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文檔簡介

熱點02方程(組)與不等式

明考情.知方向

中考數(shù)學中《方程(組)與不等式(組)》部分主要考向分為四類:

一、一元一次方程與二元一次方程(組)(每年2~4道,8~14分)

二、一元二次方程(每年1~2道,3~8分)

三、分式方程(每年1~3題,3~12分)

四、不等式(組)(每年2~4題,8~18分)

方程(組)與不等式(組)在數(shù)學中考中的難度中等,題型比較多,選擇題、填空題、解答題都可以

考察。其中,一元一次方程與二元一次方程(組)是比較接近的兩個考點,出題一般都只有1題,一元一

次方程多考察其在實際問題中的應用,多為選擇題;二元一次方程組則以計算和應用題為主占分較多。一

元二次方程單獨出題時多考察其根的判別式、根與系數(shù)的關系以及在實際問題中提煉出一元二次方程;一

元二次方程的計算則主要出現(xiàn)在幾何大題中,輔助解壓軸題。分式方程的考察內(nèi)容不多,但基本屬于必考

考點,可以是一道小題考察其解法,也可以是應用題。不等式組是這四個考點中占分最多的一個,考察難

度也是可大可小,其解法、含參數(shù)的不等式組問題、和方程結合的應用題都經(jīng)??嫉?。雖然該熱點難度中

等,一般不會失分,但是組合出題時,難度也可以變大,復習時需要特別注意。

熱點題型解讀

【題型1】實際問題抽象出一元一次方程

考向一:一元一次方程與二元一次方程組

【題型1實際問題抽象出一元一次方程】

中考中對于一元一次方程的應用題并不會考這么多,多以選擇題出題,也就只考到列方程這步就可以了.

解一元一次方程應用題,遵循5個步驟,其各個步驟的注意事項如下:

①審題;②設未知數(shù):設未知數(shù)(通常為x),并注明單位;③列方程;④解方程;⑤檢驗

答案:將解代入原方程或?qū)嶋H問題,驗證是否合理;⑥.寫答句:完整寫出答案,并注明單

位。

1.(2024?江蘇宿遷?中考真題)我國古代問題:以繩測井,若將繩三折測之,繩多四尺:若將繩四折測之,

繩多一尺.繩長、井深各幾何?這段話的意思是:用繩子量井深,把繩三折來量,井外余繩四尺;把繩

四折來量,井外余繩一尺.繩長、井深各幾尺?若設繩長為無尺,則可列方程為()

A.-1x—14=-x—1B.-1x+4=-1x—1

3434

1I1I

C.-%—4=-x+1D.-x+4=-%+1

3434

2.(2024?廣東廣州?中考真題)某新能源車企今年5月交付新車35060輛,且今年5月交付新車的數(shù)量比去

年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛.設該車企去年5月交付新車x輛,根據(jù)題意,可列方程為

()

A.1.2%+1100=35060B.1.2%-1100=35060

C.1.2(%+1100)=35060D.x-1100=35060x1.2

3.(2024?廣西?中考真題)《九章算術》是我國古代重要的數(shù)學著作,其中記載了一個問題,大致意思為:

現(xiàn)有田出租,第一年3畝1錢,第二年4畝1錢,第三年5畝1錢.三年共得100錢.問:出租的田有

多少畝?設出租的田有x畝,可列方程為()

A.-+-+-=1B.++=100

345345

C.3x+4久+=1D.3x+4x+5x=100

4.(2024.北京?中考真題)為防治污染,保護和改善生態(tài)環(huán)境,自2023年7月1日起,我國全面實施汽車

國六排放標準6b階段(以下簡稱“標準”).對某型號汽車,“標準”要求4類物質(zhì)排放量不超過35mg/km,

A,B兩類物質(zhì)排放量之和不超過50mg/km.已知該型號某汽車的A,B兩類物質(zhì)排放量之和原為92mg/km

經(jīng)過一次技術改進,該汽車的4類物質(zhì)排放量降低了50%,B類物質(zhì)排放量降低了75%,A,8兩類物質(zhì)

排放量之和為40mg/km,判斷這次技術改進后該汽車的人類物質(zhì)排放量是否符合“標準”,并說明理由.

