2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊 第十五章 分式15.2 分式的運(yùn)算15.2.3 整數(shù)指數(shù)冪第2課時(shí) 負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)（新版）新人教版

2023八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第十五章分式15.2分式的運(yùn)算15.2.3整數(shù)指數(shù)冪第2課時(shí)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)（新版）新人教版授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間課程基本信息1.課程名稱：八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第十五章分式15.2分式的運(yùn)算15.2.3整數(shù)指數(shù)冪第2課時(shí)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的應(yīng)用

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：八年級(jí)（2）班

3.授課時(shí)間：2023年3月15日，第2節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)

親愛的同學(xué)們，大家好！今天我們要一起走進(jìn)數(shù)學(xué)的奧秘世界，探索負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的神奇魅力。讓我們一起用數(shù)學(xué)的思維，解開這個(gè)神秘的面紗吧！??????核心素養(yǎng)目標(biāo)1.理解和運(yùn)用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的概念，提高抽象思維和邏輯推理能力。

2.學(xué)會(huì)運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算解決實(shí)際問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。

3.培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的能力，通過小組討論和交流，提高溝通與表達(dá)技巧。

4.增強(qiáng)解決問題的信心，學(xué)會(huì)面對數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)時(shí)保持積極樂觀的態(tài)度。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

-重點(diǎn)掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義及其運(yùn)算規(guī)則。

-理解并能夠正確進(jìn)行負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的乘除運(yùn)算。

-能夠運(yùn)用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪簡化表達(dá)式，如\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)。

-舉例：講解\(2^{-3}\times4^{-2}\)的計(jì)算過程，強(qiáng)調(diào)指數(shù)運(yùn)算的規(guī)則。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

-理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的直觀意義，即分?jǐn)?shù)的倒數(shù)和指數(shù)的關(guān)系。

-突破對負(fù)指數(shù)運(yùn)算的直觀理解障礙，如\(a^{-n}\)如何轉(zhuǎn)化為\(\frac{1}{a^n}\)。

-應(yīng)用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪解決實(shí)際問題，如將指數(shù)運(yùn)算應(yīng)用于幾何圖形的面積或體積計(jì)算。

-舉例：在講解\(a^{-n}\)的含義時(shí)，可以通過實(shí)際例子，如\(a^{-2}\)代表一個(gè)數(shù)的平方的倒數(shù)，幫助學(xué)生建立直觀理解。在解決實(shí)際問題中，如計(jì)算一個(gè)立方體的體積時(shí)，如何利用\(a^{-3}\)來表示其體積的倒數(shù)。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都備有最新版的新人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊教材。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪相關(guān)的圖片、圖表，以及指數(shù)運(yùn)算的動(dòng)畫演示視頻，以幫助學(xué)生直觀理解概念。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器，以便學(xué)生在進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算時(shí)使用。

4.教室布置：設(shè)置小組討論區(qū)，并準(zhǔn)備白板或投影儀，以便展示解題過程和互動(dòng)討論。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

-首先復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生回顧分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算規(guī)則。

-展示一些簡單的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算題目，讓學(xué)生自主完成，以激活學(xué)生的已有知識(shí)。

-提問：“大家知道，當(dāng)指數(shù)為正整數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是如何計(jì)算的？那么當(dāng)指數(shù)為負(fù)整數(shù)時(shí)，又該如何處理呢？”

-通過這樣的提問，自然過渡到本節(jié)課的主題——負(fù)整數(shù)指數(shù)冪。

2.新課講授（用時(shí)15分鐘）

-第一步：介紹負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，用具體例子說明\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)的含義。

-舉例：講解\(2^{-3}\)是\(2\)的三次方的倒數(shù)，即\(\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)。

-第二步：講解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則，強(qiáng)調(diào)乘除運(yùn)算的規(guī)則。

-舉例：計(jì)算\(2^{-3}\times4^{-2}\)，引導(dǎo)學(xué)生思考如何運(yùn)用指數(shù)運(yùn)算的規(guī)則進(jìn)行簡化。

