《金融工程》 課件 第12-14章 期權(quán)的二叉樹模型；隨機(jī)積分與資產(chǎn)價(jià)格建模；Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型

第十二講期權(quán)的二叉樹模型1《金融工程》主要內(nèi)容2

第一節(jié)

二叉樹模型簡介

第二節(jié)

單步二叉樹模型

第三節(jié)

多步二叉樹模型

第四節(jié)

二叉樹模型的實(shí)際應(yīng)用34

第一節(jié)

二叉樹模型簡介

引言51979年，J.C.Cox,S.A.Ross&M.Rubin–stein將二叉樹模型用于期權(quán)定價(jià)中，迄今為止，這種模型已經(jīng)成為金融界最基本的期權(quán)定價(jià)方法之一。AB1E0E1E3E2B0C0D0C1D1C2D2D3E4一、二叉樹模型的基本假設(shè)6市場無摩檫（無交易費(fèi)用和稅收)市場是無套利的無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)，可以無限制以無風(fēng)險(xiǎn)利率借貸允許賣空下一期的股票價(jià)格只取兩種可能的值。二、二叉樹模型的特點(diǎn)7模型相對簡單容易理解風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)與無套利定價(jià)的關(guān)系容易解釋期權(quán)動態(tài)套期保值的思想一種期權(quán)定價(jià)的數(shù)值方法對歐式期權(quán)的定價(jià)與Black-Scholes公式的定價(jià)近似；為美式期權(quán)定價(jià)提供了便利；除了為期權(quán)定價(jià)還可以做別的；8

第二節(jié)

單步二叉樹模型單期二叉樹9

例12.1假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為20元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是22元，要么是18元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%（連續(xù)復(fù)利），現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為21元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。10（一）構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)組合定價(jià)期權(quán)建立一個(gè)包含衍生品頭寸和基礎(chǔ)資產(chǎn)頭寸的無風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合。若數(shù)量適當(dāng)，基礎(chǔ)資產(chǎn)的贏利就會與衍生品的虧損相抵，瞬間無風(fēng)險(xiǎn)。無風(fēng)險(xiǎn)組合的收益率等于無風(fēng)險(xiǎn)利率。一.單期二叉樹的無套利定價(jià)分析11構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)，Δ必須滿足下式：

22D–118D22Δ

－1=18ΔΔ=0.25分析12該無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為20元，因此：

13二.單期二叉樹的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)思想在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P，則得：P=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們就可以給出該期權(quán)的價(jià)值：14在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P，則得：P=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們就可以給出該期權(quán)的價(jià)值：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)思想三、推廣到一般情形15假設(shè)一個(gè)無紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t股票價(jià)格為S，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到Su，或者下降到Sd（d<exp(rT)<u）。當(dāng)股票價(jià)格上升到Su時(shí)，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價(jià)格下降到Sd時(shí)，期權(quán)的收益為fd。一般的例子（一）無套利定價(jià)法的思路16首先，構(gòu)造一個(gè)由Δ股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，使得該組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合，即：Su

D–?uSdD–?d由此計(jì)算出該組合為無風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的Δ值。17如果無風(fēng)險(xiǎn)利率用r表示，則該無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值一定是（SuΔ-fu）e-rT,而構(gòu)造該組合的成本是SΔ-f，在沒有套利機(jī)會的條件下，兩者必須相等。即SΔ-f=（SuΔ-fu）e-rT

，所以其中：（一）無套利定價(jià)法的思路啟示18（1）計(jì)算公式中沒有出現(xiàn)股票實(shí)際上漲或下跌的概率；(2)公式中沒有描述投資者對于風(fēng)險(xiǎn)偏好程度的變量，說明可以被任何態(tài)度的投資者接受(3)期權(quán)價(jià)值僅與當(dāng)前股價(jià)、未來股價(jià)波動性有關(guān)；（4）P，1-p在無套利市場中滿足概率的性質(zhì)，稱為風(fēng)險(xiǎn)中性概率（risknerutralProbability）。(5)風(fēng)險(xiǎn)中性概率只依賴于股票價(jià)格的波動性和無風(fēng)險(xiǎn)收益（二）風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路19假定風(fēng)險(xiǎn)中性世界中股票的上升概率為P，由于股票未來期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)格，因此該概率可通過下式求得：所以fufdfSu

