函數(shù)的應(yīng)用（4大題型+高分技法+限時(shí)提升練）學(xué)生版-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升

熱點(diǎn)07函數(shù)的應(yīng)用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

2024年分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)與方程的關(guān)系，函數(shù)分段函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

與方程的綜合運(yùn)用

2023年函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，根據(jù)實(shí)際問題

選擇合適的函數(shù)模型

2022年分段函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

熱點(diǎn)題型解讀

遜1函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

轆2函數(shù)與方程的綜合g用

函數(shù)的應(yīng)用

題型3分段函數(shù)的應(yīng)用

整4根據(jù)翅「誦選觸數(shù)理

題型1函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

1.求解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的基本方法

(1)直接法：令人x)=0,方程有多少個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則人x)有多少個(gè)零點(diǎn).

(2)定理法：利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理時(shí)往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等.

(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個(gè)簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的三種常用方法

(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過解不等式確定參數(shù)(范圍).

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域確定參數(shù)范圍.

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后利用數(shù)形結(jié)合法求解.

1.(2023?上海)己知函數(shù)〃無)=2、1,且g(x)=］乎(：+D'X對，則方程g(x)=2的解為.

2.(2024?閔行區(qū)校級三模)已知函數(shù)了=5山無+$m2%在(-a,a)上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)°的最大值

為.

mx,x<0

3.(2024?閔行區(qū)校級三模)已知函數(shù)/(%)="，若函數(shù)〃(%)=/(%)+/(f)的零點(diǎn)一共有3個(gè)，則

—,x>0

、x

實(shí)數(shù)用的取值為.

4.(2024?普陀區(qū)模擬)已知awA,若關(guān)于x的不等式a(x-2)"，-x>0的解集中有且僅有一個(gè)負(fù)整數(shù)，則

a的取值范圍是.

(x-I)3,0令<2,

5.(2024?青浦區(qū)二模)對于函數(shù)y=/(x),其中〃x)=<2，若關(guān)于x的方程/(x)=foe有兩個(gè)

一，x》2

、x

不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

題型2函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

00—4!

i.對于二次函數(shù)零點(diǎn)分布的研究一般從以下幾個(gè)方面入手?

(D開口方向；

(2)對稱軸，主要討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；

(3)判別式，決定函數(shù)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；

I

(4)區(qū)間端點(diǎn)值.

2.對于復(fù)合函數(shù)歹=Ag(x))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，求解思路如下：I

⑴確定內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)和外層函數(shù)歹=/(〃)；

⑵確定外層函數(shù)>=/(〃)的零點(diǎn)〃=%(2=1,2,3,,,,,n);

(3)確定直線〃=%?=1,2,3,…,幾)與內(nèi)層函數(shù)〃=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為的，a?，。3,…，斯，則函數(shù)I

1

ss

yuyCg。))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為a\-ra2-ra3-\-----Fa”.

1.(2024?上海5現(xiàn)定文如下：當(dāng)無e(%"+1)時(shí)(〃eN),若/(x+l)=「(x),則稱/'(x)為建鹿函藪.現(xiàn)看,

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，g(無)=，與力(工)=幺°均為延展函數(shù)，則以下結(jié)論()

(1)存在了=履+6(左，bwR；k,620)與》=8。)有無窮個(gè)交點(diǎn)

(2)存在y=fcc+6(左，bwR；k,6#0)與夕=〃(幻有無窮個(gè)交點(diǎn)

A.(1)(2)都成立B.(1)(2)都不成立

C.(1)成立(2)不成立D.(1)不成立(2)成立

2.(2025?上海?模擬預(yù)測)關(guān)于x的方程|尤-1|+|兀-回=兀-1的解集為

3.(2024?上海普陀?模擬預(yù)測)對于正整數(shù)力，設(shè)x”是關(guān)于x的方程〃X3+2X-〃=0的實(shí)數(shù)根，記

??=[(?+!>?](?>2),其中卜]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則/(出+%+…+g6)=.

