材料力學(xué)電子教案

Mechannincsofmaterials

Strengthofmaterials

Introduction

材料力學(xué)是固體力學(xué)的一個基礎(chǔ)分支，是工科重要的技術(shù)基礎(chǔ)課，

只有學(xué)好材料力學(xué)才能學(xué)好與本專業(yè)有關(guān)的后續(xù)課程（例如：機(jī)械零件

等）。

材料力學(xué)與工程的關(guān)系：材料力學(xué)廣泛應(yīng)用于各個工程領(lǐng)域中，如

眾所周知的飛機(jī)、飛船、火箭、火車、汽車、輪船、水輪機(jī)、氣輪機(jī)、

壓縮機(jī)、挖掘機(jī)、拖拉機(jī)、車床、鈉機(jī)、銃機(jī)、磨床、桿塔、井架、鍋

爐、貯罐、房屋、橋梁、水閘、船閘等數(shù)以萬計的機(jī)器和設(shè)備、結(jié)構(gòu)物

和建筑物，在工程設(shè)計中都必須用到材料力學(xué)的基本知識。對于某些工

程如化學(xué)工程，由于客觀條件的苛刻，如：高溫、高壓、低溫、低壓、

易燃、易爆、腐蝕、毒性對于機(jī)器和設(shè)備的力學(xué)設(shè)計將提出更高的要求。

因此對于各類高等工業(yè)大學(xué)的學(xué)生和實(shí)際工程中的工程師們都必須具備

扎實(shí)的材料力學(xué)知識。

第一章緒論

§1.1材料力學(xué)的任務(wù)

§1.2變形固體的基本假設(shè)

§1.3外力及其分類

§1.4內(nèi)力、截面法和應(yīng)力的概念

§1.5變形與應(yīng)變

§1.6桿件變形的基本形式

§1.1材料力學(xué)的任務(wù)

材料力學(xué)主要研究固體材料的宏觀力學(xué)性能，構(gòu)件的應(yīng)力、變形狀

態(tài)和破壞準(zhǔn)則，以解決桿件或類似桿件的物件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性等

問題，為工程設(shè)計選用材料和構(gòu)件尺寸提供依據(jù)。

材料的力學(xué)性能：如材料的比例極限、屈服極限、強(qiáng)度極限、延伸

率、斷面收縮率、彈性模量、橫向變形因數(shù)、硬度、沖擊韌性、疲勞極

限等各種設(shè)計指標(biāo)。它們都需要用實(shí)驗(yàn)測定。

構(gòu)件的承載能力：強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性。

構(gòu)件：機(jī)械或設(shè)備，建筑物或結(jié)構(gòu)物的每一組成部分。

強(qiáng)度：構(gòu)件抵抗破壞（斷裂或塑性變形）的能力。

所有的機(jī)械或結(jié)構(gòu)物在運(yùn)行或使用中，其構(gòu)件都將受到一定的力作

用，通常稱為構(gòu)件承受一定的載荷，但是對于構(gòu)件所承受的載荷都有一

定的限制，不允許過大，如果過大，構(gòu)件就會發(fā)生斷裂或產(chǎn)生塑性變形

而使構(gòu)件不能正常工作，稱為失效或破壞，嚴(yán)重者將發(fā)生工程事故。如

飛機(jī)墜毀、輪船沉沒、鍋爐爆炸、曲軸斷裂、橋梁折斷、房屋坍塌、水

閘被沖垮，輕者毀壞機(jī)械設(shè)備、停工停產(chǎn)、重者造成工程事故，人身傷

亡，甚至帶來嚴(yán)重災(zāi)難。工程中的事故屢見不鮮，有些觸目驚心，慘不

忍睹……因此必須研究受載構(gòu)件抵抗破壞的能力——強(qiáng)度，進(jìn)行強(qiáng)度計

算，以保證構(gòu)件有足夠的強(qiáng)度。

剛度——構(gòu)件抵抗變形的能力。

當(dāng)構(gòu)件受載時一，其形狀和尺寸都要發(fā)生變化，稱為變形。工程中要

求構(gòu)件的變形不允許過大，如果過大構(gòu)件就不能正常工作。如機(jī)床的齒

輪軸，變形過大就會造成齒輪嚙合不良，軸與軸承產(chǎn)生不均勻磨損，降

低加工精度，產(chǎn)生噪音；再如吊車大梁變形過大，會使跑車出現(xiàn)爬坡，

引起振動；鐵路橋梁變形過大，會引起火車脫軌，翻車……因此必須研

究構(gòu)件抵抗變形的能力——剛度，進(jìn)行剛度計算，以保證構(gòu)件有足夠的

剛度。

穩(wěn)定性——構(gòu)件保持原來平衡形態(tài)的能力。

如細(xì)長的活塞桿或者連桿，當(dāng)諸如此類的細(xì)長桿子受壓時，工程中

要求它們始終保持直線的平衡形態(tài)?？墒侨羰芰^大，壓力達(dá)到某一數(shù)

