第04講 二次根式（3考點+13題型）2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（廣東專用）

第一章數(shù)與式第04講二次根式（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一二次根式的相關(guān)概念考點二二次根式的性質(zhì)與化簡考點三二次根式的運算04題型精研·考向洞悉命題點一二次根式的相關(guān)概念?題型01二次根式有意義的條件?題型02判斷最簡二次根式?題型03判斷同類二次根式命題點二二次根式的性質(zhì)與化簡?題型01利用二次根式的性質(zhì)化簡?題型02已知字母的值，化簡求值1?題型03已知條件等式，化簡求值命題點三二次根式的運算?題型01二次根式的乘除運算?題型02二次根式的加減運算?題型03二次根式的混合計算?題型04二次根式的有理化?題型05比較二次根式?題型06二次根式的應(yīng)用05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預(yù)測二次根式的相關(guān)概念了解二次根式、最簡二次根式的概念10年7考中考中，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現(xiàn)，而化簡計算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數(shù)、實數(shù)、其他幾何圖形等結(jié)合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.二次根式的性質(zhì)與化簡掌握二次根式的性質(zhì)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡近10年連續(xù)考查二次根式的運算了解二次根式（根號下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算10年8考考點一二次根式的相關(guān)概念（高頻考點）二次根式的概念：一般地，我們把形如（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)．最簡二次根式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式.1.1.二次根式定義中規(guī)定，任何非負數(shù)的算術(shù)平方根都是二次根式，不需要看化簡后的結(jié)果，如：-都是二次根式.2.二次根式有意義的條件：當(dāng)a≧0時，即被開方數(shù)大于或等于0，二次根式有意義.3.在關(guān)于代數(shù)式有意義的問題中，要注意二次根式（被開方數(shù)大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意義的綜合運用．4.最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應(yīng)含有根號）；②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.[補充]含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等.5.幾個同類二次根式在沒有化簡前，被開方數(shù)可以完全互不相同，如：、、是同類二次根式.04題型精研·考向洞悉考點二二次根式的性質(zhì)與化簡二次根式的化簡方法：1）利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)和商的算術(shù)平方根的性質(zhì)進行化簡．=?，=化簡二次根式的步驟：1）把被開方數(shù)分解因式；2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把各因式（或因數(shù)）積的算術(shù)平方根化為每個因式（或因數(shù)）的算術(shù)平方根的積；1.根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡時，前無“1.根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡時，前無“-”,化簡出來就不可能是一個負數(shù).2.利用二次根式性質(zhì)時，如果題目中對根號內(nèi)的字母給出了取值范圍，那么應(yīng)在這個范圍內(nèi)對根式進行化簡，如果題目中沒有給出明確的取值范圍，那么應(yīng)注意對題目條件的挖掘，把隱含在題目條件中所限定的取值范圍顯現(xiàn)出來，在允許的取值范圍內(nèi)進行化簡．3.化簡后的最后結(jié)果應(yīng)為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式．考點三二次根式的運算乘法法則:兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：=?.除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：（a≥0，b＞0）.加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.【口訣】一化、二找、三合并.分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.【分母有理化方法】1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：2）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構(gòu)成平方差的另一部分.即：；混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去掉括號)．1.在使用=1.在使用=?時一定要注意2.在使用（a≥0，b＞0）時一定要注意3.合并被開方數(shù)相同的二次根式與合并同類項類似，將被開方數(shù)相同的二次根式的“系數(shù)”相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變．4.二次根式加減混合運算的實質(zhì)就是合并被開方數(shù)相同的二次根式，被開方數(shù)不同的二次根式不能合并．5二次根式進行加減運算時，根號外的系數(shù)因式必須為假分數(shù)形式．6.在二次根式的混合運算中，乘方公式和實數(shù)的運算律仍然適用。而且運算結(jié)果應(yīng)寫成最簡二次根式的形式.命題點一二次根式的相關(guān)概念?題型01二次根式有意義的條件1．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查當(dāng)函數(shù)是二次根式時自變量的取值范圍是使被開方數(shù)不小于零的實數(shù)，再列不等式求解即可．【詳解】解：由題意可得：，解得：，故選A．2．（2024·廣東廣州·二模）代數(shù)式有意義的條件是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式及分式有意義的條件，可得不等式，即可求解．【詳解】解：∵代數(shù)式有意義，∴，解得，，故選：C．3．（2024·廣東陽江·二模）若要使式子有意義，則的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【答案】B【分析】本題考查的知識點為二次根式有意義的條件和分式有意義的條件．根據(jù)二次根式被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出m的范圍．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：且．故選：B．4．（2023·廣東廣州·一模）代數(shù)式有意義時，x應(yīng)滿足的條件為（

