2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)：二次函數(shù)的性質(zhì)（含答案）

2025年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考三輪沖刺練習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)練習(xí)

一、選擇題

1.已知關(guān)于x的二次函數(shù)了="2+2°芯+3a2+3,當(dāng)x'2時(shí)，y隨x的增大而增大，且

-2WxWl時(shí)，y的最大值為9,則a的值為()

C.1或-2D.Y或顯

2.已知一個(gè)二次函數(shù)y="2+6x+c的自變量x與函數(shù)y的幾組對(duì)應(yīng)值如下表，則下列結(jié)論

正確的是()

X.??-4-20246

y.??-1192125219

A.當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的減小而減小

B.圖象的開口向上

C.圖象只經(jīng)過第一，二，三象限

D.圖象的對(duì)稱軸為x=-2

3.無論人為何實(shí)數(shù)，直線y=2丘+1和拋物線y=x2+x+E()

A.有一個(gè)公共點(diǎn)

B.有兩個(gè)公共點(diǎn)

C.沒有公共點(diǎn)

D.公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不能確定

4.已知二次函數(shù)y=a(x-1)2-°(aWO),當(dāng)-1WxW4時(shí)，y的最小值為-4,則a的

值為()

1—141—4

A.2八B.2或4C.3或4D.2小3

5.如圖，已知拋物線y=a/+bx經(jīng)過等腰直角△048的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)/在x軸上，點(diǎn)、B

是拋物線的頂點(diǎn)，/。8/=90°,則6=()

A

C.-2D.一但

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二、填空題

8.已知拋物線了=加/-mx-4x+4,回答下列問題：

（1）無論加取何值，拋物線恒過定點(diǎn)和;

（2）當(dāng)加＜0且拋物線的頂點(diǎn)位置最高時(shí)，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)（2,為），（n,y2）,滿足

yi＜y2＞則"的取值范圍是.

9.拋物線y=/+6x+c的頂點(diǎn)為3,點(diǎn)/（xi，yi）,點(diǎn)C（必，＞2）為拋物線上的點(diǎn).若4

A8C是底角為30°的等腰三角形，且xi+x2=-b,則△A8C的面積為

10.已知函數(shù)y=/-6x+3,當(dāng)左左時(shí)，若y的最大值與最小值之差為8,則左=

三、解答題

11.已知二次函數(shù)y=ax2-4ax+2（a為常數(shù)，且a#0）.

（1）若函數(shù)圖象過點(diǎn)（1,0）,求a的值；

（2）當(dāng)2（xW5時(shí)，函數(shù)的最大值為M,最小值為N,若M-N=12,求a的值.

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12.已知拋物線y=ax2+bx+c(a＞0),M(xp為)，N(初，＞2)是拋物線上兩點(diǎn)，拋物線

的對(duì)稱軸是直線工=九

(1)當(dāng)，=2時(shí)，

①直接寫出b與a滿足的等量關(guān)系；

6)若＞1=＞2，貝!]11+工2=?

(2)已知Q=，-3,%2=汁1，點(diǎn)。(％3，為)在拋物線上.當(dāng)3Vx3V4時(shí)，總有

乃＞為＞歹2，求t的取值范圍?

13.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點(diǎn)"(修，/)，N(》2,及)是拋物線

y=ax2-2ax+c(a＞0)上任意兩點(diǎn).

(1)直接寫出拋物線的對(duì)稱軸；

(2)若修=〃+1,l2=。+2，比較為與”的大小，并說明理由；

(3)若對(duì)于加＜%1＜加+1,加+1〈工2＜冽+2,總有為〈及，求冽的取值范圍.

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14.已知拋物線y=-x2+6x+c(b,c為常數(shù))的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是拋物線y=-/+4x+c頂點(diǎn)橫

坐標(biāo)的2倍.

(1)求b的值；

(2)點(diǎn)/(所，ji)在拋物線夕=-X2+4X+C_L,點(diǎn)、B(xi+w,yi+Z)在拋物線

y—-x-+bx+c上.

①求t(請(qǐng)用含加，XI的代數(shù)式表示)；

②若尤1=機(jī)+1且-1WXIW2,求f的最大值.

15.已知拋物線y=-x2+&(b為常數(shù))的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線y=-/+2x的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)

大1.

(1)求b的值；

2

(2)點(diǎn)/(芍，方)在拋物線^=-『+2x上，點(diǎn)8(xi+f,yi+h)在拋物線>=-x+bx

上.

(i)若力=3a且xi》O,t>0,求〃的值；

(ii)若干=/1-1,求〃的最大值.

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參考答案

一、選擇題

題號(hào)12345

答案BABBC

二、填空題

6.已知二次函數(shù)y=tu：2+6x+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如表:

X.??345678???

y.??-3114415041m???

則表格中m的值是14.

