多邊形與平行四邊形（講義2考點+2命題點23種題型）原卷版

第五章四邊形

第23講多邊形與平行四邊形

（思維導(dǎo)圖+2考點+2命題點23種題型（含6種解題技巧））

01考情透視?目標導(dǎo)航＞題型10計算網(wǎng)格中的多邊形面積

02知識導(dǎo)圖?思維引航命題點二平行四邊形有關(guān)的證明與計算

03考點突破?考法探究＞題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解

考點一多邊形＞題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明

考點二平行四邊形＞題型03判斷能否構(gòu)成平行四邊形

04題型精研?考向洞悉＞題型04添加一個條件使之成為平行四邊形

命題點一多邊形有關(guān)的計算＞題型05證明四邊形是平行四邊形

＞題型01認識多邊形＞題型06利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解

＞題型02多邊形的對角線問題＞題型07利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明

?題型03多邊形內(nèi)角和問題＞題型08平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用

＞題型04正多邊形內(nèi)角和問題＞題型09平行四邊形與函數(shù)綜合

＞題型05多邊形截角后的內(nèi)角和問題＞題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題

＞題型06多邊形外角和問題＞題型11已知中點，取另一條線段的中點構(gòu)造中位

?題型07多邊形外角和的實際應(yīng)用線

＞題型08多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行＞題型12補全圖形利用中位線定理求解

線的綜合應(yīng)用＞題型13平行四邊形中各圖形面積的等量關(guān)系

＞題型09平面鑲嵌

考情透視?目標導(dǎo)航

中考考點考官頃率新課標要求

了解多邊形的概念及多邊形的頂點邊、內(nèi)角、外角與對角線；

★★

多邊形有關(guān)計算

探索并掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式.

平行四邊形有關(guān)的證理解平行四邊形的概念；

★★★

明與計算探索并證明平行四邊形的性質(zhì)定理及其判定定理.

【考情分析】本熱點包含的內(nèi)容有平行四邊形的性質(zhì)及判定、多邊形的有關(guān)計算等，試題形式多樣，難度

中等，常與三角形、全等三角形等內(nèi)容綜合考查，平行四邊形是矩形、菱形等特殊平行四邊形的基礎(chǔ)，故

掌握其相關(guān)的判定方法及性質(zhì)也是解決特殊四邊形問題的關(guān)鍵.

【命題預(yù)測】中考數(shù)學中，對平行四邊形的單獨考察難度一般不大，一般和三角形全等、解直角三角形綜

合應(yīng)用的可能性比較大，對于本考點內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習，靈活運用.

知識導(dǎo)圖?思維引航

定義不在一條期1上的一些線段收尾順次相連

.|n:多迦跑1ft]

考點突破?考法探究

/>\

考點一多邊形

1.多邊形的概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

2.多邊形的相關(guān)概念：

多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.

多邊形的頂點：相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點.

多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊所組成的在多邊形內(nèi)部的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角.

多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角，叫做多邊形的外角.

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.

【補充】

1）多邊形的邊數(shù)、頂點數(shù)及角的個數(shù)相等；

2）把多邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題求解的常用方法是連接對角線；

3）多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點可以引（n-3）條對角線，這（n-3）條對角線把多邊形分成了

（n-2）個三角形，其中每條對角線都重復(fù)算一次，所以n邊形共有」——^條對角線.

n

3.正多邊形的定義：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

【補充】1）正n邊形有n條對稱軸.

2）對于正n邊形，當n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形,

對稱中心是多邊形的中心.

4.多邊形內(nèi)角和定理

多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為S-2）xl80°（〃》3）.

5.多邊形外角和定理：多邊形的外角和恒等于360°,與邊數(shù)的多少沒有關(guān)系.

易錯易混

多邊形的有關(guān)計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導(dǎo)致錯誤：

①n邊形內(nèi)角和=（n—2）X180°（n23）.

②從n邊形的一個頂點可以引出（n-3）條對角線，n個頂點可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線

計算了兩次，因此n邊形共有羽聯(lián)2條對角線.

③n邊形的邊數(shù)=（內(nèi)角和+180。）+2.

④n邊形的外角和是3600.

⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和=1!乂180°.

⑥在n邊形內(nèi)任取一點0,連接0與各個頂點，把n邊形分成n個三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點

0,連接0點與其不相鄰的其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形；連接n邊形的任一頂點

A與其不相鄰的各個頂點的線段，把n邊形分成（n-2）個三角形.