）A．且 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式有意義以及二次根式有意義，即分母不為0以及被開方數(shù)為非負數(shù)，據(jù)此列式計算，即可作答．【詳解】∵代數(shù)式有意義∴解得且故選：A?題型02判斷最簡二次根式5．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查最簡二次根式，根據(jù)最簡二次根式的定義進行解題即可．【詳解】解：A.，不是最簡二次根式；B.，不是最簡二次根式；C.，不是最簡二次根式；D.是最簡二次根式；故選D．6．（2024·廣東東莞·一模）下列是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查最簡二次根式的識別，最簡二次根式需滿足被開方數(shù)不含有分母，被開方數(shù)不含有開得盡方的因數(shù)或因式，根據(jù)定義逐一判斷即可．【詳解】解：是最簡二次根式，故A選項正確；中被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，故B選項錯誤；中二次根式位于分母位置，不是最簡二次根式，故C選項錯誤；中被開方數(shù)含有開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故D選項錯誤；故選A．7．（2023·廣東湛江·三模）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（

）A． B． C．（，） D．（）【答案】A【分析】本題考查了最簡二次根式的定義，根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可，熟記最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、是最簡二次根式，故本選項符合題意；、，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；、（，）中被開方數(shù)是分數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；、（），不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：．8．（2022·廣東揭陽·一模）下列二次根式中，最簡二次根式是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義進行判斷即可．【詳解】解：A．不能再進行化簡，是最簡二次根式，符合題意；B．可以化為，不是最簡二次根式，不符合題意；C．可化為，不是最簡二次根式，不符合題意；D．可化為，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：A．?題型03判斷同類二次根式9．（2023·上海松江·二模）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式.【詳解】解：A、，與不是同類二次根式；B、，與是同類二次根式；C、，與不是同類二次根式；D、.，與不是同類二次根式；故選：B.【點睛】本題考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的概念是解題的關(guān)鍵.10．（2021·廣東云浮·一模）下列各式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．25【答案】B【分析】先把各選項化成最簡二次根式，然后根據(jù)同類二次根式判斷即可.【詳解】∵，，∴與是同類二次根式的是.故選：B.【點睛】本題考查了最簡二次根式和同類二次根式的定義，把各個選項化簡是解題的關(guān)鍵．11．（2019·廣東廣州·一模）下列根式中與是同類二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡后，各選項根據(jù)同類二次根式的定義判斷．【詳解】∵=，∴下列選項中的被開方數(shù)是6的才符合題意．故選D.【點睛】本題考查的是同類二次根式，熟練掌握同類二次根式是解題的關(guān)鍵.12．（2024·貴州·模擬預(yù)測）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查同類二次根式的概念，根據(jù)同類二次根式的概念，需要把各個選項化成最簡二次根式，被開方數(shù)是3的即和是同類二次根式．【詳解】A．與不是同類二次根式，故該選項錯誤；B．與不是同類二次根式，故該選項錯誤；C．與是同類二次根式，故該選項正確；D．與不是同類二次根式，故該選項錯誤；故選：C．命題點二二次根式的性質(zhì)與化簡?題型01利用二次根式的性質(zhì)化簡13．（2024·廣東廣州·一模）（

）A． B．2024 C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的性質(zhì)：化簡即可．【詳解】解：，故選A．14．（2023·廣東廣州·二模）已知反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，則化簡代數(shù)式得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，可知，再根據(jù)即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在一、三象限，∴，即：，則，故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)：當(dāng)時，圖象分別位于第一、三象限；當(dāng)時，圖象分別位于第二、四象限，還考考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡．15．（2022·廣東江門·模擬預(yù)測）的化簡結(jié)果是（