SdSP1-P20（三）風(fēng)險(xiǎn)中性與套利定價(jià)內(nèi)在統(tǒng)一的數(shù)學(xué)原理資產(chǎn)定價(jià)的基本定理：無套利假設(shè)等價(jià)于存在對未來不確定狀態(tài)的某一等價(jià)概率測度，使得每一種金融資產(chǎn)對該等價(jià)概率測度的期望收益都等于無風(fēng)險(xiǎn)證券的收益率表明了無套利定價(jià)與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的關(guān)系單期二叉樹——練習(xí)21練習(xí)：求歐式看跌期權(quán)的價(jià)值，X=21T=3個(gè)月，r=0.1$18$22$20四、歐美式期權(quán)的單步二叉樹定價(jià)22美式期權(quán)的單期定價(jià)針對美式期權(quán)，需要考慮提前執(zhí)行的價(jià)值與不提前執(zhí)行的價(jià)值哪一個(gè)是最優(yōu)的，因此即使在單步的二叉樹下美式與歐式的估值也是不同的美式看跌期權(quán)X=22的價(jià)值為：2歐式看跌期權(quán)X=22的價(jià)值為：1.46$18$22$2023總結(jié)：歐式期權(quán)的單期定價(jià)：美式期權(quán)的單期定價(jià)：24

第三節(jié)

多步二叉樹模型一、兩期二叉樹模型25股價(jià)的變化如圖： 每個(gè)步長為3個(gè)月，u=1.1，d=0.9，r=12%試計(jì)算執(zhí)行價(jià)為X=21的歐式看漲的價(jià)值20221824.219.816.2（一）無套利定價(jià)—復(fù)制期權(quán)26通過股票和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，復(fù)制1單位期權(quán)產(chǎn)品的損益。思考：當(dāng)二叉樹步數(shù)增加時(shí)，delta是否會變化？27201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFB點(diǎn)處的delta值：A點(diǎn)處的delta值：結(jié)論：不同時(shí)期不同股價(jià)獲得完全保值需要的股票數(shù)量是不同的，因此，現(xiàn)實(shí)的套期保值策略是一個(gè)動態(tài)調(diào)整的過程。兩步二叉樹的套利策略28如果這里實(shí)際的期權(quán)報(bào)價(jià)$1，套利策略是什么？最終獲得的無風(fēng)險(xiǎn)利潤是多少？策略0時(shí)刻：賣空0.51份股票，買入1份期權(quán)，將剩余收入0.51*20-1=9.2元存入銀行。1時(shí)刻：a)股價(jià)上升為22，繼續(xù)賣空0.22份股票（=0.73-0.51）,將所得收入0.22*22=4.84存入銀行

a1)2時(shí)刻，股價(jià)為24.2，平倉所有頭寸，獲益：9.2*exp(0.12*0.5)+4.84*exp(0.12*0.25)+max(24.2-21,0)-24.2*(0.51+0.22)=0.29

a2)2時(shí)刻，股價(jià)為19.8，平倉所有頭寸，獲益：9.2*exp(0.12*0.5)+4.84*exp(0.12*0.25)-19.8*0.73=0.31時(shí)刻：b)股價(jià)下降為18，平倉0.51份股票空頭（=0-0.51）,借入0.51*18=9.18元

b1)2時(shí)刻，無論股價(jià)為19.8還是16.2，都不執(zhí)行，獲益為：9.2*exp(0.12*0.5)-9.18*exp(0.12*0.25)=0.31即：無論漲跌，套利收益近似為：（1.2823-1）*exp(0.12*0.5)=0.30啟示：多步二叉樹模型下期權(quán)的套保問題31由兩步二叉樹的套利定價(jià)法知：Delta(D)為下一步期權(quán)價(jià)值變化與股票價(jià)值變化的比值，這個(gè)比值是在變動的，因此期權(quán)套保需要動態(tài)調(diào)整股票頭寸，對于單步二叉樹：Delta(D)

問答32遠(yuǎn)期合約的套期保值和期權(quán)的套期保值策略中，你看到什么差別？為何會產(chǎn)生這樣的差別？二叉樹作為一種數(shù)值方法，我們實(shí)際應(yīng)用中可能需要用上百步甚至上千步去估值，你愿意用上述分析方式利用三步以上的二叉樹為期權(quán)合約定價(jià)嗎？（二）兩步二叉樹的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)33步驟：1.利用單步股價(jià)的變化確定風(fēng)險(xiǎn)中性概率2.利用衍生產(chǎn)品到期損益倒推定價(jià)，如果為美式期權(quán)在每一步做最優(yōu)執(zhí)行時(shí)刻的判斷。34201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF歐式看漲期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)風(fēng)險(xiǎn)中性概率：（三）歐式期權(quán)的二叉樹定價(jià)35歐式看跌期權(quán)的定價(jià)：201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEFX=21 （四）美式期權(quán)的二叉樹定價(jià)36美式看跌期權(quán)的定價(jià)：201.2686221824.2019.81.216.24.80.40493ABCDEF>1.0591=pX=21