針對訓練

1.（2024?四川巴中?中考真題）五邊形從某一個頂點出發(fā)可以引一條對角線.

2.（2024?江蘇徐州?中考真題）正十二邊形的每一個外角等于度.

3.（2024?山東日照?中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和是1080。，則這個多邊形是邊形.

4.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，是正門邊形紙片的一部分，其中1,爪是正n邊形兩條邊的一部分，

若I,a所在的直線相交形成的銳角為60。，貝切的值是（）

A.5B.6C.8D.10

5.（2024?四川樂山?中考真題）下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是（）

考點二平行四邊形

1.平行四邊形

定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

符號表示：平行四邊形用符號“口”表示，平行四邊形ABCD記作“DABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.

2.平行四邊形的性質(zhì)定理

性質(zhì)符號語言圖示

???四邊形ABCD是平行四邊形

邊平行四邊形兩組對邊平行且相，

???AB=CD,AD=BC,AB〃CD,AD〃BC

???四邊形ABCD是平行四邊形

角平行四邊形對角相等

4_________川

AZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC

?..四邊形ABCD是平行四邊形

對角線平行四邊形的對角線互相平分

B二C

OA=OC=-AC,BO=DO=-BD

22

3.平行線間的距離

定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離

性質(zhì)：1）兩條平行線間的距離處處相等.

2）兩條平行線間的任何兩條平行線段都是相等的.

4.平行四邊形的判定定理

判定符號語言

定義一組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形VAB#CD,AD〃BC.?.四邊形ABCD是平行四邊形

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形VAB=CD,AD=BC.\四邊形ABCD是平行四邊形

邊

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形VAB=CD,AB〃CD.?.四邊形ABCD是平行四邊形

角兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形,/ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC.\四邊形ABCD是平行四邊形

對角線對角線互相平分的四邊形是平行四邊形VOA=OC,BO=DO.\四邊形ABCD是平行四邊形

【解題技巧】

一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：

1）己知一組對邊平行，首先要考慮證另一組對邊平行，再考慮這組對邊相等;

2）已知一組對邊相等，首先要考慮證另一組對邊相等，再考慮這組對邊平行;

3）已知條件與對角線有關(guān)，常考慮對角線互相平分；

4）已知條件與角有關(guān)，?？紤]兩組對角分別相等.

5.平行四邊形邊的對稱性：平行四邊形是中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心.

?針對訓練.

1.（2024?吉林?中考真題）如圖，在口48CD中，點。是4B的中點，連接C。并延長，交ZM的延長線于點￡,

求證：AE=BC.

E

2.（2024?貴州?中考真題）如圖，口ABC。的對角線4c與BD相交于點O,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.AB=BCB.AD=BCC.OA=OBD.AC1BD

3.（2024?河北?中考真題）下面是嘉嘉作業(yè)本上的一道習題及解答過程:

已知：如圖，△A8C中，AB=AC,4E平分△4BC的外角NC4N,點M是AC的

中點，連接并延長交力E于點D,連接CD.

求證：四邊形2BCD是平行四邊形.

證明：--AB=AC,.-.ZXBC=Z3.

^Z.CAN=Z.ABC+z.3,Z.CAN=zl+z2,z.1=z2,???①

又??24=N5,MA=MC,△MAD=△MCB(②).

.?.MD=MB..?.四邊形力BCD是平行四邊形.

若以上解答過程正確，①，②應(yīng)分別為（）

A.z.1=z3,AASB.Z1=Z3,ASA

C.Z2=z.3,AASD.Z.2=Z.3,ASA

4.（2024?四川瀘州?中考真題）如圖，在。4BCD中，E,b是對角線8。上的點，且。E=8工求證:

5.（2024?四川樂山?中考真題）下列條件中，不能判定四邊形ZBCD是平行四邊形的是（）

A.AB\\CDtAD\\BCB.AB=CD,AD=BC

C.OA=OC,OB=ODD.AB\\CDfAD=BC

題型精研?考向洞悉I

命題點一多邊形有關(guān)的計算

>題型01認識多邊形

1.（2021?江蘇南京?中考真題）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（）

A.1,1,1B.1,1,8C.1,2,2D.2,2,2

2.（2020?北京?中考真題）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,D是網(wǎng)格交點，則△ABC的面積與

△ABD的面積的大小關(guān)系為：SAABCSAABD（填“>”，"=”或“<”）

3.（2020?山東棗莊?中考真題）各頂點都在方格紙的格點（橫豎格子線的交錯點）上的多邊形稱為格點多邊

形，它的面積S可用公式5=。+夕一1（a是多邊形內(nèi)的格點數(shù)，6是多邊形邊界上的格點數(shù)）計算，這個

公式稱為“皮克（Pick）定理”.如圖給出了一個格點五邊形，則該五邊形的面積S=.