）A．4 B． C．16 D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可得到答案．【詳解】解：，故選A．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握是解題關(guān)鍵．16．（2022·河北·中考真題）下列正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A.，故錯誤；B.，故正確；C.，故錯誤；D.，故錯誤；故選：B．【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．?題型02已知字母的值，化簡求值17．（2024·河北秦皇島·一模）已知，，則代數(shù)式的值為（）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的化簡求值．先根據(jù)已知條件，求出和的值，再把所求代數(shù)式分解因式，最后整體代入求值即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：B．18．（2024·河北滄州·一模）若，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】D【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，二次根式混合運算，熟練掌握完全平方公式及化簡求值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式將變形為，再代入，的值求解即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：D．19．（2019·遼寧沈陽·一模）若，則代數(shù)式的值為

(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】先將已知代數(shù)式變形，然后將字母的值代入進行計算即可求解．【詳解】解：當(dāng)時，原式故選：B．【點睛】本題考查了分母有理化，分式的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．20．（23-24八年級下·山西大同·期中）已知，，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查二次根式的化簡求值，本題關(guān)鍵在于利用完全平方公式以及平方差公式簡化運算．將變形為已知的值，分別計算出的值，整體代入求值即可．【詳解】解：，，，，故選：A．?題型03已知條件等式，化簡求值21．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知，則化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，根據(jù)絕對值的性質(zhì)得，即，所以，，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．掌握二次根式的性質(zhì)及絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．也考查了完全平方公式的應(yīng)用．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，，∴．故選：A．22．（2023·廣西防城港·一模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：．

