導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（原題版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練（人教B版選擇性必修第三冊(cè)）

第03講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性法則的學(xué)習(xí)，提

1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系.

升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

2.借助判斷函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提

3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

思維導(dǎo)圖

02一一二一

求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

已知函數(shù)遞增、遞減求參數(shù)

已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系導(dǎo)致與函數(shù)的單調(diào)性

知識(shí):―已知函數(shù)不單調(diào)求參數(shù)

函數(shù)圖象變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)大小的關(guān)系1_______/

原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)系

利用導(dǎo)數(shù)比較大小

利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

利用導(dǎo)數(shù)解不等式

03知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

i.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系

(1)如果在區(qū)間(a,6)內(nèi)，f(x)>0,則曲線y=/(x)在區(qū)間(a,3對(duì)應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都

大于0,曲線呈上升狀態(tài)，因此次x)在(a,6)上是增函數(shù)，如圖(1)所示；

(2)如果在區(qū)間(a,6)內(nèi)，/(x)<0,則曲線y=/(x)在區(qū)間(a,6)對(duì)應(yīng)的那一段上每一點(diǎn)處切線的斜率都

小于0,曲線呈下降狀態(tài)，因此段)在(a,6)上是減函數(shù)，如圖(2)所示.

(1)⑵

【解讀】1.對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性概念理解；

(1)在某區(qū)間內(nèi)/'(x)〉0(/(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件；

(2)可導(dǎo)函數(shù)/(x)在上是增(減)函數(shù)的充要條件是對(duì)VxeQb),都有/'(x)20(r(x)<0)且

/'(x)在(。力)上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

2.確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法

(1)確定函數(shù)/(x)的定義域；

(2)求/'(x)；

(3)解不等式/'(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；

(4)解不等式/'(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

【即學(xué)即練1](24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))下列函數(shù)中，在(2,+對(duì)內(nèi)為增函數(shù)的是()

A.3sinxB.(x-3)exC.x3-15xD.Inx-x

知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)圖象變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)大小的關(guān)系

觀察函數(shù)圖象，分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小與函數(shù)圖象的變化關(guān)系

Tyy

函數(shù)圖象4/h

/二

-----50X00*

導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)為正，且絕對(duì)值導(dǎo)數(shù)為正，且絕對(duì)值導(dǎo)數(shù)為負(fù)，且絕對(duì)值越導(dǎo)數(shù)為負(fù)，且絕對(duì)值

越來(lái)越大越來(lái)越小來(lái)越大越來(lái)越小

函數(shù)值函數(shù)值變化越來(lái)越快函數(shù)值變化越來(lái)越慢函數(shù)值變化越來(lái)越快函數(shù)值變化越來(lái)越慢

圖象特點(diǎn)越來(lái)越陡峭越來(lái)越平緩越來(lái)越陡峭越來(lái)越平緩

【即學(xué)即練2](24-25高二上?陜西西安?期中)若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間口，燈上是增函數(shù),

則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,切上的圖像可能是()

題型精講

題型01求不含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【典例1](24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))函數(shù)了=xlnx在(0,5)上的單調(diào)性是()

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.在(0,3上單調(diào)遞減，在(±5)上單調(diào)遞增

ee

D.在(0一)上單調(diào)遞增，在(工5)上單調(diào)遞減

ee

【變式1】(23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí))函數(shù)了=也擔(dān)的單調(diào)增區(qū)間為()

X

A.(-8,1)B.(0,1)C.(l,e)D.(1,+00)

【變式2】(23-24高二下?新疆克孜勒蘇?期中)函數(shù)/(x)=2x-41nx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-<?,2)B.(0,2)C.(2,+co)D.(e,+co)

【變式3】(23-24高二下?新疆省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí))函數(shù)y=gx2-inx的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(0,1)C.[1,+co)D.(0,+。)

【變式4](23-24高二下?吉林,期中)函數(shù)〃x)=xer的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(1,+<?)B.(-8,1)C.D.(-1,+?)

題型02求含參函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

【典例2](24-25高三上?福建龍巖?期中)已知函數(shù)/(幻=5*2-(2“+1女+2111%+44(。>0).

求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

【變式1](24-25高三上?天津西青?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx+2"(aeR).

⑴當(dāng)°=e時(shí),求函數(shù)在(1,函數(shù)處切線方程;

⑵求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

【變式2】(24-25高二上?四川眉山?期中)已知函數(shù)/(x)=lnx+。(aeR).討論/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【變式3】(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)〃x)=asin(l-x)+lnx.

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線N=/(x)在點(diǎn)(1J。))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)在區(qū)間(0」)上的單調(diào)性.

【變式4】(23-24高二上?河北石家莊?期末)設(shè)函數(shù)/(耳=/+(a-2)x-alnx(aeR).

(1)若a=l,求的導(dǎo)數(shù)；

(2)討論函數(shù)〃x)的單調(diào)性.