值時，壓桿將由直線平衡形態(tài)變成曲線平衡形態(tài)，這種現(xiàn)象稱之為壓桿

的失穩(wěn)。又如受均勻外壓力的薄壁圓筒，當(dāng)外壓力達(dá)到某一數(shù)值時，它

由原來的圓筒形的平衡變成橢圓形的平衡，此為薄圓筒的失穩(wěn)。失穩(wěn)往

往是突然發(fā)生而造成嚴(yán)重的工程事故，如19世紀(jì)末，瑞士的孟希太因大

橋，20世紀(jì)初加拿大的魁北克大橋都由于橋架受壓弦桿失穩(wěn)而突然使大

橋坍塌?！虼吮仨氀芯繕?gòu)件保持原來形態(tài)能力—穩(wěn)定性，進(jìn)行穩(wěn)

定性計算，以保持構(gòu)件有足夠的穩(wěn)定性。

§1.2變形固體的基本假設(shè)

剛體——假定受力時不發(fā)生變形的物體。

適用于理論力學(xué)研究物體的外部效應(yīng)—平衡和運(yùn)動。

變形固體——在外力作用下發(fā)生變形的物體。

變形固體的實(shí)際組成及其性質(zhì)是很復(fù)雜的，為了分析和簡化計算將

其抽象為理想模型，作如下基本假設(shè)：

1）連續(xù)性假設(shè):認(rèn)為組成固體的物質(zhì)不留空隙地充滿了固體的體積。

（某些力學(xué)量可作為點(diǎn)的坐標(biāo)的函數(shù)）

2）均勻性假設(shè)：認(rèn)為固體內(nèi)到處有相同的力學(xué)性能。

3）各向同性假設(shè)：認(rèn)為無論沿任何方向固體的力學(xué)性能都是相同的。

各向同性材料：如鋼、銅、玻璃等。

各向異性材料：如材料、膠合板，某些人工合成材料、復(fù)合材料等。

§1.3外力及其分類

,,,自重力（N/n?）

體力《，

慣性力（N/n?）

作用方式［分布力］面分布力（NW）

載荷1面力｛1線分布力（N/m）

外力支反力f

集中力（N、kN）

f靜載荷

變化與否沖擊載荷

動載荷

交變載荷

載荷——作用于構(gòu)件上的主動力

體積力——連續(xù)分布在物體內(nèi)各點(diǎn)的力

面積力——作用于物體表面上的力

面分布力——連續(xù)分布于物體表面某一面積上的力

線分布力---沿著物體某一軸線上分布的力

集中力——若作用面積遠(yuǎn)小于物體整體尺寸或線性分布長度遠(yuǎn)小于軸線

長度

靜載荷——若載荷從零開始緩慢增加到某值后保持不變或變化很小

動載荷——隨時間而變化的載荷

沖擊載荷——由于物體運(yùn)動狀態(tài)瞬時發(fā)生突然變化而引起的載荷

交變載荷——隨時間而發(fā)生周期性變化的載荷

§1.4內(nèi)力、截面法和應(yīng)力的概念

1.內(nèi)力(附加內(nèi)力)

物體因受外力而變形，其內(nèi)部各部分之間相對位置將發(fā)生改變而引

起的相互作用就是內(nèi)力。

當(dāng)物體不受外力作用時一，內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間存在著相互作用力，此為

內(nèi)力。但材料力學(xué)中所指的內(nèi)力是與外力和變形有關(guān)的內(nèi)力。即隨著外

力的作用而產(chǎn)生，隨著外力的增加而增大，當(dāng)達(dá)到一定數(shù)值時會引起構(gòu)

件破壞的內(nèi)力，此力稱為附加內(nèi)力。為簡便起見，今后統(tǒng)稱為內(nèi)力。

2.截面法

為進(jìn)行強(qiáng)度、剛度計算必須由已知的外力確定未知的內(nèi)力，而內(nèi)力

為作用力和反作用力，對整體而言不出現(xiàn)，為此必須采用截面法，將內(nèi)

力暴露。

截面法三步驟：

(1)切：欲求某一截面上的內(nèi)力，即用一假想平面將物體分為兩部分

(2)代：兩部分之間的相互作用用力代替

(3)平：建立其中任一部分的平衡條件，求未知內(nèi)力

注：內(nèi)力為連續(xù)分布力，用平衡方程，求其分布內(nèi)力的合力

上述步驟可以敘述為：一截為二，去一留一，平衡求力

例1.試求圖示懸臂梁機(jī)-加截面上的內(nèi)力

解：截面法

（1）切

（2）代

（3）平平衡條件：

乙一f=0

=0〃_&=0

求得：F6=FM=Fa（剪力、彎矩）

3.應(yīng)力

P

、F(j

△A

mT

因內(nèi)力為分布力系，為研究內(nèi)力在截面上的分布規(guī)律，引入內(nèi)力集

度的概念

AF

p,?

