初中數(shù)學(xué)組卷三角形及四邊形

中考數(shù)學(xué)幾何題

一.選擇題（共19小題）

1.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，AE平分NDAC,AE交CD于點(diǎn)F,CE±AE,

垂足為點(diǎn)E,EG±CD,垂足為點(diǎn)G,點(diǎn)H在邊BC上，BH=DF,連接AH、FH,FH

與AC交于點(diǎn)M,以下結(jié)論：

①FH=2BH；（2）AC±FH；（3）SAACF=1;@CE=1AF；⑤EG?=FG?DG,

2

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

2.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，4AEF是等邊三角形，

連接AC交EF于點(diǎn)G,下列結(jié)論：①CE=CF,②NAEB=75°,③AG=2GC,④BE+DF=EF,

⑤SMEF=2S.ABE，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

3.如圖，正方形ABCD中，P為AB中點(diǎn)，BELDP交DP延長(zhǎng)線于E,連結(jié)AE,

AFLAE交DP于F,連結(jié)BF,CF.下列結(jié)論：①EF=&AF；②AB=FB；③CF〃BE；

④EF=CF.其中正確的結(jié)論有（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

4.如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0,過(guò)。點(diǎn)作OE^AC,交

AB于E,若BC=4,AAOE的面積是5,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.AE=5B.ZBOE=ZBCEC.CE±OBD.sinZB0E=2

5

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB,F是AD的中點(diǎn)，作CE,AB,垂足

E在線段AB上，連接EF、CF,則下列結(jié)論中一定成立的是（）

①NDCF=LNBCD；②EF=CF；③NDFE=3NAEF；@SABEC=2SACEF.

6.如圖，由兩個(gè)長(zhǎng)為9,寬為3的全等矩形疊合而得到四邊形ABCD,則四邊形

7.如圖，點(diǎn)。為正方形ABCD的中心，BE平分NDBC交DC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到

點(diǎn)F,使FC=EC,連結(jié)DF交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連結(jié)0H交DC于點(diǎn)G,連結(jié)

HC.則以下四個(gè)結(jié)論中：①OH〃BF,②GH=LBC,③OD=^BF,④NCHF=45。.正

42

確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（)

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

8.如圖，在矩形ABCD中，AD=&AB,ZBAD的平分線交BC于點(diǎn)E,DH±AE

于點(diǎn)H,連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,連接DE交BF于點(diǎn)0,下列結(jié)論：

?△ABE^AAHD；②HE=CE；③H是BF的中點(diǎn)；④AB=HF；

9.如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BELAC于點(diǎn)，連接DF,分析下

列四個(gè)結(jié)論：①△AEFs^CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④S四邊形CDEF=%AABF其中

2

正確的結(jié)論有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

10.已知點(diǎn)D與點(diǎn)A(0,6),B(0,-4),C(x,y)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),

其中x,y滿(mǎn)足3x-4y+12=0,則CD長(zhǎng)的最小值為()

A.10B.26C.邁D.4

5

11.如圖，邊長(zhǎng)一定的正方形ABCD,Q為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ交BD于點(diǎn)M,

過(guò)M作MNLAQ交BC于點(diǎn)N,作NPLBD于點(diǎn)P,連接NQ,下列結(jié)論:①AM=MN；

②MP=LBD；③BN+DQ=NQ；④AB+BN為定值.其中一定成立的是()

2BM

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

12.如圖，在邊長(zhǎng)為6加的正方形ABCD中，E是AB邊上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，BE=DG,連接EG,過(guò)點(diǎn)C作EG的垂線CH,垂足為點(diǎn)H,連接BH,BH=8.有

下列結(jié)論：

①NCBH=45°；②點(diǎn)H是EG的中點(diǎn)；③EG=4jI5；④DG=2加

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

13.如圖，已知梯形ABCD中，AD〃BC,AD=2,BC=5,4ABE和^CDF是等腰直

角三角形，ZBAE=ZCDF=90°,則四邊形AEDF的面積為（）

14.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)E,NBAD=135。，作AH,

BC,點(diǎn)H為垂足，AH交BD于點(diǎn)F,G是AB中點(diǎn)，連接GE交AH于點(diǎn)M,給出

下列結(jié)論：①AAEG是等腰三角形；②ME=LBC；③FH=HC；④AE2=EF?EB；⑤

4

AF?BH=FH?BC,其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（)

D

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

15.在Rt^ABC中，AC=BC,點(diǎn)D為AB中點(diǎn).ZGDH=90°,NGDH繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),

DG、DH分別與邊AC、BC交于E,F兩點(diǎn).下列結(jié)論：

①AE+BF=^AB,②^DEF始終為等腰直角三角形，

2

③S四邊形CEDF二IAB2,

8

(4)AE2+CE2=2DF2.

