2025年廣東省廣州市華南師大附中中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年廣東省廣州市華南師大附中中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（3分）2025的絕對(duì)值是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．2．（3分）下列幾何體中，主視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）如圖，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點(diǎn)A表示的數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．34．（3分）下列計(jì)算中，正確的是（）A．x4+x2＝x6 B．a(chǎn)6÷a3＝a2 C．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3 D．﹣2x+3x＝x5．（3分）某?；@球隊(duì)13名同學(xué)的身高如下表：身高（cm）175180182185188人數(shù)（個(gè)）15421則該?；@球隊(duì)13名同學(xué)身高的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．182，180 B．180，180 C．180，182 D．188，1826．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，垂足為E．若DE＝1（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）如圖，點(diǎn)D，E分別是⊙O的內(nèi)接△ABC的AB、AC邊上的中點(diǎn)，∠A＝45°，則劣弧BC的長(zhǎng)等于（）A． B． C．π D．8．（3分）關(guān)于x的方程x2﹣4x+b＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．在△ABC中BC＝3，AB＝5，AC＝b（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．39．（3分）已知點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)（x＞0），（x＞0）的圖象上，且OA⊥OB，則（）A． B． C． D．310．（3分）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范圍內(nèi)有最小值為﹣5，則c的值為（）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）11．（3分）如果分式有意義，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是．12．（3分）如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），將△OAB沿x軸向右平移至△CDE，則點(diǎn)A移動(dòng)的距離是．13．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，則△ABC內(nèi)切圓半徑為．14．（3分）某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“利用影子測(cè)量物體的高度”的活動(dòng)：如圖，直立于地面上的電線桿AB，在陽(yáng)光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC，測(cè)得BC＝5米，CD＝4米，在D處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為45°，則電線桿AB的高度約為米．（結(jié)果保留根號(hào)）15．（3分）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，OD為⊙O的半徑，弦AB⊥OD，CD＝1寸，AB＝1尺（1尺＝10寸）寸．16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，點(diǎn)N是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)連接MN，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′，連接B′C，當(dāng)△B′MC為直角三角形時(shí)，BM的長(zhǎng)為．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（4分）解不等式組：．18．（4分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，AD上，AC與EF相交于點(diǎn)O19．（6分）已知．（1）化簡(jiǎn)T；（2）若在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（a，b）為反比例函數(shù)，且OP＝5，求T的值．20．（8分）某中學(xué)九（1）班為了了解全班學(xué)生喜歡球類活動(dòng)的情況，采取全面調(diào)查的方法，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果組建了4個(gè)興趣小組，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖①，②，要求每位學(xué)生只能選擇一種自己喜歡的球類）（1）九（1）班的學(xué)生人數(shù)為，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中m＝，n＝，表示“足球”的扇形的圓心角是度；（3）排球興趣小組4名學(xué)生中有3男1女，現(xiàn)在打算從中隨機(jī)選出2名學(xué)生參加學(xué)校的排球隊(duì)，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求選出的2名學(xué)生恰好是1男1女的概率．