2024年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編（全國）：專題15 等腰三角形與直角三角形（含勾股定理）（24題）（學(xué)生版）

專題15等腰三角形與直角三角形（含勾股定理）（24題）一、單選題1．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，在中，是的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且．下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．的垂直平分線一定與相交于點(diǎn)B．C．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，是等邊三角形D．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，2．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，圖1是北京國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，它取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，是由四個(gè)全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現(xiàn)將這四個(gè)直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（

）A．24 B．36 C．40 D．443．（2024·四川巴中·中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問：水深幾何？”這是我國數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問題．即，，，則（

）A．8 B．10 C．12 D．134．（2024·四川廣元·中考真題）如圖①，在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿A→C→B以1的速度勻速運(yùn)動至點(diǎn)B，圖②是點(diǎn)P運(yùn)動時(shí)，的面積隨時(shí)間x（s）變化的函數(shù)圖象，則該三角形的斜邊的長為（

）A．5 B．7 C． D．5．（2024·四川南充·中考真題）如圖，已知線段，按以下步驟作圖：①過點(diǎn)B作，使，連接；②以點(diǎn)C為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)D；③以點(diǎn)A為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)E．若，則m的值為（

）

A． B． C． D．6．（2024·山東泰安·中考真題）如圖，中，，分別以頂點(diǎn)A，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別相交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線分別與，交于點(diǎn)和點(diǎn)；以點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線，若射線恰好經(jīng)過點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②垂直平分線段；③；④．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2024·山東煙臺·中考真題）某班開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，各組展示作圖痕跡如下，其中射線為的平分線的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題8．（2024·遼寧·中考真題）如圖，四邊形中，，，，．以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作圖，與相交于點(diǎn)，連接．以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別與，相交于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線，與相交于點(diǎn)，則的長為（用含的代數(shù)式表示）．9．（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩，根據(jù)詩中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，其示意圖如圖②，其中，于點(diǎn)C，尺，尺．設(shè)的長度為x尺，可列方程為．10．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖①，直角三角形的兩個(gè)銳角分別是40°和50°，其三邊上分別有一個(gè)正方形．執(zhí)行下面的操作：由兩個(gè)小正方形向外分別作銳角為40°和50°的直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形．圖②是1次操作后的圖形．圖③是重復(fù)上述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”．若圖①中的直角三角形斜邊長為2，則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為．11．（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，四邊形為正方形，為等邊三角形，于點(diǎn)F，若，則．12．（2024·四川資陽·中考真題）如圖，在矩形中，，．以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧交于點(diǎn)，再以為直徑作半圓，與交于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．13．（2024·四川雅安·中考真題）如圖，在和中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是．14．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，，，，D是邊的中點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)F處，則．15．（2024·山東濰坊·中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)均在軸上．將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．16．（2024·四川遂寧·中考真題）如圖，在正方形紙片中，是邊的中點(diǎn)，將正方形紙片沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，延長交于點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)．給出以下結(jié)論：①為等腰三角形；②為的中點(diǎn)；③；④．其中正確結(jié)論是．（填序號）三、解答題17．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，相交于點(diǎn)G，，，．(1)求證：是等腰三角形；(2)連接，則與l的位置關(guān)系是________．18．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在中，，，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N，作直線分別交于點(diǎn)D，E，連接(1)求的長；(2)求的周長．19．（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，點(diǎn)C在線段上，，，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．20．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）（1）解一元二次方程：；（2）若直角三角形的兩邊長分別是（1）中方程的根，求第三邊的長．21．（2024·甘肅蘭州·中考真題）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”，如圖1，他用木條能快速畫出一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，具體作法如下：①本條的兩端分別記為點(diǎn)M，N，先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，任意擺放木條后，另一個(gè)端點(diǎn)N的位置記為點(diǎn)B，連接；②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)B處，將木條繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C（點(diǎn)A，B，C不在同一條直線上）；③連接并延長，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)B的方向平移，使得端點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，端點(diǎn)N在延長線上的落點(diǎn)記為點(diǎn)D；④用另一根足夠長的木條畫線，連接，，則畫出的是直角．操作體驗(yàn)：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法，如圖2，，請畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，記作；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請你補(bǔ)全括號里的證明依據(jù)：證明：，與是等腰三角形．．（依據(jù)1______）．，（依據(jù)2______），．依據(jù)1：______；依據(jù)2：______；拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時(shí)學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點(diǎn)O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角，記作，使得直角邊（或）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）22．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，點(diǎn)D、E分別是等邊三角形邊、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．求證：．23．（2024·山東泰安·中考真題）如圖1，在等腰中，，，點(diǎn)，分別在，上，，連接，，取中點(diǎn)，連接．(1)求證：，；(2)將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．①請直接寫出與的位置關(guān)系：___________________；②求證：．24．（2024·遼寧·中考真題）如圖，在中，，．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點(diǎn)作，垂足為．

圖1