其中正確的是()

A.①②③④B.①②③C.①④D.②③

16.如圖，銳角^ABC中，D、E分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，AADC^AADC,△

AEB之△AEB',且C'D〃EB'〃BC,BE、CD交于點(diǎn)F.若NBAC=35°,則NBFC的大

小是（）

A.105°B.110℃.100°D.120°

17.如圖，在^ABC中，ZACB=90°,ZCAD=30°,AC=BC=AD,CE1CD,且CE=CD,

連接BD、DE、BE,則下列結(jié)論：①NECA=165°,②BE=BC；③AD=BE；④CD=BD.其

中正確的是（）

，E

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

18.已知，等腰Rt^ABC中AC=BC,點(diǎn)D在BC上，且NADB=105°,ED±AB,G

是AF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE交AG于F,且DE=2FG,連GE、GB.則下列結(jié)論:

@AG±BE；②NDGE=60°；③BF=2FG；④AD+&DC=AB.

其中正確的結(jié)論有（）

A.①②B.①②④C.①③④D.②③④

19.如圖，在^ABC中，ZACB=90",AC=BC,AD平分NBAC,CE，AD交AB于E,

BE=CF,BF交CE于P,連PD,下列結(jié)論：①AC=AE,②CD=BE,③PB=PF,④DP=BF,

D.①③

二.填空題（共5小題）

20.如圖，正方形ABCD中，AB=6,點(diǎn)E在邊CD上，且CD=3DE,將^ADE沿

AE對(duì)折至^AFE,延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG、CF.下列結(jié)論：

四；；〃；

①4ABG^AFG②BG=CG③AGGF@SAABG=SAAFG;@ZAGB+ZAED=145°.

其中正確的個(gè)數(shù)有個(gè).

21.如圖，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，。是EG的中點(diǎn)，Z

EGC的平分線GH過(guò)點(diǎn)D,交BE于點(diǎn)H,連接OH,FH,EG與FH交于點(diǎn)M,對(duì)

于下面四個(gè)結(jié)論：

①GHLBE；②BG=EG；③△MFG為等腰三角形；④DE：AB=1+A/2-

其中正確結(jié)論的序號(hào)為—.

22.如圖，邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，ZDAB=60°.連結(jié)對(duì)角線AC,以AC為邊

作第二個(gè)菱形ACEF,使NFAC=60。.連結(jié)AE,再以AE為邊作第三個(gè)菱形AEGH

使NHAE=60。…按此規(guī)律所作的第n個(gè)菱形的邊長(zhǎng)是—.

23.如圖，在菱形ABCD中，NA=60。，E、F分別是AB,AD的中點(diǎn)，DE、BF相

交于點(diǎn)G,連接BD,CG.有下列結(jié)論，其中正確的有—（填正確結(jié)論的序號(hào)）.

2

@ZBGD=120°；②BG+DG=CG；?ABDF^ACGB；(4)SAABD=AB.

D

24.如圖，在正方形ABCD中，分別以AD,BC為斜邊作RtAADE和RtACBF,

5.RtAADE^RtACBF,連結(jié)EF,若S正方形ABCD=20,SAADE=3,則EF=

三.解答題(共15小題)

25.△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B,C

重合)，以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF,連接CF.

(1)觀察猜想

如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，

①BC與CF的位置關(guān)系為：—.

②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為：—；(將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線上)

(2)數(shù)學(xué)思考

如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，

請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)你寫(xiě)出正確結(jié)論再給予證明.

(3)拓展延伸

如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)BA交CF于點(diǎn)G,連接GE.若已

知AB=2&,CD=1BC,請(qǐng)求出GE的長(zhǎng).

26.如圖1,我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)概念理解：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,CB=CD,問(wèn)四邊形ABCD

是垂美四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)性質(zhì)探究：試探索垂美四邊形ABCD兩組對(duì)邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)

量關(guān)系.

猜想結(jié)論：(要求用文字語(yǔ)言敘述)—

寫(xiě)出證明過(guò)程(先畫(huà)出圖形，寫(xiě)出已知、求證).

(3)問(wèn)題解決：如圖3,分別以Rt^ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正

方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE長(zhǎng).

27.如圖1,在正方形ABCD內(nèi)作NEAF=45。，AE交BC于點(diǎn)E,AF交CD于點(diǎn)F,

連接EF,過(guò)點(diǎn)A作AHLEF,垂足為H.

(1)如圖2,WAADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得至！J&BG.

①求證：4AGE^4AFE；

②若BE=2,DF=3,求AH的長(zhǎng).

(2)如圖3,連接BD交AE于點(diǎn)M,交AF于點(diǎn)N.請(qǐng)?zhí)骄坎⒉孪耄壕€段BM,

MN,ND之間有什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

圖1圖2圖3

28.如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過(guò)點(diǎn)E作EG

〃CD交AF于點(diǎn)G,連接DG.

(1)求證：四邊形EFDG是菱形；

(2)探究線段EG、GF、AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)若AG=6,EG=2泥，求BE的長(zhǎng).

29.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，連接BE,DE.

(1)如圖1,求證：4BCE之ADCE；

(2)如圖2,延長(zhǎng)BE交直線CD于點(diǎn)F,G在直線AB上，且FG=FB.

①求證：DEXFG；

②已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,若點(diǎn)E在對(duì)角線AC上移動(dòng)，當(dāng)4BFG為等邊三

角形時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)(直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程).