21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABOC的頂點(diǎn)B（﹣5，0），反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．（1）求m的值；（2）過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．22．（10分）大學(xué)生小敏、小晨參加暑期實(shí)習(xí)活動(dòng)，與公司約定一個(gè)月（30天）的報(bào)酬是M型平板電腦一臺(tái)和1500元現(xiàn)金，結(jié)算工資（按平均每天的報(bào)酬，實(shí)際工作天數(shù)計(jì)算）時(shí)公司給了她一臺(tái)該型平板電腦和300元現(xiàn)金．（1）這臺(tái)M型平板電腦價(jià)值多少元？（2）為吸引、留住人才，公司規(guī)定實(shí)習(xí)期滿一個(gè)月（30天）之后平均每天所獲得的報(bào)酬（折成現(xiàn)金后），若小晨欲獲得不少于6480元的報(bào)酬，則至少在該公司實(shí)習(xí)多少天？23．（10分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)切線的定義，用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線．甲同學(xué)的方法是：連接OP，作OP的垂直平分線l，交OP于點(diǎn)M，MP為半徑畫(huà)個(gè)圓，交⊙O于點(diǎn)Q，PQ即為⊙O切線；乙同學(xué)的方法是：連接OP交⊙O于點(diǎn)M，延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)N，以P點(diǎn)為圓心，以O(shè)為圓心，MN長(zhǎng)為半徑，兩弧交于點(diǎn)G，連接OG交⊙O于點(diǎn)Q，PQ即為⊙O切線；（1）甲同學(xué)作圖的依據(jù)是：；（2）請(qǐng)?jiān)趫D①中，用乙同學(xué)的方法作出圖形，并證明PQ為⊙O切線；（3）請(qǐng)?jiān)趫D②中，用不同于甲，乙同學(xué)的方法（保留作圖痕跡），簡(jiǎn)單說(shuō)明作法不需證明．24．（10分）已知拋物線G：y＝ax2﹣6ax+9a﹣4與x軸交于點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為P．（1）求a的取值范圍及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若△PAB的面積為8，①當(dāng)0≤x≤m時(shí)，拋物線G與直線l：y＝x+b（b≤5），求m的取值范圍；②點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠AMB最大時(shí)，求此時(shí)sin∠AMB的值．25．（12分）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，以EF為斜邊作等腰直角三角形EFG（點(diǎn)G在EF上方）．（1）若AE＝1，求BF的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，△EFB的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng)，求該圓心到AB邊的距離的最大值．（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)G也隨之運(yùn)動(dòng)，①四邊形GEBF的面積s是線段GB的長(zhǎng)t的函數(shù)嗎？如果是求出函數(shù)解析式，如果不是說(shuō)明理由；②求點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)．

2025年廣東省廣州市華南師大附中中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案AABDCBDCBA一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．（3分）2025的絕對(duì)值是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．【解答】解：∵|2025|＝2025，∴2025的絕對(duì)值是2025，故選：A．2．（3分）下列幾何體中，主視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從正面看，左邊是一個(gè)矩形．故選：A．3．（3分）如圖，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)，那么點(diǎn)A表示的數(shù)是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3【解答】解：由題知，因?yàn)辄c(diǎn)A，B在數(shù)軸上表示的數(shù)互為相反數(shù)，所以點(diǎn)A表示的數(shù)與點(diǎn)B表示的數(shù)之和為0．又因?yàn)锳B＝4，且點(diǎn)A在原點(diǎn)左側(cè)，所以點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣6．故選：B．4．（3分）下列計(jì)算中，正確的是（）A．x4+x2＝x6 B．a(chǎn)6÷a3＝a2 C．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3 D．﹣2x+3x＝x【解答】解：A．本選項(xiàng)不符合題意；B．原式＝a3，故本選項(xiàng)不符合題意；C．