4.(2022?上海)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,現(xiàn)有兩種對/(x)變換的操作：0變換：/(x)-/(x-f)；0

變換：+其中t為大于0的常數(shù).

(1)設(shè)/(x)=2*,t=l,g(x)為/(x)做/變換后的結(jié)果，解方程：g(x)=2；

(2)設(shè)/(x)=x2,〃(x)為了(無)做。變換后的結(jié)果，解不等式：f(x)^/i(x);

(3)設(shè)〃尤)在(-8,0)上單調(diào)遞增，/(x)先做夕變換后得到w(x),“(x)再做。變換后得到九(x)；/(x)先

做。變換后得到v(x),v(x)再做夕變換后得到％(x).若4(x)=a(x)恒成立，證明：函數(shù)/(x)在滅上單調(diào)

遞增.

5.(2024?上海)記Af(a)={t\t=f(x)-f(a),x^a},L(a)={t\t=f(x)-f(a),x^a].

(1)若〃x)=f+l,求"(1)和A(1)；

(2)f(x)=x3-3x2,求證：對于任意aeR,都有V(a)c[-4,+co),且存在a,使得-4eM(a).

(3)已知定義在及上有最小值，求證”/(x)是偶函數(shù)“的充要條件是“對于任意正實(shí)數(shù)c,均有

M(-c)=L(c)”.

6.(2024?長寧區(qū)校級三模)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?。，對于區(qū)間/=[°,6](/包。)，若滿足以下兩個(gè)

性質(zhì)之一，則稱區(qū)間/是y=/(x)的一個(gè)“好區(qū)間”.

性質(zhì)①：對于任意x°e/,都有了(Xo)e/；性質(zhì)②：對于任意都有

(1)已知函數(shù)/(x)=f2+2x,xwR.分別判斷區(qū)間[0,2],區(qū)間[1,3]是否為了=/(無)的“好區(qū)間”,

并說明理由；

(2)已知加>0,若區(qū)間[0,如是函數(shù)/0)=；/-/-3》+12,的一個(gè)“好區(qū)間”，求實(shí)數(shù)m的取

值范圍；

(3)已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,其圖像是一條連續(xù)的曲線，且對于任意都有/(a)-/

(b)>b-a,求證：y=〃x)存在“好區(qū)間”，且存在x°eR,M為不屬于y=/(x)的任意一個(gè)“好區(qū)

間”.

7.(2024?楊浦區(qū)校級三模)設(shè)函數(shù)y=/(x)定義域?yàn)閆.若整數(shù)s、/滿足/(s)/(t)，0,則稱s與1“相

關(guān)”于7?

(1)設(shè)〃x)=|x+l|-2,xwZ,寫出所有與2“相關(guān)”于/■的整數(shù)；

(2)設(shè)了=/(尤)滿足：任取不同的整數(shù)s、fe[l,10],s與/均“相關(guān)”于求證：存在整數(shù)

8],使得7"、機(jī)+1、機(jī)+2都與2024“相關(guān)”于/；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a,使得函數(shù)/(x)=(l+ax)e*+(a+l)x-l,xeZ滿足：存在x()eZ,能使所有與吃

“相關(guān)”于/■的非零整數(shù)組成一個(gè)非空有限集？若這樣的a存在，指出/(%)和0的大小關(guān)系(無需證明),

并求出。的取值范圍；若這樣的a不存在，說明理由.

8.(2024?黃浦區(qū)校級模擬)已知a為實(shí)數(shù)/(x)=(x+a)歷(x+1).對于給定的一組有序?qū)崝?shù)⑸加)，若對任

意再,x2e(-l,+oo),都有向[一/(X[)+加][g-/(.)+利》0，則稱(左,加)為/(x)的''正向數(shù)組

⑴若。=-2,判斷(0,0)是否為/(x)的“正向數(shù)組”，并說明理由；

(2)證明：若(左，加)為/(x)的“正向數(shù)組"，則對任意x>-l,者B有米-/(x)+m<0；

(3)已知對任意%>-1,("),廣(%))都是“X)的“正向數(shù)組”,求a的取值范圍.