4.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）如圖是一片平坦的鹽灘上布滿了大小相近的六邊形，人們驚嘆于大自然的鬼

斧神工，同時也嘗試解開鹽灘圖案之謎，人們發(fā)現(xiàn)正六邊形能夠最大限度的利用空間，已知圖中的正六邊

形與正方形的周長都等于12,則它們的面積之差為.

＞題型02多邊形的對角線問題

1.（2024?陜西咸陽?三模）如果過某多邊形的一個頂點有6條對角線，這個多邊形是一邊形.

2.（2024?上海金山?三模）正〃邊形的一個外角為30。，則它的對角線條數(shù)為

3.（2023?重慶?模擬預(yù)測）過多邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成3個三角形，這個多邊形

的內(nèi)角和等于.

4.（2022?廣東深圳?模擬預(yù)測）多邊形的對角線共有20條，則下列方程可以求出多邊形邊數(shù)的是（）

A.磯九一2）=20B.幾（71—2）=40C.n（n_3）=20D.n（n_3）=40

＞題型03多邊形內(nèi)角和問題

利用多邊形內(nèi)角和、外角和定理求邊數(shù)：

①n邊形的內(nèi)角和為（n—2）X180。，根據(jù)已知條件列出方程求邊數(shù)；

②若由已知數(shù)據(jù)很容易求得一個外角的度數(shù)，根據(jù)正多邊形的外角和始終等于360。，用360。除一個外角

的度數(shù)，從而得到正多邊形的邊數(shù).

1.（2023?重慶?中考真題）若七邊形的內(nèi)角中有一個角為100°,則其余六個內(nèi)角之和為.

2.（2022?山東臨沂?中考真題）如圖是某一水塘邊的警示牌，牌面是五邊形，這個五邊形的內(nèi)角和是（）

A.900°B.720°C.540°D.360°

3.（2021?江蘇南京?中考真題）如圖，F(xiàn)4GB,”C,/“E是五邊形力BCDE的外接圓的切線，則

4BAF+/.CBG+乙DCH+Z.ED1+乙AEJ=°,

F.

B.

4.（2021?江蘇揚州?中考真題）如圖，點/、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接BC、CD、DE、EA,若

ABCD=100°,則NA+N8+ND+NE=（）

A.220°B.240°C.260°D.280°

a題型04正多邊形內(nèi)角和問題

1.（2024?寧夏?中考真題）如圖，在正五邊形的內(nèi)部，以邊為邊作正方形CDFH,連接8”,則

乙BHC=°.

CD

2.（2024?山東青島?中考真題）為籌備運動會，小松制作了如圖所示的宣傳牌，在正五邊形ZBCDE和正方形

CDFG中，CF,DG的延長線分別交ZE,于點N,貝此FME的度數(shù)是（）

力心＞＜油

A.90°B.99°C.108°D.135°

3.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，已知正六邊形A8CDEF的邊長為2,以點E為圓心，EF長為半徑作圓,

則該圓被正六邊形截得的麗的長為.

AF

4.（2024?四川廣元?中考真題）點尸是正五邊形4BCDE邊DE的中點，連接BF并延長與CD延長線交于點G,

則NBGC的度數(shù)為.

5.（2024?河北?中考真題）直線/與正六邊形力BCDEF的邊分別相交于點M,N,如圖所示，則a+0=

6.（2023?河北?中考真題）將三個相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1,正六邊形邊長為2

且各有一個頂點在直線/上，兩側(cè)螺母不動，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2,其中，中間

正六邊形的一邊與直線/平行，有兩邊分別經(jīng)過兩側(cè)正六邊形的一個頂點.則圖2中

（1）Na=度.

（2）中間正六邊形的中心到直線/的距離為（結(jié)果保留根號）.

000

圖I圖2

＞題型05多邊形截角后的內(nèi)角和問題

.多邊形的邊數(shù)為自然數(shù)，而內(nèi)角和只與邊數(shù)有關(guān)，無論多了一個角，還是少了一個角,

都可以用逼近法去求解.

1.（2023?湖南婁底?模擬預(yù)測）一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為1080。，那么原

來多邊形的邊數(shù)不可能為（）

A.10B.9C.8D.7

2.（2021?廣東佛山?三模）如圖，在正六邊形/8CDE尸中，若去掉一個角得到一個七邊形，則Nl+N2=

度.