【題型2二元一次方程組的解法相關】

解二元一次方程組有2種方法帶入消元法和加減消元法

不管是帶入法還是加減法,目的都在于利用等式的基本性質(zhì)將二元一次方程組轉化為一元一次方程,所

以做題中也必須注意一元一次方程解法的易錯點。

1.(2024.廣西.中考真題)解方程組:產(chǎn):

(X—zy=1

2.(2024?浙江,中考真題)解方程組:薨二21。

3.(2024.江蘇宿遷?中考真題)若關于x、y的二元一次方程組二;的解是二:2,則關于x、y的

ax+2y=2a+b

方程組{的解是______

ex—2y=2c+d

【題型3二元一次方程組的應用】

二元一次方程組的應用題解決步驟同一元一次方程應用題解題步驟及注意事項差不多,審題和找等量關

系都是方程類應用題解題的關鍵。通常難度不大,個別時候,二元一次方程組的應用題也可以用一元一

次方程來解。

1.(2024?山東日照?中考真題)我國明代數(shù)學家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題:“一條竿

子一條索,索比竿子長一托,折回索子來量竿,卻比竿子短一托,問索、竿各長幾何?”譯文為:“有一

根竿和一條繩,若用繩去量竿,則繩比竿長5尺;若將繩對折后再去量竿,則繩比竿短5尺,問繩和竿

各有多長?”設繩長尤尺,竿長y尺,根據(jù)題意得()(注:“托”和“尺”為古代的長度單位,1托=5尺)

A.{iB.hC.D.)/,

(y--x=5匕x—y=5c(.2%=y+5c(.y-2x=5

2.(2024?遼寧?中考真題)我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“雉兔同籠”問題:“今有雉兔同籠,上有三十

五頭,下有九十四足,問雉兔各幾何?”其大意是:雞兔同籠,共有35個頭,94條腿,問雞兔各多少只?

設雞有無只,兔有y只,根據(jù)題意可列方程組為()

(x+y=94(x+y=94(x+y=35(x+y=35

A,(4%+2y=35B,(2%+4y=35C,(4%+2y=94D*(2%+4y=94

3.(2024?安徽?中考真題)鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略實施以來,很多外出人員返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).某村有部分返鄉(xiāng)青年承包了一

些田地.采用新技術種植4B兩種農(nóng)作物.種植這兩種農(nóng)作物每公頃所需人數(shù)和投入資金如表:

農(nóng)作物品每公頃所需人

每公頃所需投入資金(萬元)

種數(shù)

A48

B39

已知農(nóng)作物種植人員共24位,且每人只參與一種農(nóng)作物種植,投入資金共60萬元.問4,B這兩種農(nóng)作

物的種植面積各多少公頃?

4.44.(2024.江蘇徐州?中考真題)中國古代數(shù)學著作《張邱建算經(jīng)》中有一道問題;“今有甲、乙懷錢,

各不知其數(shù).甲得乙十錢,多乙余錢五倍.乙得甲十錢,適等.問甲、乙懷錢各幾何?”問題大意:甲、

乙兩人各有錢幣干枚.若乙給甲10枚錢,此時甲的錢幣數(shù)比乙的錢幣數(shù)多出5倍,即甲的錢幣數(shù)是乙

錢幣數(shù)的6倍;若甲給乙10枚錢,此時兩人的錢幣數(shù)相等.問甲、乙原來各有多少枚錢幣?請用二元

一次方程組解答上述問題.

考向二:一元二次方程

【題型4一元二次方程根的判別式】

對于一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c^0(a^0),

(l)b2-4ac>0—■方程有兩個不相等的實數(shù)根

(2)〃_4ac=0—?方程有兩個相等的實數(shù)根

⑶匕2-4acV0方程沒有實數(shù)根

注意:在應用根的判別式時,若二次項系數(shù)中含有字母,注意二次項系數(shù)不為0這一條件;

當尸-4ac20時,可得方程有兩個實數(shù)根,相等不相等未知

1.(2024.四川自貢.中考真題)關于x的一元二次方程/+—2=0的根的情況是()

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

2.(2024?山東泰安?中考真題)關于x的一元二次方程2久2—3久+k=0有實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍是()

ggQQ

A.〈一B.C.D.<C—

k8kg8-kN8-k8

3.(2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題)關于x的一元二次方程51-2)/+4%+2=0有兩個實數(shù)根,則相

的取值范圍是()

A.m<4B.m>4C.m2—4且zn力2D.znW4且m力2

4.(2024?湖南?中考真題)若關于尤的一元二次方程/—4x+2k=0有兩個相等的實數(shù)根,則左的值為

【題型5一元二次方程根與系數(shù)的關系】

完全拿下這部分分數(shù),除了熟記根與系數(shù)的關系的公式外,還要熟悉完全平方公式的變形:

be

若一元二次方程+"+。=0(〃。0)的兩個根為玉、X2,貝?。┯性?%2=,下?%2=—

aa

當問題中出現(xiàn)“方程的兩個根是……”時,通常就要想其根與系數(shù)的關系了,若不能直接利用原公式,則

結合完全公式,想其常用變形:

