2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：三角形及其全等（解析版）

2024年中考數(shù)學(xué)真題專題分類精選匯

專題16三角形及其全等

一、選擇題

1.（2024福建?。┰谕黄矫鎯?nèi)，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CDLDE）按如圖方

式擺放，若AB"CD,則N1的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】A

【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，蟲AB"CD,可得NCD5=60°,即可求解.

?/ABHCD,

：.ZCDB=60°,

:CD上DE,則NC￡>￡=90。，

Zl=180°-ZCDB-ZCDE=30°,

故選：A.

2.（2024黑龍江齊齊哈爾）將一個含30°角的三角尺和直尺如圖放置，若Nl=50。，則N2的度數(shù)

是（）

A.30°B,40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.根據(jù)對頂角相等和三角形的內(nèi)角和定理，即

可求解.

如圖所示,

由題意得/3=/l=50°,Z5=90°,N2=/4,

Z2=Z4=180°-90°-Z3=90°-50°=40°,

故選：B.

3.（2024內(nèi)蒙古赤峰）等腰三角形的兩邊長分別是方程x2-10x+21=0的兩個根，則這個三角形的

周長為（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【解析】本題考查了解一元二次方程，等腰三角形的定義，三角形的三邊關(guān)系及周長，由方程可得

西=3,%=7,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,進而即可求出三

角形的周長，掌握等腰三角形的定義及三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由方程V-10x+21=0得，玉=3,x2=7,

3+3<7,

...等腰三角形的底邊長為3,腰長為7,

這個三角形的周長為3+7+7=17,

故選：C.

4.（2024云南?。┘褐?尸是等腰AASC底邊上的高，若點尸到直線N5的距離為3,則點尸

到直線ZC的距離為（）

37

A.—B.2C.3D.一

22

【答案】C

【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

由等腰三角形“三線合一”得到/廠平分/A4C,再角平分線的性質(zhì)定理即可求解.

如圖，

V力廠是等腰底邊上的高,

4F平分/B4C,

，點F到直線AB,AC的距離相等，

:點E到直線48的距離為3,

二點/到直線NC的距離為3.

故選：C.

5.（2024安徽?。┰谕刮暹呅?5CDE中，AB=AE,=￡>￡,尸是CD的中點.下列條件中，

不能推出4r與CD一定垂直的是（）

A.NABC=NAEDB.NBAF=NEAF

C.ZBCF=NEDFD.NABD=ZAEC

【答案】D

【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握全等

三角形的判定的方法是解題的關(guān)鍵.

利用全等三角形的判定及性質(zhì)對各選項進行判定，結(jié)合根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可證得

結(jié)論.

【詳解】解：A、連接ZC、AD,

AAACS^AADE(SAS),

AC=AD

又?..點尸為CD的中點

/.AFLCD,故不符合題意;

B、連接斯、EF,

AB=AE,NBAF=NEAF，AF=AF,

：.AABF^AEF(SAS),

/.BF=EF，ZAFB=ZAFE

又：點尸為CD的中點，

CF=DF,

???BC=DE,

：.ACBF^ADEF(SSS),

：.ZCFB=ZDFE,

：.ZCFB+NAFB=ZDFE+NAFE=90°,

：.AFVCD,故不符合題意；

C、連接斯、EF,

:點尸為的中點，

CF=DF,

■:NBCF=4EDF,BC=DE,

:.ACBF^DEF(SAS),

BF=EF,NCFB=ZDFE,

,/AB=AE,AF=AF,

：.AABF^AAEF(SSS),

/.ZAFB=ZAFE，

/.NCFB+NAFB=ZDFE+ZAFE=90°,

AFVCD,故不符合題意；

D、ZABD=ZAEC,無法得出題干結(jié)論，符合題意；

故選：D.

6.（2024四川廣安）如圖，在中，點。，E分別是/C,的中點，若NZ=45°,

ZCED=70°,則ZC的度數(shù)為（）

A.45°B,50°C.60°D.65°

【答案】D

【解析】本題考查了三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)定理，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確

識圖是解題的關(guān)鍵.先證明可得NCD￡=44=45。，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得

答案.

【詳解】：點。，E分別是ZC,5C的中點，

DE//AB,

N4=45°,

ZCDE=ZA=45°,

?：ZCED=70°,

ZC=180°-45°-70°=65°,

故選D

二、填空題

1.（2024湖南?。┮粋€等腰三角形的一個底角為40。，則它的頂角的度數(shù)是度.

【答案】100

【解析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，解答時根據(jù)等腰三角形兩底角相等，求出頂

角度數(shù)即可.

【詳解】因為其底角為40°,所以其頂角=180。-40°x2=100°.

故答案為：100.

