《金融工程》 課件 第五章 金融工程定價(jià)原理-

第五章金融工程定價(jià)原理《金融工程》主要內(nèi)容第一節(jié)金融產(chǎn)品定價(jià)原則第二節(jié)

利息的度量第三節(jié)

金融工程的定價(jià)原理第四節(jié)

定價(jià)的目的和用途學(xué)習(xí)要求了解衍生金融產(chǎn)品定價(jià)的基本假設(shè)、目的與用途；理解連續(xù)復(fù)利的概念，掌握利率的等價(jià)換算；理解金融工程的無套利定價(jià)原理和風(fēng)險(xiǎn)中心定價(jià)原理的核心思想和應(yīng)用技巧。5第一節(jié)金融產(chǎn)品定價(jià)原則一、絕對(duì)定價(jià)法與相對(duì)定價(jià)法絕對(duì)定價(jià)法就是根據(jù)金融工具未來現(xiàn)金流的特征，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)馁N現(xiàn)率將這些現(xiàn)金流貼現(xiàn)成現(xiàn)值，該現(xiàn)值就是絕對(duì)定價(jià)法要求的價(jià)格。相對(duì)定價(jià)法則利用基礎(chǔ)產(chǎn)品價(jià)格與衍生產(chǎn)品價(jià)格之間的內(nèi)在關(guān)系，直接根據(jù)基礎(chǔ)產(chǎn)品價(jià)格求出衍生產(chǎn)品價(jià)格。資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)值等于其未來現(xiàn)金流貼現(xiàn)值之和。假設(shè)是面值為100元的債券在第k年獲得的利息，則n年期的面值為100元的債券的價(jià)格為一、絕對(duì)定價(jià)法與相對(duì)定價(jià)法二、衍生金融產(chǎn)品定價(jià)的基本假設(shè)市場(chǎng)不存在摩擦，即沒有交易成本、沒有保證金、沒有賣空限制市場(chǎng)參與者不承擔(dān)對(duì)手風(fēng)險(xiǎn)。即合同沒有違約問題市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)參與者厭惡風(fēng)險(xiǎn)，且希望財(cái)富越多越好市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。無套利假設(shè)是金融衍生工具定價(jià)理論生存和發(fā)展的最重要的假設(shè)所有市場(chǎng)參與者能夠以無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行借貸9第二節(jié)利息的度量一、利息的度量利息：利息是指在一個(gè)借貸關(guān)系中，由借款人為了取得一定數(shù)量的資金在一定期限內(nèi)的使用權(quán)，而支付給貸款人的報(bào)酬。其實(shí)質(zhì)是一定期限內(nèi)資金延遲使用的成本?，F(xiàn)值：指未來某個(gè)時(shí)刻的資金折算到當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值。終值：指當(dāng)前時(shí)刻的資金在未來某個(gè)時(shí)刻的價(jià)值。一、利息的度量單利(SimpleInterest)：僅以本金計(jì)息的方式，利息為本金、利率與時(shí)間的乘積。復(fù)利(CompoundInterest)：在每期滿時(shí)，將應(yīng)得利息加入本金再計(jì)息的方式，由計(jì)息周期不同而產(chǎn)生差異，如年復(fù)利、半年復(fù)利、季度復(fù)利。貼現(xiàn)因子(DiscountFactor，DF)：指未來某個(gè)時(shí)刻的資金在當(dāng)前時(shí)刻的價(jià)值折算系數(shù)累計(jì)因子(AccumulationFactor，AF)：指當(dāng)前時(shí)刻的資金在未來某個(gè)時(shí)刻的價(jià)值增長(zhǎng)系數(shù)假設(shè)在銀行存入$1,年利率為R，投資n年。如果利息按每一年計(jì)一次復(fù)利，則上述投資的終值為：如果每年計(jì)m次復(fù)利，則一年后賬戶金額為：現(xiàn)年支付頻率逐步增加，當(dāng)m趨于無窮大時(shí)，1年后賬戶余額為：這就是當(dāng)利率為連續(xù)復(fù)利（Continuouscompounding）時(shí)，一年后能從銀行獲得的金額。那t年后呢？二、連續(xù)復(fù)利例5.1：?jiǎn)卫?fù)利、連續(xù)復(fù)利差距有多大唐朝的一元?dú)v經(jīng)1300年,按年利率5％計(jì)算，至今的本息和：?jiǎn)卫?、?fù)利、連續(xù)復(fù)利這表明要獲得長(zhǎng)期穩(wěn)定收益很困難例5.1：?jiǎn)卫?、?fù)利、連續(xù)復(fù)利差距有多大（一）連續(xù)復(fù)利的本質(zhì)通過微分的方法來得出復(fù)利公式。如果在t時(shí)刻查詢一下賬戶，過會(huì)，即t+dt時(shí)刻再查詢一次，會(huì)發(fā)現(xiàn)金額增加了:…等式的右邊就是泰勒級(jí)數(shù)展開。但是所增加的利息也是與所擁有金額M、利率r、時(shí)間段dt成比例的因此：故：在上述求解過程中，若每個(gè)時(shí)刻的利率都不同，記為r(t)，我們就有：（一）連續(xù)復(fù)利的本質(zhì)（二）連續(xù)復(fù)利的優(yōu)點(diǎn)通常認(rèn)為連續(xù)復(fù)利率與每天計(jì)復(fù)利等價(jià)，連續(xù)復(fù)合利率的優(yōu)點(diǎn)：連續(xù)復(fù)合利率反映了利率的本質(zhì)特征在衍生工具定價(jià)中，采用連續(xù)復(fù)合利率可以簡(jiǎn)化表達(dá)

