第25講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系 2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（廣東專用）

第六章圓第25講與圓有關(guān)的位置關(guān)系（3~9分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03考點(diǎn)突破·考法探究考點(diǎn)一點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)二切線的性質(zhì)與判定考點(diǎn)三三角形內(nèi)切圓與外接圓04題型精研·考向洞悉命題點(diǎn)一：點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系?題型01判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系?題型02根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑?題型03判斷直線與圓的位置關(guān)系?題型04根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑?題型05根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求點(diǎn)到直線的距離?題型06圓和圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)二：切線的性質(zhì)與判定?題型01判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件?題型02利用切線的性質(zhì)求角度?題型03利用切線的性質(zhì)求線段?題型04應(yīng)用切線長定理求解?題型05證明某條直線時圓的切線?題型06切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用?題型07應(yīng)用切線長定理求證命題點(diǎn)三：三角形內(nèi)切圓與外接圓?題型01判斷三角形外接圓圓心位置（坐標(biāo)）?題型02已知外心的位置判斷三角形形狀（半徑）?題型03由直角三角形的內(nèi)切圓求周長、面積、半徑?題型04三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用?題型05由一般三角形的內(nèi)切圓求周長、面積、半徑?題型06三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合05分層訓(xùn)練·鞏固提升基礎(chǔ)鞏固能力提升考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求考查頻次命題預(yù)測點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系探索并掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.能用尺規(guī)作圖:過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓.了解直線與圓的位置關(guān)系.10年7考本專題內(nèi)容也是廣東中考數(shù)學(xué)中的必考考點(diǎn)之一，主要內(nèi)容包括點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、三角形的內(nèi)切圓和外接圓三塊，在解答題中想必還會考查切線的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線段長的問題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問題等知識點(diǎn)綜合，考查形式多樣，多以動點(diǎn)、動圖的形式給出，難度較大.關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識、基本方法，力爭拿到全分．切線的性質(zhì)與判定掌握切線的概念.探索并證明切線長定理.10年10考三角形內(nèi)切圓與外接圓了解三角形的內(nèi)心與外心.通過尺規(guī)作作三角形的外接圓、內(nèi)切圓.10年8考考點(diǎn)一點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系1.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系已知⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d，則：位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓的外部d>r點(diǎn)P在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓周上d=r點(diǎn)P在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓的內(nèi)部d<r點(diǎn)P在圓內(nèi)【說明】掌握已知點(diǎn)的位置，可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．2.直線和圓的位置關(guān)系設(shè)⊙O的半徑為r，圓心到直線l的距離為d，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個數(shù)性質(zhì)及判定相離沒有公共點(diǎn)d>r直線l與⊙O相離相切有唯一公共點(diǎn)d=r直線l與⊙O相切相交有兩個公共點(diǎn)d<r直線l與⊙O相交【小技巧】判斷點(diǎn)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(diǎn)的圓心距與半徑作比較即可．3.圓和圓之間的位置關(guān)系設(shè)⊙O1、⊙O2的半徑分別為r、R（其中R>r），兩圓圓心距為d，則兩圓位置關(guān)系如下表：位置關(guān)系圖形公共點(diǎn)個數(shù)性質(zhì)及判定外離無兩圓外離外切1個切點(diǎn)兩圓外切相交兩個交點(diǎn)兩圓相交內(nèi)切1個切點(diǎn)兩圓內(nèi)切內(nèi)含無兩圓內(nèi)含兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦.11.由于圓是軸對稱和中心對稱圖形，當(dāng)題目中未給出具體圖形時，要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，并進(jìn)行分類討論，否則比較容易漏解．2.經(jīng)過一個點(diǎn)作圓,圓心的位置具有任意性；經(jīng)過兩個點(diǎn)作圓,圓心的位置就有了規(guī)律性,即圓心位于兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.3.直線和圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的公共點(diǎn)的個數(shù)來研究；也可轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來研究，這兩個角度的論述其實(shí)是等價的.4.圓與圓之間的有些位置關(guān)系有兩種情況，做題時要分類討論，防止漏解：①兩圓沒有交點(diǎn)：外離或內(nèi)含；②兩圓有一個交點(diǎn)：外切或內(nèi)切；③兩圓有兩個交點(diǎn)：兩圓心在公共弦同側(cè)或異側(cè)．考點(diǎn)二切線的性質(zhì)與判定1.切線的性質(zhì)與判定定義線和圓只有一個公共點(diǎn)時，這條直線叫圓的切線，這個公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．性質(zhì)圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．（實(shí)際上過切點(diǎn)的半徑也可理解為過切點(diǎn)的直徑或經(jīng)過切點(diǎn)與圓心的直線．）解題方法：當(dāng)題目已知一條直線切圓于某一點(diǎn)時，通常作的輔助線是連接切點(diǎn)與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質(zhì)可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關(guān)系進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個公共點(diǎn)時，我們說這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關(guān)系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時，1）若已知直線與圓的公共點(diǎn)時，把圓心和這個公共點(diǎn)連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點(diǎn)沒有明確，可過圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”．2.切線長定理定義在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．切線長定理的應(yīng)用問題解題方法：切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形來求解．考點(diǎn)三三角形內(nèi)切圓與外接圓1.三角形內(nèi)切圓與外接圓三角形外接圓經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.2.三角形內(nèi)心與外心圓心的名稱圓心的確定方法圖形圓心的性質(zhì)外心三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1)OA=OB=OC2)外心不一定在三角形的內(nèi)部．內(nèi)心三角形三條角平分線的交點(diǎn)1)到三邊的距離相等；

2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

3)內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部．3.常見結(jié)論1）三角形內(nèi)切圓半徑公式：，其中S為三角形的面積；C為三角形的周長.2）特殊的直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：其中a，b為直角三角形的直角邊長，c為斜邊長.【解題思路】解三角形的內(nèi)切圓問題，通常分別連接．內(nèi)切圓的圓心與切點(diǎn)、圓心與三角形的頂點(diǎn)來構(gòu)造直角三角形，以便利用直角三角形的知識進(jìn)行求解．命題點(diǎn)一：點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系?題型01判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系1．（2023·廣東廣州·一模）已知的半徑為5，當(dāng)線段時，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是（