p,?一與上的平均集度，稱為平均應(yīng)力上的平均集度，稱為平均應(yīng)力

....AF

p=limP,”=lim---

p——。點(diǎn)的內(nèi)力集度，稱為C點(diǎn)處總應(yīng)力，P為矢量。

<7--正應(yīng)力

p<

[r-----切應(yīng)力

lPa=lN/m2

IMPa=lxlO6Pa

IN/mm2=IMPa

§1.5變形與應(yīng)變

變形——物體受力后形狀和尺寸的改變

1.線應(yīng)變（簡稱應(yīng)變）Y

假設(shè)：固體受到約束無剛體位移，只有變形位

移，若有剛體位移，應(yīng)從總位移中扣除。

△S

m每單位長度線段的平均伸長或縮短稱為平均線應(yīng)變。

￡-

-Ar

e-----"點(diǎn)沿x方向的線應(yīng)變。

2.切應(yīng)變（角應(yīng)變）

原來相互正交的棱邊的直角夾角的改變量稱為切應(yīng)變（角應(yīng)變）

2）

y-----為Af點(diǎn)在孫平面內(nèi)的切應(yīng)變或角應(yīng)變。

§1.6桿件變形的基本形式

基本變形

1.軸向拉伸或壓縮

F-_qF一.

?________________________________________________________J

Fi|-F

I_________________________________________I

2.剪切

4彎曲

f??t

4-，一一二一二一二一3

組合變形：當(dāng)桿件同時發(fā)生兩種或兩種以上基本變形時稱為組合變形。

MM

第二章拉伸、壓縮與剪切

§2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例

§2.2軸向拉伸或壓縮時橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力

§2.3直桿軸向拉伸或壓縮時斜截面上的應(yīng)力

§2.4材料拉伸時的力學(xué)性能

§2.5材料壓縮時的力學(xué)性能

§2.7失效、安全因數(shù)和強(qiáng)度計算

§2.8軸向拉伸或壓縮時的變形

§2.9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能

§2.10拉伸、壓縮超靜定問題

§2.11溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力

§2.12應(yīng)力集中的概念

§2.13剪切和擠壓的實(shí)用計算

§2.1軸向拉伸與壓縮的概念和實(shí)例

1.實(shí)例

(1)液壓傳動中的活塞桿

(2)內(nèi)燃機(jī)的連桿

(3)汽缸的聯(lián)接螺栓

(4)起吊重物用的鋼索

(5)千斤頂?shù)穆輻U

(6)桁架的桿件

2.概念及簡圖

當(dāng)桿件在其兩端受到等值、反向、作用線與桿軸重合的一對力(F,F)

作用時桿件將沿軸線方向發(fā)生伸長

或縮短變形，此類變形稱為拉伸或

壓縮。

§2.2軸向拉伸或壓縮時橫截面上

的內(nèi)力和應(yīng)力

1.內(nèi)力

(1)截面法

暴露內(nèi)力。因?yàn)橥饬εc軸線重合，故分布內(nèi)力系的合力作用線必然

與軸線重合，若設(shè)為乙，瓜稱為軸力。

（2）軸力符號規(guī)定：拉為正，壓為負(fù)。

（3）平衡方程

￡￡=0

"一尸=0

FN=F

2.多力桿的軸力與軸力圖

例2.1試作圖示桿的軸力圖

解：1-1Zj=02-不=。

Fw=2kN（壓力）

2-2匕=0耳2-4+2=0

FN2=2kN（拉力）

3-3Z號=05-以3=0

FN3=5kN（拉力）

例2.2試作圖示桿的軸力圖

解：A-AZ工=04+3—2—FNA=。

FNA=5kN

1-15=0

%=5kN（拉力）

2-2YFv=0FN2+4-5=0

2

FN2=IkN（拉力）

3-3工4=0%-2=0

=2kN

FN3（壓力）

3.應(yīng)力

內(nèi)力分布規(guī)律的研究

⑴兒何學(xué)（變形）平面假設(shè)

應(yīng)力分析（2）物理學(xué)（纖維均拉）

（3）靜力學(xué)（平衡方程）

口產(chǎn)網(wǎng)

FN^TjAdA=cx4

均勻分布

A

注：正應(yīng)力符號規(guī)定與軸力相同，拉為正，壓為負(fù)。

4.軸向拉（壓）漸變桿近似計算

萬N（x）

<7（X）=

/（x）

5.圣維南原理

（靜力等效或局部效應(yīng)）

實(shí)驗(yàn)證實(shí)：作用于彈性體某一局部區(qū)域上的外力系，可以用它的靜

力等效力系來代替，這種代替，只對原力系作用區(qū)域附近有顯著影響，

而對較遠(yuǎn)處（距離略大于外力分布區(qū)域）其影響即可不計，這就是圣維

南原理。

圣維南原理的實(shí)用價值：它給簡化

計算帶來方便。

例如：圖示桿件由于采用不同連接

(鉀接、焊接、較接)而使桿件在連接處,

傳遞力的方式就各不同，而使局部區(qū)域

內(nèi)的應(yīng)力分布也各不相同，而且非常復(fù)

雜。但是用靜力等效力系替代后，若得

到相同的計算簡圖(如右圖示)，則應(yīng)力計算就可采用相同的公式:

6.正應(yīng)力公式應(yīng)用條件

。吟

(1)外力(或其合力)通過橫截面形心且沿桿件軸線作用。

(2)適用于彈性及性范圍。

(3)適用于角a?20°橫截面連續(xù)變化的直

桿。

*(4)在外力作用點(diǎn)附近或桿件橫截面突然

變化處，應(yīng)力分布不均勻，不能用此公式，稍遠(yuǎn)

