內(nèi)蒙古呼和浩特第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

高三年級月考數(shù)學(xué)試卷202504一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1已知集合，則（）A. B. C. D.2.展開式中的系數(shù)為A. B.C. D.3.平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)在下圖分布形態(tài)中，a，b，c分別對應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（）A B.C. D.4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（）A.44 B.46 C.48 D.545.已知，則（）A. B. C. D.6.已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.7.已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)．設(shè)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是A. B.C. D.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列說法正確的是（）A.，BC.若，，則的最小值為1D.若是關(guān)于x的方程的根，則10.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）A.在區(qū)間單調(diào)遞減B.在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C.直線是曲線的對稱軸D.直線是曲線的切線11.在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國隊(duì)以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.C.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區(qū)域的面積大于4三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，滿足，，則______．13.在中，內(nèi)角，，所對邊分別為，，，若，，則_____________14.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.四?解答題：本題共5小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列的公比，且，是的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．16.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點(diǎn).（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求.17.已知橢圓的離心率為的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).求證：四邊形的面積為定值.18.已知函數(shù)（1）討論單調(diào)性；（2）證明函數(shù)為中心對稱圖形；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的最大值.19.如圖，在三棱錐中，的中點(diǎn)分別為．（1）求的長；（2）證明：平面平面；（3）求平面和平面夾角的余弦值．

高三年級月考數(shù)學(xué)試卷202504一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡集合，由交集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)?，且注意到，從?故選：A.2.展開式中的系數(shù)為A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡已知代數(shù)式，利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可以求出展開式中的系數(shù)．【詳解】因?yàn)?，則展開式中含的項(xiàng)為；展開式中含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為，故選：C．3.平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)在下圖分布形態(tài)中，a，b，c分別對應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)?中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)據(jù)分布圖左拖尾，即平均數(shù)小于中位數(shù)，再利用眾數(shù)是用最高矩形的中點(diǎn)值來估計(jì)，可判斷眾數(shù)大于中位數(shù)，即可作出判斷.【詳解】由數(shù)據(jù)分布圖知，眾數(shù)是最高矩形下底邊的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)為右起第二個(gè)矩形下底邊的中點(diǎn)值，直線左右兩邊矩形面積相等，而直線左邊矩形面積大于右邊矩形面積，則，又?jǐn)?shù)據(jù)分布圖左拖尾，則平均數(shù)小于中位數(shù)，即，所以.故選：A4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模比賽，決出了第1名到第5名的名次(無并列情況).甲、乙、丙去詢問成績.老師對甲說：“你不是最差的.”對乙說：“很遺憾，你和甲都沒有得到冠軍.”對丙說：“你不是第2名.”從這三個(gè)回答分析，5名同學(xué)可能的名次排列情況種數(shù)為（）A.44 B.46 C.48 D.54【答案】B【解析】【分析】解法一：分析可知甲的排位有可能是第二、三、四3種情況，分類討論結(jié)合組合數(shù)分析求解；解法二：利用間接法，根據(jù)題意先排甲不排首尾，再排除不符合題意的情況，結(jié)合組合數(shù)分析求解.【詳解】解法一：多重限制的排列問題：甲、乙都不是第一名且甲不是最后一名，且丙不是第二名，即甲的限制最多，故以甲為優(yōu)先元素分類計(jì)數(shù)，甲的排位有可能是第二、三、四3種情況：①甲排第二位，乙排第三、四、五位，包含丙的余下3人有種排法，則有；②甲排第三、四位，乙排第二位，包含丙的余下3人有種排法，則有；③甲排第三、四位，乙不排第一、二位，即有2種排法，丙不排第二位，有2種排法，余下2人有種排法，則有；綜上，該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為種.解法二：間接法：甲不排首尾，有三種情況，再排乙，也有3種情況，包含丙的余下3人有種排法，共有種不同的情況；但如果丙是第二名，則甲有可能是第三、四名2種情況；再排乙，也有2種情況；余下2人有種排法，故共有種不同的情況；從而該5名同學(xué)可能的名次排情況種數(shù)為種.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.6.已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線方程得，即，令得，故直線恒過，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，設(shè)圓心為，畫出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，，此時(shí).故選：C7.已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．8.已知函數(shù)．設(shè)，若關(guān)于不等式在上恒成立，則的取值范圍是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】滿足題意時(shí)的圖象恒不在函數(shù)下方，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖所示，排除C,D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖所示，排除B選項(xiàng)，本題選擇A選項(xiàng).二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列說法正確的是（）A.，B.C.若，，則的最小值為1D.若是關(guān)于x的方程的根，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，可判斷A；根據(jù)虛數(shù)單位的性質(zhì)可判斷B；設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式，可得，以及，結(jié)合x的范圍可判斷C；將代入方程，結(jié)合復(fù)數(shù)的相等，求出p，即可判斷D.