）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)A到圓心的距離大于半徑即可求解．【詳解】解：∵，∴A點(diǎn)在圓外，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，掌握點(diǎn)到圓心的距離大于半徑時點(diǎn)在圓外，等于半徑時點(diǎn)在圓上，小于半徑時點(diǎn)在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東廣州·一模）A，B兩個點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（3，4），（﹣5，1），以原點(diǎn)O為圓心，5為半徑作⊙O，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O上 B．點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外C．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，點(diǎn)B在⊙O上 D．點(diǎn)A，點(diǎn)B都在⊙O外【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理，可得OA、OB的長，根據(jù)點(diǎn)與圓心的距離d，則d＞r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：∵OA＝＝5，OB＝＝＞5，∴點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)B在⊙O外．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d＜r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．3．（2021·廣東廣州·一模）平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心在原點(diǎn)，半徑為5，則點(diǎn)與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在⊙O內(nèi) B．點(diǎn)在⊙O上 C．點(diǎn)在⊙O外 D．無法確定【答案】A【分析】本題根據(jù)題意可作圖可知，即可判定點(diǎn)與的位置關(guān)系.【詳解】解：由題意可作圖，如下圖所示：∵，∴點(diǎn)在內(nèi).故A正確，B、C、D錯誤，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟記d，r法則是解題的關(guān)鍵．4．（2021·廣東廣州·一模）已知O與點(diǎn)P在同一平面內(nèi)，如果O的直徑為6，線段OP的長為4，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)P在O上 B．點(diǎn)P在O內(nèi) C．點(diǎn)P在O外 D．無法判斷點(diǎn)P與O的位置關(guān)系【答案】C【分析】要確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，主要確定點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系；則d>r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d<r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．【詳解】解：∵⊙O的直徑為6，∴r=3，∵OP=4>3，∴點(diǎn)P在⊙O外，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷，關(guān)鍵要記住若半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d>r時，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時，點(diǎn)在圓上，當(dāng)d<r時，點(diǎn)在圓內(nèi)．?題型02根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求半徑5．（2024·四川涼山·模擬預(yù)測）在中，，，，D為的中點(diǎn)．以A為圓心，r為半徑作⊙A，若B、C、D三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在內(nèi)，則的半徑r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．由勾股定理可求得的長，進(jìn)而得到的長．再根據(jù)題意畫出簡單示意圖，由圖形可知當(dāng)r的長度為和長度之間時，B、C、D三點(diǎn)中只有點(diǎn)D在內(nèi)，據(jù)此即可解答．【詳解】∵在中，，，∴，∵D為的中點(diǎn)，∴．

由上圖可知，當(dāng)?shù)陌霃綍r，點(diǎn)D在上，當(dāng)?shù)陌霃綍r，點(diǎn)C在上，點(diǎn)D在圓內(nèi)，當(dāng)?shù)陌霃綍r，點(diǎn)B在上，點(diǎn)C、D在圓內(nèi)，當(dāng)?shù)陌霃綕M足時，點(diǎn)D在內(nèi)，當(dāng)?shù)陌霃綕M足時，點(diǎn)C、D在內(nèi)，當(dāng)?shù)陌霃綕M足時，點(diǎn)B、C、D在內(nèi)，∴若B、C、D三點(diǎn)中只有一點(diǎn)在內(nèi)，則的半徑r的取值范圍是．故選：A6．（2023·上海浦東新·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)為圓心、以R為半徑作圓A與x軸相交，且原點(diǎn)O在圓A的外部，那么半徑R的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別根據(jù)原點(diǎn)O在圓A的外部，圓A與x軸相交，可得半徑R的取值范圍．【詳解】解：，∴，∵原點(diǎn)O在圓A的外部，∴，即，∵圓A與x軸相交，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)，能熟記直線、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．7．（2023·遼寧撫順·一模）在同一平面內(nèi)，點(diǎn)P到圓上的最大距離為5，最小距離為1，則此圓的半徑為（

）A．3 B．4或6 C．2或3 D．6【答案】C【分析】點(diǎn)應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部與外部兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時，直徑=最小距離+最大距離；②當(dāng)點(diǎn)在圓外時，直徑=最大距離-最小距離．【詳解】解：分為兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時，如圖1，點(diǎn)到圓上的最小距離，最大距離，直徑,半徑②當(dāng)點(diǎn)在圓外時，如圖2，點(diǎn)到圓上的最小距離，最大距離，直徑,半徑故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意到分兩種情況進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．8．（2022·吉林·中考真題）如圖，在中，，，．以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外時，的值可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用勾股定理可得，再根據(jù)“點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外”可得，由此即可得出答案．【詳解】解：在中，，，，，點(diǎn)在內(nèi)且點(diǎn)在外，，即，觀察四個選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵．?題型03判斷直線與圓的位置關(guān)系9．（2024·廣東廣州·二模）中，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，那么該圓與的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不能確定【答案】A【分析】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、勾股定理，明白要作、求出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意畫出，并過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一求得的長，再利用勾股定理求得的長，把與圓的半徑比較大小，判定該圓與的位置關(guān)系即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意畫出，并過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∵，∴以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，與的位置關(guān)系是相離，故選：A．10．（2020·廣東廣州·中考真題）如圖，中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，當(dāng)時，與的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)中，，，求出AC的值，再根據(jù)勾股定理求出BC的值，比較BC與半徑r的大小，即可得出與的位置關(guān)系．【詳解】解：∵中，，，∴cosA=∵，∴AC=4∴BC=當(dāng)時，與的位置關(guān)系是：相切故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了由三角函數(shù)解直角三角形，勾股定理以及直線和圓的位置關(guān)系等知識，利用勾股定理解求出BC是解題的關(guān)鍵．11．（2024·湖北·模擬預(yù)測）的三邊，，的長度分別是3，4，5，以頂點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓，則該圓與直線的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．相離 C．相切 D．以上都不是【答案】C【分析】本題考查了勾股定理逆定理、三角形面積公式、直線與圓的位置關(guān)系，先由勾股定理逆定理判斷出為直角三角形，且，設(shè)斜邊上的高為，根據(jù)等面積法求出，即可得解．【詳解】解：∵，∴為直角三角形，且，設(shè)斜邊上的高為，則，∴，∴以頂點(diǎn)A為圓心，為半徑作圓，則該圓與直線的位置關(guān)系是相切，故選：C．12．（2024·青海西寧·二模）已知的半徑等于，圓心到直線上某點(diǎn)的距離為，則直線與的公共點(diǎn)的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．1或2 D．0或1【答案】C【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法得到直線l和相交或相切，然后根據(jù)相切與相交的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】的半徑為，圓心到直線上某點(diǎn)的距離為，圓心到直線的距離即圓心到直線的距離圓的半徑，直線和相切或相交，直線與有個或個公共點(diǎn)．故選：C．?題型04根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求半徑13．（2024·山東菏澤·一模）在直角三角形中，，，，以點(diǎn)C為圓心作，半徑為，已知直線和有交點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面積求出，可得以C為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點(diǎn)，即可得直線和有交點(diǎn)，的取值范圍．【詳解】解：作于D，如圖所示：∵，∴，∵的面積，∴，即圓心C到的距離，∴以C為圓心的⊙C與直線有交點(diǎn)，則的取值范圍是：．故選：D．14．（2023·陜西西安·一模）在中，，，．若與相離，則半徑為r滿足（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理和含30度直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理得到和的長度，再根據(jù)與相離可知半徑小于點(diǎn)C到的距離，即可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，，，∴∴，∵∴，解得：，∴設(shè)點(diǎn)C到的距離為h，則，∴，∴，∵若與相離，∴故選：C．15．（2023·上海寶山·一模）已知中，，、．以C為圓心作，如果圓C與斜邊有兩個公共點(diǎn)，那么圓C的半徑長R的取值范圍是（）A． B． C． D．．【答案】C【分析】作于，由勾股定理求出，由三角形的面積求出，由，可得以為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點(diǎn)；若與斜邊有兩個公共點(diǎn)，即可得出的取值范圍．【詳解】解：作于，如圖所示：，，，，∵的面積，，即圓心到的距離，，以為圓心，為半徑所作的圓與斜邊只有一個公共點(diǎn)，若與斜邊有兩個公共點(diǎn)，則的取值范圍是．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．16．（2021·上海奉賢·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，點(diǎn)O在邊AB上，且BO＝2OA．以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點(diǎn)，那么下列各值中，半徑r不可以取的是（

