組的不等式的個數(shù)可以是三個或多個。（我們主要學習由兩個一元一次不等式組成

的不等式組）。

3、在不等式組中，幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的一元一次不等

式組的解集。（注意借助于數(shù)軸找公共解）

4、一元一次不等式組的基本類型（以兩個不等式組成的不等式組為例）

類型（設a〉b）不等式組的解集數(shù)軸表示

xax<<2

1.>“（同大型，同大取大）x>a（同

'x<a

小型，同小取?。﹛<b3.I'（一大一小型，小大

xya

之間）b<x<a4.lX<b（比大的大，比小的小空集）

無解

三、一元一次不等式組的解法

'5x-2>3（x+l）.................（1）

413

-x-l<7--x....................（2）

例L解不等式組122,并將解集標在數(shù)軸上

分析：解不等式組的基本思路是求組成這個不等式組的各個不等式的解集的公共部分，在解的

過程中各個不等式彼此之間無關(guān)系，是獨立的，在每一個不等式的解集都求出之后，才從“組”的

角度去求“組”的解集，在此可借助于數(shù)軸用數(shù)形結(jié)合的思想去分析和解決問題。

步驟：

5

解：解不等式⑴得（1）分別解不等式組的

x>5解不等式每_個不等式

（2）求組的解集

⑵得xW41（利（借助數(shù)軸找公共部分）

用數(shù)軸確定不等式組的解集）（3）寫出不等式組解集（4）將解

集標在數(shù)軸上

???//4

-1012534

T

5

原不等式組的解集為5〈XW4

-1012534

T

'4+2x>x+3....(1)

<7+2x23x+6...(2)

例2.解不等式組［4x-1>5x-3....(3)

解：解不等式(1)得x〉T,

“NJ

-1012

解不等式(2)得xWl,圖⑴

解不等式(3)得x〈2,

x>-1

J，?什

X<1-101

*<2?.?在數(shù)軸上表示出各個解為：圖(2)

；.原不等式組解集為T<xWl

注意：借助數(shù)軸找公共解時，應選圖中陰影部分，解集應用小于號連接，由小到大排列，解集

不包括-1而包括1在內(nèi)，找公共解的圖為圖(1),若標出解集應按圖(2)來畫。

'3x7>2x-2…….(1)

例3.解不等式組1R-64-1....(2)

解：解不等式⑴得x〉-l,

解不等式等),V|x|<5,；.-5WxW5,

Jx>-1........⑶

-54x45……(4)

將(3)(4)解在數(shù)軸上表示出來如圖,

原不等式組解集為-1<XW5。

四、一元一次不等式組的應用。

3x-2>4x-5

包工1

例4.求不等式組3的正整數(shù)解。

步驟：

解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3,

1、先求出不等式組的解集。

2x-1

2、在解集中找出它所要求的特殊解,

解不等式3W1得xW2,

正整數(shù)解。

'X<3-1

?―114--------->

X幺20123

原不等式組解集為xW2,...這個不等

式組的正整數(shù)解為x=l或x=2

x+y=幽

例5,m為何整數(shù)時，方程組15*+3丁=13的解是非負數(shù)

\>0

分析：本題綜合性較強，注意審題，理解方程組解為非負數(shù)概念，即先解方程組用m

的代數(shù)式表示x,y,再運用“轉(zhuǎn)化思想”，依據(jù)方程組的解集為非負數(shù)的條件列出不等式組尋求m

的取值范圍，最后切勿忘記確定m的整數(shù)值。

13-3幽

-2-

7+y=加

5m-13

解方程組卜+3歹=13得y

解:

7+y=冽x>0

...方程組卜X+31y=13的解是非負數(shù)，...V>0

'13-3m

>0

-2~

5w-13

>0

即,2

解不等式組I-5此不等式組解集為5WmW3,

又丁!!!為整數(shù)，.??m=3或m=4o

5x-6

例6,解不等式2x+l<0o

5x-6

分析：由“2x+l”這部分可看成二個數(shù)的“商”此題轉(zhuǎn)化為求商為負數(shù)的問題。兩個數(shù)的

'分子>0分子<0

商為負數(shù)這兩個數(shù)異號，進行分類討論，可有兩種情況。（1）I分母（?；颍?）1分母>°因此，

本題可轉(zhuǎn)化為解兩個不等式組。

r5x-6>015x-6<0

5x-6

解：?.?2x+l〈o,.（1）l2x+1<0或⑵l2x+1>0

x<--

由⑴I2...無解，

26

由⑵I22<x<5,

26

.?.原不等式的解為-5<x<5。

例7.解不等式-3W3x-l<5。

2-12-3

解法（1）:原不等式相當于不等式組13工-1<5

22

解不等式組得-5Wx<2,.?.原不等式解集為-5Wx<2。

解法（2）:將原不等式的兩邊和中間都加上1,得-2W3x<6,

將這個不等式的兩邊和中間都除以3得，

22

-3Wx〈2,...原不等式解集為-5Wx〈2。

9x+23x-14

例取哪些整數(shù)時，代數(shù)式7與代數(shù)式2的差不小于6而小于8。

分析：（1）“不小于6”即26,（2）由題意轉(zhuǎn)化成不等式問題解決，

9x+23x-14

解：由題意可得，6W7-2<8,

將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組，

'9x+2

>6......(1)