練習(xí)：試計(jì)算美式看漲期權(quán)的價(jià)格，并比較美式看漲期權(quán)與歐式看漲期權(quán)間的關(guān)系。兩期二叉樹模型與delta動態(tài)保值37總結(jié)：歐式期權(quán)的二期定價(jià)：總結(jié)：美式期權(quán)的二期定價(jià)二、股票價(jià)格的多期二叉樹模型38SSuSdSu2Sd2SudSu3Su4Su2dSud2Sd3Sd4Sud3Su3dSu2d2類似地可以通過倒推方式計(jì)算期權(quán)的價(jià)值主要內(nèi)容39總結(jié)：歐式期權(quán)的多期定價(jià)：美式期權(quán)的多期定價(jià)：三步二叉樹模型下期權(quán)的定價(jià)40例：假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當(dāng)前市場價(jià)為100元,無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利為5%，u=1.1,d=0.9,二叉樹步長為1年，試計(jì)算該股票3年期的，協(xié)議價(jià)格為105元的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。100110901219981133.1108.989.172.9Pu=0.76,Pd=0.24股價(jià)的二叉樹歐式期權(quán)的價(jià)值4211.8715.852.0221.122.81028.13.900歐式看漲期權(quán)價(jià)值為11.8743

第四節(jié)

二叉樹模型的實(shí)際應(yīng)用一、更實(shí)際的二叉樹（CRR二叉樹）44若到期時(shí)只有兩種狀態(tài)，可用單步二叉樹模擬：SuSdSP1-P45若到期時(shí)只有三種狀態(tài)，可用兩步二叉樹模擬：SSuSdSu2SudSd2ABCDEF46若到期時(shí)有n+1種狀態(tài)，可用n步二叉樹模擬：SSuSdSd2SudSun-1SunSdn-1SdnSudn-1Sun-1dSu247歐美式期權(quán)的定價(jià)定價(jià)過程通常采用倒推定價(jià)法首先得到每個(gè)結(jié)點(diǎn)的資產(chǎn)價(jià)格，然后在二叉樹模型中采用倒推定價(jià)法，從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時(shí)刻開始往回倒推，為期權(quán)定價(jià)值得注意的是，如果是美式期權(quán)，就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上，比較在本時(shí)刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有到下一個(gè)時(shí)刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中價(jià)值較大者作為本結(jié)點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。歐美式期權(quán)的定價(jià)48例12.10：

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當(dāng)前市場價(jià)為100元,波動率為每年20%，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利為10%，該股票6個(gè)月期的美式看跌期權(quán)協(xié)議價(jià)格為95元。1）求該期權(quán)的價(jià)值。2）求相同條款下美式看跌、歐式看漲、歐式看跌的價(jià)值參見歐美式期權(quán)二叉樹定價(jià).xls二、考慮紅利率資產(chǎn)的二叉樹模型

