2025屆河北省滄州市滄衡八縣聯(lián)考高三一模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

機(jī)密★啟用前

2025年高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級，姓名及考號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1+i

Z---------

1.復(fù)數(shù)2-3i的虛部為（）

5.口55V13八5V13.

A.—iB.—C.----L).-----1

13131313

2.集合〃={JxeNlog2x<2｝的真子集個數(shù)為（）

A.15B.16C.31D.32

3.若變量>與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，且根據(jù)最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸方程為_p=2x+&,樣本點中

心為（3,6.5）,則樣本點（2.5,7）的殘差為（）

A.-1.5B.1.5C.0.5D.-0.5

4.已知S"為等比數(shù)列｛%｝的前九項和,若S.=3—九22"-2,則%=（）

A.72B,-72C.144D.-144

2222

5.已知?！?〉0,橢圓。：=+二=1與雙曲線￡：二—與=1的離心率分別為q,e2,若3修=02,

abab

則雙曲線￡的漸近線方程為（）

A.x±V5v=0B.2x±y=0C.2》±島=0D.氐±2y=0

_1-1.

6.設(shè)48是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，若尸（耳）=",P（AB）=—,則尸（2忸）=（）

1223

A.-B.-C.—D.一

2354

在正四棱臺芻。。中，則該正四棱臺外接球的

7.451GA—422=J5，A2B2=3V2,44=6,

表面積為（）

A.108萬B.541C.36萬D.27萬

8.已知函數(shù)/（x）=sin［0x+0+一｝0eN*,O<°<m）在［一巳,《］上單調(diào)，且/［普］=0，若將函

數(shù)N=/（x）的圖象向右平移加（加>0）個單位長度后關(guān)于V軸對稱，則機(jī)的最小值為（）

2兀兀兀兀

A.—B.-C.lD.一

3346

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某學(xué)校組織“綜合體能測試”，現(xiàn)從所有參加體能測試的學(xué)生中，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的“綜合體能測試”

成績，并統(tǒng)計如下，則（）

成績(70,75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100]

頻數(shù)61218302410

A.這100名學(xué)生的“綜合體能測試”成績高于80的學(xué)生超八成

B.這100名學(xué)生的“綜合體能測試”成績的中位數(shù)大于85

C.這100名學(xué)生的“綜合體能測試”成績的眾數(shù)為85

D.這100名學(xué)生的“綜合體能測試”成績的平均數(shù)在90至95之間

10.在V4BC中,若內(nèi)角4B,C滿足Vi?lsi/Nsin2c=4:9:10,則（）

A.COSB=^-B.60°<C<75°c.tan（Z+C）=—^^D.tan5+tan3Z=0

85

11.在平面直角坐標(biāo)系中，若初（％,必），N（x2,y2）,則稱“d=|項-/l+l必一歹21”為"，N兩點的“曼

哈頓距離”，若動點E到兩定點￡（0,-。）,鳥（0,c）（c〉0）的“曼哈頓距離”之和為定值2a（a>c）,則稱

點￡的軌跡為“曼哈頓橢圓”，若點尸為該“曼哈頓橢圓”上一點，貝U()

A.△尸耳片的周長為2a+2cB.A/岑片面積的最大值為c(a-c)

C.該“曼哈頓橢圓”的面積為2(/一。2)D.該“曼哈頓橢圓”的周長為4[、歷。+(1-應(yīng))c]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

.,-1

12.已知向量1=(sirTa-1,-1),b=(l,cos2?),若tana=5，則鼠6=.

13.將分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的5個大小相同的小球放入一個不透明的袋子中，甲，乙兩人分別從

袋中摸出一球，互相不知道對方摸出球的數(shù)字.甲先對乙說：“我不能確定咱倆誰的球上面的數(shù)字更大

乙再對甲說：“我也不能確定咱倆誰的球上面的數(shù)字更大.”若甲，乙兩人所說均為真話，請你推斷乙所摸

球上的數(shù)字為.

14.已知函數(shù)/(x)滿足：VxeR,/(x-1)+6>/(x+5),/(x+l)-3>/(x-2),若/(3)=2,則

7(2025)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.若數(shù)列｛%｝的前n項和為Sn,且4>0,-2S,+%=0.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛4｝的前"項和為北，證明：Tn<~.