一些的橫截面上仍然應(yīng)用。

例1.圖示結(jié)構(gòu)中AC、CD為剛性桿，①、

②兩桿的截面直徑分別為：t/i=lOmm,12=20mm,

試求兩桿內(nèi)的應(yīng)力。

解：①受力分析及受力圖

②由圖(b)：

。=0FRC=10kN

③由圖(c)：

-OkN

ZM&=0《x170x2=0

FN2=20kN

=0FN1xl-Fscxl=0

%=FRC=10kN

④求應(yīng)力

區(qū)==4x10x10'=127(N/mn?)=127MPa

'A,血;/7TXW2

6=2=4=63.7MPa

A2㈤；

§2.3直桿軸向拉伸或壓縮時斜截k

-——F

面上的應(yīng)力k

1.橫截面上的正應(yīng)力kPa

F______凄

Akk」

F____________yP\

2.斜截面上的應(yīng)力——

F.=F

4A

“cosa

FF

=cosa=acosa

4A

2

oa-pacosa-acosa

'（T.

Ta=pasina=<7cosasma=—sin2a

討論

（1）％均為a的函數(shù)，隨斜截面的方向而變化。

（2）當(dāng)a=0°時，OaM=。、q=0橫截面上。

當(dāng)a=45。時'Tamar=|>=|

當(dāng)a=90°時，。-％=0平行于軸線縱截面。

§2.4材料拉伸時的力學(xué)性能

材料在外力作用下表現(xiàn)出變形及破壞的特性。材料的宏觀力學(xué)性能

主要依靠實(shí)驗(yàn)方法測定。如材料的比例極限叫，彈性極限q,屈服極限q,

延伸率3斷面收縮率W,彈性模量￡,橫向變形因數(shù)（泊松比）〃等。

［靜載

載荷<

動載

試驗(yàn)，'常溫

溫度■高度

低溫

常溫、靜載下拉伸試驗(yàn)是確立材料力學(xué)性能的最基本試驗(yàn)。

試驗(yàn)設(shè)備：萬能材料試驗(yàn)機(jī)。

'圓截面：I=5徹=10d

標(biāo)準(zhǔn)試件〈矩型截面：/=5.65/7或

以低碳鋼（含碳量低于0.3%的碳素鋼）

為例介紹拉伸試驗(yàn)。

一、低碳鋼（Q235）拉伸時的力學(xué)性

能

（1）夾持試件

（2）油壓緩慢加載使試件受拉

（3）記錄F?AL測試數(shù)值

（4）直至拉斷，觀察力與變形的全過程

（5）繪制F?AL拉伸曲線（自動繪圖）

（6）清除尺寸影響作。?￡曲線，根據(jù)曲

線特征大致分為四個階段研究材料力學(xué)性能。

1.彈性階段（Ob）

此階段的變形為彈性變形

（oa）直線段吸一比例極限

當(dāng)（7〃時

CT=E￡（胡克定律）

E=?=tana（彈性模量瓦比例常數(shù)X線彈性）

（ab）非直線段（非線彈性）

4一彈性極限

2.屈服階段（be）

屈服現(xiàn)象：當(dāng)應(yīng)力超過b點(diǎn)后，應(yīng)