詳解】對于A，，設(shè)復(fù)數(shù)，則，，故，A正確；對于B，由于，故，B錯(cuò)誤；對于C，，設(shè)，由于，則，故，由，得，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，C正確；對于D，是關(guān)于x方程的根，故，即，故，D正確，故選：ACD10.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）A.在區(qū)間單調(diào)遞減B.在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C.直線是曲線的對稱軸D.直線是曲線的切線【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)判斷各選項(xiàng)，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時(shí)，，故．對A，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個(gè)極值點(diǎn)，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點(diǎn)；對C，當(dāng)時(shí)，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．11.在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國隊(duì)以69.800分的成績奪得金牌，這是中國藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線的交點(diǎn)，若，則（）A.開口向上的拋物線的方程為B.C.直線截第一象限花瓣的弦長最大值為D.陰影區(qū)域的面積大于4【答案】ABD【解析】【分析】對于A，利用旋轉(zhuǎn)前后拋物線焦點(diǎn)和對稱軸變化，即可確定拋物線方程；對于B，聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即得；對于C，將直點(diǎn)線與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間距離公式求得弦長，利用換元和函數(shù)的圖象即可求得弦長最大值；對于D，利用以直線近似取代曲線的思想求出三角形面積，即可對陰影部分面積大小進(jìn)行判斷.【詳解】由題意，開口向右的拋物線方程為，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為,將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線開口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，即，故A正確；對于B，根據(jù)A項(xiàng)分析，由可解得，或，即，代入可得，由圖象對稱性，可得,故，即B正確；對于C，如圖，設(shè)直線與第一象限花瓣分別交于點(diǎn),由解得，由解得，,即得,則弦長為：，由圖知，直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取最大值4，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取最小值0，即在第一象限部分滿足，不妨設(shè)，則，且，代入得，，（）由此函數(shù)的圖象知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，即C錯(cuò)誤；對于D，根據(jù)對稱性，每個(gè)象限花瓣形狀大小相同，故可以先求部分面積的近似值.如圖，在拋物線上取一點(diǎn)，使過點(diǎn)的切線與直線平行，由可得切點(diǎn)坐標(biāo)為,因,則點(diǎn)到直線的距離為，于是,由圖知，半個(gè)花瓣的面積必大于，故原圖中的陰影部分面積必大于，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查曲線與方程的聯(lián)系的應(yīng)用問題，屬于難題.解題思路是，理解題意，結(jié)合圖形對稱性特征，通過曲線方程聯(lián)立，計(jì)算判斷，并運(yùn)用函數(shù)的圖象單調(diào)性情況，有時(shí)還需要以直代曲的思想進(jìn)行估算、判斷求解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，滿足，，則______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可．【詳解】解：向量，滿足，，則，故答案為：313.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，則_____________【答案】【解析】【分析】利用正弦定理得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到的值，最后代入計(jì)算即可.【詳解】在中，因?yàn)?，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，化簡得，由正弦定理得，所以，而，為三角形?nèi)角，所以，所以.故答案為：14.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線與曲線相切于，表示出切線方程；設(shè)直線與曲線相切于，表示出切線方程.利用兩個(gè)方程相同建立方程，解出m，進(jìn)而求出.【詳解】由可得：設(shè)直線與曲線相切于，則有.所以切線方程可表示為，即.由可得：設(shè)直線與曲線相切于，則有.所以切線方程可表示為，即.所以，消去s，整理得：，解得：，所以.所以斜率.故答案為：四?解答題：本題共5小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列的公比，且，是的等差中項(xiàng)．?dāng)?shù)列滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】分析:（Ⅰ）根據(jù)條件、等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解公比；（Ⅱ）先根據(jù)數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)，解得，再通過疊加法以及錯(cuò)位相減法求.【詳解】詳解：（Ⅰ）由是的等差中項(xiàng)得，所以，解得.由得，因?yàn)?，所?（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列前n項(xiàng)和為.由解得.由（Ⅰ）可知，所以，故，.設(shè)，所以，因此，又，所以.點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.16.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點(diǎn).（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)對應(yīng)的概率，求得，之后對其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，確定其單調(diào)性，從而得到其最大值點(diǎn)；（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的期望先求件數(shù)對應(yīng)的期望，之后應(yīng)用變量之間的關(guān)系，求得賠償費(fèi)用的期望.【小問1詳解】記20件產(chǎn)品中的次品件數(shù)為X，由題設(shè)知，則問題可理解為求的最大值，因此.令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值點(diǎn)為；【小問2詳解】由（1）知，.令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即所以（元）.17.已知橢圓的離心率為的面積為1.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).求證：四邊形的面積為定值.【答案】（1）（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由離心率可得，又由面積為1，可得，據(jù)此可得答案；（2）設(shè)，結(jié)合（1）可得直線PA，PB方程，據(jù)此可表示M，N坐標(biāo)，可得四邊形的面積關(guān)于的表達(dá)式，最后結(jié)合在橢圓上可完成證明.【小問1詳解】因離心率為，又，則，又，則，所以橢圓C方程為：；【小問2詳解】設(shè)，由（1），，則，，直線PA：，直線PB：.對于直線PA，令，可得，對于直線PB，令，可得.注意到，則，注意到在橢圓上，則，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對于四邊形的面積，?？蓪⑵浞譃閹讉€(gè)三角形面積之和，也可利用對角線乘積乘以對角線夾角正弦乘以二分之一.18.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）證明函數(shù)為中心對稱圖形；（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的最大