【答案】0【分析】根據(jù)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置確定，，的符號，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡，再合并同類項．【詳解】解：由數(shù)軸可知，，，∴，，，∴原式＝故答案為：0【點睛】本題考查的是利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小，二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.23．（2020·廣東中山·一模）已知實數(shù)，滿足那么代數(shù)式的值為．【答案】1．【分析】根據(jù)和及，可知，和，算出x和y的值，代入代數(shù)式計算即可．【詳解】由題意可知，，，∴∴，故答案為：1．【點睛】本題考查絕對值和二次根式的性質(zhì)，掌握這一點這是解題的關(guān)鍵．24．（2023·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測）如果，那么的值是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，求出的值，進而求出的值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值．熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，是解題的關(guān)鍵．命題點三二次根式的運算?題型01二次根式的乘除運算25．（2024·廣東茂名·一模）計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除法運算，根據(jù)法則計算即可．【詳解】解：故答案為：．26．（2024·廣東清遠·三模）若一個數(shù)與相乘等于一個整數(shù)，則這個數(shù)可以為．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查二次根數(shù)的乘法，根據(jù)二次根式的乘法法則，進行計算求解即可．【詳解】解：，滿足題意，∴這個數(shù)可以為；故答案為：（答案不唯一）．27．（2024·廣東肇慶·一模）計算．【答案】【分析】本題考查了二次根式的除法，根據(jù)二次根式的除法法則計算即可得出答案．【詳解】解：，故答案為：．28．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測），，．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘除法運算，即可求出答案．【詳解】解：，，，故答案為：，，【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘除法運算，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式的性質(zhì)．?題型02二次根式的加減運算29．（2023·廣東廣州·三模）計算的結(jié)果是．【答案】【分析】先把二次根式化簡，即可進行減法．【詳解】解：原式故答案為：【點睛】本題考查了二次根式的減法運算，先化簡再進行合并二次根式是解決此類問題的關(guān)鍵．30．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）計算的結(jié)果是．【答案】【分析】本題考查二次根式的加減法，先化簡，再加減，據(jù)此求解即可．【詳解】故答案為：．31．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）計算．【答案】【分析】本題考查了二次根式的加減運算，先利用二次根式的性質(zhì)化簡，再合并即可求解，掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，故答案為：．32．（2024·江蘇南京·三模）計算的結(jié)果是．【答案】/【分析】本題考查了二次根式的加法運算，利用二次根式的性質(zhì)先化簡，再合并同類二次根式即可，掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，故答案為：．?題型03二次根式的混合計算33．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．先利用二次根式性質(zhì)，化簡二次根式，再進行乘除運算，最后在進行加減運算即可求解；【詳解】解：原式＝．34．（2024·甘肅隴南·模擬預(yù)測）計算：【答案】【分析】本題考查的是二次根式的混合運算，先計算二次根式的乘法運算，再合并即可；【詳解】解：35．（2024·甘肅蘭州·模擬預(yù)測）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的計算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)二次根式的加減混合運算解答即可．（2）根據(jù)二次根式的四則混合運算計算即可．【詳解】（1）解：．（2）．36．（2024·上?！つM預(yù)測）計算：【答案】2019【分析】本題主要考查了分母有理化、平方差公式的應(yīng)用等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．將原式整理為，化簡后利用平方差公式求解即可．【詳解】解：原式．?題型04二次根式的有理化37．（2023·四川成都·模擬預(yù)測）設(shè)的整數(shù)部分，小數(shù)部分為，則，．【答案】【分析】本題考查了無理數(shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分，以及估算無理數(shù)大小，先把式子分母有理化，再估算出所在范圍，再根據(jù)化簡后的式子進行變形，即可解題．【詳解】解：，，，，，的整數(shù)部分，小數(shù)部分為，，．故答案為：2，．38．（2024·遼寧盤錦·一模）閱讀理解材料：把分母中的根號化掉叫做分母有理化，例如：①；②等運算都是分母有理化，根據(jù)上述材料，計算：．【答案】/【分析】此題主要考查了分母有理化以及二次根式的混合運算，直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：原式，故答案為：．39．（2023·江蘇蘇州·一模）若表示不超過的最大整數(shù)，，則______．【答案】【分析】先根據(jù)零指數(shù)冪和分母有理化得到，然后根據(jù)表示不超過x的最大整數(shù)得到．【詳解】解：，那么，∴，．故答案為：．【點睛】本題考查了取整計算：表示不超過x的最大整數(shù)．也考查了分母有理化和零指數(shù)冪．40．（2023·湖北黃岡·模擬預(yù)測）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；…根據(jù)以上等式給出的規(guī)律，計算：．【答案】/【分析】直接仿照前面三個等式，即可寫出第n個等式，根據(jù)前面已知，，的值和所求出的的值，進行計算即可解答．【詳解】解：第n個等式：，∴【點睛】本題考查了二次根式的分母有理化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)已知等式，找出數(shù)字變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵．?題型05比較二次根式41．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查二次根式比較大小，先取、的絕對值，再平方，比較大小即可得到答案，熟練掌握無理數(shù)比較大小的方法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，且，，則，1故答案為：．42．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）比較大?。海ㄌ睢埃尽薄ⅰ埃肌被颉埃健保敬鸢浮俊痉治觥看祟}主要考查了二次根式的大小比較，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式的性質(zhì)比較得出答案．【詳解】解：，又，，，故答案為：43．（2024·陜西西安·三模）比較大小：（填“”、“”、“”）．【答案】【分析】本題考查比較二次根式的大小，根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小求解即可．【詳解】解：，，∵，∴，故答案為：．44．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）比較大?。海ㄌ睢啊薄啊被颉啊保敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查二次根式的大小比較，先將根號外的因數(shù)移到根號內(nèi)，再根據(jù)所得結(jié)果比較大小即可．【詳解】解：，，，故答案為：．?題型06二次根式的應(yīng)用45．（2024·江蘇南京·二模）（n為正整數(shù)）的近似值可以這樣估算：，其中m是最接近n的完全平方數(shù)．例如：，這與科學(xué)計算器計算的結(jié)果4.8989…很接近．(1)按照以上方法，估計的近似值（精確到0.1）；(2)結(jié)合圖中思路，解釋該方法的合理性．【答案】(1)6.6(2)見解析【分析】本題考查的是無理數(shù)的估算，新定義的含義，完全平方公式的應(yīng)用，理解新定義的含義是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)新定義的法則進行估算即可．（2）設(shè)，其中，再變形，結(jié)合完全平方公式可得結(jié)論．【詳解】（1）解：由新定義可得：；（2）解：設(shè)，其中．則．將兩邊平方，得．∵，∴