題型3分段函數(shù)的應(yīng)用

0。日式

1.(1)分段函數(shù)求值的方法

①先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.

②然后代入該段的解析式求值.當(dāng)出現(xiàn)冊0))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

⑵已知分段函數(shù)的函數(shù)值求對應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗(yàn)函

數(shù)解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解.

(3)若分段函數(shù)的自變量含參數(shù)，要考慮自變量整體的取值屬于哪個(gè)范圍，從而根據(jù)對應(yīng)的解析式整體代入,

轉(zhuǎn)化為方程或不等式問題.

2.分段函數(shù)圖象的畫法

(1)作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，

再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.

(2)對含有絕對值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函

數(shù)，然后分段作出函數(shù)圖象.

3.分段函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

(1)當(dāng)目標(biāo)在不同區(qū)間有不同的計(jì)算表達(dá)方式時(shí)，往往需要用分段函數(shù)模型來表示兩變量間的對應(yīng)關(guān)系，而

分段函數(shù)圖象也需要分段畫.

(2)分段函數(shù)模型應(yīng)用的關(guān)鍵是確定分段的各分界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間，對每一個(gè)區(qū)間進(jìn)行分類討

論，從而寫出相應(yīng)的函數(shù)解析式.

1.(2024?上海)己知〃x)=f,g(x)=[*x),x2°,求(尤其2-芯的x的取值范圍________.

[-/(-x),x<0

"2

ax-1x<0

2.(2022?上海)若函數(shù)/(x)=<X+Qx>0,為奇函數(shù)，求參數(shù)Q的值為

0x=0

3.(2024?楊浦區(qū)二模)若函數(shù)g(x)=2'T"W0'為奇函數(shù)，則函數(shù)歹=〃幻，xe(0,+oo)的值域?yàn)開_____.

［/(x),x>0

2x,x>0,

4.(2024?閔行區(qū)校級模擬)若機(jī)wH,/(x)=<1，則滿足/(冽-2)力(加+3)的根的最大值為_______.

—,x<0

l2x，

5.(2024?黃浦區(qū)校級模擬)已知函數(shù)/(x)=-「+2x'x20,若關(guān)于》的不等式［〃詡2一伍+1)/⑶+”<()

［x-2x,x<0

恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是.

.萬、71

Cl\X+X<~

兀//

6.(2024?浦東新區(qū)校級四模)已知函數(shù)/(x)=,COSX,一〈X給出下列四個(gè)結(jié)論:

2

e~x+71+4a,x>71

①若/(X)有最小值，則。的取值范圍是［-工,0］;

71

②當(dāng)a>0時(shí)，若/(尤)=1無實(shí)根，則,的取值范圍是［四，甸+◎；

③當(dāng)a時(shí)，不等式/，+2)>/(|x|+4)的解集為(-2,2)；

④當(dāng)時(shí)，若存在再<%2，滿足一1</區(qū))=/(%)<0，貝!|%1+%2>0.

其中，所有正確結(jié)論的序號為.

題型4根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型

0?；?/p>

i.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

y=ax[a>\)y=logx(?>l)尸］氣。>0)

性質(zhì)fl

在(0,+°°)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨a值的變化而各有

圖象的變化

為與V軸平行為與X軸平行不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型於）=狽+6（0,b為常數(shù)，aWO）

二次函數(shù)模型fix）=ax2-\~bx-\-c（a,b,c為常數(shù)，a#0）

k

反比例函數(shù)模型段）=一+/鼠b為常數(shù),左WO）

X

指數(shù)函數(shù)模型外）=6凝+C（Q,b,c為常數(shù)，a>0且aWl,bWO）

對數(shù)函數(shù)模型fix）=blogax+c（a,b,c為常數(shù),a>0且aWl,bWO）

a

塞函數(shù)模型J（x）=ax+b（afb,a為常數(shù)，QWO,aWO）

1.（2024?上海楊浦?一模）小李研究數(shù)學(xué)建模"雨中行”問題，在作出“降雨強(qiáng)度保持不變"、"行走速度保持不

變"、"將人體視作一個(gè)長方體”等合理假設(shè)的前提下，他設(shè)了變量:

人的身高人體寬度人體厚度降雨速度雨滴密度行走距離風(fēng)速行走速度

hd匕PDV

并構(gòu)建模型如下：

當(dāng)人迎風(fēng)行走時(shí)，人體總的淋雨量為7=—[〃，+%（七+v）].