3.（2021?浙江麗水?中考真題）一個多邊形過頂點剪去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720。，則原多邊形

的邊數(shù)是.

＞題型06多邊形外角和問題

1.（2023?北京?中考真題）正十二邊形的外角和為（）

A.30°B.150°C.360°D.1800°

2.（2024?四川遂寧?中考真題）佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學時學習扎染技術(shù)，得到了一個內(nèi)角和為1080。的正多

邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

3.（2024?山東?中考真題）如圖，己知AB,BC,CD是正n邊形的三條邊，在同一平面內(nèi)，以BC為邊在該正九

邊形的外部作正方形BCMN.若乙4BN=120。，貝切的值為（）

A.12B.10C.8D.6

4.（2023?江蘇連云港?中考真題）以正五邊形4BCDE的頂點C為旋轉(zhuǎn)中心，按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使得新五

邊形的頂點。落在直線BC上，則正五邊形2BCDE旋轉(zhuǎn)的度數(shù)至少為°.

＞題型07多邊形外角和的實際應(yīng)用

1.（2024?江蘇無錫?二模）如圖，小強站在五邊形健身步道的起點P處，沿著尸，B,C,D,E,A,尸的方

向行走，最終回到了尸處.在這過程中，小強轉(zhuǎn)過的角度說明了（）

A.五邊形的內(nèi)角和是540。B.五邊形的外角和是360。

C.五邊形的內(nèi)角和是360。D.五邊形的外角和是180。

2.（2024?湖北荊門?模擬預(yù)測）小聰利用所學的數(shù)學知識，給同桌出了這樣一道題：假如從點/出發(fā)，沿直

線走9米后向左轉(zhuǎn)仇接著沿直線前進9米后，再向左轉(zhuǎn)仇…，如此下去，當他第一次回到點/時，發(fā)現(xiàn)

自己一共走了72米，貝解的度數(shù)為（）

A.60°B.75°C.30°D.45°

3.（2024?湖北十堰?二模）參加創(chuàng)客興趣小組的同學，給機器人設(shè)定了如圖所示的程序，機器人從點。出發(fā),

沿直線前進1米后左轉(zhuǎn)18。，再沿直線前進1米，又向左轉(zhuǎn)18。……照這樣走下去，機器人第一次回到出發(fā)

地。點時，一共走的路程是（）

O

A.10米B.18米C.20米D.36米

＞題型08多邊形內(nèi)角和、外角和與角平分線、平行線的綜合應(yīng)用

1.（2021?江蘇蘇州?二模）如圖，在四邊形4BCD中，AD4B的角平分線與乙4BC的外角平分線相交于點尸,

且ND+NC=210°,則NP=.

2.（2023?遼寧營口?二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接平分N2ED,交DC延長線于點G,則NG

為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

3.（2023?山東棗莊?中考真題）如圖,一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若41=44。，則

42的度數(shù)為（）

A.14°C.24°D.26°

4.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖,ABWCD,4。平分N8DC,CE\\AD,=150°.

⑴求NBAD的度數(shù):

（2）若4尸=40。，求NE的度數(shù)

＞題型09平面鑲嵌

?方法技巧_?解決幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是:圍繞-點拼在-起的多邊形的內(nèi)角加在-起恰好

組成一個周角.

【限制條件】1）邊長相等；2）公共頂點；3）在一個頂點處各個正多邊形的內(nèi)角之和為360.

1.（2022?四川資陽?中考真題）小張同學家要裝修，準備購買兩種邊長相同的正多邊形瓷磚用于鋪滿地

面.現(xiàn)已選定正三角形瓷磚，則選的另一種正多邊形瓷磚的邊數(shù)可以是.（填一種即可）

2.（2021?貴州銅仁?中考真題）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、

不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌.工人師傅不能用下列哪種形狀、大小完全相同的一種地磚在

平整的地面上鑲嵌（）

A.等邊三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

3.（2024?湖南?模擬預(yù)測）平面圖形的鑲嵌往往給人以美的享受，如圖1是用邊長相等的正六邊形與正三角

形進行的無縫隙、不重疊的平面鑲嵌.我們選取其中一個正六邊形和三個與之相鄰（正上方、左下方和右

下方）的正三角形組成的圖形部分，將其放在平面直角坐標系中.如圖2,點4B,C均為正六邊形和正三

角形的頂點.已知點4的坐標為（2,0）,反比例函數(shù)y=5（%＞0）的圖象恰好經(jīng)過點B,C,連接OB,OC,則△BOC

的面積是.

