函數(shù)值域的常見求法8大題型（解析版）

函數(shù)值域的求法8大題型

函數(shù)的值域是函數(shù)概念中三要素之一,是高考中的必考內(nèi)容，具有較強的綜合性，貫穿整個高中數(shù)學

的始終。在高考試卷中的形式千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，真正實現(xiàn)了?？汲Ｐ碌目荚囈?考生在

復習過程中首先要掌握一些簡單函數(shù)的值域求解的基本方法，其次要多看多練在其他板塊中涉及值

域類型的內(nèi)容。

一、求函數(shù)值域的常見方法

L直接法:對于簡單函數(shù)的值域問題，可通過基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)直接求解；

2.逐層法:求力（力…九（⑼）型復合函數(shù)的值域，利用一些基本初等函數(shù)的值域，從內(nèi)向外逐層求函數(shù)的

值域；

3.配方法:配方法是二次型函數(shù)值域的基本方法，即形如"y=axx+bx+c（a^0）”或"y=a[f（x）]2+bf

Q）+c（a￥0）”的函數(shù)均可用配方法求值域；

4.換元法:利用換元法將函數(shù)轉化為易求值域的函數(shù),常用的換元有

⑴片—或呼格r的結構,可用換元;

⑵y=ax+b±Vcx~+d（a,b,c,d均為常數(shù)，aW0,cW0）,可用uVcx-\-d=力”換元；

⑶"=bx±Ja2—1型的函數(shù),可用,=acosW。e[0,兀]）"或,=asind（。e[―專晝]）”換元；

5.分離常數(shù)法：形如片篝普（加￥。）的函數(shù)，應用分離常數(shù)法求值域，即,=巖普=￡+

瓶一嗎，然后求值域;

9+9

6.基本不等式法:形如“=姐+。（而>0）的函數(shù)，可用基本不等式法求值域,利用基本不等式法求函

數(shù)的值域時，要注意條件“一正、二定、三相等"，即利用a+b>2Vab求函數(shù)的值域（或最值）時，應滿

足三個條件:①a>0,b>0；②a+b（或而）為定值;③取等號的條件為a=b,三個條件缺一不可；

7.函數(shù)單調(diào)性法:確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域（或最值）

（1）形如片姐+b—V^+d^ac<0）的函數(shù)可用函數(shù)單調(diào)性求值域；

（2）形如夕=a宓+。的函數(shù)，當而>0時,若利用基本不等式等號不能成立時，可考慮利用對勾函數(shù)

求解；

高考加油

當而<0時，u=+：在（—8,0）和（o,+8）上為單調(diào)函數(shù)，可直接利用單調(diào)性求解。

8.函數(shù)的有界性法:形如“=（或、=刀）（其中不為的函數(shù)求值域或最值,

cIosm?Z/cIocoSiZzabc0）

可用g表示出sinM或cosrr），再根據(jù)一1WsinxW1且sin力W—~1~（或一cosN41且cosxW

―年）,列出關于y的取值范圍.

類似地，有:①/=/（以則/⑻>0;②就=%（4）,則九（a）>0；③sin*=g3）,則一14g（y）W1

9.判別式法：形如期=022,+于+。2（aQ#0）或夕=Ac+Bjas^+bx+c（4Ba豐0）的函數(shù)求值域,

arx+brX+Ci

可將函數(shù)轉化為關于x的方程F3y）=0，利用二次項系數(shù)不為0,判別式△>0或二次項系數(shù)為0,

一次方程有解得出函數(shù)的值域。

10.導數(shù)法:對可導函數(shù)/（c）求導，令/'3）=0,求出極值點，判斷函數(shù)單調(diào)性；

如果定義域是閉區(qū)間，則函數(shù)最值一定取在極值點處或區(qū)間端點處；

如果定義域是開區(qū)間且函數(shù)存在最值，則函數(shù)最值一定取在極值點處。

二、根據(jù)最值條件求解參數(shù)范圍解題思路

已知函數(shù)的最值求參數(shù)范圍時,要視參數(shù)為已知數(shù),結合函數(shù)值域（或最值）的求法,得到函數(shù)的最值

（含有參數(shù)），再與給出的函數(shù)最值作比較，求出參數(shù)范圍。

題型1單調(diào)性法求函數(shù)值域或最值

題型5逐層法求函數(shù)值域或最值

題型2配方法求函數(shù)值域或最值

題型6導數(shù)法求函數(shù)值域或最值

題型3分離常數(shù)法求函數(shù)值域或最值

題型7已知函數(shù)的最值求參數(shù)

題型4判別式法求函數(shù)值域或最值

【題型1單調(diào)性法求函數(shù)值域或最值】

【例1】（2022秋?陜西西安?高三?？计谥校┖瘮?shù)/㈤=!—2。在區(qū)間［1,2］上的最小值是（）

A.——B.C.1D.-1

【答案】A

【解析】:在區(qū)間［1,2］單調(diào)遞減，一2。在區(qū)間［1,2］也單調(diào)遞減，

所以/Q）在區(qū)間［1,2］單調(diào)遞減，因此/din=膽）=春-22=一1■，故選:A

【變式1一1】（2022秋?北京?南三北京市第一六一中學校考期中）已知函數(shù)/（⑼=3引+團，則/（⑼的值域

是.