根據(jù)模型，小李對“雨中行"作出如下解釋：

①若兩人結(jié)伴迎風(fēng)行走，則體型較高大魁梧的人淋雨是較大；

②若某人迎風(fēng)行走，則走得越快淋雨量越小，若背風(fēng)行走，則走得越慢淋雨量越小;

③若某人迎風(fēng)行走了10秒，則行走距離越長淋雨量越大.

這些解釋合理的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024?閔行區(qū)三模）對24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度（相加）進(jìn)行如下定義:

0?1010?2525?5050?100

①小雨②中雨③大雨④暴雨

小明用了一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，則這一天的雨水屬于等級—.（只填入雨水等級所對應(yīng)的

序號）

3.（2024?靜安區(qū)二模）我們稱右圖的曲線為“愛心線”，其上的任意一點(diǎn)尸（x,y）都滿足方程

x2-2\x\y+y2-j2\x\+242y=0.現(xiàn)將一邊在x軸上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在愛心線上的矩形稱為心吧.若已

知點(diǎn)M（學(xué),-0）到“愛心線”上任意一點(diǎn)的最小距離為“，則用d表示心吧面積的最大值為.

4.（2024?上海寶山?一模）某物流公司為了擴(kuò)大業(yè)務(wù)量，計(jì)劃改造一間高為6米，底面積為24平方米，且背

面靠墻的長方體形狀的倉庫.因倉庫的背面靠墻，無須建造費(fèi)用，設(shè)倉庫前面墻體的長為尤米

（44x46）.現(xiàn)有甲、乙兩支工程隊(duì)參加競標(biāo)，甲隊(duì)的報(bào)價(jià)方案為：倉庫前面新建墻體每平方米400元，

左右兩面新建墻體每平方米300元，屋頂和地面以及其他共計(jì)28800元；乙隊(duì)給出的整體報(bào)價(jià)為

（1+—）x6左Xi。,元（左＞。）.不考慮其他因素，若乙隊(duì)要確保競標(biāo)成功，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是.

X

5.（2025?上海?模擬預(yù)測）如圖所示，正方形N8CD是一塊邊長為4的工程用料，陰影部分所示是被腐蝕的

區(qū)域，其余部分完好，曲線為以/。為對稱軸的拋物線的一部分，DM=DN=3.工人師傅現(xiàn)要從完好

的部分中截取一塊矩形原料30PR,當(dāng)其面積有最大值時(shí)，的長為.

6.（2024?長寧區(qū)二模）甲、乙、丙三輛出租車2023年運(yùn)營的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:

甲乙丙

接單量f（單）783182258338

油費(fèi)S（元）107150110264110376

平均每單里程后（公里）151515

平均每公里油費(fèi)a（元）0.70.70.7

出租車空駛率=出租?由三孑慧誓程;依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車的空駛率的模型

出租車行駛的總里程

u=f{s,t,k,a）,并求得甲、乙、丙的空駛率分別為23.26%、21.68%>x%,則》=（精確

到0.01）.

7.（2024?浦東新區(qū)校級四模）如圖所示，甲工廠位于一直線河岸的岸邊/處，乙工廠與甲工廠在河的同側(cè)，

且位于離河岸40初2的2處，河岸邊。處與工處相距50加7（其中兩家工廠要在此岸邊建一個(gè)

供水站C,從供水站到甲工廠和乙工廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，供水站C建在岸邊距離工

處癡才能使水管費(fèi)用最省.

8.（2023?上海）為了節(jié)能環(huán)保、節(jié)約材料，定義建筑物的“體形系數(shù)”S旦,其中片為建筑物暴露在

匕

空氣中的面積（單位：平方米），匕為建筑物的體積（單位：立方米）.