力先是下降后是微小波動，曲線出現(xiàn)接近水平線小鋸齒形線段。即應(yīng)力

不再增加，但應(yīng)變顯著增加，此現(xiàn)象稱為屈服。

*觀察測力度盤指針停走或后退。

*觀察試件表面可見大致與軸線成45°方向上有細(xì)線，稱為滑移線。

因?yàn)?5°方向上剪應(yīng)力最大。材料內(nèi)部晶格沿45°方向滑動。

*0s——屈服極限。（下屈服點(diǎn)）

*屈服階段主要產(chǎn)生塑性變形。

*屈服極限為重要的強(qiáng)度指標(biāo)。

3.強(qiáng)化階段（ce）

*材料抵抗變形的能力又繼續(xù)增加，即隨著試件繼續(xù)變形，外力也

必須增大，此現(xiàn)象稱為材料強(qiáng)化。

*0b——強(qiáng)度極限，發(fā)生斷裂時的應(yīng)力

4.局部變形階段（頸縮）（ef）-1—

----

試件局部范圍橫向尺寸急劇縮小，稱為頸縮。

5.延伸率和斷面收縮率

試件拉斷后，彈性變形消失，而塑性變形保留下來。

延伸率：

。/,-/

5=-!—X100%

I

牛=牛*100%=6（塑性應(yīng)變）

I—原標(biāo)距

/,——拉斷后標(biāo)距長度

塑性指標(biāo)：

8>5%——塑性材料，鋼、銅、鋁

6<5%——脆性材料，鑄鐵、玻璃、陶瓷

斷面收縮率：

w=土。100%

A

A-----試件原截面面積

A\——拉斷后頸縮處斷面面積

6.卸載定律及冷作硬化

試件若拉到強(qiáng)化階段，如d點(diǎn)卸載，則沿（ddz）直線變化，短期

內(nèi)再加載，仍然沿（dd‘）直線上升，說明比例極限提高，而延伸率降

低，這種現(xiàn)象稱為冷作硬化現(xiàn)象。

。.冷拔工藝，提高強(qiáng)度（如起重鋼索，建筑用鋼筋）

工程應(yīng)用卜.噴丸處理，提高表面強(qiáng)度（如機(jī)器零件表面形成冷硬層，提高抗疲勞強(qiáng)度）

。?滾壓工藝，提高疲勞強(qiáng)度

缺陷：由于初加工，冷作硬化，使零件變硬變脆,

給機(jī)加工帶來困難，為便于加工，需退火消除冷硬

層。

二、其他塑性材料拉伸時的力學(xué)性能

其他塑性材料：中碳鋼、高碳鋼、合金鋼、鋁

合金、青銅、黃銅。

討論

①有明顯的四個階段Q345（16Mn）,Q235鋼；無。51015202530354035055

屈服階段：黃銅（H62）；無屈服，無頸縮：高碳鋼（T10A）

②名義屈服極限。0.2（對無屈服階段的材料）通常以產(chǎn)生0.2%的塑

性應(yīng)變所對應(yīng)的應(yīng)力值作為名義屈服應(yīng)力，作為屈服指標(biāo)。

③對各種碳素鋼的比較表明：隨著含碳量的增加，屈服極限，強(qiáng)度

極限提高，但延伸率降低，說明強(qiáng)度提高，塑性

降低，如合金鋼，工具鋼等。

④強(qiáng)度又高，塑性又好的材料，始終是材料

科學(xué)研究的方向。如南京長江大橋，采用16Mn

鋼比采用A3鋼節(jié)約成本15%,解放牌汽車降低

40%,壽命提高20%。

20MPa大氣壓的大型尿素合成塔為高壓容器

采用18MnMoNb合金鋼比采用碳鋼節(jié)約60%。

三、鑄鋼拉伸時的力學(xué)性能

⑴較低應(yīng)力下被拉斷

⑵無明顯直線段，無屈服，無頸縮

⑶延伸率低屬脆性材料，b<5%

⑷彈性模量E隨應(yīng)力的大小而變化。因此

以。?￡曲線開始部分的割線斜率作為彈性模量,

稱為割線彈性模量,近似認(rèn)為材料服從胡克定律

O=￡E

⑸。b——強(qiáng)度極限為唯一強(qiáng)度指標(biāo)

⑹抗壓不抗拉，不宜作抗拉件

§2.5材料壓縮時的力學(xué)性能

一.低碳鋼的壓縮

(1)壓縮時的E、0s與拉伸時相同，但得

不到。b。

(2)抗拉抗壓強(qiáng)度相同。

二.鑄鐵的壓縮

低碳鋼壓縮

(1)破壞斷面與軸線成45°?55°

角，說明鑄鐵不抗剪。

(2)抗壓強(qiáng)度比抗拉強(qiáng)度高4?5

倍

(3)鑄鐵堅(jiān)硬、耐磨，易澆鑄成

型，有良好的吸

振能力，故宜用作機(jī)身，機(jī)座，軸承座

及缸體等受壓

物件。

§2.7失效、安全因數(shù)和強(qiáng)度計算

一.失效：工程中將構(gòu)件不能正常工作稱為失效。

①脆性斷裂①塑性變形

②彈性變形過大②沖斷(沖擊、撞擊)

③疲勞③失穩(wěn)

④蠕變(高溫)④腐蝕(等等)

二.破壞準(zhǔn)則：就強(qiáng)度而言

塑性材料：。=。,

脆性材料：0=0b

強(qiáng)度條件：oW［。］

。——工作應(yīng)力

［。］---許用應(yīng)力

［司=.（塑性材料）

（脆性材料）

三.安全因數(shù)：

（1）4、"b稱為安全因數(shù)，如一般機(jī)械制造中，在靜載情況工作的

構(gòu)件：

ws=1.2-2.5為=2.0~3.5

（2）確定安全因數(shù)應(yīng)考慮的主要因素（P32）

'①材料素質(zhì)（均勻程度、質(zhì)地好壞、塑性、脆性）

②載荷情況（靜載、動載，估計準(zhǔn)確度）

③簡化過程，計算方法精確度

j④零件重要性、工作條件、損壞后果、制造及維修難易。

⑤設(shè)備機(jī)動性、自重的要求。

⑥其它尚無考慮的因素。

綜合考慮后確定。

四.強(qiáng)度條件

「①強(qiáng)度校核：巴四xlOO%<5認(rèn)為安全

強(qiáng)度計算1②設(shè)計截面：A百

㈤

③確定許用載荷：FN<［a］A

例2.7.1已知產(chǎn)=130kNa=30°

AC為鋼桿：（7=30mm

[o]=160MPa

BC為鋁桿：t/=40mm

［。］a=60MPa

試校核結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度。

解：（1）求各桿軸力FNAC，尸NBC

=°然心。sina-&4

FNBC=FN/C

=0FNXCCOSCT+FN.BC

F130

FN.AC~FN.BC75.1kN

2cosa273/2

（2）求各桿應(yīng)力

4

。=區(qū)歐=211半I=59.8N/ir

BC

ABC"X4()2/4

=59.8MPa<[a]?