16.已知函數(shù)/(x)=(x-a)ln(x+l).

(1)若4=0,證明：/(x)>0;

(2)若存在過點(-1,0)的直線與曲線y=/(x)相切，求實數(shù)。的取值范圍.

17.某學(xué)校為全面提高學(xué)生的語文素養(yǎng)和閱讀水平，構(gòu)建“書香校園”，特舉辦“課外閱讀知識競賽”，為了

調(diào)查學(xué)生對這次活動的滿意程度，在所有參加“課外閱讀知識競賽”的同學(xué)中抽取容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)

查，并得到如下2x2列聯(lián)表：

單位：人

性別

滿意程度合計

男生女生

滿意120

不滿意150

合計200

(1)請補(bǔ)全上面的2x2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為滿意程度與性別有關(guān)

系；

(2)若競賽成績在前20的同學(xué)進(jìn)入決賽環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)共設(shè)置3道試題，且每一道試題必須依次作答，至

少答對2道才能進(jìn)入總決賽，且每人答對這3道試題的概率分別為2，；，；，3道試題答對與否互不影

響.

(i)用X表示能進(jìn)入總決賽的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；

(ii)記有〃人進(jìn)入總決賽的概率為尸(〃)，求尸(〃)取最大值時〃的值.

n(ad-be)2

附：/其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

2706

Xa3.8416.63510.828

jr

18.如圖，在三棱錐尸—48C中，AP=AB=AC,D為BC上一點、,ZABC=ZDAC=-,

6

ADLPB.

P

(I)證明：平面尸45,平面NBC；

(2)若PB=BC,AB=2,求：

(i)三棱錐尸-的體積；

(ii)平面尸4D與平面尸5C夾角的余弦值.

124

19.經(jīng)過圓C:(x+2)2+/=r2(r>0)上一點(一《,小作C的切線I,I與拋物線「：/=2Px(p>0)也相

切，P為r上一點.

（1）求r和0的值;

（2）若點尸（1,2）,不經(jīng)過P的直線4與：T交于不同兩點4,B（位于x軸兩側(cè)），與x=-1相交于點。,

若直線P/,PB,尸。的斜率分別為左一k2,左3，且占為左，左2的等差中項，證明：直線4過定點;

（3）若。為坐標(biāo)原點，尸為「的焦點，求△尸。尸內(nèi)切圓面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1+i

z二-----

1.復(fù)數(shù)2-3i的虛部為（）

5.5C55

A.——1B.——D.河

1313'1313

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，即可根據(jù)虛部的定義求解.

1+i(l+i)(2+3i)-l+5i15.5

【詳解】因為z=———=-7T+-1-所以復(fù)數(shù)z的虛部為7.

2-3i(2-3i)(2+3i)T

故選：B.

2.集合/={xeNJog?x<2}的真子集個數(shù)為（）

A.15B.16C.31D.32

【答案】A

【解析】

【分析】先解對數(shù)不等式，用列舉法寫出集合M即可求解.

【詳解】不等式log2X42的解為0<x44,因為xeN,所以M={1,2,3,4},

所以集合拉的真子集個數(shù)為24-1=15.

故選：A.

3.若變量y與x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，且根據(jù)最小二乘法得到的經(jīng)驗回歸方程為_p=2x+&,樣本點中

心為(3,6.5),則樣本點(2.5,7)的殘差為()

A.-1.5B.1.5C.0.5D.-0.5

【答案】B

【解析】

【分析】先求出線性回歸方程，再由殘差的定義求解即可.

【詳解】依題意，6.5=2x3+&,所以&=0.5,即經(jīng)驗回歸方程為夕=2x+0.5,

又當(dāng)x=2.5時，v=2x2.5+0.5=5.5,所以樣本點(2.5,7)的殘差為7-5.5=1.5,

故選：B.

4.4知徐為等比數(shù)列｛4｝的前〃項和,若邑=3_大""-2,則%=()

A72B,-72C.144D.-144

【答案】D

【解析】

【分析】利用給定的前"項和公式，求出卬,。2，生，再利用等比數(shù)列意義列式求解.

【詳解】依題意，=511=3-A,a2=S2-Sl=(3-42)-(3-2)=-32,

a3=S3-S2=(3-162)-(3-42)=-122,由｛4｝為等比數(shù)列，得

即(—34)2=(3—幾)(_124),解得幾=12或4=0,由%=-3/1片0,得XWO,

則4=12,所以生=T44.