4.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，是用邊長相等的等邊三角形和正〃邊形兩種地磚鋪設(shè)的小路的局部示

意圖，則這種正71邊形地磚的邊數(shù)n=.

＞題型10計算網(wǎng)格中的多邊形面積

I.（2022?北京海淀?二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A,B,C,。是網(wǎng)格線交點.若N8=l,則四邊

形4BCD的面積為

2（2021?北京順義?一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點/,B,C,D,E,尸是網(wǎng)格線的交點，貝

的面積與△DEF的面積比為.

3.（2021?山西臨汾?三模）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

你知道“皮克定理”嗎？

“皮克定理”是奧地利數(shù)學家皮克（如圖1）發(fā)現(xiàn)的一個計算點陣中多邊形的面積公式.在一張方格紙上，上

面畫著縱橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這樣兩組平行線的交點，就是所謂格點.一個多

邊形的頂點如果全是格點，這個多邊形就叫做格點多邊形.有趣的是，這種格點多邊形的面積計算起來很

方便，只要數(shù)一下圖形邊線上的點的數(shù)目及圖內(nèi)的點的數(shù)目，就可用公式算出.即5=。+夕一1,其中a表

示多邊形內(nèi)部的點數(shù)，b表示多邊形邊界上的點數(shù)，S表示多邊形的面積.（利用圖2中的多邊形可以驗證）

這個公式是奧地利數(shù)學家皮克在1899年發(fā)現(xiàn)的，被稱為“皮克定理”.

圖1

任務(wù)：

（1）如圖2,是6X6的正方形網(wǎng)格，且小正方形的邊長為1,利用“皮克定理”可以求出圖中格點多邊形的

面積是?

（2）已知：一個格點多邊形的面積S為19,且邊界上的點數(shù)b是內(nèi)部點數(shù)a的3倍，貝必+6=.

（3）請你在圖3中設(shè)計一個格點多邊形.要求：①格點多邊形的面積為8；②格點多邊形是一個軸對稱圖

形.

命題點二平行四邊形有關(guān)的證明與計算

＞題型01利用平行四邊形的性質(zhì)求解

1.（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖是平行四邊形紙片4BCD,BC=36cm,N2=110。，z.BDC=50°,點、M

為BC的中點，若以M為圓心，MC為半徑畫弧交對角線BD于點N,則NNMC=度；將扇形MCN紙片

剪下來圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），則這個圓錐的底面圓半徑為cm.

2.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，UMBCD的對角線AC、BD相交于點。，點E是BC的中點，AC=4.若

口4BCD的周長為12,則aCOE的周長為（）

A.4B.5C.6D.8

3.（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，已知點力（一7,0）,B（x,10）,C（-17,y）,在平行四邊形4BC。中，它

的對角線。8與反比例函數(shù)丫=皺#0）的圖象相交于點D,且。D:OB=1:4,則/c=.

4.（2024?浙江?中考真題）如圖，在口力BCD中，AC,BD相交于點。，AC=2,BD=2V3.過點/作4EIBC

的垂線交BC于點￡,記BE長為x,BC長為y.當x,y的值發(fā)生變化時，下列代數(shù)式的值不變的是（）

A.x+yB.x—yC.xyD.x2+y2

＞題型02利用平行四邊形的性質(zhì)證明

1.(2024?寧夏?中考真題)如圖，在口力BCD中，點M,N在4。邊上，AM=DN,連接CM并延長交82的延長

線于點號連接BN并延長交CD的延長線于點?求證：4E=DF.小麗的思考過程如下：

平行四邊形

三角形相似

對應(yīng)邊成比例

AE=DF

參考小麗的思考過程，完成推理.

2.(2024?山東日照?中考真題)如圖，以口ABC。的頂點B為圓心，48長為半徑畫弧，交BC于點E,再分別

以點4E為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F,畫射線BF,交力。于點G,交CD的延長線于點

H.

(1)由以上作圖可知，N1與N2的數(shù)量關(guān)系是

(2)求證：CB=CH

(3)若48=4,AG=2GD,/.ABC=60°,求的面積.

3.(2023?青海西寧?中考真題)如圖，在口4BCD中，點E,F分別在AB,CD的延長線上，且BE=DF,連接

EF與2C交于點M,連接ZF,CE.