30.如圖，4ABC和4CDE是等腰直角三角形，NBAC=NCED=NBCE=90。.點(diǎn)M

為BC邊上一點(diǎn)，連接EM、BD交于點(diǎn)N,點(diǎn)N恰好是BD中點(diǎn)，連接AN.

(1)求證：MN=EN；

(2)連接AM、AE,請(qǐng)?zhí)骄緼N與EN的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.

①寫(xiě)出AN與EM：位置關(guān)系—；數(shù)量關(guān)系—；

②請(qǐng)證明上述結(jié)論.

31.已知等邊三角形ABC中，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），D是CB

延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DE=EC.

（1）當(dāng)E是AB邊上中點(diǎn)時(shí)，如圖1,線段AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB

（填"<"或"="）

（2）當(dāng)E是AB邊上任一點(diǎn)時(shí)，小敏與同桌小聰討論后，認(rèn)為（1）中的結(jié)論依

然成立，并進(jìn)行了如下解答：解：如圖2,過(guò)點(diǎn)E作EF〃BC,交AC于點(diǎn)F

（請(qǐng)你按照上述思路，補(bǔ)充完成全部解答過(guò)程）

（3）當(dāng)E是線段AB延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)時(shí)，如圖3.（1）中的結(jié)論是否依然成立？

若成立，請(qǐng)證明.若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

32.如圖，AB、CD交于點(diǎn)E,AD=AE,CB=CE,F、G、H分別是DE、BE、AC的

中占

I八、、?

(1)求證：AF±DE；

(2)求證：FH=GH.

33.如圖，已知NABC=90°,D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC.

(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AF,AB,并截取AF=BD,連接DC、DF、CF,判斷^CDF

的形狀并證明；

(2)如圖2,E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD,直線AE、CD相交于點(diǎn)P,ZAPD

的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

34.操作發(fā)現(xiàn)

將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊與含30。角

的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合.

問(wèn)題解決

將圖①中的等腰直角三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30。，點(diǎn)C落在BF上，AC與

BD交于點(diǎn)O,連接CD,如圖②.

(1)求證：△CDO是等腰三角形；

(2)若DF=8,求AD的長(zhǎng).

35.已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A,B重合），分別過(guò)

A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點(diǎn).

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是,QE與QF的

數(shù)量關(guān)系式一；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)

系，并給予證明；

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段BA（或AB）的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)（2）中的結(jié)論是

否成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明.

36.如圖，已知點(diǎn)D為等腰直角AABC內(nèi)一點(diǎn)，NCAD=NCBD=15。，E為AD延

長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=CA.

(1)求證：DE平分NBDC；

(2)若點(diǎn)M在DE上，且DC=DM,求證：ME=BD.

37.已知：ZiABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC,點(diǎn)F在CE的

延長(zhǎng)線上，CF=AB,求證：AF±AQ.

0

B

C

38.如圖，在^ABC中，AB=AC=a,BC=b,且2a>b,BG^AC于G,DE，AB于

E,DFLAC于F.

（1）在圖（1）中，D是BC邊上的中點(diǎn)，計(jì)算DE+DF和BG的長(zhǎng)（用a,b表示）,

并判斷DE+DF與BG的關(guān)系.

（2）在圖（2）中，D是線段BC上的任意一點(diǎn)，DE+DF與BG的關(guān)系是否仍然成

立？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）在圖（3）中，D是線段BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，探究DE、DF與BG的關(guān)系.（不

要求證明）

39.等邊△ABC,點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊4ADE,

連接CE.

(1)如圖1,若點(diǎn)D在線段BC上，求證：CE+CD=AB；

(2)如圖2,若點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，線段CE,CD,AB的數(shù)量有怎樣的數(shù)量

關(guān)系？請(qǐng)加以證明.

2017年02月28日賬號(hào)1的初中數(shù)學(xué)組卷三角形及四邊

形

參考答案與試題解析

一.選擇題（共19小題）

1.（2016?牡丹江）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，AE平分NDAC,AE交CD

于點(diǎn)F,CEXAE,垂足為點(diǎn)E,EGXCD,垂足為點(diǎn)G,點(diǎn)H在邊BC上，BH=DF,

連接AH、FH,FH與AC交于點(diǎn)M,以下結(jié)論：

①FH=2BH；（2）AC±FH；（3）SAACF=1;④CE=1AF；⑤EG?=FG?DG,

2

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

【分析】①②、證明△ABH之AADF,得AF=AH,再得AC平分NFAH,則AM既

是中線，又是高線，得ACLFH,證明BH=HM=MF=FD,貝UFH=2BH；所以①②都

正確；

③可以直接求出FC的長(zhǎng)，計(jì)算SMCFWL錯(cuò)誤；

④根據(jù)正方形邊長(zhǎng)為2,分別計(jì)算CE和AF的長(zhǎng)得結(jié)論正確；

⑤利用相似先得出EG2=FG.CG,再根據(jù)同角的三角函數(shù)列式計(jì)算CG的長(zhǎng)為1,

則DG=CG,所以⑤也正確.