-第三步：通過實(shí)例展示如何將負(fù)整數(shù)指數(shù)冪應(yīng)用于實(shí)際問題中。

-舉例：使用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪計(jì)算一個(gè)圖形的面積或體積，如計(jì)算一個(gè)邊長為\(a\)的立方體的表面積。

3.實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)10分鐘）

-第一步：讓學(xué)生獨(dú)立完成一些負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算題目，如\(3^{-2}\times5^{-3}\)。

-第二步：小組合作，解決一些實(shí)際問題，如計(jì)算一個(gè)長方體的體積，已知長、寬、高分別為\(a^{-2}\)、\(b\)、\(c^3\)。

-第三步：讓學(xué)生嘗試將負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行對比，找出它們的異同點(diǎn)。

4.學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

-第一方面：討論負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的直觀意義。

-舉例：討論\(a^{-n}\)和\(a^n\)的關(guān)系，如何通過圖形或?qū)嶋H物品來幫助理解倒數(shù)和指數(shù)的關(guān)系。

-第二方面：討論負(fù)整數(shù)指數(shù)冪在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。

-舉例：討論如何使用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪來簡化復(fù)雜表達(dá)式，如化簡\(a^{-3}\timesb^4\divc^2\)。

-第三方面：討論學(xué)生在運(yùn)算過程中遇到的問題和困惑。

-舉例：討論如何正確處理指數(shù)為負(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，如\(2^{-4}\div2^{-2}\)。

5.總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

-對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義、運(yùn)算規(guī)則和實(shí)際應(yīng)用。

-提問學(xué)生：“今天我們學(xué)習(xí)了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，你們覺得它有什么特點(diǎn)？它在數(shù)學(xué)中有什么作用？”

-引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的重難點(diǎn)，如負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義和運(yùn)算規(guī)則。

-布置課后作業(yè)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，如完成教材中的練習(xí)題和拓展題。

整個(gè)教學(xué)流程用時(shí)約35分鐘，剩余時(shí)間可以用于個(gè)別輔導(dǎo)和課堂小結(jié)。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的幾何解釋：可以引入幾何圖形，如正方體、長方體等，通過圖形的面積和體積來幫助學(xué)生理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的幾何意義。

-指數(shù)運(yùn)算的歷史背景：介紹指數(shù)運(yùn)算的發(fā)展歷程，從古埃及到現(xiàn)代數(shù)學(xué)，讓學(xué)生了解指數(shù)運(yùn)算是如何演變成今天的形式。

-指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：介紹指數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，如單調(diào)性、奇偶性等，這些性質(zhì)在理解負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)也會(huì)有所幫助。

2.拓展建議：

-學(xué)生可以嘗試自己繪制一些指數(shù)函數(shù)的圖像，觀察圖像隨指數(shù)的變化而變化的規(guī)律。

-鼓勵(lì)學(xué)生通過實(shí)際生活情境來應(yīng)用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，例如計(jì)算貸款利息、計(jì)算折扣后的價(jià)格等。

-組織學(xué)生進(jìn)行小組項(xiàng)目，每個(gè)小組選擇一個(gè)與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，通過合作研究，提出解決方案并展示給全班。

具體拓展建議如下：

-**幾何解釋拓展**：

-讓學(xué)生制作一個(gè)正方體模型，并計(jì)算其表面積和體積，然后討論如何使用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪來表示這些幾何量的倒數(shù)。

-通過實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生觀察不同形狀的圖形在縮小或放大時(shí)，其面積和體積如何變化，從而理解指數(shù)冪在幾何中的應(yīng)用。

-**歷史背景拓展**：

-提供一些關(guān)于指數(shù)運(yùn)算歷史發(fā)展的資料，讓學(xué)生了解指數(shù)的概念是如何從古埃及的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中逐漸發(fā)展起來的。

-通過研究歷史文獻(xiàn)，讓學(xué)生了解指數(shù)運(yùn)算在古代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，以及它們是如何被現(xiàn)代數(shù)學(xué)所采納和發(fā)展的。

-**指數(shù)函數(shù)性質(zhì)拓展**：

-通過圖形計(jì)算器或在線工具，讓學(xué)生繪制指數(shù)函數(shù)\(y=a^x\)（\(a>1\)）和\(y=a^{-x}\)的圖像，比較兩者的差異。