的值會更接近于0，不妨近似為0．∴

．∴，即．46．（2023·江蘇·二模）問題：已知實數(shù)a、b、c滿足，且，求證：．小明在思考時，感覺無從下手，就去請教學(xué)霸小剛,小剛審題后思考了片刻，對小明說：我們可以構(gòu)造一個一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整體代入即可解答，并寫下了部分解題過程供小明參考：令，則，原等式可變形為關(guān)于x的一元二次方程：．可以發(fā)現(xiàn)：．從而可知構(gòu)造的方程兩個根分別是1和利用根與系數(shù)的關(guān)系得：_____；_____；…請你根據(jù)小剛的思路完整地解答本題．【答案】；；見解析【分析】令，則，原等式就可變?yōu)殛P(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出代數(shù)式的值．【詳解】解：令，則，原等式可變形為關(guān)于x的一元二次方程：．可以發(fā)現(xiàn)：．從而可知構(gòu)造的方程兩個根分別是1和.利用根與系數(shù)的關(guān)系得：；；∴．【點睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意確定一元二次方程，得到方程的兩個根，再由根與系數(shù)的關(guān)系用兩根之和與兩根之積表示代數(shù)式中的分式，代入代數(shù)式求出代數(shù)式的值．47．（2024·廣東肇慶·一模）【發(fā)現(xiàn)問題】由得，；如果兩個正數(shù)，，即，，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號．【提出問題】若，，利用配方能否求出的最小值呢？【分析問題】例如：已知，求式子的最小值．解：令，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，式子有最小值，最小值為4．【解決問題】請根據(jù)上面材料回答下列問題：（1）__________（用“”“”“”填空）；當(dāng)，式子的最小值為__________；【能力提升】（2）用籬笆圍一個面積為32平方米的長方形花園，使這個長方形花園的一邊靠墻（墻長20米），問這個長方形的長、寬各為多少時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？（3）如圖，四邊形的對角線、相交于點，、的面積分別是8和14，求四邊形面積的最小值．【答案】（1），2；（2）當(dāng)長、寬分別為8米，4米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米；（3）四邊形面積的最小值為【分析】本題考查了配方法在最值問題中的應(yīng)用，同時本題還考查了等高三角形的在面積計算中的應(yīng)用．（1）當(dāng)時，按照公式（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）來計算即可；當(dāng)時，，，則也可以按公式（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）來計算；（2）設(shè)這個長方形花園靠墻的一邊的長為米，另一邊為米，則，可得，推出籬笆長，利用題中結(jié)論解決問題即可（3）設(shè)，已知，，則由等高三角形可知：，用含的式子表示出來，再按照題中所給公式求得最小值，加上常數(shù)即可．【詳解】解：（1）∵，且，∴；當(dāng)時，，故答案為：，2；（2）設(shè)這個長方形花園靠墻的一邊的長為米，另一邊為米，則，，這個籬笆長米，根據(jù)材料可得，，當(dāng)時，的值最小，或（舍棄），，∴當(dāng)長、寬分別為8米，4米時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是米．（3）設(shè)，已知，，則由等高三角形可知：，，，四邊形面積當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，四邊形面積的最小值為．48．（2023·山東濟寧·二模）探究問題：探究與的大小關(guān)系．(1)觀察猜想：與的大小關(guān)系是______．(2)計算驗證：當(dāng)時，與的大小關(guān)系是______；當(dāng)時，與的大小關(guān)系是______．(3)推理證明：如圖，以為直徑作半圓O，點C半圓上一動點，過C作于點D，設(shè)，．先用含a，b的式子表示出線段，再寫出他們（含a，b的式子）之間存在的大小關(guān)系．

(4)實踐應(yīng)用：要制作一個面積為1平方米的矩形，請直接利用探究得出的結(jié)論，求矩形周長的最小值．【答案】(1)(2)；(3)；(4)矩形周長的最小值為4．【分析】（1）根據(jù)題意作出猜想即可；（2）代入數(shù)據(jù)，計算即可得出答案；（3）易得，再通過證明，利用相似比得，根據(jù)直角邊與斜邊的關(guān)系得（當(dāng)C點為半圓的中點時取等號），所以；（4）設(shè)矩形的兩邊分別為a、b，則，利用得，即，所以，于是可得矩形周長的最小值．【詳解】（1）解：猜想：與的大小關(guān)系是．故答案為：；（2）解：當(dāng)時，，，∴；當(dāng)時，，，∴．故答案為：；；（3）解：∵為直徑，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵（當(dāng)C點為半圓的中點時取等號），∴；（4）解：設(shè)矩形的兩邊分別為a、b，則，∵，∴，即，∴，∴矩形周長的最小值為4．【點睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，熟練掌握圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；體會由于幾何的方法比較代數(shù)式的大小．基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．（2024·廣東肇慶·二模）計算的結(jié)果為（