【解答】解：①②如圖1,?四邊形ABCD是正方形，

；.AB=AD,NB=ND=90°,ZBAD=90°,

VAE平分NDAC,

AZFAD=ZCAF=22.5°,

VBH=DF,

.,.△ABH^AADF,

...AH=AF,NBAH=UFAD=22.5°,

.?.NHAC=NFAC,

AHM=FM,AC±FH,

VAE平分NDAC,

，DF=FM,

，F(xiàn)H=2DF=2BH,

故選項(xiàng)①②正確；

③在Rt^FMC中，ZFCM=45°,

.?.△FMC是等腰直角三角形，

???正方形的邊長(zhǎng)為2,

.，.AC=2；r2，MC=DF=2./2-2,

.?.FC=2-DF=2-(2后2)=4-2加,

SMFC」CF?ADW1,

2

所以選項(xiàng)③不正確；

?AF=VAD2+DF2=722+(2V2-2)

VAADF^ACEF,

AD二AF,

"'CE^FC'

?24-2?

＞，CE=4-272

.,.CE=V4-2V2-

.,.CE=XAF,

2

故選項(xiàng)④正確；

⑤在Rt^FEC中，EG±FC,

.*.EG2=FG?CG,

cosZFC

FC-CE

但也烏％,

CF4-2V2

，DG=CG,

AEG2=FG?DG,

故選項(xiàng)⑤正確；

本題正確的結(jié)論有4個(gè),

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，綜合考查了正方形、相似三角形、全等三角形

的性質(zhì)和判定；求邊時(shí)可以利用三角形相似列比例式，也可以直接利用同角三角

函數(shù)列式計(jì)算；同時(shí)運(yùn)用了勾股定理求線段的長(zhǎng)，勾股定理在正方形中運(yùn)用得比

較多.

2.（2016?黑龍江模擬）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，△

AEF是等邊三角形，連接AC交EF于點(diǎn)G,下列結(jié)論：①CE=CF,②NAEB=75。，

③AG=2GC,④BE+DF=EF,⑤SACEF=2S^ABE，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

E；

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】通過(guò)條件可以得出4ABE^4ADF,從而得出NBAE=NDAF,BE=DF,得

到CE=CF；由正方形的性質(zhì)就可以得出NAEB=75。；設(shè)EC=x,由勾股定理得到EF,

表示出BE,利用三角形的面積公式分別表示出S^CEF和2s"BE，再通過(guò)比較大小

就可以得出結(jié)論.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=ZD=ZBAD=90°.

VAAEF等邊三角形，

，AE=EF=AF,ZEAF=60°.

AZBAE+ZDAF=30".

在RtAABE和RtAADF中,

(AB=AD,

lAE=AF，

RtAABE^RtAADF(HL),

；.BE=DF,

，CE=CF,故①正確；

VZBAE=ZDAF,

I.NDAF+NDAF=30°,

即NDAF=15。,

.*.ZAEB=75",故②正確;

設(shè)EC=x,由勾股定理，得

EF=&x,CG=1x,

2_

AG=AEsin60°=EFsin60°=2XCGsin6O0=2ZL<,

2

...AGW2GC,③錯(cuò)誤；

,.,CG=2^X,AG=^X,

22

...AC=&+4x

2

.?.AB=AC?返』Ylx,

22

BE=—愿x-x=^Tx,

22

，BE+DF=(V5-1)x,

...BE+DFWEF,故④錯(cuò)誤；

,*'SACEF=—x2，

2

SMBE』XBEXAB=1X^XXV3-1x=-Lx2,

22224

=

2SAABESACEF>故⑤正確.

綜上所述，正確的有3個(gè),

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾

股定理的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答本題

時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題時(shí)關(guān)鍵.

3.（2016?南充模擬）如圖，正方形ABCD中，P為AB中點(diǎn)，BE，DP交DP延長(zhǎng)

線于E,連結(jié)AE,AFLAE交DP于F,連結(jié)BF,CF.下列結(jié)論：①EF=&AF；②

AB=FB；③CF〃BE；④EF=CF.其中正確的結(jié)論有（）個(gè).

【分析】根據(jù)已知和正方形的性質(zhì)推出NEAB=NDAF,ZEBA-ZADP,AB=AD,

證^ABE之ZXADF即可；取EF的中點(diǎn)M,連接AM,推出AM=MF=EM=DF,證N

AMB=NFMB,BM=BM,AM=MF,推出△ABM/^FBM即可；求出NFDC=NEBF,

推出ABEF之4DFC即可.

