八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題181 平行四邊形的性質(zhì)（舉一反三）（人教版）

專題18.1平行四邊形的性質(zhì)【八大題型】

【人教版】

”幺國(guó)應(yīng)自

【邈型?利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】.........................................................1

【題型2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】.........................................................3

【題型3利用平行四邊形的性質(zhì)求面積】.........................................................4

【題型4平行四邊形的性質(zhì)在折疊中的運(yùn)用】.....................................................5

【題型5平行四邊形的性質(zhì)在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】...................................................6

【題型6利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】.......................................................7

【題型7利用平行四邊形的性質(zhì)求最值】.........................................................9

【題型8平行四邊形的性質(zhì)與動(dòng)點(diǎn)的綜合】......................................................10

”如聲三

【知識(shí)點(diǎn)平行四邊形的性質(zhì)】

（1）平行四邊形的概念：有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對(duì)邊相等.

②角：平行四邊形的對(duì)角相等.

③對(duì)角線：平行四邊形的對(duì)角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

【題型1利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】

【例1】（2022春?四川綿陽(yáng)?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D,在團(tuán)48CD中，乙BCD=60°,DC=6,點(diǎn)E、尸分別

在HD,8c上，將四邊形力8FE沿即折疊得四邊形AB'FE,AE恰好垂直于4。，若AE="則8/的值為（）

AB

E

DC

A.3B.2百一1C.3V3D.|A/3

【變式1-1］（2022秋?山東濟(jì)寧?八年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，瓦4BC。的對(duì)角線AC,80相

交于O,EF過點(diǎn)。與40,分別相交于E,F,若BC=8,0E=2,48=4,那么四邊形EFCD的周長(zhǎng)為

【變式1-2］（2022春?山東臨沂?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，團(tuán)ABCD中,AB=6,AD=10,按以下步驟作圖:

①以點(diǎn)8為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交B4于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)尸；②分別以點(diǎn)E,產(chǎn)為圓心，大于;EF的

長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在乙48c內(nèi)相交于點(diǎn)P；③畫射線BP,交AD于點(diǎn)、Q,交對(duì)角線力C于點(diǎn)0.若341乙4,

貝必。的長(zhǎng)度為（）

A.3B.V3C.|D.272

【變式1-3］（2022秋?浙江杭州?九年級(jí)杭州市公益中學(xué)?？计谥校┤鐖D,在5/BCD中，AD=BD,AADC=

105°,點(diǎn)E在一。上,Z-EBA=60°,則空的值是（）

cB

.2_rxV3八6

A.—B.V3C.—D.一

323

[題型2利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】

[ft2]（2022春?福建廈門?八年級(jí)廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）在中，AC.BD交干點(diǎn)、O.過點(diǎn)

O作。物BD交BC于點(diǎn)E,連接DE.若田CDE=mCBD=15°.求助8C的度數(shù).

【變式2-1]（2022秋?四川成都,九年級(jí)成都七中?？计谥校┤羝叫兴倪呅蜛BCD的兩個(gè)內(nèi)角乙4:=1:2,

則人1的度數(shù)是（）

A.45°B.60°C.90°D.120°

【變式2-2]（2022春?江蘇南京?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，以平行四邊形ABCD的邊CO為斜邊向內(nèi)作等腰直

角公CDE,使=DE=CE,乙DEC=90°,且點(diǎn)E在平行四邊形內(nèi)部，連接AE、BE,則〃E8的度數(shù)是（）.

A.130°B.135°C.150°D.125°

【變式2-3]（2022春?陜西西安?八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形48C0中，

于點(diǎn)E,G為線段AE上一點(diǎn)且滿足EG=EC,AG=CE,連CG并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)F，貝尸C的度數(shù)為

⑴補(bǔ)全圖形，并寫出平行四邊形A8CO各頂點(diǎn)坐標(biāo)；

⑵平行四邊形ABCD的面枳是多少？

⑶在x軸上是否存在點(diǎn)M,使團(tuán)MB。的面積等于平行四邊形48C。的面積？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

【變式3-3］（2022春?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)長(zhǎng)春市第四十五中學(xué)?？计谥校﹫D①、圖②均是6x6的正方形網(wǎng)

格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)4在格點(diǎn)上.用直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫

圖，所畫圖形的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.