原式＝﹣8x5y3，故本選項(xiàng)不符合題意；D．原式＝x．故選：D．5．（3分）某校籃球隊(duì)13名同學(xué)的身高如下表：身高（cm）175180182185188人數(shù)（個(gè)）15421則該?；@球隊(duì)13名同學(xué)身高的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A．182，180 B．180，180 C．180，182 D．188，182【解答】解：由圖表可得，眾數(shù)是：180cm，中位數(shù)是：182cm．故選：C．6．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分線，垂足為E．若DE＝1（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴DB＝DA，∴∠DBA＝∠DAB，∵AD是∠CAB的平分線，∴∠CAD＝∠DAB，∴∠DBA＝∠DAB＝∠CAD，∵∠C＝90°，∴∠DBA+∠DAB+∠CAD＝90°，∴∠DBA＝∠DAB＝∠CAD＝30°，∴DE＝BD，∵DE＝7，∴BD＝2，∵AD是∠CAB的平分線，∠C＝90°，∴DC＝DE＝1∴BC＝BD+DC＝8+1＝3，故選：B．7．（3分）如圖，點(diǎn)D，E分別是⊙O的內(nèi)接△ABC的AB、AC邊上的中點(diǎn)，∠A＝45°，則劣弧BC的長(zhǎng)等于（）A． B． C．π D．【解答】解：連接OB，OC ∵點(diǎn)D，E分別是AB，DE＝1，∴DE是△ABC的中位線，∴BC＝2DE＝5，∵∠A＝45°，∴∠O＝2∠A＝90°，又∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，由勾股定理得：BC＝＝OC，∴OB＝OC＝BC＝＝，∴劣弧BC的長(zhǎng)為：＝．故選：D．8．（3分）關(guān)于x的方程x2﹣4x+b＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．在△ABC中BC＝3，AB＝5，AC＝b（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【解答】解：由題知，因?yàn)殛P(guān)于x的方程x2﹣4x+b＝2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以（﹣4）2﹣3b＝0，解得b＝4，所以AC＝2．因?yàn)?2+52＝55，即BC2+AC2＝AB7，所以△ABC是以∠C為直角的直角三角形，則AB邊上的中線長(zhǎng)為2.5．故選：C．9．（3分）已知點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)（x＞0），（x＞0）的圖象上，且OA⊥OB，則（）A． B． C． D．3【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN，∵點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)，（x＞8）的圖象上，∴（）2＝＝＝，∴＝．故選：B．10．（3分）二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范圍內(nèi)有最小值為﹣5，則c的值為（）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c5﹣2c＝﹣（x+1）5+c2﹣2c+7，∴拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∵2﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣3），∴在﹣6≤x≤2的范圍內(nèi)，x＝2時(shí)2﹣2c＝c2﹣7c﹣8＝（c﹣1）2﹣9為函數(shù)最小值，∴（c﹣1）4﹣9＝﹣5，解得c＝3或c＝﹣1，故選：A．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）11．（3分）如果分式有意義，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≠2．【解答】解：由題意得：x﹣2≠0，解得：x≠8，故答案為：x≠2．12．（3分）如圖，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，3），將△OAB沿x軸向右平移至△CDE，則點(diǎn)A移動(dòng)的距離是3．【解答】解：當(dāng)y＝2x﹣3＝3時(shí)，x＝3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，3），∴△OAB沿x軸向右平移3個(gè)單位得到△CDE，∴點(diǎn)A與其對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離為3．故答案為：2．13．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，則△ABC內(nèi)切圓半徑為1．．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝3，∴內(nèi)切圓半徑是（6+4﹣5）÷3＝1．故答案為：1．14．（3分）某校數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展“利用影子測(cè)量物體的高度”的活動(dòng)：如圖，直立于地面上的電線桿AB，在陽(yáng)光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC，測(cè)得BC＝5米，CD＝4米，在D處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為45°，則電線桿AB的高度約為（7+2）米．