【答案】［1,+8）

【解析】由已知，可得/（―/）=/3）,即函數(shù)為偶函數(shù).

又名＞0時，g=e”為增函數(shù)，9=/為增函數(shù)，

所以，/（2）=ex+x為［0,+8）上的增函數(shù)，則/（c）＞/（1）=1

所以，/（N）的值域是［1,+8）.

【變式1一2】（2022春?浙江舟山?赤三校考開學考試）已知①e（0,寺），則函數(shù)沙=cost+^（）

A.有最小值4B.有最大值4C.無最小值D.有最大值+8

【答案】C

【解析】旌（0,號）時,COSXE（0,1）,

因為力=cosx在％e（°￡）上遞減，g=1+*在力￡（。,1）上單調(diào)遞減，

函數(shù)g=cos/+1是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，

且g＞1+4=5,其值域是（5,+8）；

所以函數(shù)無最大、最小值.故選:C

【變式1一3］（2022?全國?玄三專題練習）函數(shù)/㈤=In/+ln（2-x）的最大值為.

【答案】。

【解析】由/（%）=Ina?+ln（2—x）=ln［—（/一1y+1］,且0V力V2,

令t［x）=一（6一I）z+1,/⑶=Int,

即力（2）在0V2V1為單調(diào)遞增，1VcV2為單調(diào)遞減，而f（t）為增函數(shù)，

???/（］）在0V2V1上單調(diào)遞增，1V力V2上單調(diào)遞減，/（6）max=/（I）=0.

［變式1一4］（2022秋?江蘇蘇州通三校琮考階段練習）已知函數(shù)/㈤=等±《是R上的偶函數(shù)

（1）求實數(shù)小的值，判斷函數(shù)/3）在［o,+8）上的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)/3）在［-3,2］上的最大值和最小值.

【答案】（1）巾=0,單調(diào)遞增；（2）最小值擊，最大值1

【解析】（1）若函數(shù)73）=陪邛是H上的偶函數(shù)，則/（—工）=/Q）,

1+力

口。7n（一工）+1_mx+l殿省_八

即（^2~一，解仔館一°,

1+?（一切1+x2-

所以/（*）=］,12，函數(shù)/（0在［°，+8）上單調(diào)遞減.

1+2；

（2）由（1）知函數(shù)/（⑼在［0,+8）上單調(diào)遞減，

高考加油

又函數(shù)f3）是R上的偶函數(shù)，

所以函數(shù)/（為）在（—00,0］上為增函數(shù)，

所以函數(shù)/Q）在［-3,0］上為增函數(shù)，在［0,2］上為減函數(shù).

又/（—3）=擊,/（0）=1,八2）=1

所以/（久）.=/（一3）=jg,f（x）max=f（O）=1

【變式1一5］（2022秋?黑龍江牡丹江?高三校考階段練習）已知函數(shù)/Q）=b?罐（a>0,且a￥l）的圖象經(jīng)

過點41,4）,8（3,16）.

（1）求函數(shù)/3）的解析式；

（2）設函數(shù)gQ）=/（2）（力）2）,求函數(shù)gQ）的值域

【答案】（1）/（0=2.；（2）［號,+8）.

【解析】（1）依題意，，而a>°，解得a=2力=2,即有/（工）=2?2"=,

所以函數(shù)/3）的解析式是/Q）=2工+］.

（2）由⑴知，g（x）=f（x）-f（-x）=2x+J-2-"+i=2（2-/）,

因函數(shù)夕=2。和"=一/在［2,+8）上都單調(diào)遞增，

因此函數(shù)式⑼在［2,+8）上單調(diào)遞增，g（±）111ax=9（2）=竽，

所以函數(shù)g（rr）的值域為［粵，+8）.

【題型2配方法求函數(shù)值域或最值】

【例2】（2022秋?江西鷹潭?高三貴溪市實蹌中學階段練習）函數(shù)y=J—款+4醫(yī)—4的值域是.

【答案】{0}

【解析】函數(shù)g=J—/+42-4的定義域為一爐+4%一4>0,

化簡得：x2—4x+4=（2-2）240,解得：x=2,

所以函數(shù)g=J—V+4力一4的值域為{0}.