49Foroptionsonstockindices,currenciesandfuturesthebasicprocedureforconstructingthetreeisthesameexceptforthecalculationofp50TheProbabilityofanUpMove51二叉樹可以用于：1)期權(quán)定價(jià)：歐式、美式期權(quán)、路徑依賴期權(quán)（如回望期權(quán)、障礙期權(quán)、亞式期權(quán)等）;2)含權(quán)債券定價(jià)：可轉(zhuǎn)債；3）敏感度分析4)信用風(fēng)險(xiǎn)度量：如公司債定價(jià)，CDS定價(jià)等；5）利率建模三、二叉樹的其他應(yīng)用（一）回望期權(quán)（lookbackoption）52固定執(zhí)行價(jià)浮動執(zhí)行價(jià)二叉樹模型下回望期權(quán)的定價(jià)53S=100，d=0.9，u=1.1，執(zhí)行價(jià)格X=105，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)利率r=5%，利用3步二叉樹計(jì)算到期日為3年的固定執(zhí)行價(jià)的歐式回望看漲期權(quán)的價(jià)格。股價(jià)二叉樹54Pu=0.76,Pd=0.24110901219981100133.1108.989.172.999108.989.1108.989.1回望期權(quán)的二叉樹5513.7818.422.0423.974.762.82028.116553.9000執(zhí)行價(jià)為105的回望看漲期權(quán)價(jià)值為13.78（二）二叉樹為路徑依賴產(chǎn)品的改進(jìn)56如此復(fù)雜的二叉樹在計(jì)算機(jī)上是不可實(shí)現(xiàn)的，降低計(jì)算復(fù)雜度的方法是改進(jìn)二叉樹模型。參見：1）《期權(quán)、期貨及其他衍生產(chǎn)品》第20章，20.4節(jié)；2）《金融工程學(xué)》，鄭振龍（第一版），第8章3）Hull,J.,andA.,White(1993).EfficientproceduresforvaluingEuropeanandAmericanpath-dependentoptions,JournalofDerivatives,1,21-31.本章計(jì)算要求571）能夠利用至少3步的二叉樹模型為任何已知損益公式的產(chǎn)品定價(jià)；2）能夠?qū)刹蕉鏄淠Ｐ拖?，價(jià)格不合理的期權(quán)給出套利策略實(shí)現(xiàn)的全過程。例12.12（一個(gè)理財(cái)產(chǎn)品的估值）582012年12月，農(nóng)銀匯理公司推出一款結(jié)構(gòu)化專戶產(chǎn)品，僅針對100萬元以上的客戶，產(chǎn)品的封閉期為12個(gè)月。產(chǎn)品收益為：一年后客戶獲得本金以及額外收益，該額外收益條款為“若產(chǎn)品存續(xù)期結(jié)束之日，滬深300指數(shù)相比成立日沒有下跌”，持有人可以獲得7%的預(yù)期收益率，若指數(shù)跌破成立日，則投資者沒有額外收益。據(jù)此分析：

若客戶資金為100萬，年初滬深300指數(shù)為2000點(diǎn)，無風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)利率為3%，滬深300指數(shù)年波動率為20%。設(shè)指數(shù)在一年內(nèi)的波動滿足3步的二叉樹模型，計(jì)算該結(jié)構(gòu)產(chǎn)品在年初的無套利價(jià)值,并據(jù)此分析該產(chǎn)品條款設(shè)計(jì)是否合理。（不考慮違約風(fēng)險(xiǎn)）應(yīng)用實(shí)踐

美式期權(quán)定價(jià)與希臘字母計(jì)算：wind期權(quán)定價(jià)計(jì)算器及幫助文檔可轉(zhuǎn)債的定價(jià)：可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型在中國的具體實(shí)現(xiàn)--含matlab程序—長江證券（未必完全正確）60總結(jié)一、二叉樹模型的優(yōu)點(diǎn)與不足61優(yōu)點(diǎn)：1.原理簡單，容易理解和實(shí)現(xiàn)；2.解決了提前執(zhí)行期權(quán)的定價(jià)問題；3.計(jì)算復(fù)雜度低，精確度高；不足：1.不適用于多因素模型，產(chǎn)生“維數(shù)災(zāi)難”；2.定價(jià)路徑依賴產(chǎn)品局限性大；3.能夠模擬的隨機(jī)變量分布局限性大；二、二叉樹模型的應(yīng)用范圍

62可以模擬的模型單因子模型，即只包含一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)因素的模型，且模型的隨機(jī)因素與正態(tài)分布相關(guān)，滿足隨機(jī)游走的性質(zhì)?？梢远▋r(jià)的產(chǎn)品依賴單個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的證券（或證券組合）價(jià)格的金融產(chǎn)品：如標(biāo)的資產(chǎn)是股票的各種期權(quán)（股票可以是無分紅的，也可以是有分紅的）；包含期權(quán)的債券產(chǎn)品，如可轉(zhuǎn)債、可贖回債券、可回售債券等。產(chǎn)品價(jià)值的敏感性分析如期權(quán)希臘字母的計(jì)算ending63第十三講隨機(jī)積分與資產(chǎn)價(jià)格建模64《金融工程》65

主要內(nèi)容第一節(jié)布朗運(yùn)動與伊藤(Ito)公式第二節(jié)幾何布朗運(yùn)動6667

知識目標(biāo)了解Black-Scholes公式的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)——隨機(jī)積分的相關(guān)知識，包括一元和二元伊藤公式的定義和應(yīng)用，布朗運(yùn)動和幾何布朗運(yùn)動的定義、特征和在資產(chǎn)價(jià)格建模中的應(yīng)用。68第一節(jié)布朗運(yùn)動與伊藤(Ito)公式69引言1826年，英國植物學(xué)家布朗（RobertBrown）用顯微鏡觀察懸浮在水中的花粉時(shí)發(fā)現(xiàn)，花粉的運(yùn)動并不遵循某種規(guī)則的模式，而是呈現(xiàn)出一種永不停歇的無規(guī)則運(yùn)動。后來，用布朗的名字來對這種無規(guī)則的運(yùn)動進(jìn)行命名，將其稱為布朗運(yùn)動。數(shù)學(xué)家維納（NorbertWiener，1894-1964）首次給出了布朗運(yùn)動這種隨機(jī)過程在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義，因此布朗運(yùn)動又被稱為維納過程。70一、布朗運(yùn)動