）A．6 B．10 C．15 D．16【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理得到，求得OA＝10，OB＝20，過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠C＝90°，BC＝18，AC＝24，∴，∵BO＝2OA，∴OA＝10，OB＝20，過O分別作OD⊥AC于D，OE⊥BC于E，∴∠BEO＝∠C＝∠ADO，∵∠A＝∠A，∠B＝∠B，∴△BEO∽△BCA，△AOD∽△ABC，∴，，∴，，∴OE＝16，OD＝6，當(dāng)⊙O過點(diǎn)C時，連接OC，根據(jù)勾股定理得，如圖，∵以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果⊙O與Rt△ABC的邊有3個公共點(diǎn)，∴r＝6或10或16或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．?題型05根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求點(diǎn)到直線的距離17．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)P是函數(shù)的圖象上的一點(diǎn)，的半徑為，當(dāng)與直線有公共點(diǎn)時，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖所示，即為與直線有一個公共點(diǎn)的情況，點(diǎn)P只有在線段上，即符合題意，根據(jù)圖象的對稱性可知，是等腰直角三角形，求得，設(shè)，則，則的中點(diǎn)M在直線上，得到，解方程得到（不合題意，舍去），于是得到結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，即為與直線有一個公共點(diǎn)的情況，點(diǎn)P只有在線段上，即符合題意，

根據(jù)圖象的對稱性可知，是等腰直角三角形，∵的半徑為，∴，∴，，則，則的中點(diǎn)M在直線上，∴，∴，解得：（不合題意，舍去），∴的橫坐標(biāo)是，的橫坐標(biāo)是，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，直線與圓的位置關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．18．（2024·上?！つM預(yù)測）如圖，在梯形中，，，，，如果以為直徑的圓與梯形各邊共有3個公共點(diǎn)（C，D兩點(diǎn)除外），那么長的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】考查了直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系．此題首先能夠根據(jù)公共點(diǎn)的個數(shù)得到直線和圓的位置關(guān)系；再進(jìn)一步計(jì)算出相切時圓心到直線的距離，從而根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系，得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得圓必須和直線相交，設(shè)直線和圓相切于點(diǎn)E，連接，則，，又∵，∴此時．根據(jù)梯形的中位線定理，得，∴，∴，∴直線要和圓相交，則．故選D．19．（2023·廣西梧州·二模）已知的半徑為，直線l與圓有公共點(diǎn)，且直線l和圓心O的距離為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，一般地，直線到圓心的距離為d，圓的半徑為r，則當(dāng)時，直線與圓沒有交點(diǎn)；當(dāng)時，直線與圓有一個交點(diǎn)；當(dāng)時，直線與圓有兩個交點(diǎn)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵直線l與圓有公共點(diǎn)，∴直線l與圓的圓心的距離小于等于半徑，∵的半徑為，∴，故選：B．20．（2024·河南許昌·二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)，點(diǎn)D是上的一動點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D到弦的距離最大時，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)D，此時點(diǎn)D到弦的距離最大，利用垂徑定理，勾股定理計(jì)算即可．本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn),∴,過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，延長交于點(diǎn)D，此時點(diǎn)D到弦的距離最大，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴點(diǎn)D到弦的距離最大為，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，故選A．．?題型06圓和圓的位置關(guān)系21．（2024·上海·中考真題）在中，，，，點(diǎn)在內(nèi)，分別以為圓心畫，圓半徑為1，圓半徑為2，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓與圓的關(guān)系是（

）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【分析】本題考查圓的位置關(guān)系，涉及勾股定理，根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可得到答案，熟記圓的位置關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓半徑為1，圓半徑為3，圓與圓內(nèi)切，圓含在圓內(nèi)，即，在以為圓心、為半徑的圓與邊相交形成的弧上運(yùn)動，如圖所示：當(dāng)?shù)轿恢脮r，圓與圓圓心距離最大，為，，圓與圓相交，故選：B．22．（2023·遼寧鞍山·一模）兩圓的半徑分別為和，且兩圓的圓心距為，則這兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．相離【答案】B【分析】本題利用了兩圓外切時，圓心距等于兩圓半徑的和的性質(zhì)求解．根據(jù)圓心距和圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系，可以判斷出兩圓的位置關(guān)系．設(shè)兩圓的半徑分別為和，且，圓心距為：外離，則；外切，則；相交，則；內(nèi)切，則；內(nèi)含，則．【詳解】解：兩圓的半徑分別為和，且兩圓的圓心距為，，由于兩圓外切時，圓心距等于兩圓半徑的和，兩圓外切．故選：B23．（2023·上海崇明·二模）已知在中，，，如果以A為圓心r為半徑的和以為直徑的相交，那么r的取值范圍（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用勾股定理求得兩圓的圓心距，然后利用兩圓相交時兩圓的圓心距和兩圓的半徑之間的關(guān)系求解．【詳解】解：如圖，由題意得：，，由勾股定理得：，設(shè)的半徑為，根據(jù)兩圓相交得：，解答：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查兩圓之間的位置關(guān)系．熟練掌握兩圓之間的位置關(guān)系的判定方法，是解題的關(guān)鍵．24．（2022·上海松江·三模）已知，，，以點(diǎn)B為圓心，以為半徑畫圓，以點(diǎn)A為圓心，半徑為r，畫圓．已知與外離，則r的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)半徑為R，則，根據(jù)與外離得到，進(jìn)一步求得，又由即可求得r的取值范圍．【詳解】解：設(shè)半徑為R，則，∵與外離，∴，∴，即，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，熟練掌握外離的條件是解題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)二：切線的性質(zhì)與判定?題型01判斷或補(bǔ)全使直線成為切線的條件25．（2021·廣東揭陽·一模）如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列說法不正確的是（

）A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則【答案】A【分析】根據(jù)AB=AC，連接AD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可以得到點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，OD是△ABC的中位線，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以證明DE是⊙O的切線，可判斷B選項(xiàng)正確；若DE是⊙O的切線，同上法倒推可證明AB=AC，可判斷D選項(xiàng)正確；根據(jù)CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位線，同上可以證明DE是⊙O的切線，可判斷C選項(xiàng)正確；若，沒有理由可證明DE是⊙O的切線．【詳解】解：當(dāng)AB=AC時，如圖：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以B選項(xiàng)正確；當(dāng)DE是⊙O的切線時，如圖：連接AD，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位線，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB=AC，所以D選項(xiàng)正確；當(dāng)CD=BD時，又AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以C選項(xiàng)正確．若，沒有理由證明DE是⊙O的切線，所以A選項(xiàng)錯誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．26．（2024·湖北·模擬預(yù)測）如圖，和直線，直線在同一平面內(nèi)，是的直徑，直線是的切線，直線經(jīng)過點(diǎn)，下列條件不能判定直線與相切的是（