.??安全

例2.7.2圖示托架，已知：F=60kN,。=

AC為圓鋼桿[。]s=160MPa

BC為方木桿[。]w=4MPa

試求鋼桿直徑小木桿截面邊長b

解：(1)求各桿軸力

XFV=0F2sin?-F=0:

F=-^=60X1—=12X104N

2sina0.5IN

B

=0F2cosa-F}=0

4

F、=F2cos<7=10.4X10N

(2)設(shè)計截面

AC桿:

mm

例273滑輪結(jié)構(gòu)

已知AB為圓鋼桿d=2Qmm,[o]s=160MPa

BC為方木桿a=60mm,[o]w=12MPa

試求此結(jié)構(gòu)的許用載荷W

解：（1）求各桿的軸力與W的關(guān)系

LFv=0F2COS30°-居cos30°=0

紐.=0片cos60°+工cos600-2%=0

2W

K=F,=-=2W

'22cos60°

(2)分別按各桿強(qiáng)度條件確定沙

L

AB桿：—<[CF]5

4

4

萬x2()2

r1j160x----------

，%＜絲」_=-------4=25.1xl()3N=25.1kN

22

F

BC桿：工匕C

a

—--匕

“2

⑻甲4=12x60-=21.6xl()3N=2i.6kN

22

?。圬?21.6kN

§2.8軸向拉伸或壓縮時的變形

1.軸向變形

△/=/「/

A/

￡--t

0_FN_FLI

AA

胡克定律：

（y=Ee^^-=E—

AI

???△/=X（胡克定律的另一種形式）

EA

EA——桿件抗拉（或抗壓）剛度

2.橫向變形

,kbb.-b

E=—=------

hb

試驗(yàn)證明：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比的

絕對值是一個常數(shù)。

e'

—=〃

橫向變形因數(shù)（泊松比）為材料常數(shù)（彈性常數(shù)）

/.￡=-U￡

3.漸變桿軸力變化時變形計算

微段伸長：d（A/）=3"

EA（x）

桿件伸長：△/=[3華

JEA（x）

例1除梯桿、求總變形△/總

已知：小=400mm2/I=200mm

=2

^2S00mm/2=200mm

￡=200GPa

解：（1）求各段軸力并作軸力圖

40KNi20KN

（2）求各段變形及總變形

F/1_40X103X200

NI=0.1mm

3

EAt-200X10X400

F/_20xl03x200

N22=0.025mm

M3

EA2-200X10X800

=A/]+A/=0.1-0.025=0.075

△/總二Z”,2

mm

例2求節(jié)點(diǎn)/的位移

已知：F=10kN。=45°

AB為鋼桿￡]=200GPa^^lOOmm2/^1000mm

AC為松木桿￡2=10GPa242=4000mm2/2=707mm

解：(1)求軸力

=0￡sin45。一尸=0

F.=F=10A/2=14.14kN(fe)

1sin45°

紇=0F2-^sin45°=0

F2=F1cos45°=14.14x-^r=10kN(ffi)

(2)軸向變形

FJ_14.14X103X100

M=0.707mm

200X103X100

Fl_10X103X707

A22

/2=30.177mm

E2A2~10X10X4000

(3)A點(diǎn)位移AB,

A/,

AAs=---------=1.00mm

cos45°

A4A5=A/2=0.177mm

AAA=AAs+4445=1.177mm

刀3=［石；+4團(tuán)=71.1772+0.177=1.193mm

例3結(jié)構(gòu)如圖CD為剛桿

AB桿為鋼桿，d=30mm,a=lm,E=210GPa

(1)試驗(yàn)測得標(biāo)距S=20mm內(nèi)的伸長變形△5=14.3X10-3mm,試求

F力為若干。

(2)若AB桿的材料［o］=160MPa,試求許用載荷［月，及此時D點(diǎn)

的位移JD

解：(1)求AB桿的軸力入

■:內(nèi)

EA

_E4A5_4X14.3

N一S-20-

=106.1xl03N=106.1kN

求載荷尸

EMC=0FN-<7-F'2a=0

心輸=!^=53kN

22

（2）求因

［穌］=［b］/=160x^^-=113x1()3=113kN

4

伊］=率=56.5kN

(3)求§D

忻113X103xl000x4「

?。B--:——=---------;---------T=也7

BEA210X103X^-X3O2

/.3D=2b8=2x0.762=1.524mm

§2.9軸向拉伸或壓縮的應(yīng)變能

1.變形能（應(yīng)變能）

固體受外功作用而變形，在變

形過程中，外力所作的功轉(zhuǎn)變?yōu)閮?/p>

存于固體內(nèi)的能量，固體在外力作

用下，因變形而儲存能量稱為變形

能或應(yīng)變能。變形能有彈性變形能

與塑性變形能。當(dāng)外力逐漸減小，

變形逐漸減小，固體會釋放出部分

能量而作功，這部分能量為彈性變

形能。

2.軸向拉（壓）時的應(yīng)變能

d%=Fd（A/）

%=0Fd（A/）

線彈性應(yīng)變能：（三角形面積）匕

W=-FM

2

r=W=-FM

E2

Fl

胡克定律△/=--，則

EA

a

F7

=W=-FAl=o

22Z4

3.應(yīng)變能密度（比能）

力（odydz）位移（1*（1￡單兀體內(nèi)

應(yīng)變能：

dJV=fodvdzdxdf

dVe-￡odydzdrdf['odfbdK

dV-----單元體的體積

單位體積內(nèi)的應(yīng)變能:

V=5i=1ode

'dr小

結(jié)論：匕為應(yīng)力一應(yīng)變曲線o-￡）下的面積

線彈性應(yīng)變能密度：

1

V.=-or

￡2

由胡克定律：。=石￡,則

1Ee2cr

‘222E

注：v,的單位為J/n?