【解答】解：當(dāng)x=5時(shí)，y=41,當(dāng)x=7時(shí)，y=41,

_5+7_

對(duì)稱軸為：直線2-6,

/.(4,14)和(8,m)關(guān)于直線x=6對(duì)稱,

??YYl~~14,

故答案為：14.

7.已知二次函數(shù)(a>0)圖象的對(duì)稱軸為直線x=2,且經(jīng)過點(diǎn)(7,為)、

(4,以)，試比較大?。簐i>V9.(填或“=”)

【解答】解：由題意，???拋物線對(duì)稱軸是直線x=2,。>0,

拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小.

又1-2|=3>|4-2|=2,

故答案為：>.

8.已知拋物線>=加/-mx-4x+4,回答下列問題：

(1)無論加取何值，拋物線恒過定點(diǎn)(0,4)和(1,0)；

(2)當(dāng)加<0且拋物線的頂點(diǎn)位置最高時(shí)，拋物線經(jīng)過兩點(diǎn)(2,為)，(n,y2),滿足

ji<y2-則”的取值范圍是-1<〃<2.

【解答】解：(1)由題意，,.'y—mx2-mx-4x+4—m(x2-x)-4x+4,

x2-x=0,貝Ux=0或x=l.

.,.當(dāng)x=0時(shí)，y—4；當(dāng)x=l時(shí)，y—0.

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...無論加取何值，拋物線恒過定（0,4）,（1,0）.

故答案為：（0,4）,（1,0）.

—m1

（2）由題意，對(duì)稱軸是直線工—一赤一2.

拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大.

又：為<、2,

11

.,.|22|>|n2|.

，-1<?<2.

故答案為：-

9.拋物線V=x2+6x+c的頂點(diǎn)為3,點(diǎn)/（X1，為），點(diǎn)C（X2，改）為拋物線上的點(diǎn).若4

且

A8C是底角為30°的等腰三角形，且xi+x2=-b,則△A8C的面積為

【解答】解：由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為/軸，則6=0,

?=X~~H'C,

：.B（0,c）,

設(shè)C（加，〃），則/（-冽，〃），如圖，w

,??△45。是底角為30°的等腰三角形，

BD3m,

OD3加+&即〃3加十0,

￡

把C的坐標(biāo)代入y=/+c得，3m+c—m2+c,

B

解得m,m—0（舍去），

_2￡_1

：.AC~3,BD3,

112j31.亙

-AC-BD=-x——X—=

.?.△48C的面積為：2233-V.

目

故答案為：

10.已矢口函數(shù)y=/-6x+3,當(dāng)左-4WxW4時(shí)，若v的最大值與最小值之差為8,則左=—

7—2^^或3+2-^/2.

【解答】解：當(dāng)k-4Wx《k時(shí)，>=/-6x+3=（%-3）2-6,

6/1；

分情況討論如下：

①當(dāng)左-左W3時(shí)，即左W3,

x=左時(shí)，y取得最小值，此時(shí)了=啟-6左+3；

x=笈-4時(shí)，y取得最大值，止匕時(shí)＞=（4-4）2-6（左-4）+3；

（左-4）2-6（左-4）+3-（衿-6左+3）=8,解得：k=4,

\'k＜3,

.,#=4不符合題意；

②當(dāng)左-4W3且欄3時(shí)，即3WZ7,此時(shí)最小值為y=-6,

當(dāng)x=64取得最大值時(shí)，y=（后-4）2-6（后-4）+3,

（左-4）2-6（左-4）+3-（-6）=8,

解得：k=7+2^/2,

:3WkW7,7+2電＞7,

.?.k=7+2?不符合題意；

.?.k=7-2但符合題意；

當(dāng)x=4取得最大值時(shí)，y=啟-6左+3,

k2-6左+3-（-6）=8,

解得：k=3土2瓢,

由條件可知：卜=3+2但符合題意，卜=3—2但不符合題意，

./=3+2也

③當(dāng)3W左-4WxW左時(shí)，即左》7,

%=《-4時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y=（左-4）2-6（左-4）+3；x=左時(shí)，y取得最大值,

此時(shí)y=/-6左+3；廬-6左+3-[（左-4）2-6（左-4）+3]=8,解得：k=6,

:欄7,

.,.k=6不符合題意；

綜上所述，當(dāng)左-4W尤W左時(shí)，若V的最大值與最小值之差為8,左的值為7—2根或

3+2@

故答案為：7—2隹或3+2低.

三、解答題

11.已知二次函數(shù)y=ox2-4辦+2（a為常數(shù)，且aWO）.

（1）若函數(shù)圖象過點(diǎn)（1,0）,求a的值；

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（2）當(dāng)2W無W5時(shí)，函數(shù)的最大值為最小值為N,若"-N=12,求°的值.