(1)X;+/2=(玉+%2)2-2玉%2(2)(玉=(匹+%2>-4再入2

⑶&+三=(芯+%2>-2芯%2(4)J-+J_=尤1+尤2

%2%X1X2X1X2X1X2

1.(2024?山東日照?中考真題)已知,實數(shù)與,久2(久1力乂2)是關于x的方程k/+2丘+1=0(卜40)的兩個

根,若工+工=2,則上的值為()

XiX2

11

A.1B.-1C.—D.—

22

2.(2024.四川巴中.中考真題)已知方程——2x+k=0的一個根為—2,則方程的另一個根為.

3.(2024.山東德州.中考真題)已知a和匕是方程/+2024%-4=0的兩個解,則a?+2023a-6的值

為.

4.(2024.四川內(nèi)江.中考真題)已知關于x的一元二次方程/—px+1=o(p為常數(shù))有兩個不相等的實數(shù)

根久1和

⑴填空:%1+%2=,xlx2=;

(2)求工+

%2

(3)已知斕+%2=2p+1,求p的值.

【題型6一元二次方程的解法】

一元二次方程的解法有4種,重點記憶配方法、因式分解法、公式法。

其中注意事項:

配方法——需要加上的數(shù)字是一次項系數(shù)一半的平方(/的系數(shù)為D,并且先移項,再配方;

因式分解法---重點掌握十字相乘法(常用公式:x2+{p+q)x+pq={x+p\x+q));

公式法——使用這種解法,必須先分析a、b、c的值,求出4ac的值,再帶入公式

1.(2024.貴州.中考真題)一元二次方程/一2%=0的解是()

A.=3,x2=1B.%]=2,x2=0C.%]=3,x2=-2D.xr=-2,x2=—1

2.(2024.山東德州.中考真題)把多項式/-3久+4進行配方,結果為()

2

A.(%-3)2—5B.(%-鼻)+—

。(1)泊D.(f)W

3.(2024.青海?中考真題)(1)解一元二次方程:/一4尤+3=0;

(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根,求第三邊的長.

【題型7一元二次方程的應用】

解題步驟依然遵循——審、設、列、解、答。

應用題中解出方程的解一般都有2個,做題時注意結合題目實際是否都可取,不符合題意的答案需舍去。

1.(2024?山東青島?中考真題)如圖,某小區(qū)要在長為16m,寬為12m的矩形空地上建造一個花壇,使花壇

四周小路的寬度相等,且花壇所占面積為空地面積的一半,則小路寬為m.

<--------16m---------?

12m花壇

2.(2024?西藏?中考真題)列方程(組)解應用題

某商場響應國家消費品以舊換新的號召,開展了家電惠民補貼活動.四月份投入資金20萬元,六月份

投入資金24.2萬元,現(xiàn)假定每月投入資金的增長率相同.

(1)求該商場投入資金的月平均增長率;

(2)按照這個增長率,預計該商場七月份投入資金將達到多少萬元?

3.(2024?遼寧?中考真題)某商場出售一種商品,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),日銷售量y(件)與每件售價久(元)滿

足一次函數(shù)關系,部分數(shù)據(jù)如下表所示:

每件售價%/元455565

日銷售量y/件554535

(1)求y與x之間的函數(shù)關系式(不要求寫出自變量x的取值范圍);

(2)該商品日銷售額能否達到2600元?如果能,求出每件售價:如果不能,請說明理由.

考向三:分式方程

【題型8解分式方程的步驟】

解分式方程基本步驟:①去分母;②解整式方程;③驗根

分式方程的增根:使分式方程分母=0的未知數(shù)的值;

分式方程會無解的幾種情況

①解出的x的值是增根,須舍去,無解

②解出的x的表達式中含參數(shù),而表達式無意義,無解

③同時滿足①和②,無解

求有增根分式方程中參數(shù)字母的值的一般步驟:

①讓最簡公分母為0確定增根;

②去分母,將分式方程轉化為整式方程;

③將增根帶入(當有多個增根時,注意分類,不要漏解);

④解含參數(shù)字母的方程的解。

1.(2024?山東濟寧?中考真題)解分式方程1-4=—3時,去分母變形正確的是()

3x-l2-6%

A.2—6x+2=-5B.6%—2—2=—5

C.2—6x—1=5D.6x—2+1=5

2.(2024.黑龍江齊齊哈爾.中考真題)如果關于x的分式方程工-自=。的解是負數(shù),那么實數(shù)機的取值范圍

XX+1

是()