71二、伊藤積分

72（一）簡單函數(shù)的伊藤積分

73（一）簡單函數(shù)的伊藤積分的性質(zhì)

74（三）一般函數(shù)的伊藤積分

75（四）一般被積函數(shù)的伊藤積分的性質(zhì)

76三、伊藤過程

77三、伊藤過程

78三、伊藤過程

79四、伊藤引理

80第二節(jié)

幾何布朗運(yùn)動81一、幾何布朗運(yùn)動的定義

82二、幾何布朗運(yùn)動的特性

83二、幾何布朗運(yùn)動的特性

84三、幾何布朗運(yùn)動的應(yīng)用GBM被用來描述股票價(jià)格過程的原因只要初始值為正值，幾何布朗運(yùn)動描述的資產(chǎn)價(jià)格都為正馬爾科夫性與有效市場的假設(shè)是相符的解析表達(dá)式為定價(jià)帶來了便利收益率序列滿足獨(dú)立增量性和平穩(wěn)增量性，與我們假設(shè)股票日收益率獨(dú)立同分布是一致的GBM對金融資產(chǎn)價(jià)格的變動進(jìn)行建模仍然存在以下缺點(diǎn)波動率是常數(shù)，不隨時(shí)間變化而變化資產(chǎn)價(jià)格的收益率服從正態(tài)分布，沒考慮尖峰厚尾特性標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格有時(shí)候也可能出現(xiàn)負(fù)值的情況85三、幾何布朗運(yùn)動的應(yīng)用例13.2

假設(shè)某支股票的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，且該股票不存在任何形式的分紅和股息派發(fā)，如果該股票收益率的年化波動率為24%，預(yù)期收益率為18%，該股票在當(dāng)前的價(jià)格為200元，求一個(gè)月后該股票價(jià)格變化值的概率分布。86三、幾何布朗運(yùn)動的應(yīng)用

87三、幾何布朗運(yùn)動的應(yīng)用例13.3我們假設(shè)某支股票的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，不考慮股票支付紅利的情形，如果該股票的預(yù)期收益率為10%，年化波動率為15%，該股票在當(dāng)前的價(jià)格為150元，求標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格3個(gè)月后價(jià)格取值的95%置信區(qū)間。88三、幾何布朗運(yùn)動的應(yīng)用

89三、幾何布朗運(yùn)動的應(yīng)用

90三、幾何布朗運(yùn)動的應(yīng)用

91ending92第十四講Black-Scholes-Merton期權(quán)定價(jià)模型及其應(yīng)用93《金融工程》2025/4/894主要內(nèi)容第一節(jié)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格建模第二節(jié)BSM期權(quán)定價(jià)公式第三節(jié)

波動率的概念和計(jì)算第四節(jié)BSM模型的擴(kuò)展應(yīng)用952025/4/896歐式期權(quán)定價(jià)——軼事期權(quán)定價(jià)是一件非常具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。在20世紀(jì)的前面70多年里，眾多經(jīng)濟(jì)學(xué)家做出無數(shù)努力，試圖解決期權(quán)定價(jià)的問題，但都未能獲得令人滿意的結(jié)果。在探索期權(quán)定價(jià)的漫漫征途中，具有里程碑意義的工作出現(xiàn)在1973年——金融學(xué)家F.Black與M.Scholes發(fā)表了“期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債”的著名論文該論文推導(dǎo)出了確定歐式期權(quán)價(jià)值的解析表達(dá)式——Black-Scholes歐式期權(quán)定價(jià)公式，探討了期權(quán)定價(jià)在估計(jì)公司證券價(jià)值方面的應(yīng)用，更重要的是，它采用的動態(tài)復(fù)制方法成為期權(quán)定價(jià)研究的經(jīng)典方法M.Scholes主要因?yàn)檫@一工作與R.Merton一道榮膺了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎2025/4/897歐式期權(quán)定價(jià)——軼事巧合的是，國際上第一個(gè)期權(quán)交易所——芝加哥期權(quán)交易所于1973年4月底掛牌營業(yè)，略早于B-S公式的正式發(fā)表（5-6月號）兩位作者最先把論文投給JPE，遭到了編輯的拒絕，而且沒有得到審稿意見。拒絕的理由：金融太多，經(jīng)濟(jì)學(xué)太少他們于是向經(jīng)濟(jì)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)評論投稿，同樣在沒有得到審稿意見的情況下遭到拒絕這一番波折導(dǎo)致他們檢驗(yàn)B-S公式的論文發(fā)表在先98第一節(jié)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格建模