故選：D

2222

5.已知?！?〉0,橢圓C：t+[=1與雙曲線￡：j—勺=1的離心率分別為6，e2,若3q=e2,

abab

則雙曲線E的漸近線方程為()

A.x±A/5v=0B.2x±j=0C.2x±45y=0D.yf5x+2y-0

【答案】C

【解析】

【分析】利用離心率和雙曲線漸近線的公式求解即可.

【詳解】依題意，"J",02="2+/,又3,=02，

aa

b2

所以9(/—/)=/+〃，整理得4/=5/,所以,=忑，

2廣

所以雙曲線￡的漸近線方程為^=土正x,即2x土逐y=0，

故選：C.

6.設(shè)/,3是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件，若尸(3)=：,尸(48)=—,則尸(2忸)=()

33

1223

A.-B.—C.lD.一

2354

【答案】A

【解析】

【分析】由題意求出尸(4§),再結(jié)合互斥事件的概率公式即可求解.

【詳解】因為P(B)=g,所以0(8)=1—0(8)=1—§=],

-2-1

又因為P(B)=P(AB)+P(AB)=-,P(AB)=-,

所以尸(4S)=；,

所”(如篇二起4

故選：A.

7.在正四棱臺ABGD1—A2B2c2D?中，0,A2B2=372,44=6,則該正四棱臺外接球的

表面積為()

A.108/B.541C.361D.27萬

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)正棱臺中的直角梯形求得棱臺的高，利用勾股定理建立外接球半徑的方程，求出半徑，從而

利用公式計算球表面積.

【詳解】設(shè)正四棱臺上底面4片。。1的中心為。1，下底面2c202的中心為02，因為4片=正，

A2B2=3V2,所以Q4=l,Q4=3.

過4作4￡，。24于E，易得&E=2,

設(shè)該正四棱臺外接球的球心為O,則。在直線。。2上，O。?=&E=以m-4爐=4后,設(shè)

OOt=x,則0Q=|4后_厘

設(shè)外接球的半徑為R,則R?=0。；+0國；MOO"。?#，即/+12=(4亞—X＞+32,解得

X=還，則火2=(m)2+1=工，所以外接球的表面積為4萬&=54?.

222

故選：B.

13兀兀717兀

8.已知函數(shù)/(x)=sin|tyx+e+(0eN*,O<°<_1)在上單調(diào)，且/0,若將函

65612

數(shù)J=/(x)的圖象向右平移制加＞0)個單位長度后關(guān)于〉軸對稱，則用的最小值為()

2兀nH71

A.—B.—C.—D.一

3346

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)周期性將函數(shù)/(x)化簡，再結(jié)合單調(diào)性計算出。的取值，逐個驗證后確定。和。

的值，即得到函數(shù)/(x)的解析式，再根據(jù)題意得到平移后的函數(shù)解析式，最后結(jié)合函數(shù)圖像的對稱性質(zhì)

解得比的最小值.

【詳解】因為函數(shù)/(x)=sin[0x+0+與＞cos(0x+0),又函數(shù)/(x)在，上單調(diào)，所以函

2兀兀(兀)2兀

數(shù)/(x)的最小正周期丁=—＞2x----=—,所以刃＜3,又GEN*，所以切=1,2,3.

①6\6J3

7兀cosf+=又則710無解;

若①=1,則/(x)=cos(x+0),且/

~n2

則/(x)=cos(2x+0),5.ffj=cosf+(p\=Q,X0<?9<|,則0=1；

若0=2,

若⑦=3,則/(x)=cos(3x+°),5./I—l=cosl—+1=0,又0<0<.,則。無解.

綜上,/(x)=cos2x+—.

I3j

所以函數(shù)/(x)的圖像向右平移m個單位長度后對應(yīng)解析式為

71

/(x-m)=cos2(x-m\\+—=cost2x-2m+y1,

)3

jrjrKTT

因為關(guān)于7軸對稱，所以——2m=hi,左eZ.所以m=---------,左eZ,又m>0,所以當(dāng)k=0時,

362

71

m取最小值為二.