(1)求證：△AEM三△CFM；

(2)若4C1EF,AF=3g求四邊形力ECF的周長.

4.(2023?黑龍江哈爾濱?中考真題)已知四邊形4BCD是平行四邊形，點E在對角線BD上，點尸在邊BC上,

連接AE,EF,DE=BF,BE=BC.

圖①圖②

（1）如圖①，求證△4EDmZiEFB；

（2）如圖②，若AE^ED,過點C作CH||4E交BE于點H,在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫

出圖②中四個角（NBAE除外），使寫出的每個角都與NB力E相等.

>題型03判斷能否構(gòu)成平行四邊形

1.（2021?河北?中考真題）如圖1,口43。。中，AD>AB,N4BC為銳角.要在對角線BD上找點N,M,使

四邊形4NCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（）

;取BO中點。，作;?、萔,CM,分別平

IBN=NO,OM=MDI分NBAD,NBCD

圖2

A.甲、乙、丙都是B.只有甲、乙才是

C.只有甲、丙才是D.只有乙、丙才是

2.（2024?河北石家莊?一模）如圖，已知線段4B、2。和射線BP,且4DIIBP,在射線BP上找一點C,使得四

邊形4BCD是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（）

A.過點。作DCII48與BP交于點C

B.在力。下方作NADC與BP交于點C,使=

C.在BP上截取BC,使BC=4D,連接DC

D.以點。為圓心，4B長為半徑畫弧，與BP交于點C,連接DC

3.（2024?河北邢臺?模擬預(yù)測）已知△ABC（如圖1）,求作：平行四邊形4BCD.如圖2、圖3是嘉琪的作

圖方案，其依據(jù)是（）

A.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形D.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

.題型04添加一個條件使之成為平行四邊形

1.（2024?山東濟寧?中考真題）如圖，四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,OA^OC,請補充一個條

件,使四邊形力BCD是平行四邊形.

2（2023?湖南?中考真題）如圖，在四邊形4BCD中，ADWBC,添加下列條件后仍不能判定四邊形4BCD是平

行四邊形的是（）

A.AD=BCB.AB\\DCC.zX=zCD.AB=DC

3.（2024?湖北武漢?中考真題）如圖，在口ABC。中，點、E,F分別在邊BC,力。上，AF=CE.

⑴求證：△ABE^△CDF；

（2）連接EF.請?zhí)砑右粋€與線段相關(guān)的條件，使四邊形4BEF是平行四邊形.（不需要說明理由）

4.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖,四邊形4BCD中,AD\\BC,NB=50°,NB4D的平分線4G交BC于點G.

⑴求N8G4的度數(shù);

(2)在BC上取一點E,添加一個條件，使四邊形ABED是平行四邊形，直接寫出這個條件.

>題型05證明四邊形是平行四邊形

方法技巧

已知條件選擇的判定定理

一組對邊相等兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

邊一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

一組對邊平行兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

角一組對角相等兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

對角線對角線互相平分對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

注意：在做題時，根據(jù)已知條件靈活運用判定方法求解.

1.(2024?山東青島?中考真題)如圖，在四邊形ZBCD中，對角線力C與BD相交于點O,乙ABD=dDB,BEVAC

于點E,DF14C于點尸，S.BE=DF.

A

⑴求證：四邊形4BCD是平行四邊形；

(2)若力B=B。，當乙4BE等于多少度時，四邊形4BCD是矩形？請說明理由，并直接寫出此時器的值.

2.(2024?內(nèi)蒙古?中考真題)如圖，^ACB=^AED=90°,AC=FE,48平分AB\\DF.

(1)求證：四邊形4BDF是平行四邊形；

(2)過點3作BG12E于點G,若CB=4F,請直接寫出四邊形BGED的形狀.

3.(2024?山東濰坊?中考真題)如圖，在矩形4BCD中，4B>24D,點E,F分別在邊力B,CD上.將△ADF

沿2F折疊，點D的對應(yīng)點G恰好落在對角線力C上；將ACBE沿CE折疊，點B的對應(yīng)點“恰好也落在對角線4c

上.連接GE,FH.

求證：（□△AEHw^CFG；

（2）四邊形EGFH為平行四邊形.

4.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題）如圖，在△4BC中，。是48中點.

（1）求作：4C的垂直平分線/（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）若/交力C于點E,連接OE并延長至點F，使EF=2DE,連接BE,CF.補全圖形，并證明四邊形BCFE是

平行四邊形.