以比例極限。p代入上式可求出的

應(yīng)變能密度，稱為回彈模量，它可以度量線彈性范圍內(nèi)材料吸收能量的

能力。

￡2P2E

例1利用功能原理求A點(diǎn)的垂直位移8

已知：F-10kNa=45°

桿（1）為鋼桿E^ZOOGPa,小=100mm:/i=1000mm

2

桿（2）為木桿￡2=10GPa,742=4000mm,/2=707mm

解：（1）求軸力

ZF,,=0FN1sin45°-F=0

FN.=F——kN

N,sin45°

ZFV=0FN2-FN1cos45°=10kN

(2)求位移(視作彈性桿系)

Vt=W

、

(14.14X103)2X1000(10X103)2X707

3

310xl0

200x103<10010X103X4000

7

=1.18mm

(3)此法只求桿系上只作用一個載荷，求載荷作用點(diǎn)處的位移。

能量法求位移見下冊13章。

§2.10拉伸、壓縮超靜定問題

一.超靜定問題

圖示三桿桁架，①②二桿抗拉剛度相同，即ElA.=E2A2,F、a、I、

53、力3已知，試求三桿內(nèi)力尺1、EN2、樂3。

解：(1)靜力平衡方程

ZFV=0FN2sina-FN1sina=0

FN1=FN2>(a)利用靜

EF\,=0Fcosa-F=0

N3+2FN1

力平衡方程，不能確定全部未知力的問題，稱為超

靜定問題。此問題稱一次靜不定問題，未知力的數(shù)

與獨(dú)立平衡數(shù)目之差數(shù)稱為超靜定次數(shù)。

二.超靜定問題解法

(1)建立足夠的補(bǔ)充方程

（a）靜力學(xué)方面——平衡方程

（b）幾何學(xué)方面——變形協(xié)調(diào)條件

（c）物理學(xué)方面——物理?xiàng)l件

（b）（c）補(bǔ)充方程。

(2)變形協(xié)調(diào)條件

A/,=A/jcosa(b)

（3）物理?xiàng)l件

A/,=區(qū)在

E'A'(c)

△/

44J

式（c）代入式（b）

E14E3Ay

,：l卡I/i=//cosa,故

"NJ"COS（X_FN31

EME3A3

式（d）為補(bǔ)充方程。

聯(lián)解式（a）與式（d）得

2

1r_Feosa

N2一"反不

2cos'a+——

E4

心\+2，cos”

EH

例1已知AB為剛性桿，F(xiàn)、a、L已知。

①②③桿抗拉壓剛度相等。求：FNI、/N2、FN3

解：一次靜不定問題

（1）平衡方程：

2MB=0Fwx2a+Fma=0（）

C'

B'

（2）變形協(xié)調(diào)條件

A/,+A/3=2A/2(b)

(3)物理?xiàng)l件

AZ,=融

EA

△/,=冬退(c)

EA

州=隆

3EA

注意：受力圖與變形圖必須保持一致式（c）代入式（b）得

補(bǔ)充方程

+FJ_2FNJ（d）

~EA^~EA~~EA

聯(lián)解式（a）與式（d）得

%=-7（壓力）

6

FN2=T,

F5F

F-=TJ

§2.11溫度應(yīng)力和裝配應(yīng)力

一.溫度應(yīng)力

溫度變化將引起物體的膨脹或收縮。

當(dāng)溫度變化時，靜定結(jié)構(gòu)可以自由變形，

將不會在構(gòu)件內(nèi)引起內(nèi)力。但對超靜定結(jié)

構(gòu)，其變形及部分或全部受到約束，往往

引起內(nèi)力。這種由于溫度變化而引起構(gòu)件

的應(yīng)力稱為熱應(yīng)力或溫度應(yīng)力。*（溫度

伸縮節(jié)

均勻變化；溫度非均勻變化）

例1已知高壓蒸汽管道。八￡、/、/、&T,求溫度應(yīng)力內(nèi)一線膨脹系數(shù)。

解：（1）平衡方程：

E網(wǎng)=0死―弓=0(a)

FA=FB,

(2)變形條件：MT=A/ra(b)

(3)物理?xiàng)l件：

A/r=CX[ATI

-里(c)

，，EA.