6

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.某學(xué)校組織“綜合體能測試”，現(xiàn)從所有參加體能測試的學(xué)生中，隨機(jī)抽取100名學(xué)生的“綜合體能測試”

成績，并統(tǒng)計如下，則()

成績(70,75](75,80](80,85](85,90](90,95](95,100]

頻數(shù)61218302410

A.這100名學(xué)生的“綜合體能測試”成績高于80的學(xué)生超八成

B.這100名學(xué)生的“綜合體能測試”成績的中位數(shù)大于85

C.這100名學(xué)生的“綜合體能測試”成績的眾數(shù)為85

D.這100名學(xué)生的“綜合體能測試”成績的平均數(shù)在90至95之間

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)頻數(shù)分布分析數(shù)據(jù)即可.

【詳解】選項A：這100名學(xué)生的，綜合體能測試”成績高于80的學(xué)生人數(shù)為18+30+24+10=82,所以A

選項正確；

選項B：成績不超過85的學(xué)生人數(shù)為6+12+18=36,所以B選項正確；

選項C：成績分布在(85,90］的人數(shù)為30,但不一定成績的眾數(shù)為85,所以C選項不正確；

選項D：由于自(75x6+80x12+85x18+90x30+95x24+100x10)=89.2,所以D選項不正確.

故選：AB

10.在V4BC中,若內(nèi)角4,B,C滿足sin2N：sin28:sin2c=4:9:10，則()

A.cos5=^^B.60°<C<75°c.tan(Z+C)=—^^D.tan5+tan3Z=0

85

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用余弦定理，結(jié)合三角恒等變換逐項求解判斷.

【詳解】設(shè)V45C內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c,由sii?Z：sin?8:sin2c=4:9:10，

得sinN:sinB:sinC=a:c=2:3:VI5，不妨令a=2,b=3,c=VlO>

4+10—9Vio丁市

對于A,由余弦定理得cos8=-----,A正確；

2x2xV108

對于B,cosC=4+9-10cos75°=cos(45°+30°)=-(—--)=，C>75°,B

2x2x3422244

錯誤；

對于C,cos5=@0，2e(0,兀)，則sinB=Jl—cos?B=3屈，

88

tan(Z+C)=—tan8=—%=—士叵，C正確;

?105

5,10+9-4V10,10,1

對于D,cos/=----,=—=-------，cos2/=2cos2A-l=2nx--l=—=cosC,

2xV10x34164

JT

又2Z,Ce(0,5),則2N=C,由/+8+C=7i,得32+8=兀，即5=兀一32,

因此tan8+tan3Z=0,D正確.

故選：ACD

11.在平面直角坐標(biāo)系中，若M(X1,必)，N(x2,y2),則稱“d=ki—X2|+|弘一%|"為跖N兩點的“曼

哈頓距離”，若動點E到兩定點E(0,-月(0,c)(c>0)的“曼哈頓距離”之和為定值2a(a>c),則稱

點￡的軌跡為“曼哈頓橢圓”，若點尸為該“曼哈頓橢圓”上一點，則()

A.△尸￡鳥的周長為2a+2cB.△尸片片面積的最大值為c(a—c)

C.該“曼哈頓橢圓”的面積為2(/一02)D.該“曼哈頓橢圓”的周長為4［、歷。+(1-a)可

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)“曼哈頓距離”的定義，把“曼哈頓距離”表示出來，根據(jù)對稱性研究第一象限及x軸和了

軸非負(fù)半軸上點的軌跡，直接去絕對值符號畫圖象即可逐項判斷求解.

【詳解】設(shè)點P的坐標(biāo)為(xj),

則P，片兩點的“曼哈頓距離"dx=|x|+|v+c|,p,乙兩點的“曼哈頓距離"d2=|x|+|j-c|,則

=2|X|+|J+C|+|J-C|,

易得“曼哈頓橢圓”關(guān)于坐標(biāo)原點(0,0)及坐標(biāo)軸對稱，可以先研究第一象限及x軸和〉軸非負(fù)半軸上點

的軌跡,

…=2x+2…2x+2y=2a.x>0,y>c

作曲線<

[2x+2c,x>0,0<y<c[2x+2c=2a.x>0,0<j<c

根據(jù)對稱性，可作出如圖“曼哈頓橢圓”，則4(0,。)，C(a—c,0),B(a-c,c),

對于A,B,當(dāng)點尸與C重合時，△尸TA的周長為2+僅—c)2+2cW2a+2c,

此時△尸月片的面積最大為:x山鳥|x|OC|=c(a—c),故A不正確，B正確；

對于C,梯形OABC的面積為+忸|OC|=匚J,所以該“曼哈頓橢圓”的面積為

2112

2(a2-c2),故C正確；

對于D,又以創(chuàng)+\BC\—A/2(a-c)+c=+(1—V2)c,

所以該“曼哈頓橢圓”的周長為4［、歷a+(l-血)可，故D正確.