）A． B． C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查了二次根式的乘法，根據(jù)二次根式的乘法運算法則進行計算即可求解．【詳解】，故選：B．2．（2024·廣東清遠·二模）要使代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)即可得出答案．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：B．3．（2024·廣東廣州·二模）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的除法，減法，化簡二次根式，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．分別利用二次根式的除法，減法，化簡二次根式的方法進行計算即可．【詳解】解：A、與不是同類二次根式，不能合并，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、，故本選項符合題意；D、，故本選項不符合題意．故選：C．4．（2024·廣東廣州·一模）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的運算，根據(jù)二次根式的加減，乘法計算，然后逐項判斷即可．【詳解】解：A．與不是同類二次根式，不可以合并，故運算錯誤；B．，故原運算錯誤；C．5與不是同類二次根式，不可以合并，故運算錯誤；D．，故原運算正確，故選：D．5．（2024·廣東江門·一模）若x、y為實數(shù)，且滿足，則的值為（

）A．1或 B．1 C． D．無法確定【答案】B【分析】此題主要考查了二次根式以及偶次方的性質(zhì)，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x，y的值，然后代入代數(shù)式進行計算即可得解．【詳解】解：，，即，，，故選：B．6．（2024·廣東深圳·一模）估算的結(jié)果（

）A．在6和7之間 B．在7和8之間 C．在8和9之間 D．在9和10之間【答案】D【分析】本題考查二次根式的運算，無理數(shù)的估算，先進行乘法計算，再進行無理數(shù)的估算即可得出結(jié)果．【詳解】解：，∵，∴；故選D．7．（23-24九年級上·河南駐馬店·階段練習(xí)）使等式成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式組求解即可．【詳解】解：由題意可知：,解得：,故選：．【點睛】題目主要考查二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式有意義的條件．二、填空題8．（2024·廣東·模擬預(yù)測）若恒有式子，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)，列出不等式求解即可．【詳解】解：，，解得：，故答案為：．9．（2024·廣東揭陽·三模）已知函數(shù)，則自變量x的取值范圍是．【答案】/【分析】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍、二次根式有意義以及分式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件得出，求解即可得出答案．【詳解】解：由題意得，解得：，故答案為：．10．（2024·廣東廣州·一模）如圖，數(shù)軸上點、表示的數(shù)分別為、，化簡：．

【答案】【分析】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)，化簡絕對值；根據(jù)數(shù)軸可得，進而根據(jù)絕對值的意義，二次根式的性質(zhì)化簡，即可求解．【詳解】解：根據(jù)數(shù)軸可得，∴，故答案為：．11．（2024·廣東茂名·一模）計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除法運算，根據(jù)法則計算即可．【詳解】解：故答案為：．12．（2023·廣東清遠·二模）設(shè)，為實數(shù)，且，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的定義得到的值，再利用乘方的運算法則即可解答．【詳解】解：∵，為實數(shù)，且，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的定義，乘方的運算法則，掌握二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2024·廣東中山·三模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查分式的化簡求值，分母有理化，通分計算括號內(nèi)，除法變乘法，約分化簡后，代值計算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)時，原式．14．（2024·廣東江門·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：，其中．【答案】；【分析】本題主要考查分式的混合運算以及二次根式的化簡求值，先將原式除法轉(zhuǎn)換為乘法，約分后再通分計算得到最簡結(jié)果后代入求值即可【詳解】解：；當(dāng)時，原式．15．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）先化簡，再求值，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值、分母有理化，括號內(nèi)先通分，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分即可化簡，代入計算即可得出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．16．（2024·廣東佛山·一模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解答本題的關(guān)鍵．先把括號里通分，再把除法轉(zhuǎn)化為乘法，并把分子分母分解因式約分化簡，最后把所給字母的值代入計算．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．能力提升一、單選題1．（2022·廣東深圳·一模）設(shè)的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則的值是（