式(c)代入式(b)a\Tl=—(d)

}EA

聯(lián)解(a)(d)得：巴=FB=EAa^T

應(yīng)力：%="=&/￡AT

A

二.裝配應(yīng)力

靜定結(jié)構(gòu)，由于構(gòu)件制造的微小誤差，在裝配時會引起結(jié)構(gòu)幾何形

狀的微小改變，而不會引起內(nèi)力。但超靜定結(jié)構(gòu)，由于加工的微小誤差，

在裝配時，將在結(jié)構(gòu)內(nèi)引起應(yīng)力，這種應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。

例2已知8為很小量,小=42,h=12,Ei=E?,E3,4，I,a,求：

°1°2,。3

解：（1）平衡方程〃〃/〃〃/〃/〃/

=0Fsina-Fsina=0

N1N2'：（

=0F-cosa-Fcosa=0

N3FN1N2

（2）變形協(xié)調(diào)條件

A/3+A/,/cosa-5

rvjol

（3）物理?xiàng)l件：

E3A>⑹\WUI6

A/_.r//cosa

‘一44JALI\

式（c）代入式（b）得補(bǔ)充方程D品&

F"［九N/〃cosa=6Q

E3A344cosa

X

A

聯(lián)解式（a）式（d）得

p_毋34

N3/2￡3

"/（14-￡34IAcosa）

F二陽4

N22/cos"（1+44/2用4cos3a）

應(yīng)力歷=%=勺

44

例3鋼桿①②③Z=200mm2,/=1000mm,￡=210GPa,5=0.8mm,

AC為剛性桿，求：裝配后的&1、⑸2、&3

解：裝配后的變形如圖示

(1)平衡方程

=0FN3-2（7-然2a=0

EM=0FN1-2a-FN2a=0

(2)變形協(xié)調(diào)條件

M+2M+M=3（b）

(3)物理?xiàng)l件:

式(c)代入式(b)得補(bǔ)充方程

、+2^~+刷=3

EAEAEA

聯(lián)解式（a）式（d）得

FNI=5.33kN

FN2=10.66kN

FN3=5.33kN

§2.12應(yīng)力集中的概念

1.概念

等截面直桿受軸向拉伸或壓縮時，橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的。

由于實(shí)際需要，有些零件必須有切口、切槽、油孔、螺紋、軸肩等，以

致在這些部位上截面尺寸發(fā)生突然變化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論分析表明，在

零件尺寸突然改變處的橫截面上，應(yīng)力并不是均勻分布的。

2.應(yīng)力集中——由于桿件外形突然變化，而引起局部應(yīng)力急劇增大

的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中。

3(b)

3.理論應(yīng)力集中因數(shù)

(7

K=—

。max最人應(yīng)力

0-----平均應(yīng)力

試驗(yàn)結(jié)果表明：截面尺寸改變得越急劇、角越尖，孔1

越小，應(yīng)力集中的程度就越嚴(yán)重。因此，零件應(yīng)盡量避免""

帶尖角的孔和槽，對階梯軸的過渡圓弧，半徑應(yīng)盡量大一------

些。/仁1

4.材料對應(yīng)力集中敏感性討論

\F

塑性材料（不敏感由于屈服可使應(yīng)力重新分布而松馳

脆性材料（敏感康大應(yīng)力達(dá)到強(qiáng)度極限而產(chǎn)裂紋,若裂紋

西卻升失穩(wěn)擴(kuò)展而發(fā)生斷裂

灰鑄鐵（不敏感的部不均勻性和缺陷往往是產(chǎn)生應(yīng)力集

中的主要因素，外形改變引起的應(yīng)力集中的次要因素對

強(qiáng)度無明顯影響

動載荷（非常敏感晉零件受沖擊載荷或交變應(yīng)力作用時，不論是塑

性材料還是脆性材料都有嚴(yán)重影響，往往是零件破壞的主

要根源

§2.13剪切和擠壓的實(shí)用計算

1.剪切的實(shí)用計算

（1）連接件：抑釘.、銷釘、螺栓、鍵等都是

受剪構(gòu)件。

剪切：當(dāng)在桿件某一截面處，在桿件兩側(cè)受

到等值，反向、作用線平行且相距很近一對力作

用時，將使桿件兩部分沿這一截面（剪切面）發(fā)

生相對錯動的變形，這種變形稱為剪切。(b)

（2）切應(yīng)力

ZF,=0F-Fs=0

Fs=F

假定切應(yīng)力在剪切面上均勻分布，則

F

T=——s

A

（3）強(qiáng)度條件

r=—<[r]

A

強(qiáng)度計算：（p校核

②設(shè)計截面%>魯F

③確定許用載荷&《用力

2.擠壓的實(shí)用計算

(1)擠壓：在外力作用下，在連接件和被連接件之間，必須在接觸

面上相互壓緊，這種現(xiàn)象稱為擠壓。

(2)擠壓應(yīng)力

F

Gbs-丁

F——擠壓力

/bs——擠壓面面積

假定擠壓應(yīng)力在擠壓面上均勻分布。

(3)擠壓面面積：

①擠壓面為平面，面積為平面面積

②擠壓面為圓柱面，取直徑面面積,所得平均應(yīng)力與最大擠壓應(yīng)力

大致接近。Ahs=8d

(4)強(qiáng)度條件:

P

4

例1已知材料的剪切許用應(yīng)力［T］和拉伸的許用應(yīng)力［。］