【解答】解：在正方形ABCD中，AB=AD,NBAD=90。，

AZDAF+ZBAF=90°,

VAF±AE,

AZBAE+ZBAF=90°,

AZBAE=ZDAF,

VBEXDP,

AZABE+ZBPE=90",

又：NADF+NAPD=90°,ZBPE=ZAPD,

AZABE=ZADF,

在AABE和AADF中，

'NABE=/ADF

<AB=AD，

LZBAE=ZDAF

.,.△ABE^AADF(ASA),

，AE=AF,

???△AEF是等腰直角三角形，

/.EF=V2AF；故①正確；

，AE=AF,BE=DF,

，NAEF=NAFE=45°,

取EF的中點(diǎn)M,連接AM,

.\AM±EF,AM=EM=FM,

ABEAM,

VAP=BP,

，AM=BE=DF,

AZEMB=ZEBM=45°,

ZAMB=90o+45°=135°=ZFMB,

在△ABM和△FBM中，

'AM=FM

<ZAMB=ZFMB-

.?.△ABM之△FBM(SAS),

；.AB=BF,故②正確；

，NBAM=NBFM,

VZBEF=90°,AM±EF,

AZBAM+ZAPM=90°,NEBF+NEFB=90°,

，NAPF=NEBF,

：AB〃CD,

AZAPD=ZFDC,

NEBF=NFDC,

在Z\BEF^DADFC中，

'BE=DF

<NEBF=/FDC，

網(wǎng)二DC

.,.△BEF^ADFC(SAS),

，CF=EF,NDFC=NFEB=90°,

故④正確；

ACFXDEP,

VBEXDP,

，CF〃BE；故③正確.

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與

性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí).注意準(zhǔn)確作出輔助

線是解此題的關(guān)鍵.

4.（2016秋?廬陽(yáng)區(qū)期末）如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,

過(guò)。點(diǎn)作OELAC,交AB于E,若BC=4,AAOE的面積是5,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的

是（）

A.AE=5B.ZBOE=ZBCEC.CE±OBD.sinZBOE=A

5

【分析】A、作輔助線，構(gòu)建矩形AGOF,利用面積為5,代入面積公式可求得

AE的長(zhǎng)為5,此說(shuō)法正確；

B、證明NABC+NEOC=180。，根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形四點(diǎn)共圓得：E、B、C、O

四點(diǎn)共圓，則NBCE=NBOE,此說(shuō)法正確；

C、因?yàn)镋、B、C、。四點(diǎn)共圓，所以根據(jù)垂徑定理可知：要想OBLCE,得保證

過(guò)圓心的直線平分弧，即判斷弦長(zhǎng)BE和0E的大小即可;

D、利用同角的三角函數(shù)計(jì)算.

【解答】解：A、過(guò)。作OFLAD于F,作OGLAB于G,

?四邊形ABCD是矩形，

，AC=BD,0A=17XC,OD」BD,

22

OA=OD,

.*.AF=FD=1AD=1BC=2,

22

ZAGO=ZBAD=ZAFO=90°,

???四邊形AGOF是矩形，

.?.OG=AF=2,

?.&AEO與E?OG=5,

2

.\AE=M=12^5,

OG2

所以此選項(xiàng)的說(shuō)法正確；

B、VOE±AC,

AZEOC=90°

VZABC=90°,

AZABC+ZEOC=180",

.,.E、B、C、。四點(diǎn)共圓，

AZBCE=ZBOE,

所以此選項(xiàng)的說(shuō)法正確；

C、在Rt^BEC中，由勾股定理得：BE=^52_42=3,

；.AB=3+5=8,

AC=VAB2+BC2=V82+42=4后

.,.AO=1AC=2A/5，

E0=VAE2-AO^752-(275)2=^>

.?.OEWBE,

：E、B、C、。四點(diǎn)共圓，

VZEOC=90°,

AEC是直徑，

AEC與OB不垂直；

此選項(xiàng)的說(shuō)法不正確；

D、sin/BOE=sin/BCE=%

EC5

所以此選項(xiàng)的說(shuō)法正確，

因?yàn)楸绢}選擇說(shuō)法錯(cuò)誤的，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定、四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)、勾股定理以及

解直角三角形的有關(guān)知識(shí)，較為麻煩，此類(lèi)題相當(dāng)于解決四個(gè)問(wèn)題，尤其是第三

問(wèn)利用了圓中的性質(zhì)進(jìn)行證明，比較容易理解；本題還利用了同角的三角函數(shù)求

一個(gè)角的正弦，這在解直角三角形中經(jīng)常運(yùn)用，要熟練掌握.

5.（2016春?開(kāi)江縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB,F是AD的

中點(diǎn)，作CELAB,垂足E在線段AB上，連接EF、CF,則下列結(jié)論中一定成立

的是（）

①NDCF=LNBCD；②EF=CF；③NDFE=3NAEF；@SABEC=2SACEF.

2

A.F口

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【分析】①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可；

②延長(zhǎng)EF,交CD延長(zhǎng)線于M,證明4AEF之△DMF,得到EF=FM,根據(jù)直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答；

③設(shè)NFEC=x,用x分別表示出NDFE和NAEF,比較即可；

④根據(jù)EF=FM,得到SAEFC=SMFM，根據(jù)MC>BE,得到SMEC<2S/FC.