A.m<1且7nH0B.m<1C.m>1D.mV1且THW—1

3.(2024.四川遂寧.中考真題)分式方程二1一三的解為正數(shù),則小的取值范圍()

x-1X-1

A.m>—3B.租>—3且mH—2

C.m<3D.m<3且mW—2

4.(2023?四川涼山?中考真題)解方程:三=—

【題型9分式方程應用題】

中考中常會以解答題形式考查,也有個別是出選擇題或填空題。解答題形式考查經(jīng)常會結合不等式或一

次函數(shù)等。

列分式方程解應用題的一般步驟:①審,②設,③列,④解,⑤驗(必須要檢驗)⑥答

1.(2024.寧夏.中考真題)數(shù)學活動課上,甲,乙兩位同學制作長方體盒子.已知甲做6個盒子比乙做4個

盒子少用10分鐘,甲每小時做盒子的數(shù)量是乙每小時做盒子的數(shù)量的2倍.設乙每小時做久個盒子,

根據(jù)題意可列方程()

A.--—=10B.---=10C.---=—D.---=—

x2xx2xx2x60x2x60

2.(2024.四川巴中?中考真題)某班學生乘汽車從學校出發(fā)去參加活動,目的地距學校60km,一部分學生

乘慢車先行0.5h,另一部分學生再乘快車前往,他們同時到達.已知快車的速度比慢車的速度每小時快

20km,求慢車的速度?設慢車的速度為xkm/h,則可列方程為()

.60601「60601

'X第+202*x-20X2

「60601「60601

*x+20X2xX-2Q2

3.(2024.山東泰安?中考真題)隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展,全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間,某農(nóng)

產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共35名工人.甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品,乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品,

已知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍,求甲、乙兩組

各有多少名工人?

4.(2024.江蘇揚州.中考真題)為了提高垃圾處理效率,某垃圾處理廠購進A、8兩種機器,A型機器比8

型機器每天多處理40噸垃圾,A型機器處理500噸垃圾所用天數(shù)與B型機器處理300噸垃圾所用天數(shù)

相等.B型機器每天處理多少噸垃圾?

5.(2024?重慶?中考真題)為促進新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展,某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條

生產(chǎn)線的設備進行更新?lián)Q代.

(1)為鼓勵企業(yè)進行生產(chǎn)線的設備更新,某市出臺了相應的補貼政策.根據(jù)相關政策,更新1條甲類生

產(chǎn)線的設備可獲得3萬元的補貼,更新1條乙類生產(chǎn)線的設備可獲得2萬元的補貼.這樣更新完這30

條生產(chǎn)線的設備,該企業(yè)可獲得70萬元的補貼.該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條?

(2)經(jīng)測算,購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設備需多投入5萬元,用200

萬元購買更新甲類生產(chǎn)線的設備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設備數(shù)量相同,那么該企業(yè)

在獲得70萬元的補貼后,還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設備?

6.(2024?重慶?中考真題)某工程隊承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務,選派甲、乙

兩人分別用4、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半.據(jù)測算需要4、B兩種外墻漆各300千克,購買

外墻漆總費用為15000元,已知2種外墻漆每千克的價格比B種外墻漆每千克的價格多2元.

(1)求4、8兩種外墻漆每千克的價格各是多少元?

(2)已知乙每小時粉刷外墻面積是甲每小時粉刷外墻面積的支乙完成粉刷任務所需時間比甲完成粉刷任

務所需時間多5小時.問甲每小時粉刷外墻的面積是多少平方米?

考向四:一元一次不等式組

【題型10解一元一次不等式組】

一元一次不等式組的解法中,同除以一個負數(shù)時,不要忘記改變不等號的方向,同除一個分數(shù)時,不要

除反了

f3%-2>1

1.(2024?西藏?中考真題)解不等式組:包>乂一2,并把解集在數(shù)軸上表示出來?

-5-4-3-2-1012345

(13

2.(2024?山東淄博?中考真題)解不等式組:5+2*5久+4并求所有整數(shù)解的和.