題型03已知函數(shù)遞增、遞減求參數(shù)

【典例3］（24-25高二上?浙江寧波?期中）若函數(shù)/仁）=算在［2,+8）上單調(diào)遞增，貝必的取值范圍為

（）

44

A.kN—B.k4—1C.左<1D.k4—

33

【變式1】（23-24高二下?山東煙臺(tái)?期末）己知函數(shù)〃x）=；x3+"2+無(wú)在（o,+司上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為（）

A.（-<?,-1］B.［-1,1］C.［1,+<?）D.［-1,+<?）

【變式2】（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）己知函數(shù)/'⑺=2/-6/-18x+1在區(qū)間（見(jiàn)蘇_2%）上單調(diào)遞減，

則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.（-3,0）B.［-1,0）C.（3,5）D.（5,7）

【變式3】（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若函數(shù)〃x）=l-1-Inx在區(qū)間［1-凡2-司內(nèi)單調(diào)遞增，則。的取

值范圍是.

【變式4】（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若函數(shù)"X）=§X3_2X2+G+10在區(qū)間［-1,4］上具有單調(diào)性，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【變式5】（23-24高二下?四川德陽(yáng)?期末）Vx?x2e（O,m）,x產(chǎn)乙,都有［?叫〉」,則實(shí)數(shù)加的取

值范圍為.

題型04已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

【典例4］（23-24高二下?山東荷澤?期末）已知函數(shù)/（耳=方2+：的單調(diào)遞增區(qū)間為［1,+8）,則Q的值為

（）

33

A.6B.3C.—D.一

24

【變式1】（23-24高二下?湖北孝感?階段練習(xí)）函數(shù)〃》）=如葉1-2的單調(diào)遞減區(qū)間為（l,+oo）,則。=

x

（）

1

A.-B.1C.eD.e2

e

【變式2】（23-24高二下?山東臨沂?期中）函數(shù)〃力=2/-g?+7的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,2）,貝（）

A.6B.3C.2D.0

【變式3】（24-25高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若函數(shù)/。）=辦3+3/_》+1恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值

可以是()

A.-3B.-1C.0D.2

【變式4】(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)/(%)=X3+辦2+1,QGR.

⑴討論函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)0的取值范圍；

⑶若函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是,求實(shí)數(shù)a的值.

題型05已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間求參數(shù)

【典例5](24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))若函數(shù)/(x)=山+a--2在區(qū)間(1,4)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間,則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A?卜B.+"

1

——,+00

2

【變式1】(23-24高二上?浙江寧波?期中)若函數(shù)"》)=('-〃?)2+向在區(qū)間(1,2)上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)

數(shù)%的取值范圍是.

【變式2】(23-24高二下?四川瀘州?期中)若函數(shù)/z(x)=lnx蘇-2x在[1,4]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是

【變式3](24-25高三上?河北張家口?階段練習(xí))已知函數(shù)/(力=/+(%-2)/-2苫+5在區(qū)間(2"?-1,3"?+2)

上不單調(diào)，則加的取值范圍是.

題型06已知函數(shù)不單調(diào)求參數(shù)

2

【典例6】(22-23高二下?北京海淀?期中)若函數(shù)“x)=、-lnx在((U)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是

()

A.[1,+℃)B.(l,+oo)C.(0,1)D.(0,1]

【變式1】(24-25高三上?黑龍江牡丹江?階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=/_21nx在區(qū)間(嚴(yán)-1,k+1)上不單調(diào),

則上的取值范圍是()

A.(1,2)B.(^2,2)C.[1,也)D.——?A/2

I2)

【變式2](23-24高二下?山東荷澤?期中)若函數(shù)〃x)=e=alnx+1在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為（）

A.（e,e2）B.（e,2e2）C.（-<?,e）U（e2,+oo）D.（1,e2）

【變式3】（23-24高二上,江蘇南通,階段練習(xí)）函數(shù)/（x）=x3-質(zhì)在區(qū)間（-3,-1）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)人的取值

范圍是.

題型07原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)系

【典例7］（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）己知函數(shù)y=/（x）,y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖，那么丫=/（久）,

y=g（%）的圖象可能是（)

母尸g（x）

X

【變式1】（23-24高二下?福建龍巖?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）與其導(dǎo)函數(shù)r（x）的圖象的一部分如圖所示，則

關(guān)于函數(shù)8（》）=焉的單調(diào)性說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）

A.在（-1,1）單調(diào)遞減B.在（0,2-6）單調(diào)遞減

C.在［2-后1］單調(diào)遞減D.在［1,2］單調(diào)遞減

【變式2】（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）函數(shù)/（x）在定義域內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)為r。），且r（x）的圖象如圖

所示，則/（無(wú)）的圖象可能是（）

yt

【變式3】(24-25高二下?全國(guó),課前預(yù)習(xí))已知/(x)的導(dǎo)函數(shù)((久)的圖象如圖所示，那么/(x)的圖象最有

內(nèi)可導(dǎo)，記y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為

y=r。)，y=f'QQ的圖象如圖所示，則y=/(x)的單調(diào)增區(qū)間為()

A.1|，T，(1,2)

題型08利用導(dǎo)數(shù)比較大小

【典例8】（23-24高二下?湖北?期末）已知5$>e8,a=3：b=5；c=1，則。、女。的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