【解答】解：①?.￥是AD的中點(diǎn)，

；.AF=FD,

?.?在回ABCD中，AD=2AB,

.?.AF=FD=CD,

AZDFC=ZDCF,

VAD//BC,

，NDFC=NFCB,

，NDCF=NBCF,

.*.ZDCF=1ZBCD,故此選項(xiàng)正確；

2

②如圖1,延長(zhǎng)EF,交CD延長(zhǎng)線于M,

:四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,

AZA=ZMDF,

,.,F為AD中點(diǎn)，

，AF=FD,

在4AEF和△DFM中，

'/A=NMDF

<NAFE=/DFM，

、AF=DF

.,.△AEF^ADMF(ASA),

，F(xiàn)E=MF,NAEF=NM,

VCE±AB,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90",

VFM=EF,

AFC=FE,故②正確；

③設(shè)NFEC=x,則NFCE=x,

AZDCF=ZDFC=90°-x,

AZEFC=180°-2x,

AZEFD=900-x+180°-2x=270°-3x,

ZAEF=90°-x,

.\ZDFE=3ZAEF,故此選項(xiàng)正確；

@VEF=FM,

??SAEFC=SACFM?

VMOBE,

SABEC<'2SAEFC

故SABEC=2SACEF錯(cuò)誤，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角

形的性質(zhì)，正確作出輔助線、得出△AEF/4DMF是解題關(guān)鍵.

6.（2016春?鎮(zhèn)江期中）如圖，由兩個(gè)長(zhǎng)為9,寬為3的全等矩形疊合而得到四

邊形ABCD,則四邊形ABCD面積的最大值是（）

【分析】首先根據(jù)圖1,證明四邊形ABCD是菱形；然后判斷出菱形的一條對(duì)角

線為矩形的對(duì)角線時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，設(shè)AB=BC=x,則BE=9-x,利

用勾股定理求出x的值，即可求出四邊形ABCD面積的最大值是多少.

【解答】解：如圖1,作AELBC于E,AFLCD于F,

圖1,

VAD/7BC,AB〃CD,

...四邊形ABCD是平行四邊形,

???兩個(gè)矩形的寬都是3,

，AE=AF=3,

,*'S四邊形ABCD=AE?BC=AF,CD，

BC=CD,

???平行四邊形ABCD是菱形.

設(shè)AB=BC=x,則BE=9-x,

BC2=BE2+CE2,

x2=(9-x)2+32,

解得x=5,

???四邊形ABCD面積的最大值是：

5X3=15.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理

的應(yīng)用，要熟練掌握.

7.（2016春?重慶期中）如圖，點(diǎn)。為正方形ABCD的中心，BE平分NDBC交

DC于點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使FC=EC,連結(jié)DF交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連結(jié)OH

交DC于點(diǎn)G,連結(jié)HC.則以下四個(gè)結(jié)論中：①OH〃BF,②GH=LBC,③OD」BF,

42

④NCHF=45。.正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

【分析】根據(jù)已知對(duì)各個(gè)結(jié)論進(jìn)行分析，從而確定正確的個(gè)數(shù).①作EJLBD于

J,連接EF,由全等三角形的判定定理可得△DJEZ^ECF,再由平行線的性質(zhì)得

出OH是4DBF的中位線即可得出結(jié)論；

②根據(jù)OH是4BFD的中位線，得出GH=1CF,由GH<1BC,可得出結(jié)論；

24

③易證得^ODH是等腰三角形，繼而證得OD=LBF；

2

④根據(jù)四邊形ABCD是正方形，BE是NDBC的平分線可求出RtABCE^RtADCF,

再由NEBC=22.5。即可求出結(jié)論.

【解答】解：作EJLBD于J,連接EF

VBE平分NDBC

.?.EC=EJ,

AADJE^AECF

；.DE=FE

AZHEF=45°+22.5°=67.5°

ZHFE=^—=22.5°

2

AZEHF=180°-67.5°-22.5°=90°

VDH=HF,OH是的中位線

...OH〃BF；故①正確；

.,.0H=1BF,ZDOH=ZCBD=45",

2

VOH是Z\BFD的中位線，

.\DG=CG=XBC,GH=1CF,

22

VCE=CF,

.?.GHJCFJCE

22

:CE<CG=LBC,

2

/.GH<1BC,故②錯(cuò)誤.

4

???四邊形ABCD是正方形，BE是NDBC的平分線，

BC=CD,ZBCD=ZDCF,NEBC=22.5°,

VCE=CF,

，RtABCE^RtADCF,

AZEBC=ZCDF=22.5°,

ZBFH=90°-ZCDF=90°-22.5°=67.5°,

?.,OH是△DBF的中位線，CD1AF,

...OH是CD的垂直平分線，

.?.DH=CH,

ZCDF=ZDCH=22.5°,

.\ZHCF=90°-ZDCH=90°-22.5°=67.5°,

ZCHF=1800-ZHCF-ZBFH=180°-67.5°-67.5°=45°,故④正確;

ZODH=ZBDC+ZCDF=67.5°,

AZOHD=180°-ZODH-ZDOH=67.5°,

ZODH=ZOHD,

.*.OD=OH=1BF；故③正確.

2

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及正

方形的性質(zhì).解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造等腰直角三角形，利用等腰直

角三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的性質(zhì)逐步解答.