）A． B．C．與只有一個公共點(diǎn) D．點(diǎn)到上某點(diǎn)的距離等于半徑【答案】D【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線的判定定理“經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線”或“圓心到直線的距離等于半徑”逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：是的直徑，且是的切線又直線與相切故選項(xiàng)A、B可以判定，不符合題意；C、根據(jù)圓的切線的定義，可知與圓僅有一個公共點(diǎn)的直線是切線，選項(xiàng)C可以判定，不符合題意；D、根據(jù)與圓心的距離等于半徑的直線為圓的切線，選項(xiàng)D不可判定，符合題意；故選：D．27．（2019·新疆博爾塔拉·模擬預(yù)測）已知⊙O的半徑為5，直線EF經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)P（點(diǎn)E，F(xiàn)在點(diǎn)P的兩旁），下列條件能判定直線EF與⊙O相切的是（

）A．OP＝5 B．OE＝OFC．O到直線EF的距離是4 D．OP⊥EF【答案】D【分析】根據(jù)切線的證明方法進(jìn)行求解，即可得到答案.【詳解】∵點(diǎn)P在⊙O上，∴只需要OP⊥EF即可，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查切線的證明，解題的關(guān)鍵是掌握切線的證明方法.28．（19-20九年級上·安徽·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中，能夠與該圓弧相切的是(

)A．點(diǎn)(0，3) B．點(diǎn)(1，3) C．點(diǎn)(6，0) D．點(diǎn)(6，1)【答案】B【分析】根據(jù)垂徑定理的性質(zhì)得出圓心所在位置，再根據(jù)切線的性質(zhì)得出，當(dāng)O'B⊥BF時F點(diǎn)的位置即可．【詳解】∵過格點(diǎn)A，B，C作一圓弧，∴由垂徑定理可得圓心為：O'(2,0)，如圖所示，由切線性質(zhì)可知當(dāng)O'B⊥BF時，BF與圓相切，當(dāng)△BO'D≌△BFA時，∠O'BF=∠FBA+∠O'BA=∠O'BD+∠O'BA=90°，此時O'B⊥BF，BF與圓相切，AF=O'D=1，AB=BD=2，∴F坐標(biāo)為（1,3），同理可得F'（5,1），所以滿足條件的F點(diǎn)的坐標(biāo)為：(5,1)或(1,3)，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查由垂徑定理確定圓心和切線的性質(zhì)，確定圓心是本題的關(guān)鍵.?題型02利用切線的性質(zhì)求角度29．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，，為的兩條弦，過點(diǎn)的切線交延長線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理．連接，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得．【詳解】解：連接，

與相切于，，，，，，故選：B．30．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，且，過點(diǎn)作的切線，交的延長線于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，切線的性質(zhì)，連接，由可得，由圓周角定理可得，即得，又由切線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，則，∴，∵，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴，故選：．

31．（2024·廣東·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，是的切線，A為切點(diǎn)，與交于點(diǎn)D，連接．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查圓周角定理，圓的切線的性質(zhì)定理，直角三角形兩銳角互余，利用同弧所對的圓周角等于圓心角的一半求得，根據(jù)AC是的切線得到，即可求出答案．正確理解圓周角定理及切線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵為的切線，A為切點(diǎn)，∴，∴，故選：A．32．（2024·廣東佛山·二模）如圖，是⊙的直徑，C、D是⊙上的點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙的切線交的延長線于E．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．連接，如圖，先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再利用互余計(jì)算出，然后根據(jù)圓周角定理求解．【詳解】解：連接，如圖，∵為的切線，∴，∴，∵，∴，∴．故選：A．?題型03利用切線的性質(zhì)求線段33．（2024·新疆烏魯木齊·一模）如圖，、是的切線，B、C為切點(diǎn)，D是上一點(diǎn)，連接、，若，，則的半徑長為（

）A．1.5 B． C． D．【答案】D【分析】連接，由切線的性質(zhì)得，而，可求得，，所以，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接，∵是的切線，B、C為切點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的半徑長為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查圓周角定理、切線的性質(zhì)定理、切線長定理、銳角三角函數(shù)與解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．34．（2024·廣東廣州·一模）如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為，連接并延長，與過點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，連接．若的半徑為5，，則的長是（

）．A． B．13 C． D．14【答案】C【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，正切的定義，直徑所對的圓周角是直角；連接，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，根據(jù)同弧所對的圓周角相等，進(jìn)而得出，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，∴∵的半徑為5，，則∴∴∵是過點(diǎn)的切線，則∵∴∴∴，即∴故選：C．35．（2023·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，為的切線，切點(diǎn)為，連接、，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接、，若，則的長為（

）．A．1 B． C．2 D．4【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形．根據(jù)圓周角定理得出，，根據(jù)切線的性質(zhì)得出，解即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∵為的切線，∴，在中，，故選：B．36．（2023·廣東廣州·二模）如圖，在中，，點(diǎn)是斜邊邊上一點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，恰好與邊相切于點(diǎn)D，連接．若，的半徑為，則的長度為（

）

A． B． C．3 D．【答案】B【分析】連接，由與圓相切于D，得到半徑，而，推出，得到，由等腰三角形的性質(zhì)推出，從而求出的度數(shù)，即可求出的長，根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)求得，，即可求得．【詳解】解：連接，

∵與圓相切于D，∴半徑，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∴，，∴，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是由切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推得．?題型04應(yīng)用切線長定理求解37．（2024·廣東廣州·一模）如圖，，是的切線，，為切點(diǎn)，為圓上一定點(diǎn)，，時，的大小和的長分別是（

）A．，8 B．，8 C．， D．，【答案】C【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，利用四邊形內(nèi)角和計(jì)算出，再利用圓周角定理得到，根據(jù)切線長定理得到平分，所以，從而得到，即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，，是的切線，，為切點(diǎn)，，，，，，，是的切線，平分，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，切線長定理，解直角三角形，掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．38．（2023·廣東廣州·中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理，切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握切線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．39．（2022·貴州黔東南·中考真題）如圖，、分別與相切于點(diǎn)、，連接并延長與交于點(diǎn)、，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接OA，根據(jù)切線長的性質(zhì)得出PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，再證△APD≌△BPD（SAS），然后證明∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，利用勾股定理求出OP=，最后利用三角函數(shù)定義計(jì)算即可．【詳解】解：連接OA∵、分別與相切于點(diǎn)A、，∴PA=PB，OP平分∠APB，OA⊥AP，∴∠APD=∠BPD，在△APD和△BPD中，，∴△APD≌△BPD（SAS）∴∠ADP=∠BDP，∵OA=OD=6，∴∠OAD=∠ADP=∠BDP，∴∠AOP=∠ADP+∠OAD=∠ADP+∠BDP=∠ADB，在Rt△AOP中，OP=，∴sin∠ADB=．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握圓的切線性質(zhì)，三角形全等判斷與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．40．（2023·廣東深圳·二模）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，過的內(nèi)心作于點(diǎn)．若，，則的長為（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】過點(diǎn)I作，垂足分別為G，F(xiàn)，可得，，設(shè)，，再由，即可求解．【詳解】如圖，過點(diǎn)I作，垂足分別為G，F(xiàn)，