一、有效市場假說991965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動是相互獨(dú)立的1001、弱式效率市場：證券價(jià)格變動的歷史不包含任何對預(yù)測證券價(jià)格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。2、半強(qiáng)式效率市場：證券價(jià)格會迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。3、強(qiáng)式效率市場假說：不僅是已公布的信息，而且是所有可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息（包括“內(nèi)幕信息”）對挑選證券都沒有用處。根據(jù)眾多學(xué)者的實(shí)證研究，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。弱式有效市場假說暗含：1011.未來價(jià)格變動幅度與當(dāng)前價(jià)格及之前價(jià)格都無關(guān)－－獨(dú)立增量性未來價(jià)格只與當(dāng)前價(jià)格有關(guān)，與當(dāng)前價(jià)格之前的價(jià)格無關(guān)；－－馬爾可夫性（簡稱馬氏性，也稱之為無記憶性）深證綜指收盤價(jià)時(shí)序圖102深證綜指收盤價(jià)對數(shù)收益時(shí)序圖103二、馬爾可夫過程馬氏過程是一類具有特殊性質(zhì)的過程，它可以是：離散的隨機(jī)過程：如我們的二叉樹；連續(xù)的隨機(jī)過程：如布朗運(yùn)動(wiener過程)104三.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和的分布105M0.25的分布直方圖(Δt=0.01,模擬次數(shù)=1000)三.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和的分布106M0.25的分布直方圖(Δt=0.01,模擬次數(shù)=100000)三.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和的分布107M0.25的分布直方圖(Δt=0.0001,模擬次數(shù)=1000)三.獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的和的分布108M0.25的分布直方圖(Δt=0.0001,模擬次數(shù)=100000)四.布朗運(yùn)動與股票價(jià)格相似性109股票價(jià)格VS布朗運(yùn)動：弱勢有效市場股票價(jià)格具有馬氏性VS

布朗運(yùn)動具有馬氏性和獨(dú)立增量性；股價(jià)走勢具有連續(xù)性，VS

布朗運(yùn)動具有連續(xù)軌道；假設(shè)股價(jià)的同時(shí)間長度的增長率獨(dú)立同分布與布朗運(yùn)動的平穩(wěn)獨(dú)立增量相符；大量獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量加和必然呈現(xiàn)正態(tài)特征；VS布朗運(yùn)動的增量具有正態(tài)特征直觀比較110直觀上講，布朗運(yùn)動的概念最初描述的是花粉顆粒在水中的運(yùn)動（1826,英國植物學(xué)家布朗）；花粉由于相互碰撞和與介質(zhì)水分子的碰撞做出不規(guī)則的運(yùn)動路徑；股票價(jià)格的波動來自于：投資者對股價(jià)的“碰撞”（類比于介質(zhì)分子的碰撞）；股票的內(nèi)在因素影響（市值大小，上市公司的行為、業(yè)績，類比于花粉顆粒的大小，花粉的密度等）；市場因素的影響（如利率，印花稅等，類比與水的溫度變化、水杯的晃動）；因此在一定程度上與花粉顆粒的運(yùn)動相仿。2025/4/8111僅僅使用標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動去研究股票價(jià)格存在欠缺：1)股價(jià)不是圍繞0點(diǎn)的運(yùn)動，其期望收益不為零；2)不同股票單位時(shí)間內(nèi)的波動是不同的，不是千篇一律的1標(biāo)準(zhǔn)差.3)股票價(jià)格恒為正值四.布朗運(yùn)動與股票價(jià)格相似性設(shè)在實(shí)際概率環(huán)境下，股票價(jià)格滿足幾何布朗運(yùn)動，即：112五.股票價(jià)格的隨機(jī)過程——GBM

geometricBrownianmotion

3.股票價(jià)格的隨機(jī)過程GBM113由Ito公式，股票價(jià)格的對數(shù)過程即為廣義Brown運(yùn)動

114在無套利市場中，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，應(yīng)該成立

風(fēng)險(xiǎn)中性下的股價(jià)過程115故，在風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下，St的價(jià)格過程滿足：股票價(jià)格的解析式為：風(fēng)險(xiǎn)中性下的股價(jià)過程即：