【變式2—1］（2023?全國?高三專題練習）若函數(shù)/（生二^）=』—2+1,則函數(shù)g（x）=f（x）~4x的最小

值為（）

A.—1B.—2C.—3D.—4

【答案】D

【解析】因為X，1）=一弓+1="―2”1=所以*①）="①豐1）.

從而g(x)=x2—4x=(x—2)2—4,

當c=2時，g（x）取得最小值，且最小值為一4.故選:D

【變式2—2］（2022?全國?高三專題練習）函數(shù)/（0=2+271^的最大值為

【答案】2

【解析】設力=三0），則立=1-t2,

所以原函數(shù)可化為：y=-12+2t+l（t^0）,

由二次函數(shù)性質(zhì)，當力=1時，函數(shù)取最大值2.

【變式2一3］（2022秋?廣東深圳?高三深圳中學?？茧A段練習）已知函數(shù)/（/）=sina;+cosx+2sincccosrc

+2,則/（c）的最大值為（）.

A.3+V2B.3-V2C.2+V2D.2-V2

【答案】A

【解析】/(劣)=sinic+COST+2sincccos2：+2=since+cosrr+(sinrr+COST)2—1+2,

令士=sinrr+COST=V^(^^sinrr+-^-cosrc^=V2sin^rr+E[—V2,V2],

即/GO=g(t)=嚴+)+1=(士+打+等,

由力eA/2,A/2],則g(t)max—9(^^2)=2+V2+1=3+V2.故選：A.

【變式2一4］（2022秋?北京?高三?？茧A段練習）函數(shù)/Q）=sinx—COS2N是（）

A.奇函數(shù)，且最小值為-2B.偶函數(shù)，且最小值為-2

C.非奇非偶函數(shù)，且最小值為-言D.非奇非偶函數(shù)，且最大值為4

OO

【答案】C

【解析】/（2）=sine—cos2/=sinx—（1—2sin2rr）=2sin2a:+sinx—1,其定義域為R,

于（-x）=2sin2（—x）+sin（一力）-1=Zsir?2—sin/一1,故函數(shù)/（力）為非奇非偶函數(shù)，

令t：=sin附則te［-1,1］,則/㈤=g（t）=2t2+t-l=2（t+十了一2,

易知/㈤min=g（T）=一|■，故選：C.

【變式2一5］（2022?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（⑼=上一1）（2>+2（-+姐+6）,對任意非零實數(shù)

①，均滿足/㈤=/（—：）.貝酎（-0的值為；函數(shù)/⑵的最小值為

【答案】0-菅

O

【解析】函數(shù)/⑻=QT）（2'+1十姐+",因對任意非零實數(shù)鞏均滿足/⑻=/（—1）,

高考加油

1+b

(1—1)(2a;+1)(/+ax+b)xX

則V凡化W0,有i

x2-T

一

即3—1)(2x+1)(/+ax+b)=(—x—1)(/—2)(bx2—ax+1),

由等式兩邊展開式最高次項系數(shù)得：一b=2,即b=-2,

當劣=1時，b—a+1=0,解得Q=-1,經(jīng)檢驗得，Q=—1,b=-2,

對任意非零實數(shù)2成立,

{x-1)(22+1)(x2—x—2)(爐—1)(2/—3x—2)

因此,/(化)

x2x2

=29_：)-3(%9

8，

f(~l)=0,當①一!=■即2=^^^時，/(/)

所以/(—i)的值為o,函數(shù)/㈤的最小值為一卷

O

【題型3分離常數(shù)法求函數(shù)值域或最值】

【例3】(2022秋?河南鄭州?南三?？茧A段練習)函數(shù)夕=的值域是()

/CO'/_L

A.(―8,O]U[4,+8)B.(―8,O]U[2,+8)c.[0,4]D.[0,2]

【答案】B

t+1三⑵-1)+9131

s==+;

[M^]4cosa?=t,te[-l,y)UU=2t-i2t-lTT'2t-l

1

可得2t-le[-3,0)U(O,l],7Te(—8,—J]U[l,+~),

e

-y-9.1(-°0,—ylU[得,+8),故ye(-8,0]U[2,+oo),故選:B.

【變式3—1](2022秋?上滲徐匯?離三上海市南洋模尬中學?？茧A段練習)函數(shù)/(力)=2*1.的值域

x+ox+2

為.