（1）若有一個(gè)圓柱體建筑的底面半徑為R,高度為X,暴露在空氣中的部分為上底面和側(cè)面，試求該建筑

體的“體形系數(shù)”S;（結(jié)果用含R、X的代數(shù)式表示）

T2

（2）定義建筑物的“形狀因子”為了=二，其中/為建筑物底面面積，工為建筑物底面周長，又定義T為

A

總建筑面積，即為每層建筑面積之和（每層建筑面積為每一層的底面面積）.設(shè)“為某宿舍樓的層數(shù)，層高

為3米，則可以推導(dǎo)出該宿舍樓的“體形系數(shù)”為$=尸+上.當(dāng)/=18,7=10000時(shí)，試求當(dāng)該宿

VT3n

舍樓的層數(shù)〃為多少時(shí)，“體形系數(shù)”s最小.

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：60分鐘）

一、填空題

1.（2023?上海徐匯?一模）函數(shù)P=lg（2x+l）+lgx的零點(diǎn)是.

2.（2023?上海徐匯?模擬預(yù)測）已知幕函數(shù)了=/（x）的圖像過點(diǎn)P（2,8）,則函數(shù)y=/（x）-x的零點(diǎn)為.

3.（2023?上海寶山?三模）若存在實(shí)數(shù)。，使得x=l是方程（x+a）2=3x+b的解，但不是方程尤+a=，3x+6

的解，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是.

4.（2023?上海浦東新?模擬預(yù)測）若/（x）的值域?yàn)閧0J2},則8（M=（八力7）（〃耳-2"至多有個(gè)

零點(diǎn).

5.（2023?上海長寧?一模）在有聲世界，聲強(qiáng)級是表示聲強(qiáng)度相對大小的指標(biāo).其值了（單位：dB）定義為

丫=101g/.其中I為聲場中某點(diǎn)的聲強(qiáng)度，其單位為W/n?,/。=10*W/m2為基準(zhǔn)值.若/=10W/m?,則其相

70

應(yīng)的聲強(qiáng)級為dB.

6.（2023?上海浦東新?三模）已知函數(shù)/（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f[x}=A-Xx,若關(guān)于x的方程

/（7（x））=加有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是.

7.（2023?上海楊浦?模擬預(yù)測）若實(shí)數(shù)。使得存在兩兩不同的實(shí)數(shù)x、Az,有=七￡.=二±￡=一3,

y+zz+xx+y

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

8.（2023?上海青浦?一模）若函數(shù)V=cos（x+0）是奇函數(shù)，則該函數(shù)的所有零點(diǎn)是.

9.（2023?上海金山?一模）若函數(shù)/（X）=|（1-X2）（X2+G+6）|_C（CW0）的圖像關(guān)于直線x=-2對稱，且該函

數(shù)有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，則a+b+c的值為.

10.（2023?上海嘉定?一模）關(guān)于x的方程--3x+2卜必有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)加的值為.

11.（2024?上海三模）設(shè)a＞0,已知函數(shù)/（x）=ln（x2+ax+2）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)X1、x2,滿足人-引=1，

若將該函數(shù)圖象向右平移機(jī)（加＞0）個(gè)單位后得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則〃?=.

12.（2023?上海虹口?三模）若存在實(shí)數(shù)。及正整數(shù)力，使得〃x）=cos2x-asinx在區(qū)間（0,〃兀）內(nèi)恰有2022個(gè)

零點(diǎn)，則所有滿足條件的正整數(shù)〃的值共有個(gè).