2.（2024重慶市B）如圖，在小中，AB=AC,4=36°,平分N/5C交ZC于點。.若

BC=2,則AD的長度為

c

g------------------

【答案】2

【解析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)

等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理求出NC=ZABC=72°,再由角平分線的定義得到

ZABD=ZCBD=36°,進而可證明NZ=N4&D,ZBDC=ZC,即可推出4D=BC=2.

【詳解】：在中，AB=AC,44=36°,

1/BD平分NABC,

：.ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,

2

/.NZ=ZABD,ZBDC=ZA+ZABD=72。=NC,

AD=BD,BD=BC,

：.AD=BC=2,

故答案為：2.

3.（2024四川涼山）如圖，ATIBC中，NBCD=30。,ZACB=80°,CD是邊N5上的高，AE

是ZCAB的平分線，則NAEB的度數(shù)是.

【解析】本題考查了三角形內(nèi)角和以及外角性質(zhì)、角平分線的定義.先求出N/CD=50°,結(jié)合高

的定義，得ND4c=40。，因為角平分線的定義得NC/￡=20。，運用三角形的外角性質(zhì)，即可作答.

【詳解】?.?/BCD=30。，ZACB=80°,

/.ZACD=50°,

1/CD是邊48上的高，

ZADC=90°,

NDAC=40°,

：“E是NC45的平分線,

ZCAE=-ZDAC=2Q°,

2

ZAEB=NCAE+ZACB=20°+80°=100°.

故答案為：100°.

4.（2024四川內(nèi)江）如圖，在“5。中，ZDCE=40°,AE=AC,BC=BD,則N/C5的度

數(shù)為；

【答案】1000##100度

【解析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，角的和差.

根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得NCD￡+NCE￡>=140。，根據(jù)/￡=5c=5。得到

ZACE=ZAEC,/BCD=/BDC,從而N4CE+/BCD=140。，根據(jù)角的和差有

ZACB=ZACE+ZBCD-ZCDE,即可解答.

【詳解】VZDCE=40°,

ZCDE+ZCED=180°-ZDCE=140°,

AE=AC,BC=BD,

：.ZACE=ZAEC,ZBCD=ZBDC,

：.ZACE+/BCD=ZCDE+ZCED=140°

ZACB=ZACE+/BCE=ZACE+ZBCD-ZCDE=140°-40°=100°.

故答案為：100°

5.（2024黑龍江綏化）如圖，AB//CD,NC=33。，OC=OE.則N4=°.

【答案】66

【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等邊對等角可得

N￡=NC=33。，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得/。?！?66。，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】：OC=OE,ZC=33°,

/E=NC=33°,

ZDOE=ZE+ZC=66°,

■：AB//CD,

：.ZA=/DOE=66°,

故答案為：66.

6.（2024四川成都市）如圖，△Z5C義△（?￡>￡,若ND=35。,ZACB=45°,則NOCE的度

【答案】1000##100度

【解析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出

ZCED=ZACB=45°,再利用三角形內(nèi)角和求出NDCE的度數(shù)即可.

【詳解】由△48C也△?￡>￡,40=35。，

ZCED=ZACB=45°,

?1,乙D=35°,

ZDCE=180?！??！猌CED=180?！?5°—45°=100°,

故答案為：100。

三、解答題

1.（2024云南省）如圖，在和△/￡￡）中，AB=AE,ZBAE=ACAD,AC=AD.

【答案】見解析

【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵.利

用“SAS”證明A4BC咨AAED,即可解決問題.

【詳解】證明：；ZBAE=ACAD,

ZBAE+ZEAC=ZCAD+ZEAC,即ABAC=ZEAD,

在AA8C和△/￡￡>中，

AB=AE

<ABAC=/EAD,

AC=AD

"BgAAED(SAS).

2.(2024四川樂山)知：如圖，4B平分NC4D,AC=AD.求證：NC=/D.

【答案】見解析

【解析】利用SAS證明ACAB2ADAB,即可證明NC=ND.

AB平分Z.CAD,

NCAB=/DAB,

在AC/3和中，

AC=AD

<ZCAB=ZDAB,

AB=AB

.-.ACAB^ADAB（SAS）,

ZC=ZD.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握SAS、AAS、ASA、SSS等全等三角

形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

3.（2024江蘇連云港）如圖，N3與相交于點E,EC=ED,AC//BD.

DN'

（1）求證：AAEC義XBED；

（2）用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：求作菱形DXCN,使得點“在ZC上，點N在8。上.（不寫

作法，保留作圖痕跡，標(biāo)明字母）

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N/=N8,NC=N。，結(jié)合EC=ED,利用AAS即

可證明△NECSBED；

(2)作CO的垂直平分線，分別交于點連接。M,CN即可.