∵點(diǎn)I為的內(nèi)心，∴以為半徑的圓I是的內(nèi)切圓，∴，，設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心，切線長定理，熟練掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，切線長定理是解題的關(guān)鍵．?題型05證明某條直線時圓的切線41．（2024·廣東·中考真題）如圖，在中，．

(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作的平分線交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點(diǎn)D為圓心，長為半徑作．求證：與相切．【答案】(1)見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定等知識．熟練上述知識是解題的關(guān)鍵．（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；（2）如圖2，作于，由角平分線的性質(zhì)定理可得，由是半徑，，可證與相切．【詳解】（1）解：如圖1，即為所作；

（2）證明：如圖2，作于，

∵是的平分線，，，∴，∵是半徑，，∴與相切．42．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，，以為半徑的交于點(diǎn)C，且，求證：是的切線．

【答案】見解析【分析】連接，得到是等邊三角形，推出，由此求出，得到，即可得到結(jié)論是的切線．【詳解】證明：連接，

∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵是的半徑，∴是的切線．【點(diǎn)睛】此題考查了證明直線是圓的切線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確掌握圓的切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．43．（2023·甘肅隴南·一模）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，以為直徑作交的中點(diǎn)于，過點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：為的切線．(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖1，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得，根據(jù)，可得，由此即可求證；（2）如圖2，連接，可證，求得，根據(jù)，，可求出的長，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵點(diǎn)在上，∴是的切線．（2）解：如圖2，連接，∵是的直徑，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，即，在，中，，∴，∴，∵，∴，且，∴，，在中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握切線的證明方法，直角三角形勾股定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．44．（2022·廣西貴港·一模）如圖，線段AB是⊙O的直徑，⊙O交線段BC于D，且D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，連接AD．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若AE=1，AB=4，求AD的長【答案】(1)見解析(2)2【分析】（1）連接，根據(jù)中垂線的性質(zhì)得到：，根據(jù)等角的余角相等，證明即可得證；（2）證明，得到即可求出．【詳解】（1）證明：連接，則：，∵AB是⊙O的直徑，∴，∴，∴又∵D是BC的中點(diǎn)，∴，∴，∵DE⊥AC∴∴，又∵，，∴，即：，∴∴DE是⊙O的切線．（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴或（舍）；∴AD的長為2．【點(diǎn)睛】本題考查圓與相似三角形的綜合應(yīng)用．熟練掌握切線的證明方法，以及三角形相似的判定是解題的關(guān)鍵．?題型06切線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用45．（2024·山東濱州·一模）如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)D，延長交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圓周角定理得出，再得出，則，推出，即可解答；（2）根據(jù)勾股定理得出，設(shè)的半徑長為，則，，通過證明，則，列出方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，∴，，，是的切線；（2）解：，，，，設(shè)的半徑長為，則，，∵，，，即，解得：，的半徑長為．46．（2024·廣東深圳·二模）如圖，過圓外一點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)為是的直徑．連接，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，同時交于點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線：(2)若，求切線的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由垂徑定理可得，通過，得，通過，可得，根據(jù)切線的判定定理，即可求解；（2）由三角形的中位線得到，，在中，根據(jù)勾股定理，得到的長，，在中，根據(jù)正切三角函數(shù)，即可求解，【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴是的切線，（2）解：∵，，∴，∴，在中，，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，切線的性質(zhì)與判定，三角形的中位線，解直角三角形，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理及判定定理是解題關(guān)鍵．47．（2024·山東濟(jì)寧·一模）如圖，是的切線，切點(diǎn)為，是的直徑，連接交于．過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于，連接，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由垂徑定理可得，通過，得，通過，可得，根據(jù)切線的判定定理，即可求解，（2）由，是的直徑，可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求，的長度，由，可得，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解，本題考查了垂徑定理，直徑所對的圓周角是，全等三角形的性質(zhì)與判定，切線的性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)切線的判定定理，連接輔助線．【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵是的切線，∴，∴，∴是的切線，（2）解：由（1）可知，，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，即：，解得：，∴，∵，∴，∴，∴，即：，解得：，故答案為：．48．（2024·廣東佛山·三模）綜合與運(yùn)用：如圖，為的切線，為切點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長與交于點(diǎn)，連接，．(1)求證：直線為的切線；(2)求證：；(3)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）連接，由垂直于，利用垂徑定理得到D為的中點(diǎn)，即垂直平分，可得出，再由，得，由為圓的切線，得到垂直于，利用全等三角形的對應(yīng)角相等及垂直的定義得到垂直于，即可得出結(jié)論；（2）先證明，得出，通過等量代換即可得證．（3）根據(jù)，求出．設(shè)，表示出，在中，由勾股定理求得x后即可求得半徑，從而求得直徑．【詳解】（1）證明：如圖，連接，是的切線，．于D．又，．,，為的半徑，∴直線為的切線．（2），．，，即．又，；（3），．設(shè)．在中，由勾股定理，得．解得，（不合題意，舍去）．．是的直徑，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，相似及全等三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，勾股定理等知識，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．?題型07應(yīng)用切線長定理求證49．（2024·廣東梅州·模擬預(yù)測）如圖，P為外一點(diǎn)，為的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線交于點(diǎn)D、E，交于點(diǎn)C．(1)求證∶．(2)若，連接，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，由,證明，，進(jìn)而得證；（2）連接，連接，證明，得到，由為的切線得到，，證明，得到，則，得到，又由，即可證明四邊形是菱形．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是直徑，∴即∵為的切線，∴，即．∴，∵∴，∴．（2）連接，連接，如圖，∵，∴，∵為的切線，∴，∴，∴∵為的切線，∴，，∵∴，∴∴∴，∵，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、切線長定理、圓周角定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定等知識，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是證明的關(guān)鍵．50．（2024·廣東·二模）如圖，P是外一點(diǎn)，，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，C為劣弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的切線，分別交，于點(diǎn)D，E．(1)若的周長為12，求的長；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)6(2)【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)，切線長定理的含義，四邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．（1）由切線長定理可得答案；（2）如圖，連接，，，利用切線的性質(zhì)與切線長定理的含義，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】（1）解：由切線長定理可知，，，．則的周長．．（2）如圖，連接，，，則，．．在四邊形中，，，即，．51．（2022·廣東·模擬預(yù)測）已知：如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，BC是直徑，AB交PO于點(diǎn)M，⊙O的半徑為3，PA＝4．(1)求證：AC∥PO；(2)求AC的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線長定理得出，且平分，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，再根據(jù)圓周角定理得出即可求證結(jié)論．（2證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，由勾股定理即可求得答案．【詳解】（1）證明：、是⊙O的切線，、是切點(diǎn)，，且平分，，是直徑，，，．（2）解：連接OA，是⊙O的切線，，，，，，，又，，∴，設(shè)AM＝2x，則AC＝3x，∴AB＝4x，，，（負(fù)值舍去），．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于掌握圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)及利用勾股定理列方程．52．（2023·廣東江門·一模）如圖，點(diǎn)O在的平分線上，與相交于點(diǎn)C．與的延長線相交于點(diǎn)D，與相切于點(diǎn)A．(1)求證：直線是的切線；(2)若，求的半徑；(3)點(diǎn)G是劣弧上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作的切線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若的周長是半徑的3倍，求的值．【答案】(1)見解析(2)3(3)【分析】（1）連接，過O作于B，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，再由角平分線的性質(zhì)可得，即可；（2）設(shè)的半徑是x，在中，根據(jù)勾股定理，即可求解；（3）延長交于點(diǎn)H，設(shè)的半徑為r，根據(jù)切線長定理可得，從而得到，設(shè)則，再證得，可得，從而得到，再由勾股定理可得，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，過O作于B，∵與相切于點(diǎn)A，∴，∵點(diǎn)O在的平分線上，∴，∴直線是的切線；（2）解：設(shè)的半徑是x，在中，，∴，解得：，所以的半徑為3；（3）解：如圖2，延長交于點(diǎn)H，設(shè)的半徑為r，∵是的切線，∴，∴的周長，∴，設(shè)則，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握切線的判定和性質(zhì)，切線長定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵．命題點(diǎn)三：三角形內(nèi)切圓與外接圓?題型01判斷三角形外接圓圓心位置（坐標(biāo)）53．（2023·浙江杭州·二模）如圖，O為等腰三角形的外心，，連接，記，，則滿足的關(guān)系式為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∴，連接，

