浙江省金華市2024年高一《數(shù)學(xué)》上冊期末試題與參考答案

18/22浙江省金華市2024年高一《數(shù)學(xué)》上冊期末試卷與參考答案一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B.C. D.【答案】C【詳解】.故選：C.2.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)可以為（）A.1 B.3C.4 D.7【答案】D【分析】由集合的交集運(yùn)算及集合元素的互異性討論可得解.【詳解】由，知，C不可能；由，知且，否則中有元素1或者3，矛盾，即AB不可能；當(dāng)時，，符合題意，因此實(shí)數(shù)可以為7.故選：D3.若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】A【詳解】令函數(shù)，顯然在上單調(diào)遞減，，因?yàn)槿我?，不等式恒成立，于是，所?故選：A4.哥哥和弟弟一起拎一重量為的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力為，弟弟用力為，若，且的夾角為120°時，保持平衡狀態(tài)，則此時與重物重力之間的夾角為（）A.60° B.90°C.120° D.150°【答案】C【詳解】根據(jù)力的平衡，的合力為，如圖所示：由于，且的夾角為，則為等邊三角形，則，則與重物重力之間的夾角為.故選：C5.“”是“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡模ǎ〢.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域?yàn)閯t恒成立求解的取值范圍判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)閯t恒成立，即，解得，故“”是“函數(shù)的定義域?yàn)椤钡谋匾怀浞謼l件.故選：B6.已知函數(shù)，，是正實(shí)數(shù)．若存在唯一的實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（）A.46 B.48C.52 D.64【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)，是正數(shù)，且存在唯一的實(shí)數(shù)，滿足，可得，利用，可得的最小值.【詳解】根據(jù)函數(shù)，是正數(shù)，且存在唯一的實(shí)數(shù)，滿足,可得，即，由，則，所以，故，故選：B7.某種廢氣需要經(jīng)過嚴(yán)格的過濾程序，使污染物含量不超過20%后才能排放．過濾過程中廢棄的污染物含量（單位：）與時間（單位：）之間的關(guān)系為，其中是原有廢氣的污染物含量（單位：），是正常數(shù)．若在前消除了20%的污染物，那么要達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)至少經(jīng)過（答案取整數(shù)）（）A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意列出方程和不等式即可求解.【詳解】由題有，設(shè)小時后污染物含量不超過，則，解得，即至少經(jīng)過29小時能達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn).故選：B.8.若實(shí)數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得在上為增函數(shù)，且為偶函數(shù)，再根據(jù)結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)判斷即可.【詳解】設(shè)，則為偶函數(shù)，設(shè)，則因?yàn)樵谏暇鶠樵龊瘮?shù)，故，故，故在上為增函數(shù)，且為偶函數(shù).又，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故，故.故選：C二、選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.在中（）A.若，則 B.若，則C. D.【答案】ACD【分析】對A，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷；對B，舉反例判斷；對CD，根據(jù)三角形內(nèi)角和為結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷.【詳解】對A，在中，由余弦函數(shù)單調(diào)性可得，故A正確；對B，若為鈍角，為銳角，則，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D正確.故選：ACD10.已知（）（）A.當(dāng)時，的值域?yàn)?B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，是偶函數(shù) D.當(dāng)時，是奇函數(shù)【答案】BC【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解AB，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷CD.【詳解】當(dāng)時，，此時的值域?yàn)?，故A錯誤，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以，B正確，當(dāng)時，，，所以是偶函數(shù)，C正確，當(dāng)時，，，則，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為非奇非偶函數(shù)，D錯誤，故選：BC11.已知函數(shù)（）的最小正周期為，則（）A.B.函數(shù)在上為增函數(shù)C.是的一個對稱中心D.函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱【答案】BD【分析】對A，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合最小正周期公式求解即可；對B，根據(jù)判斷即可；對C，根據(jù)判斷即可；對D，化簡判斷即可.【詳解】對A，，又最小正周期為，故，則，故A錯誤；對B，，當(dāng)時，，為正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，故B正確；對C，，故不是的一個對稱中心，故C錯誤；對D，為偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，故D正確.故選：BD12.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)是周期函數(shù)B.函數(shù)有最大值和最小值C.函數(shù)有對稱軸D.對于，函數(shù)單調(diào)遞增【答案】BC【分析】利用函數(shù)對稱性的定義可判斷C選項(xiàng)；判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)最值的定義可判斷B選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷D選項(xiàng)；利用反證法結(jié)合B選項(xiàng)中的結(jié)論可判斷A選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋瑢τ贑選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，函?