-討論指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，讓學(xué)生通過實(shí)際操作來觀察這些性質(zhì)。

-**實(shí)際問題應(yīng)用拓展**：

-設(shè)計(jì)一些實(shí)際問題，如計(jì)算復(fù)利的利息，或者計(jì)算折扣后的價(jià)格，讓學(xué)生應(yīng)用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪來解決這些問題。

-讓學(xué)生收集現(xiàn)實(shí)生活中的例子，如科技發(fā)展中的指數(shù)增長，如計(jì)算機(jī)處理速度的提高等，分析這些例子中的指數(shù)增長模式。

-**小組項(xiàng)目拓展**：

-分配給每個(gè)小組一個(gè)與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，如“如何使用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪來計(jì)算一個(gè)物體的表面積或體積的倒數(shù)？”

-小組需要研究問題、設(shè)計(jì)解決方案、收集數(shù)據(jù)、進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、分析結(jié)果，并最終向全班展示他們的發(fā)現(xiàn)。典型例題講解1.例題1：計(jì)算\(3^{-2}\times4^{-3}\)。

-解答：首先，將每個(gè)數(shù)的指數(shù)部分轉(zhuǎn)換為正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)，即\(3^{-2}=\frac{1}{3^2}\)和\(4^{-3}=\frac{1}{4^3}\)。然后，進(jìn)行乘法運(yùn)算：

\[

3^{-2}\times4^{-3}=\frac{1}{3^2}\times\frac{1}{4^3}=\frac{1}{9}\times\frac{1}{64}=\frac{1}{576}

\]

-答案：\(\frac{1}{576}\)

2.例題2：化簡表達(dá)式\(\frac{2^{-3}}{8^{-2}}\)。

-解答：首先，將分母的指數(shù)轉(zhuǎn)換為正整數(shù)指數(shù)冪的倒數(shù)，即\(8^{-2}=\frac{1}{8^2}\)。然后，將分子和分母的指數(shù)相減：

\[

\frac{2^{-3}}{8^{-2}}=\frac{2^{-3}}{\frac{1}{8^2}}=2^{-3}\times8^2=\frac{1}{2^3}\times64=\frac{64}{8}=8

\]

-答案：8

3.例題3：求解方程\(x^{-3}=27\)。

-解答：首先，將方程兩邊同時(shí)乘以\(x^3\)，得到\(1=27x^3\)。然后，解\(x^3\)：

\[

x^3=\frac{1}{27}\Rightarrowx=\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}

\]

-答案：\(x=\frac{1}{3}\)

4.例題4：計(jì)算\((\frac{1}{2})^{-4}+(2^4)^{-1}\)。

-解答：首先，計(jì)算每個(gè)部分：

\[

(\frac{1}{2})^{-4}=2^4=16

\]

\[

(2^4)^{-1}=2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}

\]

然后，將兩部分相加：

\[

16+\frac{1}{16}=\frac{256}{16}+\frac{1}{16}=\frac{257}{16}

\]

-答案：\(\frac{257}{16}\)

5.例題5：化簡表達(dá)式\(\frac{a^{-3}}{b^3}\timesb^{-3}\timesa^3\)。

-解答：首先，將分母和分子中的指數(shù)部分合并：

\[

\frac{a^{-3}}{b^3}\timesb^{-3}\timesa^3=a^{-3}\timesa^3\timesb^{-3}\timesb^{-3}=a^{(-3+3)}\timesb^{(-3-3)}=a^0\timesb^{-6}=1\times\frac{1}{b^6}=\frac{1}{b^6}

\]

-答案：\(\frac{1}{b^6}\)內(nèi)容邏輯關(guān)系①負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義

-知識(shí)點(diǎn)：\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

-詞句：倒數(shù)、指數(shù)、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

②負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)則

-知識(shí)點(diǎn)：乘法運(yùn)算\(a^{-m}\timesa^{-n}=a^{-(m+n)}\)，除法運(yùn)算\(\frac{a^{-m}}{a^{-n}}=a^{-(m-n)}\)

-詞句：指數(shù)法則、冪的乘除運(yùn)算

③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的實(shí)