風(fēng)險(xiǎn)中性與實(shí)際概率下的股價(jià)關(guān)系116

117第二節(jié)期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)－Black-Scholes-Merton(BSM)期權(quán)定價(jià)公式一、BSM期權(quán)定價(jià)公式假設(shè)118股價(jià)過程為幾何布朗運(yùn)動（GBM）允許賣空交易無摩擦，即沒有交易成本、稅收等證券無限可分標(biāo)的資產(chǎn)不產(chǎn)生紅利不存在套利機(jī)會證券可以連續(xù)交易所有期限的無風(fēng)險(xiǎn)利率同為常數(shù)二.Black-Scholes-Merton公式的推導(dǎo)119120歐式看漲期權(quán)的B-S-M公式歐式期權(quán)定價(jià)公式122匯總：無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán)定價(jià)公式三、應(yīng)用123例14.1假設(shè)滬深300現(xiàn)貨指數(shù)，滬深300看漲指數(shù)期權(quán)2022年11月21日的信息如下:S=3800X=3750T-t=0.5年r=0.025波動率＝0.20則：d1=0.253，d2=0.112，N(d1)=0.5999，N(d2)=0.5446C=SN(d1)-Xexp(-rT)N(d2)=262.7124例：考慮一支不付紅利的股票，當(dāng)前價(jià)格是20，無風(fēng)險(xiǎn)利率為12%，股價(jià)收益波動率為20%，現(xiàn)考慮以該股票為標(biāo)的，到期期限為12個(gè)月，執(zhí)行價(jià)格為21歐式看漲期權(quán)的定價(jià)。方法一、利用二叉樹模型估計(jì)看漲期權(quán)的價(jià)格，參見excel方法二、利用Black-Scholes公式求解125練習(xí)1261、參數(shù)如例題，利用B-S公式求解執(zhí)行價(jià)為21，期限為1年的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值。2、鹽湖鉀肥07.6.14日股價(jià)為46.86,平均波動率為50%，無風(fēng)險(xiǎn)利率為3.06%，到期期限為0.025年，求以鹽湖鉀肥為標(biāo)的，執(zhí)行價(jià)為15.1元的鉀肥JTP1認(rèn)沽權(quán)證的價(jià)值.(N(－14.374)=0,N(-14.295)=0)127青海鹽湖鉀肥2007年6月1日公告(節(jié)選）

鑒于公司認(rèn)股認(rèn)沽權(quán)證鉀肥JTP1的行權(quán)價(jià)格15.1元與公司正股“鹽湖鉀肥（代碼：000792）”的二級市場價(jià)格的價(jià)差巨大，最近三個(gè)交易日鉀肥JTP1認(rèn)沽權(quán)證日換手率均超過1000％，如果截止2007年6月22日，公司正股收盤價(jià)在15.1元以上，鉀肥JTP1將沒有任何投資價(jià)值和行權(quán)價(jià)值，敬請廣大本公司權(quán)證投資者注意投資風(fēng)險(xiǎn)和行權(quán)風(fēng)險(xiǎn)。

???本公告前一交易日，鹽湖鉀肥的收盤價(jià)格為40.75元，“鉀肥JTP1”認(rèn)沽權(quán)證的行權(quán)價(jià)格為15.1元，內(nèi)在價(jià)值為0.000元。采用Black－Sholes公式，以本公告前一交易日鹽湖鉀肥收盤價(jià)格40.75元、鹽湖鉀肥股價(jià)波動率49.90%、無風(fēng)險(xiǎn)利率3.06%計(jì)算，“鉀肥JTP1”認(rèn)沽權(quán)證的理論價(jià)值為0.000元。128四、BSM模型的金融學(xué)理解與貢獻(xiàn)129（一）BSM模型的金融學(xué)理解