）A．6 B． C．1 D．-1【答案】D【分析】先估算出的值，求出a，b的值，然后代入式子中進行計算即可．【詳解】解：∵3＜＜4，∴7-的小數(shù)部分為b，整數(shù)部分為3，∴a=3，b=4-；∴==-1．故選：D．【點睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小，實數(shù)的運算，準確熟練地求出a，b的值是解題的關(guān)鍵．2．（2024·廣東廣州·一模）若，則關(guān)于的方程根的情況是（

）A．無實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個實數(shù)根 D．有兩個不相等的實數(shù)根【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式．根據(jù)二次根式有意義的條件得到，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡得到，則利用絕對值的意義得到，即可得到k的取值范圍為，由，即可判斷方程有兩個實數(shù)根．【詳解】解：由題意知，,解得，，∵；∴，∴，∴，∴，綜上可知，k的取值范圍為，∵，∴，∴方程有兩個實數(shù)根，故選：C．3．（2022·廣東佛山·三模）如圖，把一張矩形紙片按如圖所示方法進行兩次折疊后，恰好是等腰直角三角形，若，則的長度為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)翻折過程補全圖形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理即可解決問題．【詳解】解：由折疊補全圖形如圖所示，四邊形是矩形，，，，由第一次折疊得：，，，，在中，根據(jù)勾股定理得，，由第二次折疊知，，，，．故選：D．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．4．（2021·廣東·中考真題）設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值是（

）A．6 B． C．12 D．【答案】A【分析】首先根據(jù)的整數(shù)部分可確定的值，進而確定的值，然后將與的值代入計算即可得到所求代數(shù)式的值．【詳解】∵，∴，∴的整數(shù)部分，∴小數(shù)部分，∴．故選：．【點睛】本題考查了二次根式的運算，正確確定的整數(shù)部分與小數(shù)部分的值是解題關(guān)鍵．5．（2021·廣東江門·一模）已知，則的值為（

）A．6 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出a=13，得到b=-10，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴a-13=0，∴a=13，∴b=-10，∴=，故選：A．【點睛】此題考查二次根式的性質(zhì)，化簡二次根式，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2024·廣東湛江·二模）計算：．【答案】/【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運算的運算順序以及二次根式化簡的方法．先算除法，再化簡二次根式即可．【詳解】解：，，，；故答案為：．7．（2024·廣東中山·一模）計算：的結(jié)果為．【答案】1【分析】本題主要考查了二次根式的乘法、平方差公式等知識點，掌握二次根式的乘法法則成為解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．故答案為：1．8（2022·廣東廣州·三模）已知x2＝2x+15，則代數(shù)式=．【答案】或【分析】直接將原式分解因式，再把x的值代入進而計算得出答案．【詳解】解：＝＝2x×＝．∵，∴，（x﹣5）（x+3）＝0，∴x＝5或x＝﹣3．當(dāng)x＝5時，原式＝4；當(dāng)x＝﹣3時，原式＝．【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確運用乘法公式是解題關(guān)鍵．9．（2022·廣東潮州·一模）將按如圖所示方式排列，若規(guī)定表示第排從左往右第個數(shù)，則表示的數(shù)是【答案】【分析】根據(jù)數(shù)的排列方法可知，第一排：個數(shù)，第二排個數(shù)．第三排個數(shù)，第四排個數(shù)，…第排有個數(shù)，從第一排到排共有：…個數(shù)，根據(jù)數(shù)的排列方法，每四個數(shù)一個輪回，根據(jù)題目意思找出第排第個數(shù)到底是哪個數(shù)后再計算．【詳解】解：表示第排從左向右第個數(shù)，可以看出奇數(shù)排最中間的一個數(shù)都是，，，則所表示的數(shù)是，故答案為．【點睛】此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．判斷出所求的數(shù)是第幾個數(shù)是解決本題的難點；得到相應(yīng)的變化規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題10．我們已經(jīng)學(xué)過完全平方公式，知道所有的非負數(shù)都可以看作是一個數(shù)的平方，如，，，，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：，的算術(shù)平方根是．你看明白了嗎？請根據(jù)上面的方法化簡：(1)(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了二次根式的混合運算以及完全平方公式；（1）將變形為完全平方式的形式，然后開平方即可；（2）先化簡，再化簡原式即可得出答案；（3）分別化簡，合并同類二次根式即可得出答案．【詳解】（1）解：原式