【小問1詳解】

證明：???/C〃B￡),

:.ZA=NB，ZC=ZD.

ZA=ZB

在△NEC和△BED中，＜ZC=ZD,

EC=ED

:.AAECaBED(AAS)；

【小問2詳解】

解：：MV是CD的垂直平分線，

:.MD=MC,DN=CN,

由(1)的結(jié)論可知，NA=NB,AE=BE,

又：/AEM=/BEN,

則△ZEMMABEN,

/.ME=NE,

-CD±MN,

.,.CD是〃”的垂直平分線，

:.DM=DN,CM=CN,

：.DM=DN=CN=CM,

.?.四邊形。MCN是菱形，

【點睛】本題考查了垂直平分線的作法，平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定，菱形的判定，熟練掌握

垂直平分線的作法及三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵.

4.（2024江蘇蘇州）如圖，AASC中，AB=AC,分別以5,。為圓心，大于45c長為半徑畫

2

弧，兩弧交于點。，連接BD,CD,AD,AD與BC交于點、E.

(1)求證：A4BD會—CD；

(2)若BD=2,ZBDC=120°,求的長.

【答案】(1)見解析(2)BC=26

【解析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)

鍵是：

(1)直接利用SSS證明即可；

(2)利用全等三角形的性質(zhì)可求出aBD4=NCD4=60°,利用三線合一性質(zhì)得出0/，,

BE=CE,在RtASQE中，利用正弦定義求出BE,即可求解.

【小問1詳解】

證明：由作圖知：BD=CD.

在△48。和AZCD中，

AB=AC,

■：<BD=CD,

AD=AD.

.■△ABD^Z\ACD.

【小問2詳解】

解：?:AABD'ACD,ZBDC=120°,

ABDA=ACDA=60°.

又<BD=CD,

DAISC,BE=CE.

???BD=2,

BE=BD-sinZBDA=2x—=73.

2

BC=2BE=2A/3.

5.（2024江蘇鹽城）已知：如圖，點/、B、C、。在同一條直線上，AE//BF,AE=BF.

若,則45=CO.

請從①C￡〃。尸；②CE=DF；③NE=//這3個選項中選擇一個作為條件（寫序號），使結(jié)

論成立，并說明理由.

【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析

【解析】【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出

/A=/FBD,/D=/ECA,再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出/C=5。，結(jié)合圖形即可證明；②

得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的判定得出結(jié)合圖形即可證明；熟練

掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：選擇①〃。尸；

?1,AE//BF,CE//DF,

/.N4=ZFBD,ZD=ZECA,

'：AE=BF,

：,AAEC^ABFD（AAS）,

/.AC=BD,

AAC-BC^BD-BC,即45=m

選擇②CE=￡>/；

無法證明△NEC也ABFD,

無法得出=CD；

選擇③NE=NE；

?/AE//BF,

：.ZA=ZFBD,

AE=BF,ZE=ZF,

:."EC應(yīng)BFD（ASA）,

：.AC=BD,

/.AC-BC^BD-BC,即45=m

故答案為：①或③（答案不唯一）

6.(2024四川南充)如圖，在AZ8C中，點。為邊的中點，過點8作〃/。交4D的延長

線于點E.

(1)求證：“BDE%CDA.

(2)若4D工BC,求證：BA=BE

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)：

(1)由中點，得到5。=CD,由5￡〃/C,得到NE=ND4C,NDBE=NC,即可得證;

(2)由全等三角形的性質(zhì)，得到ED=N￡>,進而推出5。垂直平分ZE,即可得證.

【小問1詳解】

證明：?.?。為的中點，

BD=CD.

BE//AC,

ZE=ADAC,/DBE=ZC；

'ZE=ZDAC

在ABQE和△CD/中，＜ND8E=NC

BD=CD

:.ABDE^CDA（AAS）；

【小問2詳解】

證明：?:ABDE會MDA,

:.ED=AD

AD±BC,

：.BD垂直平分AE,

BA=BE.

7.（2024四川自貢）如圖，在AZ8C中，DE//BC,/EDF=NC.

A

（1）求證：ZBDF=ZA；

（2）若NZ=45。，DF平分NBDE,請直接寫出的形狀.

【答案】（1）見解析（2）是等腰直角三角形.

【解析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定.

（1）由平行證明//￡￡>=NC,由等量代換得到NED尸=//即，利用平行線的判定”內(nèi)錯角相等，

兩直線平行”證明DF//AC,即可證明ZBDF=ZA；

（2）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義求得=90°,D5=90°,據(jù)此即可得到是

等腰直角三角形.

【小問1詳解】

證明：：￡>￡〃BC,

/.ZAED=ZC,

?1,ZEDF=