二、單選題

13.（2024?上海松江?二模）已知某個(gè)三角形的三邊長為。、6及c,其中。＜b.若a,b是函數(shù)）二收?-床+c

的兩個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

x+l,xe[-l,0)

2

14.（2023?上海普陀,一模）已知函數(shù)〃x）=3X-2若函數(shù)g(x)=/(x)-%x+]加在[T,l)內(nèi)有

-----.XG[0,1)

、1—X

且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

A.U[3,8）B.-1,0U[3,9]U（9,+?）

C.-1,0U[3,8]D.機(jī)e]-1,0u[3,9）U（9,+?）

15.（2024?上海?三模）設(shè)集合N={l,a/},集合8=，卜=xy+：,x,yeN,xNy},對于集合2有

下列兩個(gè)結(jié)論：①存在a和6,使得集合8中恰有5個(gè)元素；②存在。和6,使得集合8中恰有4個(gè)元

素.則下列判斷正確的是（）

A.①②都正確B.①②都錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤，②正確D.①正確，②錯(cuò)誤

7T

16.（2024?上海普陀?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=/（x）的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)7后，所

得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱函數(shù)y=〃久）為"R函數(shù)”.對于命題；

①設(shè)加eR,若函數(shù)g（x）=（mT）尤+：為"R函數(shù)"，則加>1；

②設(shè)上eR,若函數(shù)〃（工）=??為"/?函數(shù)"，則滿足條件的人的整數(shù)值至少有4個(gè).

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.①為真②為真B.①為真②為假C.①為假②為真D.①為假②為假

三、解答題

17.（2023?上海青浦,一模）上海各中學(xué)都定期進(jìn)行緊急疏散演習(xí)：當(dāng)警報(bào)響起，建筑物內(nèi)師生馬上有組織、

盡快地疏散撤離.對于一個(gè)特定的建筑物，管理人員關(guān)心房間內(nèi)所有人疏散完畢（房間最后一個(gè)人到達(dá)安

全出口處）所用時(shí)間.數(shù)學(xué)建模小組準(zhǔn)備對某教學(xué)樓第一層樓兩間相同的教室展開研究.為此，他們提出

1.疏散時(shí)所有人員有秩序地撤離建筑物；

2.所有人員排成單列行進(jìn)撤離；

3.隊(duì)列中人員的間隔是均勻的；

4.隊(duì)列勻速地撤離建筑物.

（1）上述模型假設(shè)是否合理，請任選兩個(gè)模型假設(shè)說明理由；

⑵如圖，設(shè)第一間教室（圖中右）的人數(shù)為4+1,第二間教室（圖中左）的人數(shù)為"+1，每間教室的長度

為/,其中多,%都是正整數(shù)，/>0,忽略教室門的寬度及忽略教室內(nèi)人群到教室門口的時(shí)間.請?jiān)僖脒m

當(dāng)?shù)淖兞?，建立兩個(gè)教室內(nèi)的人員完全撤離所用時(shí)間的數(shù)學(xué)模型.

18.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（》）=23。+￡：05（2》-$-1.

⑴求函數(shù)的在［0,兀］上單調(diào)遞減區(qū)間；

⑵若函數(shù)/'（x）在區(qū)間電機(jī)］上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求加的取值范圍.

19.（2024?上海?模擬預(yù)測）若/（x）=log,x（a＞0,awl）.

（1）＞=/卜）過（4,2）,求〃2x-2）＜〃x）的解集；

⑵存在x使得〃x+1）、〃狽）、〃x+2）成等差數(shù)列，求。的取值范圍.

20.（2023?上海崇明?一模）某公園有一塊如圖所示的區(qū)域O/C8,該場地由線段O/、OB、/C及曲線段2C

圍成.經(jīng)測量，乙408=90。，。/=。8=100米，曲線3c是以08為對稱軸的拋物線的一部分，點(diǎn)C到

04、08的距離都是50米.現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個(gè)矩形游樂場OEL（尸，其中點(diǎn)。在曲線段2C上，點(diǎn)￡、F

分別在線段。/、上，且該游樂場最短邊長不低于30米.設(shè)。尸=x米，游樂場的面積為S平方米.

⑴試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段8c的方程;

（2）求面積S關(guān)于x的函數(shù)解析式5=/（x）；

⑶試確定點(diǎn)。的位置，使得游樂場的面積S最大.

21.（2023?上海金山?一模）設(shè)函數(shù)y=/