己知4=生也,6=螞,CM-1-,則。,6,C的大小為（）

【變式11（24-25高二下?浙江杭州?期中）

262e

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

三個(gè)數(shù)Tln3,一,z

【變式2］（23-24高二上?江蘇南京?期末）c=的大小順序?yàn)椋?/p>

A.b<c<aB.b<a<cC.c<a<bD.a<b<c

皿，6=電\貝"

【變式3］（23-24高二下?河北唐山?期中）若函數(shù)/（力=蓼，且設(shè)"

再

見(jiàn)人的大小關(guān)系是（）

A.a>bB.a<bC.a=bD.。力的大小不能確定

題型09利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

【典例9］（24-25高二下?全國(guó)?課堂例題）當(dāng)X>1時(shí)，求證:—x2+lnx<—x3.

23

【變式11（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）以下不等式不成立的是（）

A.x>sinx,xGI0,-^-

B.x-l>lnx,XG(0,+OO)

x

C.Inx<—(x>0)D.Inx+1->0,x￡(0,+8)

e

【變式2］（23-24高二上?江蘇南京?期末）下列不等式恒成立的有（）.

A.當(dāng)%￡（0微）時(shí)，x>sinx

B.當(dāng)x￡（0,+oo）時(shí)，x>lnx

C.e、>x+l（其中，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

D.當(dāng)%￡（1,+8）時(shí)，%-->21nx

x

【變式3］（24-25高二下?全國(guó)?課堂例題）證明不等式e'Nx+1.

題型10利用導(dǎo)數(shù)解不等式

【典例10](24-25高三上,湖北武漢?期中)設(shè)函數(shù)/(x)=e，T-ei+sin(x-l),則關(guān)于x的不等式

/(X2-X-2)+/(_2X)N0的解集為()

A.[-1,4]B.(-oo,-l]u[4,+co)

C.[-2,1]D.(-<?,-2]o[l,+oo)

【變式1】(23-24高二下?江蘇南通?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x+hu+cosx,若/任-4)W〃3x),則實(shí)

數(shù)x的取值范圍是()

A.[-1,4]B.(-8,2)口[4,+8)

C.(0,4]D.(2,4]

【變式2】(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知定義在(T3)上的函數(shù)〃無(wú))的導(dǎo)函數(shù)/且

〃2加)<〃加+1),則實(shí)數(shù)用的取值范圍為()

A.B.(l,+=o)C.D.

【變式3】(23-24高二下?廣東深圳?期末)已知函數(shù)/(x)=2x-sin2x,則不等式/'(/)+/(3苫-4)<0的解

集為.

【變式4】(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)a,6都為正數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若ae"<61nb,則()

A.ab>eB.b>eaC.ab<eD.b<ea

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.(23-24高二下?重慶?期末)已知函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上連續(xù)可導(dǎo),貝I]"-(x)20在區(qū)間。上恒成立”是

"/(x)在區(qū)間。上單調(diào)遞增"的()條件.

A.必要不充分B.充分不必要

C.充要D.既不充分也不必要

2.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=g-7nx的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,1]B.[-1,1]C.[1,+⑹D.(0,1]

3.(23-24高二下?山東臨沂?期中)已知函數(shù)y=/(x)(xGT?)的圖象如圖，則不等式獷"(x)<0的解集為

()

c.（-?,0）uQ,2jD.（-l,0）u（l,3）

4.（23-24高二下?山東東營(yíng)?期末）已知函數(shù)/（x）=lnx-機(jī)x,若函數(shù)〃x）在口,2］上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)機(jī)的

最小值為（）

A.1B.yC.2D.2V2

5.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃》）=（2/+如+1k"7（p>0）在—存在單調(diào)遞減區(qū)間，則

。的取值范圍是（）

A.（0,l）u（4,+a>）B.（1,4）C.（0,2）U（3,+?））D.（2,3）

6.（23-24高二下?廣東東莞?階段練習(xí)）設(shè)〃x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，"2）=3,對(duì)任意實(shí)數(shù)x有

貝"（x）>x+l的解集為（）

A.(-8,2)B.(2,+oo)C.(-2,2)D.R

7.（24-25高二上?全國(guó)?單元測(cè)試）若石<。<。都有句叫一再血2<匹-彳2成立,則“的最大值為（）

A.B.1C.eD.2e

2

8.（23-24高二下?天津,期中）已知函數(shù)/'（x）=cosx+e、，且。=〃2）、Lc=〃ln2）,則°、b、

。的大小關(guān)系（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

二、多選題

9.（24-25高三上?福建,階段練習(xí)）已知函數(shù)/（X）=（X2-6）（2X-3）,則（）

A./（X）在（0,1）上單調(diào)遞減

B.7（x）在（1,2）上單調(diào)遞增

C.有3個(gè)零點(diǎn)

D.直線尸-3與“X）的圖象僅有1個(gè)公共點(diǎn)

10.（24-25高三上?福建寧德,期中）已知三次函數(shù)/（X）的圖象如圖，則下列說(shuō)法正確的是（）

B.r（2）＜r（3）

D.#'3＞0的解集為（一8,-1