《備考指南一輪·數(shù)學(xué)·》課件-第11章 第7講

計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第十一章第7講二項分布與正態(tài)分布高考要求考情分析1.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念；2．理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，能解決一些簡單的實際問題；3．了解正態(tài)密度曲線的特點及曲線所表示的意義，并進(jìn)行簡單應(yīng)用此部分內(nèi)容也是高考考查的一個重點，常注重實際背景的材料，常以選擇、填空的形式出現(xiàn)，考查閱讀理解、分析問題的能力，考查分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測糾偏11．條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)＞0，稱P(B|A)＝__________為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率(1)0≤P(B|A)≤1；(2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝______________________P(B|A)＋P(C|A)

P(A)P(B)

P(B)

P(A)

P(A)P(B)

3．獨立重復(fù)試驗與二項分布(1)獨立重復(fù)試驗在__________條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝____________________.(2)二項分布在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作____________，并稱p為____________．在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率P(X＝k)＝________________(k＝0,1,2，…，n)．相同P(A1)P(A2)…P(An)

X～B(n，p)

成功概率

Cpk(1－p)n－k

上方x＝μ

x＝μ

1

⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著____的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ__________，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ__________，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．μ

甲乙

越小越大(3)正態(tài)分布的定義及表示：如果對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)等于由直線x＝a，x＝b，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作____________．正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝__________；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__________；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝__________.X～N(μ，σ2)

0.6826

0.9544

0.9974

[特別提醒]若X服從正態(tài)分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正態(tài)曲線的關(guān)于直線x＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1.【答案】B【答案】A

3．如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為(

)A．0.960

B．0.864C．0.720

D．0.576【答案】B5．(2019年大慶期末)若ξ～N(5，σ2)，且P(4＜ξ＜5)＝0.25，P(6＜ξ＜7)＝0.15，則P(ξ＜3)＝____________.【答案】0.1

1．相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響，計算式為P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．運(yùn)用公式P(AB)＝P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A，B相互獨立時，公式才成立．判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)條件概率一定不等于它的非條件概率．(

)(2)相互獨立事件就是互斥事件．(

)(3)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(

)(4)二項分布是一個概率分布，其公式相當(dāng)于(a＋b)n二項展開式的通項公式，其中a＝p，b＝1－p.(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√

(6)×重難突破能力提升2條件概率【答案】B

【答案】(1)A

(2)D

相互獨立事件的概率

在一場娛樂晚會上，有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號歌手的歌迷，他必選1號，不選2號，另在3至5號中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號中隨機(jī)選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，“求X≥2”的事件概率．【規(guī)律方法】(1)求解該類問題在于正確分析所求事件的構(gòu)成，將其轉(zhuǎn)化為彼此互斥事件的和或相互獨立事件的積，然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計算．(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的主要方法：①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解．②正面計算較繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時，可從其對立事件入手計算．【答案】C

獨立重復(fù)試驗與二項分布

從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值．由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[55,65)，[65,75)，[75,85]內(nèi)的頻率之比為4∶2∶1.(1)求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率；(2)若將頻率視為概率，從該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件，記這3件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間[45,75)內(nèi)的產(chǎn)品件數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．【解析】(1)設(shè)這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為x，則落在區(qū)間[55,65)，[65,75)內(nèi)的頻率分別為4x,2x.依題意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.所以這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[75,85]內(nèi)的頻率為0.05.【規(guī)律方法】(1)已知二項分布，求二項分布列，可判斷離散型隨機(jī)變量是否服從二項分布，再由二項分布列公式求概率，列出分布列．(2)已知隨機(jī)變量服從二項分布，求某種情況下概率，依據(jù)題設(shè)及互斥事件弄清該情況下所含的所有事項，再結(jié)合二項分布公式即可求解．正態(tài)分布 已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(

)(附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.44%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%【答案】B

【規(guī)律方法】(1)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個．(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1.注意下面兩個結(jié)論的活用：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)．【跟蹤訓(xùn)練】4．(2019年九江三模)已知某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的質(zhì)量X(單位：千克)服從正態(tài)分布N(90,64)．現(xiàn)從該產(chǎn)品的生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取10000件產(chǎn)品，其中質(zhì)量在區(qū)間(82,106)內(nèi)的產(chǎn)品估計有(

)附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)≈0.6826，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)≈0.9544.A．8185件 B．6826件C．4772件 D．2718件【答案】A

追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年河南模擬)山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽(yù)國內(nèi)外．據(jù)統(tǒng)計，煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位：mm)服從正態(tài)分布N(80,52)，則直徑在(75,90]內(nèi)的概率為(

)附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．0.6826

B．0.8413

C．0.8185

D．0.9544【考查角度】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【考查目的】考查推理能力與計算能力，同時也體現(xiàn)了直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．【答案】C【拓展延伸】1．抓住關(guān)鍵詞求解相互獨立事件的概率在應(yīng)用相互獨立事件的概率公式時，要找準(zhǔn)關(guān)鍵字句，對含有“至多有一個發(fā)生”“至少有一個發(fā)生”“恰有一個發(fā)生”的情況，要結(jié)合對立事件的概率求解．【真題鏈接】

1．(2019年新課標(biāo)Ⅰ)甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束)．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________．【答案】0.18

【解析】甲隊以4∶1獲勝包含的情況有：①前5場比賽中，第一場負(fù)，另外4場全勝，其概率為p1＝0.4×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.036.②前5場比賽中，第二場負(fù)，另外4場全勝，其概率為p2＝0.6×0.4×0.5×0.5×0.6＝0.036.③前5場比賽中，第三場負(fù)，另外4場全勝，其概率為p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054.④前5場比賽中，第四場負(fù)，另外4場全勝，其概率為p3＝0.6×0.6×0.5×0.5×0.6＝0.054.則甲隊以4∶1獲勝的概率為p＝p1＋p2＋p3＋p4＝0.036＋0.036＋0.054＋0.054＝0.18.2．(2017年新課標(biāo)Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)．(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．(ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；(ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：【解析】(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ－3σ，