26.1.1 反比例函數(shù) 課件2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)1

第二十六章26.1.1反比例函數(shù)傳授新知知識(shí)探究

一般地,形如_________(k為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是函數(shù)，自變量x的取值范圍是不等于0的一切實(shí)數(shù)．y＝kx-1或xy=k(k≠0)反比例函數(shù)的解析式還可寫(xiě)成：1.為什么k≠0,2.為什么x≠0?想一想反比例函數(shù)：素養(yǎng)考點(diǎn)1利用反比例函數(shù)的定義求字母的值知識(shí)探究解：(1)∵y是x的正比例函數(shù)

∴m=-1∴m2+m-1=1且m2+2m≠0∴m1=-2,m2=1且m≠0,m≠-2∴m=1(2)∵y是x的反比例函數(shù)∴m2+m-1=-1且m2+2m≠0∴m1=0,m2=-1且m≠0,m≠-2【例1】已知函數(shù)

(1)若y是x的正比例函數(shù),求m的值；

(2)若y是x的反比例函數(shù),求m的值；

2.(1)當(dāng)m=_____時(shí)，函數(shù)是反比例函數(shù).

(2)已知函數(shù)是反比例函數(shù),則m=_______.1.56(3)若函數(shù)是反比例函數(shù),則m的值為_(kāi)_____.2鞏固練習(xí)例2

已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=6.(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；分析：因?yàn)閥是x的反比例函數(shù)，所以設(shè).把x=2和y=6代入上式，就可求出常數(shù)k的值.解：(1)設(shè).因?yàn)楫?dāng)x=2時(shí)，y=6，所以有

解得k=12.

因此

素養(yǎng)考點(diǎn)2利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式(2)當(dāng)x=4時(shí)，求y的值.(2)把x=4

代入，得知識(shí)探究用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟是：（1）設(shè)，即設(shè)所求的反比例函數(shù)解析式為（k≠0）．（2）代，即將已知條件中對(duì)應(yīng)的x、y值代入中得到關(guān)于k的方程．（3）解，即解方程，求出k的值．（4）定，即將k值代入中，確定函數(shù)解析式．歸納總結(jié)知識(shí)探究3.已知y與x+1成反比例，并且當(dāng)x=3時(shí)，y=4.(1)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)x=7時(shí)，求y的值．解：(1)設(shè)，因?yàn)楫?dāng)x=3時(shí)，y=4，所以有，解得k=16，因此.

(2)當(dāng)x=7時(shí)，鞏固練習(xí)

人的視覺(jué)機(jī)能受運(yùn)動(dòng)速度的影響很大，行駛中司機(jī)在駕駛室內(nèi)觀察前方物體是動(dòng)態(tài)的，車速增加，視野變窄.當(dāng)車速為50km/h時(shí)，視野為80度，如果視野f(度)是車速v(km/h)的反比例函數(shù)，求f關(guān)于v的函數(shù)解析式，并計(jì)算當(dāng)車速為100km/h時(shí)視野的度數(shù).當(dāng)v=100時(shí)，f=40.所以當(dāng)車速為100km/h時(shí)視野為40度.解：設(shè).由題意知，當(dāng)v=50時(shí)，f=80，解得

k=4000.

因此所以知識(shí)點(diǎn)2建立反比例函數(shù)的模型解答問(wèn)題知識(shí)探究4.

如圖，已知菱形ABCD的面積為180，設(shè)它的兩條對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)分別為x，y.寫(xiě)出變量y與x之間的關(guān)系式，并指出它是什么函數(shù).ABCD解:因?yàn)榱庑蔚拿娣e等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半，所以

所以變量y與x之間的關(guān)系式為，它是反比例函數(shù).鞏固練習(xí)1.下列函數(shù)：（1），（2），（3）xy=9，（4），（5），（6）

y=2x－1，（7），其中是反比例函數(shù)的是_____________．

（2）（3）（5）課堂檢測(cè)3．矩形的面積為4，一條邊的長(zhǎng)為x，另一條邊的長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)解析式為