（結(jié)果保留根號(hào)）【解答】解：延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，∵CD＝4米，∴DF＝2米，∴CF＝＝2，由題意得∠E＝45°，∴EF＝DF＝2米，∴BE＝BC+CF+EF＝5+3+2＝（8+2，∴AB＝BE＝（2+2）（米），故答案為：（2+2）．15．（3分）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，OD為⊙O的半徑，弦AB⊥OD，CD＝1寸，AB＝1尺（1尺＝10寸）26寸．【解答】解：過(guò)圓心O作OC⊥AB于點(diǎn)C，延長(zhǎng)OC交圓于點(diǎn)D，如圖：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，，則CD＝6寸，AC＝BC＝．設(shè)圓的半徑為x寸，則OC＝（x﹣6）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣6）2＝x2，解得：x＝13．∴圓材直徑為3×13＝26（寸）．故答案為：26．16．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，點(diǎn)N是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)連接MN，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′，連接B′C8，當(dāng)△B′MC為直角三角形時(shí)，BM的長(zhǎng)為5或．【解答】解：∵點(diǎn)N是AB邊上的中點(diǎn)，AB＝10，∴BN＝5，由翻折可得BN＝B'N＝5，∴點(diǎn)B'在以N為圓心，BN長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∵CN＝＝＝13，∴CB'的最小值為13﹣5＝2；當(dāng)∠B'CM＝90°時(shí)，∵N為AB的中點(diǎn)，AB＝10，∴AN＝BN＝B'N＝5，∵B'N＜AD，即5＜12，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'不能落在CD所在的直線上，∴∠B'CM＝90°的情況不存在；當(dāng)∠B'MC＝90°時(shí)，∠B'MB＝90°．由翻折可得∠BMN＝∠B'MN＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BNM＝∠B'NM＝45°，∴BM＝BN＝AB＝5；當(dāng)∠MB'C＝90°時(shí)，如圖．則∠NB'M＝90°，∴點(diǎn)N，B'，設(shè)BM＝B'M＝x，則CM＝12﹣x，在Rt△BNC中，NC＝＝13，∴B'C＝CN﹣NB'＝13﹣7＝8，在Rt△B'MC中，由勾股定理可得x2+72＝（12﹣x）2，解得x＝，∴BM＝．綜上所述，滿足條件的BM的值為5或．故答案為：8，5或．三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17．（4分）解不等式組：．【解答】解：，解①得：x＞，解②得：x＞1．則不等式組的解集是：x＞5．18．（4分）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，AD上，AC與EF相交于點(diǎn)O【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，又∵OC＝OA，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OF＝OE．19．（6分）已知．（1）化簡(jiǎn)T；（2）若在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（a，b）為反比例函數(shù)，且OP＝5，求T的值．【解答】解：（1）＝﹣＝＝a+b．（2）∵點(diǎn)P（a，b）為反比例函數(shù)，且OP＝5，∴ab＝12，a4+b2＝56，∴（a+b）2＝a2+b5+2ab＝25+24＝49，∴a+b＝±7，∴T的值為8或﹣7．20．（8分）某中學(xué)九（1）班為了了解全班學(xué)生喜歡球類活動(dòng)的情況，采取全面調(diào)查的方法，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果組建了4個(gè)興趣小組，并繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖①，②，要求每位學(xué)生只能選擇一種自己喜歡的球類）（1）九（1）班的學(xué)生人數(shù)為40人，并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）扇形統(tǒng)計(jì)圖中m＝10，n＝20，表示“足球”的扇形的圓心角是72度；（3）排球興趣小組4名學(xué)生中有3男1女，現(xiàn)在打算從中隨機(jī)選出2名學(xué)生參加學(xué)校的排球隊(duì)，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求選出的2名學(xué)生恰好是1男1女的概率．【解答】解：（1）九（1）班的學(xué)生人數(shù)為：12÷30%＝40（人），喜歡足球的人數(shù)為：40﹣4﹣12﹣16＝40﹣32＝8（人），補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；（2）∵×100%＝10%，×100%＝20%，∴m＝10，n＝20，表示“足球”的扇形的圓心角是20%×360°＝72°；故答案為：（1）40；（2）10；72；（3）根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖如下：一共有12種情況，恰好是1男3女的情況有6種，∴P（恰好是1男3女）＝＝．21．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABOC的頂點(diǎn)B（﹣5，0），反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．