∵O為等腰三角形的外心，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．54．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在中，已知，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的外接圓圓心，則（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形外接圓，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形的應(yīng)用，連接，以為半徑作的外接圓，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，，進(jìn)而由圓周角定理可得，即得，得到，再利用勾股定理得到，解之即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，以為半徑作的外接圓，

∵是的外接圓，∴，∵是的中點(diǎn)，，∴，，，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，∵，∴，解得，故選：．55．（2024·寧夏固原·模擬預(yù)測）如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：①分別以為圓心，以大于長為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)，連接．若，，則下列結(jié)論中錯誤的是(

)A． B．C． D．點(diǎn)是的外心【答案】C【分析】本題考查的是作圖基本作圖，線段垂直平分線的作法，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外心的定義；由題意可知直線是線段的垂直平分線，故，，故可得出的度數(shù)，根據(jù)可知，故可得出的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意可知直線是線段的垂直平分線，，，，，．，，A正確，C錯誤；，，，點(diǎn)為的外心，故D正確；，，，故B正確．故選：C．56．（2020·湖北黃石·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，點(diǎn)P為的外接圓的圓心，將繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P’的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得，根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，得的外接圓的圓心在斜邊的中點(diǎn)處，取的中點(diǎn)，可得，連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90至，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，證明△，得，，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，是直角三角形的外接圓的圓心在斜邊的中點(diǎn)處如圖，取的中點(diǎn)，，連接，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90至，作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，，△，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心、坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的外心的位置．?題型02已知外心的位置判斷三角形形狀（半徑）57．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·一模）如圖，A、O在網(wǎng)格中小正方形的頂點(diǎn)處，每個小方格的邊長為1，在此網(wǎng)格中找兩個格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）B、C，使O為的外心，則的長度是（

）

A． B． C．4 D．【答案】A【分析】本題考查外心的定義：外心是三角形外接圓的圓心，外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，也考查了勾股定理．根據(jù)題意作出圖形，得到點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，

∵點(diǎn)O為的外心，∴，點(diǎn)B和點(diǎn)C的位置如圖所示，∴，故選：A．58．（2020·河北·二模）如圖，已知是的外心，分別是、的中點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的外接圓和外心，三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性質(zhì)和勾股定理的逆定理，三角形的面積，連接，，由題意得出，，可證得，根據(jù)三角形的面積公式可得出答案，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】連接，，如圖，∵是的外心，、分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴是直角三角形，，∵，∴，故選：．59．（2022·河北石家莊·模擬預(yù)測）如圖，與中，，，則的外心與的內(nèi)心之間的距離為（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，并延長交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE平分交DG于點(diǎn)E，結(jié)合三角形外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)，得出，根據(jù)題中條件得出是等邊三角形，得出．【詳解】解：在中，，∴是等邊三角形，過點(diǎn)D作于點(diǎn)G，并延長交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE平分交DG于點(diǎn)E，如圖所示：根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，點(diǎn)E為的內(nèi)心，，∵中，，∴，，，∴，，∴，點(diǎn)F為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為的外心，∴是等邊三角形，∵，∴在中，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心與外心，熟悉三角形外心與內(nèi)心的定義，掌握常見特殊三角形的內(nèi)心與外心的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．60．（2022·貴州遵義·一模）如圖，已知ABC是⊙的內(nèi)接三角形，⊙的半徑為2，將劣弧沿AC折疊后剛好經(jīng)過弦BC的中點(diǎn)D．若，則弦AC的長為（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】取折疊后的弧所在圓圓心為，則⊙O與⊙O＇設(shè)等圓，∠ACD是公共的圓周角，所以可以證得AB=AD，過A作AMBC于M，則M為BD的中點(diǎn)，在Rt△AMC中，利用勾股定理，可以求出AM和CM的長度，由于D是BC中點(diǎn)，可以證明CM=3BM，然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】如圖1，設(shè)折疊后的AC所在圓的圓心為，連接，∴=2∠ACB=120連接OA，OB同理，∠AOB=120∠AOB=∵⊙O與⊙是等圓∴AB=AD設(shè)⊙O的半徑為R過O作OGAB于G∵OA=OB=2，∠AOB=120∴∠OAB=∠OBA=30AB=2AG在Rt△OGA中，∴sin∠OAG=，即OG=sin30?OA=×2=1∴AG=∴AB=2AG=如圖2，過A作AMBC于M∵AB=AD∴可設(shè)BM=DM=x，則BD=2x∵D為BC的中點(diǎn)∴CD=BD=2x∴CM=DM+CD=3x∵AMBC，∠ACB=60∠MAC=30在Rt△AMC中，AC=2CM=6x∴AB2?BM2=AC2?CM2∴解得：x=（負(fù)值舍去）AC=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，考查了圓周角定理、翻折變換（折疊問題）、三角形的外接圓和外心問題．注意等圓中的公共角、公共弦、公共弧，這些都是相等的，利用這些等量關(guān)系，比如此題中的AB＝AD，是解決此題的關(guān)鍵．?題型03由直角三角形的內(nèi)切圓求周長、面積、半徑61．（2023·廣東廣州·二模）如圖，在中，，，，則的內(nèi)切圓的半徑r是（

）

A．2 B．3 C．4 D．無法判斷【答案】A【分析】根據(jù)等積法求內(nèi)切圓半徑，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，如圖：設(shè)的內(nèi)切圓與各邊的切點(diǎn)分別為點(diǎn)，連接，則：，