故選：BCD.

小

Ic【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)“曼哈頓距離”的定義，表示出“曼

o\X

V

哈頓距離”，根據(jù)對稱性畫出圖象求解.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

.,-1

12.已知向量萬=(sin~a-1,-1),b=(l,cos2tz),若tana=—,則鼠6=.

7

【答案】一—

5

【解析】

【分析】由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及同角三角函數(shù)商的關(guān)系計算求解即可；

【詳解】依題意a-b=sin2a-l-cos2a=sin2?-1-(2cos2?-1)=sin2a-2cos2a

_sin2a-2cos2a_tan2a-2_7

sin2a+cos2atan2a+15

7

故答案為：-一.

5

13.將分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的5個大小相同的小球放入一個不透明的袋子中，甲，乙兩人分別從

袋中摸出一球，互相不知道對方摸出球的數(shù)字.甲先對乙說：“我不能確定咱倆誰的球上面的數(shù)字更大

乙再對甲說：“我也不能確定咱倆誰的球上面的數(shù)字更大.”若甲，乙兩人所說均為真話，請你推斷乙所摸

球上的數(shù)字為.

【答案】3

【解析】

【分析】閱讀題意，再結(jié)合合情推理即可得解.

【詳解】若甲摸出的球上面的數(shù)字為1或5,則可以推斷兩人摸出球上面數(shù)字的大小，

所以甲摸出的球上面的數(shù)字不可能是1或5；

同理，乙摸出的球上面的數(shù)字也不可能是1或5；

若乙摸出的球上面的數(shù)字為2,甲摸出的球上面的數(shù)字可能為3或4,此時乙可判斷大?。?/p>

若乙摸出的球上面的數(shù)字為4,甲摸出的球上面的數(shù)字可能為2或3,此時乙可判斷大小，所以乙摸出的

球上面的數(shù)字為3.

故答案為：3.

14.已知函數(shù)/(x)滿足：VXGR,/(x-1)+6>/(x+5),/(x+l)-3>/(x-2),若/(3)=2,則

7(2025)=.

【答案】2024

【解析】

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合賦值法計算得出/(x)>/(x-3)+3,再賦值法結(jié)合應(yīng)用不等關(guān)系計算求解即

可.

【詳解】依題意，因為/(x—l)+6?/(x+5),則/(x)+62/(x+6),

令x=-3,則/(—3)+62/⑶，因為/(3)=2,所以/(—3)2—4,

又因為/(x+D—32/(x—2),則/(x)—32/(x—3),即/(x)3/(x—3)+3,

令x=0,則/(0)2/(—3)+3,即/(0)2-1,

令x=3,則/⑶-32/(0),所以/(0)4—1,故得〃0)=-1,

又/(2025)=/(2019+6)</(2019)+6</(2013)+6+6<

…<”3)+337x6=2024；

又“2025”/(2025-3)+3=/(2022)+3>/(2019)+3+3>???

>/(O)+675x3=-l+2025=2024,

所以2024</(2025)<2024,即/(2025)=2024.

故答案為：2024.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是對賦值法及不等式的綜合應(yīng)用.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.若數(shù)列｛4｝的前n項和為S”,且%〉0,a；-2Sn+%=0.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)若〃=至，數(shù)列｛4｝的前"項和為北，證明：Tn<~.

【答案】(1)an=n

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用S,和％的關(guān)系求解即可；

(2)利用錯位相減法求解即可.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時，a；-2S]+%=0,%=1,

因為片一2s“+a”=0,當(dāng)"22時，-2Sn_1+an_{=0,

兩式作差得：a：-2Sn+an—(%t—2S_i+%_J=0,

即a：-ah-an-an_x=0,故{an+an_(){an-an_x-1)=0,

又因為4〉0,所以aa=1(〃N2),且%=1

所以%=〃.