72

9x+2

<8.......(2)

72

...解不等式⑴得xW6,

10

解不等式(2)得x>-3,

x<6

s_1010

3原不等式組解集為-3GW6,

10

3<xW6的整數(shù)解為x=±3,±2,±1,0,4,5,6。

.?.當x取±3,±2,±1,0,4,5,6時兩個代數(shù)式差不小于6而小于8。

例9.有一個兩位數(shù)，它十位上的數(shù)比個位上的數(shù)小2,如果這個兩位數(shù)大于20并且小于40,

求這個兩位數(shù)。

分析：這題是一個數(shù)字應用題，題目中既含有相等關(guān)系，又含有不等關(guān)系，需運用不等式的知

識來解決。題目中有兩個主要未知數(shù)-----十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)；一個相等關(guān)系：個位上的

數(shù)=十位上的數(shù)+2,一個不等關(guān)系：20(原兩位數(shù)〈40。

解法(1):設十位上的數(shù)為x,則個位上的數(shù)為(x+2),原兩位數(shù)為10x+(x+2),

由題意可得：20<10x+(x+2)<40,

7_2

解這個不等式得，

7_2

Vx為正整數(shù)，二111<x<311的整數(shù)為x=2或x=3,

...當x=2時，；.10x+(x+2)=24,

當x=3時，.,.10x+(x+2)=35,

答：這個兩位數(shù)為24或35。

解法(2):設十位上的數(shù)為x,個位上的數(shù)為y,則兩位數(shù)為10x+y,

y=x+2..........(1)

由題意可得12°<l°x+y<4°.....(2)(這是由一個方程和一個不等式構(gòu)成的整體，既不是方

程組也不是不等式組，通常叫做“混合組”)。

將⑴代入⑵得,20<llx+2<40,

7_2

解不等式得：

7_2

Vx為正整數(shù)，11l<x<311的整數(shù)為x=2或x=3,

.,.當x=2時，y=4,，10x+y=24,

當x=3時，y=5,10x+y=35?

答：這個兩位數(shù)為24或35。

解法(3):可通過“心算”直接求解。方法如下：既然這個兩位數(shù)大于20且小于40,所以它

十位上的數(shù)只能是2和3。當十位數(shù)為2時，個位數(shù)為4,當十位數(shù)為3時，個位數(shù)為5,所以原

兩位數(shù)分別為24或35。

例10.解下列不等式：

3x-l3x-6

(1)|2|W4；⑵2x+l〈0；(3)(3x-6)(2x-l)>0?

(1)分析：這個不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法來解。

但由絕對值的知識|x|<a,(a>0)可知-a〈x<a,將其轉(zhuǎn)化為卜〈°；若|*|>4(a>0)則x>a或x〈-a。

3x-l3x-l

-

解：-I|W4,-4W2

.??由絕對值的定義可轉(zhuǎn)化為:

解不等式(1),去分母：3x-l2-8,解不等式(2)去分母：3X-1W8,

移項：3x28+1,移項：3xW8+l,

合并同類項：3x2-7合并同類項：3x<9,

7

系數(shù)化為1,x》-3,系數(shù)化為1：；.xW3,

.r-J原不等式的解集為-3wxW3。

3x~6

(2)分析：不等式的左邊為2x+l是兩個一次式的比的形式(也是以后要講的分式形式)，

右邊是零。它可以理解成“當x取什么值時，兩個一次式的商是負數(shù)”由除法的符號法則可知，只

要被除式與除式異號，商就為負值。因此這個不等式的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式組

的問題。

3x-6

解：*/2x+1<0,，3x-6與2x+l異號，

r3x-6>0pz-6<0

即：i2x+l<°或[[2x+l>0

x>2

\<-l

解I的不等式組得I2,.?.不等式組無解，

\<2

,八_11

X/——

解n的不等式組得I2,.?.不等式組的解集為-2〈x<2,

2

...原不等式的解集為-5<X<2。

(3)分析：不等式的左邊是(3x-6)(2x+l)為兩個一次式的積的形式，右邊是零。它可以理解

為“當x取何值時，兩個一次式的積是正數(shù)”由乘法的符號法則可知只要兩個因式同號，積就為正

值。因此這個不等式的求解問題，也可以轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式組的問題。

解：(3x-6)(2x+l)>0,，(3x-6)與(2x+l)同號，

'3x-6>013z-6<0

即』2x+l>0或Hp+l<0

x>2

A/一

解I的不等式組得2,不等式組的解集為x>2,

x<2

X〈——

解II的不等式組得I2,.?.不等式組的解集為x<-2,

2

...原不等式的解集為x>2或x<-5。

aa

說明：ab>0(或E>0)與ab<0(或石<0)這兩類不等式都可以轉(zhuǎn)化為不等式組的形式，進行分

類討論。這類問題一般轉(zhuǎn)化如下：

a

(1)ab>0(或3>0),Aa>b同號,

Ja>0Z<0

即iV5,?；騣iu<0,再分別解不等式組i和ii,

如例10的(3)題。

a

(2)ab<0(或S<0),

a

：ab<0(或<0),；.a、b異號,

a>0G<0

即i/<。或iir>°,

再