就

圖①圖②

⑴在圖①中以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，畫一個(gè)面積為6的平行四邊形.

（2）在圖②中以點(diǎn)A為對(duì)角線交點(diǎn)，畫一個(gè)面積為6的平行四邊形.

【題型4平行四邊形的性質(zhì)在折疊中的運(yùn)用】

【例4】（2022春?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將平行四邊形4BCD沿對(duì)角線4c折疊，使點(diǎn)/?落在點(diǎn)夕

處，若=48°,Z2=32°,則的度數(shù)為（）.

A.124°B.114°C.104°D.56°

【變式4-1］（2022春?河南南陽(yáng)?八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，E,尸分別是平行四邊形A8CD的運(yùn)4D,8c上

的點(diǎn)，EF=6,Z.DEF=60%將四邊形EFCD沿EF翻折,得到四邊形EFU。,E。交BC于點(diǎn)、G,則△GEF的

周長(zhǎng)為（）

C.18D.24

【變式4-2](2022秋?浙江寧波?八年級(jí)期末)如圖，在口ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在邊A3、4。上，將MEF

沿E尸折疊，點(diǎn)A恰好落在8C邊上的點(diǎn)G處.若0A=45。，AB=6yf2t5BE=AE.則Ab長(zhǎng)度為.

【變式4-3](2022秋?湖北武漢?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))四邊形A6C。為平行四邊形，口知A5=g,BC

=6,AC=5,點(diǎn)E是8C邊上的切點(diǎn)，現(xiàn)將財(cái)BE沿AE折疊，點(diǎn)9是點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，設(shè)CE長(zhǎng)為X,若點(diǎn)夕

落在內(nèi)(包括邊界)，則x的取值范圍為.

【題型5平行四邊形的性質(zhì)在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】

【例5】(2022春?浙江溫州?八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))在直角坐標(biāo)系中，A,B,C,。的坐標(biāo)依次為(1,-1),

(-2,3)，(a,0)，(0,b).若以4,B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，貝b+b的值不可能是()

A.-7B.-1C.1D.7

【變式5-1](2022春?江蘇泰州?八年級(jí)校考階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(30)、8(0,

-4),點(diǎn)。是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP并延長(zhǎng)至點(diǎn)。，使PQMP,以A4、4。為鄰邊作必以笫，連接OC,

當(dāng)0c長(zhǎng)最小時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

【變式5-2］（2022春?重慶?八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，。是平行四邊形

A30C內(nèi)一點(diǎn)，CQ與x軸平行，A。與〉，軸平行，已知40=2,CD=8,^ADB=135°,ShABD=6,則。

點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【變式5?3】（2022秋?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，平行四邊形48C0的8c邊在工軸上,

點(diǎn)?0,3）,8（-1,0）,若直線y=-2%+4恰好平分平行四邊形為BCD的面積，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是

【題型6利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例6】（2023秋重慶九龍坡?九年級(jí)重慶市育才中學(xué)校考期末）如圖，在平行四邊形4BCD中，連接對(duì)角

線BD,/IE平分NB力0分別交BC、80尸點(diǎn)E、F.

⑴尺規(guī)作圖：作NBCD的角平分線，交AD于點(diǎn)，，交BD的于點(diǎn)G.（保留作圖痕跡，不寫作法）

⑵在（1）問的條件下，求證：BF=DG.

證明：四邊形ABCD是平行四邊形

^AB=CD,①

0Z.4ZJD=乙CDB,

EL4E平分48AD,CH平分/BCD,

B（2）,乙DCH二+乙BCD,

（3四邊形48CD為平行四邊形，

團(tuán)⑶

團(tuán)4BAE=乙DCH,

在摩48廠和團(tuán)CQG中，

Z-ABD=乙CDB

?，

（/-3AE=乙DCH

^ABF^^CDG（ASA）.

BBF=DG

【變式6-1］（2022春?廣東江門?八年級(jí)江門市怡福中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在瓦4BCD中，點(diǎn)E是CD邊

的中點(diǎn)，連接力E并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接BE,BE1AF.