【解答】解：（1）.??二次函數(shù)y=a/-4ax+2的圖象過點(diǎn)（1,0）,

/.a-4。+2=0,

_2

：?a3；

（2）\9y=ax2-4ax+2=。（x-2）2+2-4。，

???拋物線的頂點(diǎn)為（2,2-4a）,

??x~2時(shí)，y=2-4Q,

當(dāng)x=5時(shí)，y=25a-20q+2=5a+2,

當(dāng)q>0時(shí)，當(dāng)2WxW5時(shí)，M=5a+2,N=2-4a,

U：M-N=n,

：.5a+2-（2-4a）=12,

_4

**?ci3；

當(dāng)qVO時(shí)，當(dāng)2WxW5時(shí)，N=5a+2,M=2-4a,

U：M-N=n,

：.2-4a-（5〃+2）=12,

_4

:?a3；

44

??“的值為§或一5

12.已知拋物線歹（a>0）,M（%1，為），N（%2，>2）是拋物線上兩點(diǎn)，拋物線

的對(duì)稱軸是直線I=九

（1）當(dāng)，=2時(shí)，

①直接寫出b與Q滿足的等量關(guān)系；

8）若刃=為，貝ll、1+%2=4.

（2）已知修=%-3,工2=什1，點(diǎn)。（%3,為）在拋物線上.當(dāng)3V工3<4時(shí)，總有

為>為>丁2，求，的取值范圍.

b

【解答】解：⑴①???「一五一2,

??b~~~4。；

②（xi，為），N（x2,y2）是拋物線上兩點(diǎn),

'.M（X1，為），N（X2，夕2）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

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:拋物線的對(duì)稱軸為直線尤=2,

/+叼_

2,

?.X1+X2=4.

故答案為：4；

（2）由題意可知，M（xi，乃）在對(duì)稱軸的左側(cè)，N（冷，72）在對(duì)稱軸的右側(cè),

;點(diǎn)C（X3,.3）在拋物線上，3<X3<4,

.?.點(diǎn)C（右，為）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為⑵-叼,為），

It-4<2f-X3<27-3,

當(dāng)點(diǎn)C（叼，為）在對(duì)稱軸的左側(cè)時(shí)，

,/當(dāng)3<》3<4時(shí)，總有為>73>以，

（t—3<3

2t-4N1+1,解得5W/W6；

當(dāng)點(diǎn)C（無3,為）在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，

,/當(dāng)3<X3<4時(shí)，總有為>為，

（t+1<3

...任一3<2t-4r解得gW2；

：.t的取值范圍是1W1W2或5WW6.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（xi，為），N5,為）是拋物線

y—ax2-2ax+c（a>0）上任意兩點(diǎn).

（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸；

（2）若xi=a+l,無2=°+2，比較乃與絲的大小，并說明理由；

（3）若對(duì)于加ZM+1<X2<"?+2,總有為<如求"2的取值范圍.

—2a

【解答】解：（1）拋物線-2ax+c（a>0）的對(duì)稱軸為：工一2a一1,

...拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l；

（2）Va>0,拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x=l；

：.M（xi，為），N（尤2,拉）都在對(duì)稱軸右側(cè)，

:當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而增大，且X1<X2，

?'?乃〈及；

（3）m+l<X2<ni+2,

2m+1xi+x22m+3

------<------<------

222

9/12

??力〈/，?！?，

：.M（xi，為）距離對(duì)稱軸更近，xi<x2,則"N的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè),

1

>-

解得：m2.

14.已知拋物線歹=-J+bx+c(乩。為常數(shù))的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是拋物線y=-、2+4x+c頂點(diǎn)橫

坐標(biāo)的2倍.

(1)求6的值；

(2)點(diǎn)4(xp為)在拋物線歹=-X2+4X+C_b,點(diǎn)、B(xi+m,力+力在拋物線

y=-N+bx+c上.

①求，(請(qǐng)用含加，xi的代數(shù)式表示)；

②若%i=m+l且-1W2,求t的最大值.

【解答】(1)解：??)=-X2+4X+C=-(x-2)2+C+4,

拋物線歹=-X2+4X+C頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,

b

-x=--

,.)=-N+fcr+c的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,且為拋物線歹=-/+4%+c頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，

b

-=2x2

???2,

解得6=8；

(2)①??,點(diǎn)4(xi，乃)在拋物線歹=-/+4x+c上，點(diǎn)3(xi+m,為+力在拋物線

y=-j^+bx+c±.6=8,

.?.乃——“1+4jq+c,為+/=~(%i+m)2+8(%i+m)+c,

.*./=-(%i+m)2+8(xi+m)+。-乃，

即￡=-(%i+m)2+8(%i+m)+c-(~x\4xi+c),

t=-m2+4%i-2加xi+8冽,

②?.,修=加+1,

:?t=-m2+4%i-2mxi+8m

=-m2+4(m+1)-2m(m+1)+8m

=-3m2+10m+4

V-^2,

-1W機(jī)+1W2,

10