．2．蘋(píng)果每千克x元，花10元錢可買y千克的蘋(píng)果，則y與x之間的函數(shù)解析式為_(kāi)________．課堂檢測(cè)4．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則m的取值是

．35．已知y與x成反比例，且當(dāng)x=－2時(shí)，y=3，則

y與x之間的函數(shù)解析式是

，當(dāng)x=－3時(shí)，y=

．2課堂檢測(cè)k≠2且k≠-1±16.當(dāng)m=_____時(shí),y=2x|m|-2是反比例函數(shù).7.已知函數(shù)是反比例函數(shù),則k滿足_____________.8.已知函數(shù)y=(2m2+m-1)x2m2+3m-3是反比例函數(shù),則m=____.9.若是反比例函數(shù),則m=______.

10.如圖,已知菱形ABCD的面積為180,設(shè)它的兩條對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別為x、y.寫(xiě)出變量y與x之間的關(guān)系式_______.-1-2ABCD課堂檢測(cè)11.如果y是z的正比例函數(shù),z是x的反比例函數(shù),那么y與x具有怎樣的函數(shù)關(guān)系？解：設(shè)y=k1z,∴y是x的反比例函數(shù).課堂檢測(cè)12.已知y=y1+y2,y1與(x-1)成正比例,y2與(x+1)成反比例,當(dāng)x=0時(shí),y=-3；當(dāng)x=1時(shí),y=-1，求：(1)y關(guān)于x的關(guān)系式；(2)當(dāng)x=時(shí),y的值.解:(1)設(shè)∵y=y1+y2∴把x=0,y=-3和x=1,y=-1代入上式,得：解得：k1=1k2=2∴(2)當(dāng)x=時(shí),課堂檢測(cè)13.如圖：⊙O的直徑AB=12,AM和BN是它的兩條切線,DE切⊙O于E,交AM于D,交BN于C,設(shè)AD=x,BC=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式；HACDBEMON解:過(guò)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，∵AM、BN和DE都是⊙O的切線,∴AM⊥AB,BN⊥AB；DE=AD=x,EC=BC=y.∴四邊形ABHD為矩形；CD=DE+CE=x+y.∴BH=AD=x,DH=AB=12.由勾股定理得：DH2+HC2=CD2.∴122+(y-x)2=(x+y)2.∴CH=BC-BH=y-x.∴xy=36.課堂檢測(cè)14.李貝說(shuō)：“如圖,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作DE⊥AP于E,設(shè)AP=x(6≤x≤10),DE=y,則y是x的反比例函數(shù)嗎？”你認(rèn)為李貝的說(shuō)法正確嗎？若正確,請(qǐng)給出證明；若不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.ADEPCB解:連接DP，S△ADP=0.5AD·AB=0.5AP·DE即：0.5×8·6=0.5x·y1.下列函數(shù)中哪些是反比例函數(shù)？

①②③④

⑤⑥⑦⑧

y=3x-1y=2x2y=x1y=2x3y=3xy=x1y=13xy=32x2.上節(jié)課我們學(xué)的反比例函數(shù)解析式是什么？

自變量x的取值范圍是什么？函數(shù)y的取值范圍是什么？x≠0，y≠0。（k≠0，k是常數(shù)。）

回顧與思考

回顧與思考正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是y隨x的增大而增大;xyoxyoy隨x的增大而減小.當(dāng)k>0時(shí),當(dāng)k<0時(shí),

一條直線

知識(shí)點(diǎn)

反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)合作探究例

畫(huà)反比例函數(shù)與的圖象.提示：畫(huà)函數(shù)的圖象步驟一般分為：列表→描點(diǎn)→連線.