四、BSM模型的金融學(xué)理解與貢獻(xiàn)130（一）BSM模型的貢獻(xiàn)與不足Black-Scholes模型為金融衍生品的定價(jià)奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)其給出的歐式期權(quán)的解析定價(jià)公式提高了市場的定價(jià)效率，為場內(nèi)交易的期權(quán)提供了合理的理論價(jià)值參考。Black&Scholes提出的動態(tài)套期保值的思想對于其他類型期權(quán)的定價(jià)，放松市場條件后的期權(quán)合理價(jià)格計(jì)算等都提供了重要的解決思路參考。Black-Scholes模型基于一系列假設(shè)條件在現(xiàn)實(shí)中并不總是成立；同時(shí)模型沒有考慮市場的微觀結(jié)構(gòu)。Black-Scholes模型對于一些更復(fù)雜的路徑依賴期權(quán)和提前行權(quán)的期權(quán)無法給出解析表達(dá)式，低于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格不滿足幾何布朗運(yùn)動的情況也沒有討論。131第三節(jié)

波動率的概念和計(jì)算一.波動率的相關(guān)概念132波動率是金融資產(chǎn)價(jià)格的波動程度，是對資產(chǎn)收益率不確定性的衡量，用于反映金融資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)水平。但資產(chǎn)的實(shí)際波動率在市場中無法直接觀測的，因此經(jīng)常采取一些計(jì)算方法從標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格或者衍生品價(jià)格信息中獲取實(shí)際波動率的近似取值。二.歷史波動率133

二.歷史波動率134

135

三.交易天數(shù)與日歷天數(shù)四、隱含波動率與VIX指數(shù)136交易者可以很容易從屏幕上獲得某個(gè)看漲期權(quán)的信息：四個(gè)月后到期、執(zhí)行價(jià)格為100、當(dāng)前交易價(jià)格為6.51，其標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)價(jià)為101.5，短期利率是8%，我們能夠以某種方式用到這些信息嗎？137隱含波動率（impliedvolatility）是代入到Black-Scholes公式中作為標(biāo)的資產(chǎn)的波動率，使得最終求出的期權(quán)理論價(jià)格等于市場價(jià)格。從某種意義上講，這是市場對于期權(quán)整個(gè)生命周期中波動率的觀點(diǎn)。138

139

波動率微笑與波動率期限結(jié)構(gòu)140波動率微笑曲線或者波動率偏斜曲線：波動率隨著執(zhí)行價(jià)格的變化而變化的模式波動率期限結(jié)構(gòu)：相同執(zhí)行價(jià)格、不同到期日的期權(quán)合約的隱含波動率構(gòu)成的曲線。波動率曲面：既反映執(zhí)行價(jià)格影響，又反映期限影響的波動率圖形。期權(quán)的重要貢獻(xiàn)之一就是提供了投資者對市場波動性的態(tài)度??！波動率微笑與波動率期限結(jié)構(gòu)141圖14.1波動率微笑示意圖波動率微笑與波動率期限結(jié)構(gòu)142波動率微笑與波動率曲面143產(chǎn)生波動率微笑的原因，可能來自以下幾個(gè)方面：1.實(shí)際標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格不服從對數(shù)正態(tài)分布。2.實(shí)際標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格可能產(chǎn)生跳躍。除此以外，投資者的交易偏好，市場價(jià)格漲跌的不對稱性，如投資者的暴跌恐懼癥也會導(dǎo)致不同執(zhí)行價(jià)的期權(quán)隱含波動率有所差異。2025/4/8144波動率與VIX指數(shù)145第四節(jié)BSM模型的擴(kuò)展應(yīng)用一、有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)

（一）有紅利率標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)設(shè)期權(quán)有效期內(nèi)連續(xù)紅利率為q，類似遠(yuǎn)期價(jià)格確定，將B-S公式中的S0替換成S0e-qT，為（一）有紅利率標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)例14.3.加曼－科爾哈根外匯期權(quán)定價(jià)公式148GarmanandKohlagen,1983

例14.4149設(shè)美元對人民幣的即期匯率為1美元=7.0人民幣，美元的無風(fēng)險(xiǎn)利率為3.5%（連續(xù)復(fù)利），人民幣的無風(fēng)險(xiǎn)利率為1.5%（連續(xù)復(fù)利），美元兌人民幣的匯率年波動率為10%，美元兌人民幣匯率波動滿足幾何布朗運(yùn)動，設(shè)存在6個(gè)月期，執(zhí)行價(jià)格為美元兌人民幣6.9的歐式看漲美元外匯期權(quán)，試計(jì)算該期權(quán)當(dāng)前的價(jià)格。（以1美元為例）例14.4150

例14.5151假設(shè)某投資者現(xiàn)在持有一份歐式看跌期權(quán)合約，該合約將在1年后到期。其標(biāo)的股票在期權(quán)持有期內(nèi)連續(xù)支付股息，其年紅利率為4%。該股票當(dāng)前的價(jià)格為50元，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為50元，股票價(jià)格的年化波動率為20