＞題型06利用平行四邊形的性質(zhì)與判定求解

1.（2024?遼寧?中考真題）如圖，口/lBCD的對角線AC,BD相交于點0,DE\\AC,CEWBD,若AC=3,

BD=5,則四邊形。CED的周長為（）

C.8D.16

2.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，點4（0,—2）,5（1,0）,將線段4B平移得到線段DC,若

AABC=90°,BC=2AB,則點。的坐標是.

3.（2024?浙江?中考真題）尺規(guī)作圖問題:

AEA￡

Dy-?D尸C

圖I圖2

如圖1,點E是口力BCD邊4。上一點（不包含N,D）,連接CE.用尺規(guī)作2FIICE,尸是邊BC上一點.

小明：如圖2.以C為圓心，4E長為半徑作弧，交BC于點尸，連接AF,則AFIICE.

小麗：以點N為圓心，CE長為半徑作弧，交BC于點、F,連接4/，貝UAFIICE.

小明：小麗，你的作法有問題，小麗：哦...我明白了！

⑴證明4FIICE；

（2）指出小麗作法中存在的問題.

4.（2024?新疆?中考真題）如圖，拋物線丫=32一4刀+6與〉軸交于點/,與x軸交于點2,線段CD在拋物

線的對稱軸上移動（點C在點。下方），且CD=3.當AD+BC的值最小時，點C的坐標為.

＞題型07利用平行四邊形的性質(zhì)與判定證明

1.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，點。是口48CD對角線的交點，過點。的直線分別交AD,BC于點￡,

F.

(1)求證：△ODE^△OBF；

（2）當MlBO時，DE=15cm,分別連接BE,DF,求此時四邊形BEDF的周長.

2.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，平行四邊形力BCD中，AE,CF分別是NBA。，NBCD的平分線，且

E、尸分別在邊BC,4。上.

F

AQ

(1)求證：四邊形2ECF是平行四邊形；

(2)若乙4DC=60。，DF=2AF=2,求△GDF的面積.

3.(2024?北京?中考真題)如圖，在四邊形力BCD中，E是4B的中點，DB,CE交于點F,DF=FB,

AF||DC.

(1)求證：四邊形4FCD為平行四邊形；

(2)若NEF8=90。，tanzFFB=3,EF=1,求BC的長.

4.(2024?福建?中考真題)如圖，在aABC中，^BAC=90°,AB=AC,以4B為直徑的。。交BC于點

AE1OC,垂足為E,BE的延長線交而于點F.

⑴求器的值;

(2)求證：AAEBMBEC；

(3)求證：4。與EF互相平分.

＞題型08平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用

1.(2024?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題)圖1、2是一個折疊梯的實物圖.圖3是折疊梯展開、折疊過程中的一個主

視圖.圖4是折疊梯充分展開后的主視圖，此時點E落在4C上，已知AB=2C,sinNBAC=3點。、F、

G、J在2B上，DE、FM,GH、均與BC所在直線平行，DE=FM=GH=JK=20cm,

。F=56=6/=30（：111.點"在4。上，AN、MN的長度固定不變.圖5是折疊梯完全折疊時的主視圖，止匕時

45、AC重合，點E、M、H、N、K、C在2B上的位置如圖所示.

【分析問題】

（1）如圖5,用圖中的線段填空：AN=MN+EM+AD-；

（2）如圖4,sin乙MEN“,由AN=EN+4E=￡W+2D,且4V的長度不變，可得MN與EN之間

的數(shù)量關(guān)系為;

【解決問題】

（3）求MN的長.

D、E,且ADOE=120。，若等邊△4BC的邊長為6,求四邊形。DBE周長的最小值.

（2）為培養(yǎng)學生勞動實踐能力，某學校計劃在校東南角開辟出一塊平行四邊形勞動實踐基地.如圖2所示,

勞動實踐基地為口48。。，點。為其對稱中心，且。B=20m,點￡、尸分別在邊48、BC上，四邊形EBF。

為學校劃分給九年級的實踐活動區(qū)域，九年級學生打算在四邊形E8F。區(qū)域種植兩種不同的果蔬，即在

△BEF、AEFO種植不同的果蔬.在點。處安裝噴灌裝置，且噴灌張角為60。，即NEOF=60。，并修建

OE、EF、。產(chǎn)三條小路.現(xiàn)要求規(guī)劃的三條小路?！?、EF、OF總長最小的同時，果蔬種植區(qū)域四邊形EBF。

的面積最大.求滿足規(guī)劃要求的三條小路。尻EF、。產(chǎn)總長的最小值，并計算同時滿足四邊形EBFO面積最

大時學校應(yīng)開辟的勞動實踐基地CM8C。的面積.