三、利率的等價(jià)換算例：假設(shè)即期利率為8%，連續(xù)復(fù)利，一個(gè)1000面值的債券以面值發(fā)行，利息每季度支付一次，試計(jì)算1000元面值的債券每次支付的利息。三、利率的等價(jià)換算20第三節(jié)金融工程的定價(jià)原理一、無套利定價(jià)原理套利：在某項(xiàng)資產(chǎn)的交易過程中，交易者可以在不需要期初投資支出的條件下，獲得無風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)。如果市場(chǎng)是有效的話，市場(chǎng)價(jià)格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)。這就是無套利的定價(jià)原則。根據(jù)這個(gè)原則，在有效的金融市場(chǎng)上，任何一項(xiàng)金融資產(chǎn)的定價(jià)，應(yīng)當(dāng)使得利用該項(xiàng)金融資產(chǎn)進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)不復(fù)存在。

（二）無套利定價(jià)方法的主要特征

無套利定價(jià)原則首先要求套利活動(dòng)在無風(fēng)險(xiǎn)的狀態(tài)下進(jìn)行。無套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。要點(diǎn)是使復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征與被復(fù)制組合的現(xiàn)金流特征完全一致，復(fù)制組合的多頭（空頭）與被復(fù)制組合的空頭（多頭）互相之間應(yīng)該完全實(shí)現(xiàn)頭寸對(duì)沖。

無風(fēng)險(xiǎn)的套利活動(dòng)從即時(shí)現(xiàn)金流看是零投資組合賣空，是套利組合的一個(gè)重要特征（三）無套利定價(jià)的實(shí)施過程（四）無套利定價(jià)應(yīng)用1——遠(yuǎn)期利率計(jì)算

即期利率（spotrate）：指在當(dāng)前時(shí)刻計(jì)算的期限為T的利率水平，我們通常所說的零息債券的到期收益率就是即期利率的例子，記為r(t,T)

遠(yuǎn)期利率（forwardrate）：指在當(dāng)前時(shí)刻確定的，未來某時(shí)刻T開始的，距T期限為T’-T的利率水平。一般用F(t，T，T’)表示，t代表當(dāng)前時(shí)刻；利率期限結(jié)構(gòu)：指在其他條件相同的情況下，利率與到期期限之間的關(guān)系。利率曲線：利率期限結(jié)構(gòu)的圖形表達(dá)常見類型：到期收益率曲線，即期利率曲線，遠(yuǎn)期利率曲線，貼現(xiàn)因子曲線實(shí)踐應(yīng)用：中國(guó)債券信息網(wǎng)https:///cbweb-mn/yield_main?locale=zh_CN（四）無套利定價(jià)應(yīng)用1——遠(yuǎn)期利率計(jì)算到期收益率曲線：債券價(jià)格計(jì)算散點(diǎn)圖，平滑函數(shù)擬合曲線即期利率曲線遠(yuǎn)期利率曲線債券數(shù)據(jù)，bootstrap方法+曲線擬合利率建模，用市場(chǎng)數(shù)據(jù)校正參數(shù)：債券數(shù)據(jù)，利率互換數(shù)據(jù)等；（四）無套利定價(jià)應(yīng)用1——遠(yuǎn)期利率計(jì)算27（四）無套利定價(jià)應(yīng)用1——遠(yuǎn)期利率計(jì)算衍生品定價(jià)的折現(xiàn)因子：折現(xiàn)未來的現(xiàn)金流到未來的時(shí)點(diǎn)確定遠(yuǎn)期利率協(xié)議（FRA）的協(xié)議利率歐洲美元期貨的理論報(bào)價(jià)利率互換的協(xié)議利率確定（四）無套利定價(jià)應(yīng)用1——遠(yuǎn)期利率計(jì)算應(yīng)用：FRA協(xié)議利率的確定--單利計(jì)算方式下is,DsiF，DFiL,DL例5.4FRA交易商報(bào)價(jià)利率確定