【小問2詳解】

由(1)可知，bn=—,

.,123n-1n

故(——I—7H—TH---1-----H-----,

"332333〃T3〃

12n-1n

=---1----F

3233F，

211111nA。—A

兩"式"作付差得..—3T"=-33-"----3-用--=-,1

1-----

3

所以北=；(3-12)，因為羅〉0,所以(<1.

16.已知函數(shù)/(x)=(x-a)ln(x+l).

(1)若a=0,證明：/(x)>0;

(2)若存在過點(-1,0)的直線與曲線y=/(x)相切，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)(-00,-e2-1]U(-1,+?2)

【解析】

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)只需證/(x)mm20即可；

(2)設(shè)切點為(%,%),求出切線方程為=/'(%)(Xf),又切線經(jīng)過點(-1,0)得

1ln(xn+1)—1InX—1

(x0-a)ln(x0+1)=(l+x0)ln(x0+l)+x0-aBP------=-------,-,令g(x)=-------,利用導(dǎo)數(shù)求

Q+1Xo+1x

g"x，只需—?平(X)max即可?

【小問1詳解】

當(dāng)a=0時，/(x)=xln(x+l),xe(-l,+co),

x

貝If\x)—ln(x+1)H-----,xG(―1,+00),

x+1

Y11x+2

令/z(x)=ln(x+1)+----,XG(-l,+oo).則h'(x)=-----+-_-y=-_-y>0,

x+lX+l(x+l)"(x+l)-

所以函數(shù)〃(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

又力(0)=0,所以當(dāng)xe(—1,0)時,h(x)<0,即/'(x)<0,

所以函數(shù)/(X)在(-1,0)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(0,+8)時,h(x)>0,gpf\x)>0,所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=0時，/(^)min=/(0)=0>所以/(X)》/(“?疝=5

【小問2詳解】

設(shè)過點(-1,0)的直線與曲線y=/(x)相切于點(X。,%),

八x)=ln(x+1)+二^,貝I]/Vo)=Ing+1)+配一,

x+lx0+1

則切線方程為廣%=/'(%)(xf),又該切線經(jīng)過點(—1,0),所以0-%=/'(%)(—1-%),

+1

即一(%-。)3%)=[ln(x0+1)+^-^](-l-x0).

%+1

整理得(x0-a)ln(x0+1)=(1+x0)ta(x0+1)+x0-a,

即XQ+(1+a)1H(XQ+1)—<2=0,即+1+(1+a)ln(Xg+1)—(a+1)=0,

即[ln(xo+l)-l](a+l)=—(xo+l),顯然當(dāng)a+l=O時，不合題意;

.1ln(x+1)-1lnx-1,、..2-lnx

則n-----r=-----0--.—，令g(x)=------，xe(0n,+oo),則ng(x)=——-—

1

a+1x0+xX-

當(dāng)xe(0,e2)時，g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(04)上單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(e2,+oo)時，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(e2,+oo)上單調(diào)遞減；

所以函數(shù)g(x)在x=e之時取得最大值g(e2)=4,

e

且當(dāng)xf0時，g(%)-—8,當(dāng)X—+8時，g(%)f0,所以g(x)?4_,

e

即———<4-解得。>一1或aW—e?—1，所以實數(shù)。的取值范圍為(一叫―e2—1]U(—1,+s).

<2+1e'

17.某學(xué)校為全面提高學(xué)生的語文素養(yǎng)和閱讀水平，構(gòu)建“書香校園”，特舉辦“課外閱讀知識競賽”，為了

調(diào)查學(xué)生對這次活動的滿意程度，在所有參加“課外閱讀知識競賽”的同學(xué)中抽取容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)

查，并得到如下2x2列聯(lián)表:

單位：人

性別

滿意程度合計

男生女生

滿意120

不滿意150

合計200

(1)請補(bǔ)全上面的2x2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗，能否認(rèn)為滿意程度與性別有關(guān)

系；

(2)若競賽成績在前20的同學(xué)進(jìn)入決賽環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)共設(shè)置3道試題，且每一道試題必須依次作答，至

少答對2道才能進(jìn)入總決賽，且每人答對這3道試題的概率分別為2,y,y,3道試題答對與否互不影

322

響.