8.（2016春?張家港市校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，AD=J^AB,NBAD的

平分線交BC于點(diǎn)E,DHLAE于點(diǎn)H,連接BH并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,連接DE交

BF于點(diǎn)O,下列結(jié)論：

①4ABE之△AHD；②HE=CE；③H是BF的中點(diǎn)；④AB=HF；

A.1B.2C.3D.4

【分析】①根據(jù)角平分線的定義可得NBAE=NDAE=45。，然后利用求出4ABE是

等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=&AB,從而得到AE=AD,

然后利用"角角邊"證明△ABE和4AHD全等；從而判斷出①正確；

②由①可得AB=BE=CD=HD,繼而證得NEDH=/EDC,然后由角平分線的性質(zhì)，

證得②正確；

③求出NEBH=NOHD=22.5°,ZAEB=ZHDF=45°,然后利用"角邊角"證明△BEH

和△HDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BH=HF,判斷出③正確；

④判斷出4ABH不是等邊三角形，從而得到ABWBH,即ABWHF,得到④錯(cuò)誤.

【解答】解：：在矩形ABCD中，AE平分NBAD,

，NBAE=NDAE=45°,

??.△ABE是等腰直角三角形，

.?.AE=&AB,

VAD=V2AB,

，AE=AD,

在AABE和AAHD中，

'NBAE=NDAE

<NABE=NAHD=90°，

,AE=AD

.,.△ABE^AAHD(AAS),故①正確；

，BE=DH,

，AB=BE=CD=HD,

AZADE=ZAED=1(180°-45°)=67.5°,

2

ZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,

AZAED=ZCED,

VZC=90°,DH±AE,

NEDH=NEDC,

/.HE=CE；故②正確；

VAB=AH,

VZAHB=1(180°-45°)=67.5°,

2

AZOHE=ZAHB=67.5°,

AZDHO=90°-67.5°=22.5°,

VZEBH=90°-67.5°=22.5°,

，NEBH=NOHD,

在△BEH和△HDF中，

'/EBH=N0HD=22.5°

<BE=DH，

AEB=NHDF=45°

.,.△BEH^AHDF(ASA),

，BH=HF,

即H是BF的中點(diǎn)；故③正確；

VAB=AH,NBAE=45°,

/.△ABH不是等邊三角形，

.?.ABWBH,

...即ABWHF,故④錯(cuò)誤；

綜上所述，結(jié)論正確的是①②③共3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題屬于四邊形的綜合題.考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、

等腰三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).注意根據(jù)相等的度數(shù)求

出相等的角，從而得到三角形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

9.（2016秋?鄒城市校級(jí)月考）如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，BE

，AC于點(diǎn)，連接DF,分析下列四個(gè)結(jié)論：①△AEFs^CAB；②CF=2AF；③DF=DC；

④S四邊形CDEF="S^ABF其中正確的結(jié)論有（）

2

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【分析】①根據(jù)四邊形ABCD是矩形，BEXAC,可得NABC=NAFB=90。，又NBAF=

NCAB,于是△AEFs^CAB,故①正確；

②根據(jù)點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，以及AD〃BC,得出△AEFs/^CBF,根據(jù)相似三角

形對(duì)應(yīng)邊成比例，可得CF=2AF,故②正確；

③過(guò)D作DM〃BE交AC于N,得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=LBC,

2

得到CN=NF,根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得結(jié)論，故③正確；

④根據(jù)△AEFs^CBF得至uEF與BF的比值，以及AF與AC的比值，據(jù)此求出SA

AEF=4△ABF，SAABF=Is矩形ABCD，可得s四邊形CDEF=SAACD-SAAEF=-^-S矩形ABCD，即可得到

2612

s四邊形CDEF=至S^ABF，故④正確.

2

【解答】解：如圖，過(guò)D作DM〃BE交AC于N,交BC于M,

,??四邊形ABCD是矩形,

，AD〃BC,ZABC=90°,AD=BC,

...NEAC=/ACB,

；BE，AC于點(diǎn)F,

AZABC=ZAFE=90",

/.△AEF^ACAB,故①正確;

：AD〃BC,

.,.△AEF^ACBF,

AAE_AF_1；

?十百T

.-AE=1TXD=1BC,

22

??A-F-,-1，

CF2

,.CF=2AF,故②正確;

，DE〃BM,BE〃DM,

.四邊形BMDE是平行四邊形,

.BM=DE」BC,

2

.BM=CM,CN=NF,

?BELAC于點(diǎn)F,DM〃BE,

.DN±CF,

.DN垂直平分CF,

.DF=DC,故③正確；

VAAEF^ACBF,

.?.空U,

…而而2，

?'?SAAEF=Is△ABF，SAABF=Is矩形ABCD，

26

??SAAEF=^-S矩形ABCD，

12

又,：、四邊形CDEF=S^ACD-SAAEF=^S矩形ABCD-矩形ABCD=上5矩形ABCD，

21212

??S四邊形CDEF二5SaABF，故④正確；

2

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的

性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算的綜合應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.解題時(shí)注意,

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.