A

3.（2020?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形N3CD的對角線交于點。，過點。的直線即分別交邊

AB,CD于E,尸兩點，在這個平行四邊形上做隨機投擲圖釘試驗，針頭落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是

4.(2022?浙江金華?一模)如圖1是某一遮陽蓬支架從閉合到完全展開的一個過程，當遮陽蓬支架完全閉合

時，支架的若干支桿可看作共線.圖2是遮陽蓬支架完全展開時的一個示意圖，支桿MN固定在垂直于地面

的墻壁上，支桿CE與水平地面平行，且G,F,2三點共線，在支架展開過程中四邊形力BCD始終是平行四

邊形.

(1)若遮陽蓬完全展開時，CE長2米，在與水平地面呈60。的太陽光照射下，CE在地面的影子有米(影

子完全落在地面)

(2)長支桿與短支桿的長度比(即CE與2D的長度比)是.

＞題型09平行四邊形與函數(shù)綜合

1.(2024?四川宜賓?中考真題)如圖，一次函數(shù).丫=。y+么(140)的圖象與反比例函數(shù)＞=*卜70)的圖象

交于點4(1,4)、S(n,-1).

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；

(2)利用圖象，直接寫出不等式ax+6＜5的解集;

⑶已知點。在x軸上，點。在反比例函數(shù)圖象上.若以/、B、C、。為頂點的四邊形是平行四邊形，求點

C的坐標.

2.(2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=辦2+6無+2經(jīng)過/(0),

7

B(3,-)兩點，與了軸交于點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點尸在拋物線上，過尸作尸ZXLx軸，交直線8c于點。，若以P、。、。、C為頂點的四邊形是平行四邊

形，求點尸的橫坐標；

(3)拋物線上是否存在點0,使NQCB=45。？若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

3.(2024?江蘇常州?中考真題)在平面直角坐標系久Oy中，二次函數(shù)y=—/+6久+3的圖像與x軸相交于點

/、B,與y軸相交于點C.

⑴0C=；

⑵如圖,已知點/的坐標是(一1,0).

①當lWxWni,且Hl>1時，y的最大值和最小值分別是s、t,s—t=2,求加的值;

②連接AC,P是該二次函數(shù)的圖像上位于y軸右側(cè)的一點(點3除外)，過點尸作軸，垂足為。.作

乙DPQ=LACO,射線PQ交y軸于點。，連接DQ、PC.若DQ=PC,求點尸的橫坐標.

＞題型10與平行四邊形有關(guān)的新定義問題

1.(2024?廣東深圳?中考真題)垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過一個頂點作關(guān)于不相鄰的

兩個頂點的對角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點是這條邊的中點，則該平行四邊形是“垂中平行四

邊形”.

AFD

CBFC

圖1圖2

BC

圖3備用圖

(1)如圖1所示，四邊形4BCD為“垂中平行四邊形"，4尸=遮，CE=2,則4E=；AB=；

(2)如圖2,若四邊形ABC。為“垂中平行四邊形"，且AB=BD,猜想4尸與CD的關(guān)系，并說明理由；

⑶①如圖3所示，在aABC中，BE=5,CE=2AE=12,BE1AC交AC于點E,請畫出以BC為邊的垂中平

行四邊形，要求：點4在垂中平行四邊形的一條邊上(溫馨提示：不限作圖工具)；

②若△ABC關(guān)于直線AC對稱得到△ABC,連接CB"作射線CB，交①中所畫平行四邊形的邊于點P,連接

PE,請直接寫出PE的值.

2.(2023?浙江寧波?中考真題)定義：有兩個相鄰的內(nèi)角是直角，并且有兩條鄰邊相等的四邊形稱為鄰等四

邊形，相等兩鄰邊的夾角稱為鄰等角.

(1)如圖1,在四邊形48CD中，AD||BC,^A=90°,對角線BD平分N2DC.求證：四邊形4BCD為鄰等四邊形.

(2)如圖2,在6x5的方格紙中，A,B,C三點均在格點上，若四邊形4BCD是鄰等四邊形，請畫出所有符合

條件的格點D

(3)如圖3,四邊形48CD是鄰等四邊形，^DAB^AABC=90°,ABCD為鄰等角，連接AC,過8作BEIIAC交

DA的延長線于點E.若AC=8,DE=10,求四邊形EBCD的周長.

3.