(i)用X表示能進(jìn)入總決賽的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望；

(ii)記有"人進(jìn)入總決賽的概率為尸(〃)，求尸(〃)取最大值時"的值.

小2n(ad-be)2"上

附：Z=---------------------------------------，其中〃=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

【答案】(I)列聯(lián)表見解析，推斷犯錯誤的概率不大于0.001

35

(2)(i)—；(ii)12

3

【解析】

【分析】(1)完成列聯(lián)表，并利用獨(dú)立性檢驗的步驟完成計算即可；

(2)(i)由題意可知能進(jìn)入總決賽的人數(shù)服從二項分布，再計算出每個人進(jìn)入決賽的概率，利用二項分布的

數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行計算即可；(ii)寫出尸(〃)的表達(dá)式，列出不等式組進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

2x2列聯(lián)表如下：

單位：人

性別

滿意程合

男女

度計

生生

滿意12030150

不滿意8070150

合計200100300

零假設(shè)為名：滿意程度與性別無關(guān)，ZU。：；。嚷靠鼠-4—

所以依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗，推斷〃。不成立，即能認(rèn)為滿意程度與性別有關(guān)系，此推斷犯

錯誤的概率不大于0.001.

【小問2詳解】

(i)依題意，設(shè)4="答對第，道題””=1,2,3)；B="某同學(xué)進(jìn)入總決賽”,

則尸(4)=：,P(4)=1.尸(4)=；，

3乙乙

所以尸尸

P(B)=P(A1A2A3)+(4H4)+(444)+0(444)

21121八1、2八1、1八2、117

=-X—X——I——X—X(1)H——X(1)X——1-(1)x—X—=—,

32232232232212

7735

依題意，X?8(20,丘■),所以E(X)=20XQ=§；

(ii)依題意,〃=0,1,2,…，20,

77

C2oX(-rx(l--)2O-->C-'

若尸(〃)最大,

則77

qox(-yx(i--)2O-^c^

解得一V〃W一,因為〃￡N*，所以〃=12,

44

所以尸(〃)取最大值時〃的值為12.

71

18.如圖，在三棱錐尸—Z5C中，AP=AB=AC,。為8c上一點，ZABC=ZDAC=~,

6

ADLPB.

(1)證明：平面尸45,平面N2C；

(2)若PB=BC,AB=2,求：

(i)三棱錐尸-Z5C的體積；

(ii)平面PAD與平面PBC夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

所

⑵(i)1；(H)

7

【解析】

【分析】(1)由線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可證明；

(2)(i)過點P作尸于。，由(1)可知，點尸到48的距離即為點尸到平面48c的距離，結(jié)

合三棱錐體積公式計算即可求解；(ii)連接OC,以O(shè)B,OC,。尸所在直線分別為x,丹z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求解面面角的余弦值.

【小問1詳解】

在V/3C中，AB=AC,ZABC=~,所以NNC5=百，所以NA4C=女，

663

IT7T

又/。/C=—,所以=—,即

62

又因為40,尸8,ABcPB=B,所以40,平面尸48,

又4Du平面4BC,所以平面尸481.平面48c.

【小問2詳解】

(i)因為尸8=5C,所以A4BC三A4BP,則/尸48=與，NAPB=三

36

?V3

ABsmZPAB

所以在中，PB==_/_=26，

sinZAPB1

2

如圖，過點尸作尸于0,P0=PB-sin-=2y/3x-=y/j

62

由(1)可知，點尸到43的距離即為點尸到平面45。的距離，

所以三棱錐尸—46C的體積％=gx(gx2Gxl)x百=1.

(ii)如圖，連接OC,則。。人。2,OC=—AC=43，

2

以05,OC,。尸所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

當(dāng)，所以。(1,孚,0),

則8(3,0,0),C(0,V3,0)，尸(0,0,6),4(1,0,0)，又BALAD,AD

P2=(1,0,-V3)-麗=(1,孚，—6)，麗=(3,0,一百)，

設(shè)平面PAD的法向量為力=(x,J,z),

PA-u—x—VJz=0,

則__.2J3r-令z=也,則x=3,>=0,所以"=(3,0,百)，

PDH=x+y-V3z=0

3?

設(shè)平面P8C的法向量為舊=(加7,/),

PB-v=3m—Gt—0,

則一.2也l令，=