10.(2015?常州模擬)已知點(diǎn)D與點(diǎn)A(0,6),B(0,-4),C(x,y)是平行

四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，其中x,y滿(mǎn)足3x-4y+12=0,則CD長(zhǎng)的最小值為()

A.10B.26C.D.4

5

【分析】如圖所示，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：對(duì)角線AB、CD互相平分，可

得CD過(guò)線段AB的中點(diǎn)M,即CM=DM,根據(jù)A與B坐標(biāo)求出M坐標(biāo)，要求CD

的最小值只需求出CM的最小值即可.

【解答】解：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知：對(duì)角線AB、CD互相平分，

...CD過(guò)線段AB的中點(diǎn)M,即CM=DM,

VA(0,6),B(0,-4),

AM(0,1),

???點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，

.?.過(guò)M作直線的垂線交直線于點(diǎn)C,此時(shí)CM最小，

直線3x-4y+12=0,令x=0得到y(tǒng)=3；令y=0得到x=-4,即F(-4,0),E(0,

3),

.?.OE=3,OF=4,EM=2,EF=^^2^2=5,

VAEOF^AECM,

?CM-EMpnCM_2

OFEF45

解得：CM=1,

5

則CD的最小值為邁.

5

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握

平行四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

11.（2015?泰安模擬）如圖，邊長(zhǎng)一定的正方形ABCD,Q為CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

AQ交BD于點(diǎn)M,過(guò)M作MNLAQ交BC于點(diǎn)N,作NP，BD于點(diǎn)P,連接NQ,

下列結(jié)論：①AM=MN；②MP=LBD；③BN+DQ=NQ；④AB+BN為定值.其中一定

2BM

成立的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【分析】由題可知A,B,N,M四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可得出NANM=/NAM=45。，由

等角對(duì)等邊知，AM=MN,故①正確；

由同角的余角相等知，ZHAM=ZPMN,所以RQAHMZRdMPN,即可得出結(jié)

論，故②正確；

先由題意得出四邊形SMWB是正方形，進(jìn)而證出^AMS咨△NMW,因?yàn)锳S=NW,

所以AB+BN=SB+BW=2BW,而B(niǎo)W：BM=1：正，所以故④正確.

BMV2

因?yàn)镹BAN+NQAD=NNAQ=45。，在NNAM作AU=AB=AD,且使NBAN=/NAU,

NDAQ=NQAU,J^LUAABN^AUAN,ADAQ^AUAQ,有NUAN=/UAQ=90°,

BN=NU,DQ=UQ,即可得出結(jié)論，故③正確；

【解答】解：如圖：作ALUNQ于U,連接AN,AC,

VZAMN=ZABC=90°,

...A,B,N,M四點(diǎn)共圓，

，NNAM=NDBC=45°,NANM=/ABD=45°,

AZANM=ZNAM=45°,

由等角對(duì)等邊知，AM=MN,故①正確.

由同角的余角相等知，ZHAM=ZPMN,

RtAAHM^RtAMPN

.".MP=AH=1AC=XBD,故②正確，

22

VZBAN+ZQAD=ZNAQ=45",

??.三角形ADQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度至ABR,使AD和AB重合，在連接AN,

證明三角形AQN且ANR,得NR=NQ

則BN=NU,DQ=UQ,

??.點(diǎn)U在NQ上，有BN+DQ=QU+UN=NQ,故③正確.

如圖，作MSLAB,垂足為S,作MWLBC,垂足為W,點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的

點(diǎn)，

四邊形SMWB是正方形，有MS=MW=BS=BW,

.,.△AMS^ANMW,

.?.AS=NW,

，AB+BN=SB+BW=2BW,

VBW：BM=1：

??.坦區(qū)L=g=點(diǎn),故④正確.

BM&

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題利用了正方形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，圓周角定理，等腰直角三

角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)求解.

12.（2015春?和平區(qū)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為6加的正方形ABCD中，E是AB邊

上一點(diǎn)，G是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE=DG,連接EG,過(guò)點(diǎn)C作EG的垂線CH,垂

足為點(diǎn)H,連接BH,BH=8.有下列結(jié)論：

①NCBH=45°；②點(diǎn)H是EG的中點(diǎn)；③EG=4收；④DG=2圾

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【分析】連接CG,作HFLBC于F,HOLAB于O,證明^CBE^4CDG,得到△

ECG是等腰直角三角形，證明NGEC=45。，根據(jù)四點(diǎn)共圓證明①正確；根據(jù)等腰

三角形三線合一證明②正確；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出EG的

長(zhǎng)，得到③正確；求出BE的長(zhǎng)，根據(jù)DG=BE,求出BE證明④正確.

【解答】解：連接CG,作HFLBC于F,HOLAB于O,

在4CBE和4CDG中，

rCB=CD

<NCBE=/CDG，

、BE=DG

AACBE^ACDG,

AEC=GC,ZGCD=ZECB,

VZBCD=90°,

AZECG=90°,

???△ECG是等腰直角三角形，

VZABC=90°,ZEHC=90°,

，E、B、