I%—3<1+2%

f2(x—2)<1+3

3.(2024?甘肅?中考真題)解不等式組:-<2%

(2x-l<-9

4.(2024?寧夏?中考真題)解不等式組i一尤2號-

【題型U含參數(shù)類不等式組整數(shù)解問題】

方法步驟總結:

①解出不等式(組)的解集—用含參數(shù)的表達式表示;

②根據(jù)題目要求,借助數(shù)軸,確定參數(shù)表達式的范圍,必在兩個相鄰整數(shù)之間;

③由空心、實心判斷參數(shù)兩邊邊界哪邊可以取“=”,哪邊不能取“=”。(不等式組則由解

集的判斷口訣來決定哪邊界可以取』”);

④解出參數(shù)所在不等式(組)的解集,得參數(shù)字母的值或范圍。

1.(2024.四川南充?中考真題)若關于尤的不等式組的解集為尤<3,則根的取值范圍是()

1%<TH+1

A.m>2B.m>2C.m<2D.m<2

f4—2%N0

(?黑龍江大興安嶺地?中考真題)關于的不等式組恰有個整數(shù)解,則。的取值范圍

2.2024xI-ix”-a>u3

是.

4*-1.

—至少有2個整數(shù)解,且關于y的分式方程

(2(%+1)>—%+a

區(qū)三=2-義的解為非負整數(shù),則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為.

【題型12一元一次不等式(組)應用題】

元一次不等式(組)應用題的解法步驟:審,設,列,解,答。

審題過程中,找不等量關系時,多注意“不超過”、“低于”、“不少于”等不等量關系的詞語;不等式組的

應用題也常和方程結合,不等式的解作為方案類問題選擇的范圍,取整后得到對應方案。

1.(2024.山東青島.中考真題)為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,提高學生的動手能力,某校計劃購買一批航空、航

海模型.已知商場某品牌航空模型的單價比航海模型的單價多35元,用2000元購買航空模型的數(shù)量

是用1800元購買航海模型數(shù)量的也

(1)求航空和航海模型的單價;

(2)學校采購時恰逢該商場“六一兒童節(jié)”促銷:航空模型八折優(yōu)惠.若購買航空、航海模型共120個,

且航空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的點請問分別購買多少個航空和航海模型,學?;ㄙM最少?

2.(2024?湖南長沙?中考真題)刺繡是我國民間傳統(tǒng)手工藝.湘繡作為中國四大刺繡之一,聞名中外,在巴

黎奧運會倒計時50天之際,某國際旅游公司計劃購買4、2兩種奧運主題的湘繡作品作為紀念品.已

知購買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元,購買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡

作品共需要1200元.

(1)求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價分別為多少元?

(2)該國際旅游公司計劃購買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件,總費用不超過50000元,那么最

多能購買A種湘繡作品多少件?

3.(2024?江蘇宿遷?中考真題)某商店購進A、B兩種紀念品,已知紀念品A的單價比紀念品B的單價高10

元.用600元購進紀念品A的數(shù)量和用400元購進紀念品B的數(shù)量相同.

(1)求紀念品A、8的單價分別是多少元?

(2)商店計劃購買紀念品A、2共400件,且紀念品A的數(shù)量不少于紀念品B數(shù)量的2倍,若總費用不

超過11000元,如何購買這兩種紀念品使總費用最少?

4.(2024?黑龍江牡丹江?中考真題)牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的“黃金地帶”,年總產(chǎn)量占全國總產(chǎn)量的

50%以上,黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位.某商店準備在該地購進特級鮮品、特

級干品兩種猴頭菇,購進鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元,購進鮮品猴頭菇4箱、干品猴

頭菇5箱需910元.請解答下列問題:

(1)特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇每箱的進價各是多少元?

(2)某商店計劃同時購進特級鮮品猴頭菇和特級干品猴頭菇共80箱,特級鮮品猴頭菇每箱售價定為50

元,特級干品猴頭菇每箱售價定為180元,全部銷售后,獲利不少于1560元,其中干品猴頭菇不多于

40箱,該商店有哪幾種進貨方案?

(3)在(2)的條件下,購進猴頭菇全部售出,其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打。(a為正整數(shù))折售出,

最終獲利1577元,請直接寫出商店的進貨方案.

限時提升練

(建議用時:15分鐘)

1.(2024?吉林長春?中考真題)不等關系在生活中廣泛存在.如圖,a、6分別表示兩位同學的身高,c表示

臺階的高度.圖中兩人的對話體現(xiàn)的數(shù)學原理是()

C.若a>5,c>0,則ac>beD.若a>b,c>0,貝盧>

cc

2.(2024.上海?中考真題)以下一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是()

A.%2—6%=0B.%2—9=0

C.%2—6%+6=0D.%2—6%+9=0

3.(2024?四川廣元?中考真題)我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手,從2023

年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”.現(xiàn)需要購買A、8兩種綠

植,已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍,用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠

植少50株.設8種綠植單價是x元,則可列方程是()

.6750廣入3000n3000LC6750

A.--------50=------B.--------50=------

3xx3%x

-6750,「八3000—3000,「八6750

C.-------1-

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