遠(yuǎn)期利率協(xié)議的協(xié)議利率計(jì)算

6.遠(yuǎn)期利率協(xié)議的合約價(jià)值計(jì)算

解析：

解析（續(xù)）：T：遠(yuǎn)期合約到期時(shí)間St：標(biāo)的資產(chǎn)在t時(shí)刻的價(jià)格K:遠(yuǎn)期合約中的交割價(jià)格ft：t時(shí)刻遠(yuǎn)期合約的價(jià)值F(t,T):資產(chǎn)在t時(shí)刻確定的，到期日為T的遠(yuǎn)期價(jià)格r：連續(xù)復(fù)利下的無風(fēng)險(xiǎn)利率。符號(hào)定義：（四）無套利定價(jià)應(yīng)用2——遠(yuǎn)期價(jià)格計(jì)算例5.6：考慮一個(gè)基于不支付紅利的股票的遠(yuǎn)期合約多頭，三個(gè)月后到期，設(shè)當(dāng)前股價(jià)為$40，三個(gè)月期即期無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%（連續(xù)復(fù)利），試求使得該遠(yuǎn)期合約價(jià)值為0的協(xié)議價(jià)格？（四）無套利定價(jià)應(yīng)用2——遠(yuǎn)期價(jià)格計(jì)算例題解析：組合A：一份遠(yuǎn)期合約多頭加上一筆數(shù)額為Ke-rT的現(xiàn)金；組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。期末價(jià)值：A：-K+K+ST=STB：ST資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格（ForwardPrice）：指當(dāng)前確定的使得相應(yīng)到期時(shí)間的遠(yuǎn)期合約價(jià)值為零的協(xié)議價(jià)格。遠(yuǎn)期價(jià)格作用：1）遠(yuǎn)期合約理論上的協(xié)議價(jià)格2）任何時(shí)刻期貨的理論報(bào)價(jià)3）遠(yuǎn)期合約價(jià)值的計(jì)算依據(jù)（四）無套利定價(jià)應(yīng)用2——遠(yuǎn)期價(jià)格計(jì)算套利策略的設(shè)計(jì)如何構(gòu)造套利策略？第一種情況：K=43，協(xié)議價(jià)格被高估第二種情況：K=39，協(xié)議價(jià)格被低估K=43，買現(xiàn)賣期——持有成本策略具體套利策略(1單位標(biāo)的資產(chǎn)為例，期末獲益)：初始時(shí)刻（0）到期日（T）策略實(shí)施凈現(xiàn)金流具體套利策略(1單位標(biāo)的資產(chǎn)為例,期初獲益)：K=39，賣現(xiàn)買期——反向持有成本策略初始時(shí)刻（0）到期日（T）策略實(shí)施1.取出無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資獲益K2.執(zhí)行遠(yuǎn)期合約買入資產(chǎn)，支付K3.平倉(cāng)資產(chǎn)空頭凈現(xiàn)金流遠(yuǎn)期價(jià)格的作用遠(yuǎn)期價(jià)格，一方面是遠(yuǎn)期合約理論上的協(xié)議價(jià)格，一方面也是期貨的理論報(bào)價(jià)遠(yuǎn)期價(jià)格也是遠(yuǎn)期合約價(jià)值的計(jì)算依據(jù)二、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，我們可以假定所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，此時(shí)所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。

風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。

（一）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理使用風(fēng)險(xiǎn)中性方法為遠(yuǎn)期和期貨定價(jià)是非常容易的，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法則：任何產(chǎn)品的未來收益預(yù)期都是無風(fēng)險(xiǎn)收益，因此當(dāng)前價(jià)值應(yīng)該等于未來現(xiàn)金流期望的無風(fēng)險(xiǎn)折現(xiàn)。遠(yuǎn)期合約到期的價(jià)值為：故當(dāng)前遠(yuǎn)期合約的價(jià)值為：（二）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理的應(yīng)用若標(biāo)的資產(chǎn)在有效期內(nèi)沒有產(chǎn)生現(xiàn)金流，則：由于遠(yuǎn)期合約初始時(shí)刻沒有價(jià)值，即V0=0，故：（二）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理的應(yīng)用三、無套利定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的關(guān)系風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理是在市場(chǎng)無套利下，利用數(shù)學(xué)理論獲得的一種簡(jiǎn)便的定價(jià)技巧，風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法的基本前提也是市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)和資產(chǎn)可復(fù)制，因此風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)和無套利定價(jià)是內(nèi)在一致的。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)作為一種定價(jià)的便捷方法，其在定價(jià)方面可以化繁為簡(jiǎn)，大大簡(jiǎn)化過程，相對(duì)無套利定價(jià)具有明顯的優(yōu)勢(shì)。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)無法給出價(jià)格不合理時(shí)如何設(shè)計(jì)套利策略三、無套利定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的關(guān)系風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)作為一種數(shù)學(xué)技巧，是嚴(yán)格依賴市場(chǎng)假設(shè)的。一旦加入市場(chǎng)摩擦如借貸利率的差異，交