需要注意的是在反比例函數(shù)中自變量x不能為0.解：列表如下：x…－6－5－4－3－2－1123456……………－1－1.2－1.5－2－3－66321.51.21－2－2.4－3－4－66432.42

x…………y=x6123456-1-3-2-4-5-61234-1-2-3-40-6-556xy16233241.561-1-6-2-3-3-1.5-2-4-6-1y=x6畫(huà)圖象時(shí)應(yīng)注意：1.列表時(shí),注意自變量的取值.2.線連時(shí)，必須用光滑的曲線連接各點(diǎn),不能用折線連接．因?yàn)閤≠0，所以連線在x=0處斷開(kāi).3.圖象是延伸的，注意不要畫(huà)的有明確端點(diǎn)．4.曲線的發(fā)展趨勢(shì)只能靠近坐標(biāo)軸,但不能和坐標(biāo)軸相交問(wèn)題1畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象.雙曲線圖象是什么形狀？畫(huà)圖象應(yīng)注意哪些問(wèn)題？新課進(jìn)行時(shí)核心知識(shí)點(diǎn)ykx=（k＞0）圖像和性質(zhì)612x612-6-12-6-12yO問(wèn)題2在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象

x…………-12-6-4-3-2-11234612-1-2-3-4-6-121264321問(wèn)題3觀察反比例函數(shù)與的圖象，思考:①它們的圖象有什么共同特征？②在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的變化是如何變化的？歸納：1.反比例函數(shù)與的圖象都有兩支，分別位于第一、第三象限；2.在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.y

減小x增大新課進(jìn)行時(shí)O－256xy4321123456－3－4－1－5－6－1－2－3－4－5－6觀察這兩個(gè)函數(shù)圖象，回答問(wèn)題：(1)每個(gè)函數(shù)圖象分別位于哪些象限？(2)在每一個(gè)象限內(nèi)，隨著x的增大，y如何變化？你能由它們的解析式說(shuō)明理由嗎？(3)對(duì)于反比例函數(shù)(k＞0)，考慮問(wèn)題(1)(2)，你能得出同樣的結(jié)論嗎？y也為負(fù)y也為正x為正時(shí)

x…………-12-6-4-3-2-11234612-1-2-3-4-6-121264321在每一象限內(nèi)（每一支），y隨x的增大而減小.y逐漸減小x逐漸增大x為負(fù)時(shí)x逐漸增大y逐漸減小y也為正x為正時(shí)y也為負(fù)x為負(fù)時(shí)函數(shù)圖象有兩支位于第一象限位于第三象限（+，+）（-，-）x≠0新課進(jìn)行時(shí)Oxy對(duì)于反比例函數(shù)

(k＞0),你能得到同樣的性質(zhì)嗎？反比例函數(shù)(k＞0)的圖象和性質(zhì)：●由兩條曲線組成，且分別位于第一、三象限，它們與x軸、y軸都不相交；●在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.【反思小結(jié)】由于雙曲線的兩個(gè)分支在兩個(gè)不同的象限內(nèi)，因此函數(shù)y隨x的增減性就不能連續(xù)的看，一定要強(qiáng)調(diào)“在每一象限內(nèi)”，否則，籠統(tǒng)說(shuō)當(dāng)k＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤.

歸納新課進(jìn)行時(shí)練一練

反比例函數(shù)

的圖象大致是()。CyA.xyoB.xoD.xyoC.xyo練一練已知反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(－2，－3)，函數(shù)圖象上有兩點(diǎn)A(，y1)，B(5，y2)，則y1與y2的大小關(guān)系為。()A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.無(wú)法確定C提示：由題可知反比例函數(shù)的解析式為，因?yàn)?＞0，且A，B兩點(diǎn)均在該函數(shù)圖象的第一象限部分，根據(jù)>5，可知y1，y2的大小關(guān)系.(1)函數(shù)

圖象在第_______象限，在每個(gè)象限內(nèi)，

y隨x的增大而

______.一、三減小(2)已知反比例函數(shù)在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是_____.

m＞2做一做：觀察與思考

當(dāng)k=－6，－12，時(shí)，反比例函數(shù)的圖象，有哪些共同特征？回顧上面我們利用函數(shù)圖象，從特殊到一般研究反比例函數(shù)(k＞0)的性質(zhì)的過(guò)程，你能用類似的方法研究反比例函數(shù)(k＜0)的圖象和性質(zhì)嗎？