⑴求證：△力。E三AFCE：

⑵求證：AE平分4DA8；

⑶若乙ZMB=60°,AB=4,求團(tuán)ABC。的面積.

【變式6-2](2022秋?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)?？计谀?如圖，在平行四邊形"CD中，E,尸是對(duì)隹線8。上兩個(gè)

點(diǎn)，且BE=OF

(1)求證：AE=CF；

(2)若力。=AE,(DFC=140°,求4。4￡的度數(shù)=

【變式6-3](2022秋?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí))如圖，目加。。的對(duì)角線"和BD相

交于點(diǎn)。，EF過點(diǎn)。且與邊BC,力。分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F.

⑴求證：OE=。尸；

(2)若BC=4,AB=3,OF=2,求四邊形CD/E的周長(zhǎng).

【題型7利用平行四邊形的性質(zhì)求最值】

【例7】(2022春?陜西西安?八年級(jí)西安市鐵?中學(xué)校考階段練習(xí))在數(shù)學(xué)中，我們會(huì)用"截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法

來解決幾條線段之間的和差問題.請(qǐng)看這個(gè)例題：如圖1，在四邊形力8CD中，LBAD=LBCD=90%AB=

AD,若力C=5cm,求四邊形力BCD的面積.

解：延長(zhǎng)線段C8到￡,使得BK=C。，連接4E,我們可以證明△BAE三△。力C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得

AE=AC=5,Z.EAB=Z.CAD,則乙E4C=LEAB+Z.BAC=LDAC+Z.BAC=/.BAD=90°,得S四邊形

SAABC?SMDC=SMBC4SMB￡=SAAE。，這樣，四邊形ABC。的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形E4C面積.

⑴根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形相CD的面積為cm2.

（2）如圖2,在△ABC中，乙4c8=90。，且力C+8C=4,求線段A8的最小值.

（3）如圖3,在平行四邊形力8CD中，對(duì)角線與BD相交于。，且々80C=60。：AC+BD=10,則力。是否

為定值？若是，求出定值；若不是，求出力D的最小值及此時(shí)平行四邊形4BCD的面積.

【變式7-1］（2022秋?陜西寶雞?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10,AC=12,。是8c

邊上任意一點(diǎn),連接AD,以AD,CD為鄰邊作平行四邊形ADCE,連接DE,則OF長(zhǎng)的最小值為__________.

【變式7-2］（2022春?浙江寧波?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形A8CO中，BC=6,0A8C=6O。，BE

平分0ABC,點(diǎn)F為8C上一點(diǎn)，點(diǎn)G為BE上一點(diǎn)，連接CG,FG,則CG+FG的最小值為.

【變式7-3］（2022春?四川綿陽(yáng)?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在和18。。中，AO=pZ.ACB=30°,AC1AB,

點(diǎn)E在AC上,CE=1,點(diǎn)。是8C邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PE、PA,則PE+P4的最小值是.

【題型8平行四邊形的性質(zhì)與動(dòng)點(diǎn)的綜合】

［例8］（2022秋?山東濟(jì)寧?八年級(jí)濟(jì)寧市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形718co中，AD||BC,AD=

9cm,BC=24cm,E是8c的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)沿AD向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P平均每秒運(yùn)動(dòng)1cm；

同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)沿C8向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。平均每秒運(yùn)動(dòng)2cm,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)。也

隨之停止運(yùn)動(dòng).

⑴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)“0VtV9）秒時(shí)，則PD=：（用含，的代數(shù)式直接表示）

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，秒時(shí)，

①若0VCV6,貝3Q=;（用含/的代數(shù)式直接表示）

②若6<tV9,則EQ=；（用含，的代數(shù)式直接表示）

⑶當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間，為多少秒時(shí)，以點(diǎn)P,Q,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？

【變式8-1］（2022春?浙江溫州?八年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形A/3CO是平行四邊

形，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-16,0）,線段4c交），軸于點(diǎn)。，點(diǎn)。的坐標(biāo)是（0,8）,線段。=6.動(dòng)

點(diǎn)P從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線04的方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單

位的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

⑵若以A,B,Q,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求/的值：

⑶當(dāng)ABQP恰好是等腰三角形時(shí)，求/的值.

【變式8-2］（2022秋