（1）求m的值；（2）過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）作AD⊥OB于D，∵點(diǎn)B（﹣5，0），∴OB＝2，∵四邊形ABOC是菱形，∴AB∥OC，AC∥OB，∠∠ABD＝∠OCE，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣2，∴D（﹣2，5），∴OD＝2，∴BD＝5﹣4＝3，∴AD＝＝4，在△ABD和△OCE中，，∴△ABD≌△OCE（AAS），∴CE＝BD＝3，OE＝AD＝8，∴C（3，4），∵反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，∴m﹣2＝8×4＝12，∴m＝14；（2）設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b，∵B（﹣5，8），4），∴，解得，∴直線BC的解析式為y＝x+，∵OD∥BC，∴直線OD為y＝，由，解得或，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（8，）．22．（10分）大學(xué)生小敏、小晨參加暑期實(shí)習(xí)活動(dòng)，與公司約定一個(gè)月（30天）的報(bào)酬是M型平板電腦一臺(tái)和1500元現(xiàn)金，結(jié)算工資（按平均每天的報(bào)酬，實(shí)際工作天數(shù)計(jì)算）時(shí)公司給了她一臺(tái)該型平板電腦和300元現(xiàn)金．（1）這臺(tái)M型平板電腦價(jià)值多少元？（2）為吸引、留住人才，公司規(guī)定實(shí)習(xí)期滿一個(gè)月（30天）之后平均每天所獲得的報(bào)酬（折成現(xiàn)金后），若小晨欲獲得不少于6480元的報(bào)酬，則至少在該公司實(shí)習(xí)多少天？【解答】解：（1）設(shè)這臺(tái)M型平板電腦價(jià)值x元，根據(jù)題意得：＝，解得：x＝2100．答：這臺(tái)M型平板電腦價(jià)值2100元；（2）由（1）可得：前30天每天的報(bào)酬為（2100+1500）÷30＝120（元/天）．設(shè)小晨在該公司實(shí)習(xí)y天，根據(jù)題意得：120×30+120×（1+20%）（y﹣30）≥6480，解得：y≥50，∴y的最小值為50．答：小晨至少在該公司實(shí)習(xí)50天．23．（10分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)切線的定義，用尺規(guī)過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線．甲同學(xué)的方法是：連接OP，作OP的垂直平分線l，交OP于點(diǎn)M，MP為半徑畫(huà)個(gè)圓，交⊙O于點(diǎn)Q，PQ即為⊙O切線；乙同學(xué)的方法是：連接OP交⊙O于點(diǎn)M，延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)N，以P點(diǎn)為圓心，以O(shè)為圓心，MN長(zhǎng)為半徑，兩弧交于點(diǎn)G，連接OG交⊙O于點(diǎn)Q，PQ即為⊙O切線；（1）甲同學(xué)作圖的依據(jù)是：圓周角定理；（2）請(qǐng)?jiān)趫D①中，用乙同學(xué)的方法作出圖形，并證明PQ為⊙O切線；（3）請(qǐng)?jiān)趫D②中，用不同于甲，乙同學(xué)的方法（保留作圖痕跡），簡(jiǎn)單說(shuō)明作法不需證明．【解答】解：（1）如圖，根據(jù)作圖知：OP是⊙M的直徑，∴∠PQO＝90°，即OQ⊥PQ，∵OQ是⊙O的半徑，∴PQ是⊙O的切線，∴甲同學(xué)作圖的依據(jù)是圓周角定理，故答案為：圓周角定理；（2）如圖2所示：證明：如圖②，連接PG，由作法可得，PO＝PG，∴PQ⊥GO，又∵OQ是⊙O的半徑，∴直線PQ是⊙O的切線；（3）解：如圖③，PQ即為所求；由作圖知：∠GMO＝90°，OP＝OG，∵OM＝OQ，∠POQ＝∠GOM，∴△POQ≌△GOM（SAS），∴∠PQO＝∠GMO＝90°，∴PQ⊥OQ，∵OQ是⊙O的半徑，∴PQ是⊙O的切線．24．（10分）已知拋物線G：y＝ax2﹣6ax+9a﹣4與x軸交于點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為P．（1）求a的取值范圍及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若△PAB的面積為8，①當(dāng)0≤x≤m時(shí)，拋物線G與直線l：y＝x+b（b≤5），求m的取值范圍；②點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠AMB最大時(shí)，求此時(shí)sin∠AMB的值．【解答】解：（1）由題意得：Δ＝b2﹣4ac＝36a3﹣4a（9a﹣4）＞0，則a＞0，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝4，當(dāng)x＝3時(shí)2﹣8ax+9a﹣4＝﹣6，即點(diǎn)P（3；（2）①令y＝ax2﹣5ax+9a﹣4＝2，則x＝3±，△PAB的面積＝AB×|yP|＝（3+）×4＝8，即拋物線的表達(dá)式為：y＝x7﹣6x+5，聯(lián)立函數(shù)G和直線l的表達(dá)式得：x5﹣6x+5＝x+b2+（b﹣23）x+15﹣5b＝0，則Δ＝b2﹣10b+349＞6，當(dāng)b＝5時(shí)，3x6+（b﹣23）x+15﹣3b＝0的解為x＝2和6，則m≥6；②作△MAB為外接圓Q，當(dāng)圓Q和y軸相切于點(diǎn)M時(shí)，連接MQ，設(shè)點(diǎn)M（6，點(diǎn)Q在AB的中垂線上，m），由MQ＝3＝AQ得：9＝（7﹣1）2+m8，則m＝±，則點(diǎn)M為（0，﹣）或（0，），sin∠AMB的值相同，由點(diǎn)A、M、B的坐標(biāo)得，MB＝，作AH⊥AM于點(diǎn)H，設(shè)AH＝x﹣x