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C對；對于D選項(xiàng)，因，，故函數(shù)在上不單調(diào)，D錯；對于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對稱，要求函數(shù)的最大值和最小值，只需求出函數(shù)在上的最大值和最小值即可，設(shè)，當(dāng)時，，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由對稱性可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，故函數(shù)在處取得最大值，且，故函數(shù)在處取得最小值，且最小值為，當(dāng)時，則，則函數(shù)在上為減函數(shù)，對任意的、，且，則，，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)楫?dāng)時，函數(shù)取得最大值，故函數(shù)僅在處取得最大值，對任意的，，，若，則，若，則，則，則，所以，.綜上所述，對任意的，，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，在處取得最小值，綜上所述，函數(shù)既有最大值，也有最小值，C對；對于A選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，函數(shù)僅在處取得最大值，若函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，則，與題意矛盾，故函數(shù)不可能是周期函數(shù)，A錯.故選：BC.三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______0（填＞或＜）．【答案】＞【分析】判斷角所在象限，然后根據(jù)正弦函數(shù)在每個象限的符號分析即可.【詳解】，故2對應(yīng)的角度終邊在第二象限，則；故答案為：.14.函數(shù)（為月份），近似表示某地每年各個月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)，游客流量越大所需服務(wù)工作的人數(shù)越多，則可以推斷，當(dāng)______時，游客流量最大．【答案】8【分析】根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)的最大值及取最大值時的值，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時，取最大值，所以時，取最大值，又游客流量越大所需服務(wù)工作的人數(shù)越多，所以時，游客流量最大．15.已知函數(shù)則方程的所有根之積為______．【答案】【分析】解方程，可得出該方程的根，再將所有根全部相乘，即可得解.【詳解】令，由可得，當(dāng)時，由，即，則，即方程無解；當(dāng)時，由，可得或.（1）當(dāng)時，當(dāng)時，由可得，解得，，當(dāng)時，由可得，；（2）當(dāng)時，當(dāng)時，由可得，，方程無解，當(dāng)時，由可得，，因此，方程的所有根之積為.故答案為：.16.若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的最小值為______．【答案】【分析】結(jié)合題意由值域?yàn)檗D(zhuǎn)化，結(jié)合基本不等式求出最值即可.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)定義域?yàn)?，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以在上恒成立，?dāng)時，則，則，此時必有，變形可得，當(dāng)時，則，則，此時必有，變形可得，綜合可得：在上恒成立，設(shè)，，則，因?yàn)?，所以且，由基本不等式可得，即，所以，因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以，解得，故?shí)數(shù)的最小值為.故答案為：.四、解答題本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）3（2）4【分析】（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則可得答案；（2）由指數(shù)冪的運(yùn)算法則及平方和，立方差等公式計算可得答案.【小問1詳解】結(jié)合題意可得：;【小問2詳解】結(jié)合題意可得：.18.已知向量，．（1）若，求的坐標(biāo)；（2）若，求與的夾角．【答案】（1）或（2）．【分析】（1）設(shè)，結(jié)合向量的模長公式求解即可；（2）根據(jù)垂直向量數(shù)量積為0，結(jié)合向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】由題意，設(shè)．，，，或．小問2詳解】，，，即，．設(shè)與的夾角為，則．又，，與的夾角為．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期與對稱軸方程；（2）當(dāng)且時，求的值．【答案】（1）最小正周期為，對稱軸方程為（2）【分析】（1）利用三角恒等化簡函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可得出函數(shù)的最小正周期，利用正弦型函數(shù)的對稱性可得出函數(shù)的對稱軸方程；（2）由已知條件可求出的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用兩角和的正弦公式可求得的值.【小問1詳解】解：由題設(shè)有，所以，函數(shù)的最小正周期是，由，可得，所以，函數(shù)的對稱軸方程為.【小問2詳解】解：由得，即，因?yàn)?，所以．若，則與，矛盾則．從而．于是．20.如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是扇形弧上的動點(diǎn)，過作的平行線交于．記．（1）求的長（用表示）；（2）求面積的最大值，并求此時角的大?。敬鸢浮浚?）（2）時，面積的最大值為．【分析】（1）過，作的垂線，垂足分別為，，由求解；（2）由求解．【小問1詳解】解：過，作的垂線，垂足分別為，，則，，，．【小問2詳解】，．，，，即時，，因此，當(dāng)時，面積最大值為．21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性（不必給出證明）；（2）當(dāng)時，求的值域；（3）若存在，，使得，求的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞減（2）（3）【分析】（1）根據(jù)函數(shù)之差的單調(diào)性判斷即可；（2）根據(jù)基本不等式求解即可（3）令，再根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題列式可得，再根據(jù)韋達(dá)定理求解即可.【小問1詳解】當(dāng)時，，因?yàn)闉闇p函數(shù)，為增函數(shù)，故在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；所以的值域?yàn)椋拘?詳解】令，則問題等價于存在，，使得令，因?yàn)樵谟袃蓚€零點(diǎn)，故，即解得．由韋達(dá)定理和根的定義可知：，．又因?yàn)?，故的取值范圍為?2.二次函數(shù)的最大值為，且滿足，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若存在，使得，且的所有零點(diǎn)構(gòu)成的集合為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）分析可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)題意設(shè)，其中，由可求出的值，即可得出函數(shù)的解析式；（2）由可得，令，分、、三種情況討論，在第一種情況