∵，∴，即：，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查求三角形內(nèi)切圓的半徑．熟練掌握等積法求內(nèi)切圓的半徑，是解題的關(guān)鍵．62．（2023·甘肅隴南·一模）如圖，與的的三邊分別相切于點(diǎn)D、E、F，若，則的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】連接，首先根據(jù)切線長定理得到，，然后證明出四邊形是正方形，然后設(shè)，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】如圖，連接，∵與相切，∴，，，，，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴矩形是正方形，∴，設(shè)，中，，，，由勾股定理得，，∴，∴（舍去），∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．63．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在中，，為中線，若，，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的內(nèi)切圓和面積，設(shè)的內(nèi)切圓為，與分別相切于點(diǎn)，由，，得，，連接，由可得，即得，同理得，進(jìn)而即可求解，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓為，與分別相切于點(diǎn)，∵，，，∴，，∵為斜邊上的中線，∴，∴，連接，，，，，，則，∵，且，，，∴，解得，同理可得，，解得，∴，故選：C．64．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在中，，為中線，若，，設(shè)與的內(nèi)切圓半徑分別為，，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的內(nèi)切圓和面積，設(shè)的內(nèi)切圓為，與分別相切于點(diǎn)，由，，得，，連接，由可得，即得，同理得，進(jìn)而即可求解，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)的內(nèi)切圓為，與分別相切于點(diǎn)，∵，，，∴，，∵為斜邊上的中線，∴，∴，連接，則，∵，且，，，∴，解得，同理可得，，解得，∴，故選：．?題型04三角形內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用65．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在一張紙片中，，，，是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著的切線DE剪下一塊三角形，則的周長為（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解直角三角形．設(shè)的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)，連接，得四邊形是正方形，由切線長定理可知，根據(jù)是的切線，可得，，根據(jù)勾股定理可得，再求出內(nèi)切圓的半徑，進(jìn)而可得的周長．【詳解】解：如圖，設(shè)的內(nèi)切圓切三邊于點(diǎn)、、，連接、、，∴四邊形是正方形，

由切線長定理可知，∵是的切線，∴，，∵，，，∴，解得，∴，∵是的內(nèi)切圓，、為切點(diǎn)，∴，，∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，∴，∴，，∴，解得，∴，∴的周長為：．故選：B．66．（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測）如圖，中，，點(diǎn)O為的外心，，，是的內(nèi)切圓．則的長為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了直角三角形的內(nèi)心與外心．熟練掌握三角形內(nèi)心性質(zhì)，三角形外心性質(zhì)，切線長定理，勾股定理解直角三角形，是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)P作，，，根據(jù)三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到，根據(jù)切線長定理得到，，，得到四邊形是正方形，根據(jù)勾股定理求出，得到，求出，得到，得到，即得．【詳解】過點(diǎn)P作，，，∵點(diǎn)P是內(nèi)切圓的圓心，∴，，，，∴四邊形是正方形，∵中，，，，∴，設(shè)，，，則，，得，∴，∴，∵點(diǎn)O為的外心，∴，∴，∴．故選：C．67．（2024·浙江·一模）如圖，的頂點(diǎn)在y軸上，邊軸，邊，分別與軸相交于點(diǎn)，，原點(diǎn)正好是的內(nèi)心，已知點(diǎn)，則的長是（

）A．9 B．10 C． D．12【答案】B【分析】設(shè)交軸于點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，由原點(diǎn)是的內(nèi)心，得，，從而推出，根據(jù)軸，可推出，則，再由，利用勾股定理求得，得到，由，求得，最后由即可得到答案．【詳解】解：設(shè)交軸于點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，則，分別與軸相交于點(diǎn)，原點(diǎn)是的內(nèi)心平分，平分，軸，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)心的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握以上知識點(diǎn)并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．68．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，在中，，，為邊的中線．以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交于點(diǎn)，再分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線射線與分別交于點(diǎn)、點(diǎn)，連接，以下結(jié)論正確的有幾個（

）（1）點(diǎn)是的外心；（2）平分；（3）；（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】由作圖可知，點(diǎn)是的內(nèi)心，故（1）錯誤．證明，推出，，，可以證明（2）、（3）正確，利用相似三角形的性質(zhì)證明（4）錯誤即可．【詳解】解：由作圖可知，是的角平分線，，是的中線，∴是的角平分線∴點(diǎn)是的內(nèi)心，故（1）錯誤；，，，在和中，，，，，，即平分，故（2）正確；，，，，故（3）正確；，，，，即，整理得，，，，故（4）錯誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的作圖及性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題的關(guān)鍵．?題型05由一般三角形的內(nèi)切圓求周長、面積、半徑69．（2024·湖北武漢·二模）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)，，，且，，，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可得，由三角形的內(nèi)角和定理可得，等量代換即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)切線長定理可設(shè)設(shè)，，，由，，，可列出方程組，求解即可判斷選項(xiàng)C；過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理得到，構(gòu)造方程可求出，得到，設(shè)的半徑為r，即，根據(jù)即可求出的半徑，從而判斷選項(xiàng)D；由，得到，用反證法即可證得不成立，從而判斷選項(xiàng)A．【詳解】解：∵，是的切線，∴，，∴，∴，∵，∴，故B選項(xiàng)正確；∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)，，，∴，，，∵，，，設(shè)，，，∴，解得，∴，，，故C選項(xiàng)正確；過點(diǎn)C作于點(diǎn)H，∴，設(shè)，則，∵在中，，在中，，∴，解得，∴，∴，連接，，，，設(shè)的半徑為r，即，∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)，，，∴，，，∴，∴，解得：，∴，故D選項(xiàng)正確；∵，，∴，∴∵，∴，∵∴，若成立，則，這與矛盾，∴不成立，故A選項(xiàng)錯誤．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，切線長定理，勾股定理，三角形的內(nèi)角和定理，圓周角定理等，綜合運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．70．（2024·廣東廣州·一模）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)，，，若的半徑為，，則的值和的大小分別為（