問(wèn)題

在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出反比例函數(shù)和的圖象．問(wèn)題

觀察圖象思考：xyO66-6-6-12-1212121.函數(shù)圖象有什么共同特征？2.在每一象限內(nèi)，y隨x的變化是如何變化的？

歸納：1.反比例函數(shù)與的圖象有兩支，分別位于第二、四象限；2.在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.新課進(jìn)行時(shí)y為正y為負(fù)x為正時(shí)

x…………-12-6-4-3-2-112346121234612-12-6-4-3-2-1在每一象限內(nèi)（每一支），y隨x的增大而增大.y逐漸增大x逐漸增大x為負(fù)時(shí)x逐漸增大y逐漸增大y為負(fù)x為正時(shí)y為正x為負(fù)時(shí)函數(shù)圖象有兩支位于第四象限位于第二象限（-，+）（+，-）x≠0新課進(jìn)行時(shí)問(wèn)題這些反比例函數(shù)的圖象有什么共同特點(diǎn)？有什么不同點(diǎn)？不同點(diǎn)是由什么決定的？歸納：反比例函數(shù)圖象由兩條曲線組成，它是雙曲線.k＞0k＜0雙曲線的兩支分別位于第一、三象限.雙曲線的兩支分別位于第二、四象限.在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小.在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.y612x612-6-12-6OxyO66-6-6-12-121212k＞0k＜0新課進(jìn)行時(shí)歸納一般地，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它具有以下性質(zhì)：(1)當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；(2)當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.k的正負(fù)決定反比例函數(shù)所在的象限和增減性.(1)由于x≠0，y≠0，所以反比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)(不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)).(2)在描述反比例函數(shù)的增減性時(shí)，必須指明是“在每一個(gè)象限內(nèi)”.(3)反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性由k的符號(hào)決定；反之，由雙曲線的位置或函數(shù)的增減性可確定k的符號(hào).例典例分析

點(diǎn)(2，y1)和(3，y2)在函數(shù)上，則y1

y2

(填“>”“<”或“=”).<例方法總結(jié)：已知某個(gè)函數(shù)為反比例函數(shù)，只需要根據(jù)反比例函數(shù)的定義列出方程(組)求解即可.已知反比例函數(shù)，y隨x的增大而增大，求a的值.解：由題意得a2+a－7=－1，且a－1<0．解得a=－3.A.y1>y2B.y1=y2C.y1<y2D.無(wú)法確定C

反比例函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且點(diǎn)A，B均在該函數(shù)圖象的第一象限部分，若x1＞x2，則y1與y2的大小關(guān)系為（）。

解析：因?yàn)?＞0，且A，B兩點(diǎn)均在該函數(shù)圖象的第一象限部分，根據(jù)x1＞x2，可知y1，y2的大小關(guān)系.考點(diǎn)利用反比例函數(shù)的性質(zhì)比較大小已知點(diǎn)A（－3，a），B（－2，b），在雙曲線，則a___b(填>、=或<).

>已知點(diǎn)(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函數(shù)（k≠0)的圖象上,則下列結(jié)論中正確的是()。

A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y3>y1>y2

D.y2>y3>y1B已知反比例函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小，求m的值．解：由題意得m2－10=－1，且3m－8＞0．解得m=3.A：xyoB：xyoD：xyoC：xyo1、反比例函數(shù)y=的圖象大致是（）

C隨堂演練2.函數(shù)的圖象在第________象限,在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而_________.3.已知反比例函數(shù)若函數(shù)的圖象位于第一、三象限，則k_________;若在每一象限內(nèi)，y隨x增大而減小，則k_______.4.若點(diǎn)（2，y1）、（1，y2）在反比例函數(shù)