）A．0， B．，C．， D．，【答案】A【分析】本題考查三角形的內(nèi)切圓，圓周角定理，切線長定理等知識．連接．利用切線長定理，可得，從而得到，再由圓周角定理，可得，即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)，，，∴，∴，∴，∴．故選：A71．（22-23九年級上·廣西南寧·期中）如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且，，則的周長為（）A．18 B．16 C．14 D．12【答案】A【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長定理，熟練掌握切線長定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線長定理得到，，，根據(jù)，于是得到的周長．【詳解】解：∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴，，，∵，∴，∴的周長，故選：A．72．（2020·貴州遵義·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，AB＝7cm，AC＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，過點(diǎn)O作EF//AB，與AC、BC分別交于點(diǎn)E、F，則△CEF的周長為（）A．14cm B．15cm C．13cm D．10.5cm【答案】A【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)心的定義得到AO、BO是∠CAB和∠CBA的角平分線，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證明∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO，于是得到EO＝EA，OF＝FB，故此可得到EF＝AE＋BF，根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可．【詳解】解：連接OA、OB．∵點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∴AO、BO分別是∠CAB和∠CBA的角平分線．∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO．∵EF//BA，∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA．∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO．∴EO＝EA，OF＝FB．∴EF＝AE＋BF，∴△CEF的周長＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的內(nèi)心、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，明確三角形的內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．?題型06三角形外接圓與內(nèi)切圓綜合73．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)心為O，．(1)如果的外心也為O，求證：為等邊三角形，并尺規(guī)作線段；(2)延長交邊于E，求證：=．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查尺規(guī)作圖——作角平分線，角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心與外心，垂徑定理等知識點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的內(nèi)心點(diǎn)為角平分線的交點(diǎn)，根據(jù)尺規(guī)作圖作角平分線的方法作平分，平分，，，，進(jìn)而證明，即可證明，得為等邊三角形；（2）由題意可知平分，作，，得，設(shè)邊上的高為，根據(jù)，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵的內(nèi)心為O，∴點(diǎn)為角平分線的交點(diǎn)，如圖，作平分，平分，，，，則，∵，∴，∴，同理，，，∵的外心也為O，由垂徑定理可知，，，，∴，則，∴為等邊三角形，即為所求；（2）證明：∵的內(nèi)心為O，∴點(diǎn)為角平分線的交點(diǎn)，∴平分，作，，∴，設(shè)邊上的高為，則，∴，∴．74．（2020·山東濰坊·三模）如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，BI的延長線與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D，與AC交于點(diǎn)E，延長CD、BA相交于點(diǎn)F，∠ADF的平分線交AF于點(diǎn)G．（1）求證：DG是⊙O的切線；（2）若DE＝4，BE＝5，求DI的長．【答案】（1）見解析；（2）6．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得，則，從而得到，則可判斷，連接OD，根據(jù)垂徑定理可得OD⊥AC，故OD⊥DG，即可得證；（2）根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)得，然后證明得到，證明，利用相似比得到，則DI的長度即可求解．【詳解】（1）證明：連接OD．∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠2＝∠7，∴，∴OD⊥AC，又∵∠1＝∠ADF，∠2=∠ABC，∠ADF＝∠ABC，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DGAC；∴OD⊥DG，∴DG是⊙O的切線；（2）解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠5＝∠6，∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，即∠4＝∠DAI，∴DA＝DI；∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD，∴△DAE∽△DBA，∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，∴AD＝6，∴DI＝6．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，圓周角定理和三角形的外心，三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個內(nèi)角．75．（2024·福建南平·模擬預(yù)測）如圖，以的直角邊為直徑的交斜邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線與交于點(diǎn)，弦與垂直，垂足為．(1)求證：為的中點(diǎn)；(2)若的面積為，兩個和的外接圓面積之比為3，求的內(nèi)切圓面積和四邊形的外接圓面積的比．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，，為直角三角形的中線，即可求解；（2）和的外接圓面積之比為3，確定，即，得，即可求解．【詳解】（1）證明：連接、，是直徑，則，是切線，，，，即是圓的切線，，，，，，，為的中點(diǎn)；（2）解：和的外接圓面積之比為3，，則兩個三角形的外接圓的直徑分別為、，，∵，∴，，∵，是直徑，∴，，∴，，，是直角三角形的中線，，為等邊三角形，的面積：，則，，，，，∵是的中位線，∴，∴四邊形的外接圓面積，∵等邊三角形邊長為2，∴其內(nèi)切圓的半徑為：，面積為，故的內(nèi)切圓面積和四邊形的外接圓面積的比為：．76．（2023·江蘇蘇州·一模）如圖，已知二次函數(shù)（其中）的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線l，連接、．(1)求的度數(shù)；(2)設(shè)外接圓的圓心為P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；(3)在（2）的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，是否存在實(shí)數(shù)m，使，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)3【分析】（1）令，，求出B點(diǎn)和C點(diǎn)坐標(biāo)，可得，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)垂直且平分線段，是的外接圓，可得點(diǎn)P在直線上，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用勾股定理，即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由時，可得，即，從而可知，即可進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：令，則得，或，，令，得，∴點(diǎn)，，，，．（2）解：拋物線的對稱軸為直線，∵點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸直線對稱，∴垂直且平分線段，又是的外接圓，，∴點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，軸于點(diǎn)F，連接、，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，即，，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）解：連接，由（2）可知點(diǎn)P在直線上，軸，∴點(diǎn)E在直線上，當(dāng)時，則，，如圖，過點(diǎn)C作，垂足為H，則，，，，由得，．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、平行線的性質(zhì)、三角形外接圓的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸和線段垂直平分線的性質(zhì)確定點(diǎn)P在對稱軸上，求點(diǎn)P坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)鞏固單選題1．（2024·廣東汕頭·一模）如圖，為的直徑，是的切線，點(diǎn)A是切點(diǎn)，連接交于點(diǎn)D，連接，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理．先根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再利用互余計(jì)算出，然后根據(jù)圓周角定理得到的度數(shù)．【詳解】解：∵為的直徑，是的切線，點(diǎn)A是切點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵∴∴．故選：D．2．（2024·廣東清遠(yuǎn)·二模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出，根據(jù)圓周角定理解答即可．【詳解】解：四邊形是的內(nèi)接四邊形，，∵，∴，故選：D．3．（2024·廣東廣州·二模）如圖，中，，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F，，則劣弧的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查切線長的性質(zhì)、弧長公式．根據(jù)切線的性質(zhì)證明四邊形為正方形，再弧長公式求解即可．【詳解】解：連接，在四邊形中，，四邊形為矩形．又因?yàn)?，四邊形為正方形．則，，劣弧的長是．故選：A．4．（2024·浙江杭州·一模）如圖，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，連接．若，，則的長為（）

A．π B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了求弧長，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)E，連接，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，則由圓周角定理可得，再利用弧長公式求解即可．【詳解】解：如圖所示，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)E，連接，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，∴的長為，故選：B．

二、填空題5．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知在中，，，，點(diǎn)是的內(nèi)心．點(diǎn)到邊的距離為；【答案】2【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓與內(nèi)心，角平分線的性質(zhì)．連接，，，過點(diǎn)分別作，，于點(diǎn)，，，根據(jù)，，可得，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，，過點(diǎn)分別作，，于點(diǎn)，，，在中，，，，，是的內(nèi)心，，，，，點(diǎn)到邊的距離為2；故答案為：2．6．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，圓內(nèi)接四邊形兩組對邊的延長線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，那么的度數(shù)為．【答案】/45度【分析】本題考查三角形外角的定義和性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得出，即可求解．【詳解】解：，，，四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，，，故答案為：．7．（2024·廣東佛山·一模）如圖，是的直徑，C，D是上的兩個點(diǎn)，將沿弦折疊，圓弧恰好與弦，分別相切于點(diǎn)E，A．若，則的面積為．

【答案】【分析】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)定理，勾股定理，正方形的判定和性質(zhì)等知識．設(shè)所在的圓的圓心為Q，連接、、，四邊形是正方形，推出，利用勾股定理求得的長，利用三角形的面積公式，計(jì)算得到問題的答案．【詳解】解：設(shè)所在的圓的圓心為Q，連接、、，

∵恰好與弦，分別相切于點(diǎn)E，A，