【答案】(—8,-2)U(-2,1)U(1,+8)

【解析】由小+3±+2￥0,可得rc￥—1且力￥—2,函數(shù)/(①)的定義域為{句①W—1且2￥—2},

2

f(Xx-l_(x-l)(x+l)_x-13

八叼一，+3z+2--+1)3+2)—^+2--~T+2'

所以f(x)￥-2且/?￥1,

所以函數(shù)/Q)=2"「，c的值域為(—8,—2)U(-2,l)U(1,+8).

x+3/+2

【變式3—2](2022秋?天津濱海新?高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學?？茧A段練習)已知①e(0,3),則y

=2X+；的最小值，此時T=

7

【答案】y##3.51

■初”?—2①—8,1_2（x-3）-2,1_c2,1_,2,1

【解析】"=+￡=^3+豆=2—+石=2o+^^+豆，

由2（3—%）+26=6,

則2+（熹+蚩）[2（3-M+2z]x卷=2+/（4+丁+卷+1）

>2+*+2/^15）=2+梟（5+4）=]

當且僅當止工即±=1時，等號成立.

XoX

【變式3—3]（2022出湖北?高三校聯(lián)考階段練習）已知1W①W4,則函數(shù)/⑻=§[+:—7的值域

X+X+4x+4

為.

【答案】七,1]

【解析】因為1&力&4,所以n+1W0,

“x2+x_劣（劣+1）_X_1

/⑶-—+,+42+4-3+1）（爐+4）―^+T—二X，

X

令g（x）=a;+*,2；e[l,4],

由雙勾函數(shù)知，g（⑼在[1,2）上單調(diào)遞減，在（2,4]上單調(diào)遞增，

所以9⑵=4,g⑴=5,g⑷=5,

所以g?e[4,5],所以/（a;）e

【變式3—4](2023?全國通三專題練習)已知函數(shù)/㈤=2x+k-2f.

(1)若/(⑼在(1,+8)是增函數(shù),求實數(shù)R的取值范圍；

(2)若/(/)+1VR?2“在[2,+8)上恒成立,求實數(shù)小的取值范圍.

【答案】⑴RW4;(2)fc>4

O

【解析】⑴/㈤=2'+卜?2-』2，+備,令力=2，，則/3)=力+牛，由/6(1,+8)可得力>2,

2X

L.

由條件可知沙=力+7■在(2,+8)是增函數(shù).

當k&0時，結論顯然成立；當k>0時，則4k<2,/.0<fc<4.

綜上，k的取值范圍為k&4.

(2)由/(x)+l<k-2x可得2x+k-2-x+l<k-2x,

因為ce[2,+8),所以2工一2』>0,所以，

ZJ—T2L

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令t=2",則t>4,卜>^^=-^=|i|=告=1+占，

t

因為力>4,所以OVJi4,「?1V1+J1W2,

所以力的范圍是“〉之

【題型4判別式法求函數(shù)值域或最值】

【例4】(2022秋?浙江寧波?南一株海中學?？计谥?函數(shù)/(⑼=f：缶-1的值域是.

【答案】［—?"

【解析】由題知函數(shù)的定義域為R,

所以，將沙=二號『整理得(1+y)x2-x+y+l=Q,

X+1

所以，當g=—l時，力=0;

當沙工T時,廣：1；4(4+1>>0,解得e［―U(-1,

lyW—1L2/X2」

所以，夕4一一,即函數(shù)/(⑼=一—-的值域是［—■|",一"

【變式4一1］(2022?全國?商三專題練習)若函數(shù)/(*)=3［不:3的最大值為a,最小值為6,則a+b=

()

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

222

【解析】設夕=3cyx+y=3x+x+3,(y-3)x-x+y-3=0,

X+1

;r=。時，y=3,

r:7K7

yW3時，因為a?eR,所以A=l-4(v-3)2>0,解得了即qlgW豆且

綜上最大值是］，最小值是蔡，和為6.故選：B.

【變式4一2］(2023?全國通三專題練習)函數(shù)/㈤=的最大值與最小值的和是()

X+x+1

A.UB.春C.1D.—

【答案】B

【解析】設4="2；"：；，則有(9-1)①2+(y+l)x+y+l=Q,

當g=l時，代入原式，解得C=-1.

當y/1時，△=(9+l)2-4(y-l)(y+1)=(y+1)(-3?/+5),

45

由△>0,解得一1《沙4可，于是g的最大值為三，最小值為一1,

OO

9

所以函數(shù)/（⑼的最大值與最小值的和為母.故選：R

O

【變式4一3］（2022?全國?高三專題練習）函數(shù)沙=si,：+s42c的值域為__________

1+sm6

【答案】［—/」］

sin2^+2sin%cosQtalj；+2tan/t2+2t

【解析】由題可得，夕=，令tanc=%，則g=

cos2rr+2sin2c1+2tan2j;-2t2+l?

即（2，-1）廿-2t+y=0,當初-1=0,即沙=、■時，t=土;

當21一1/0,即時，要使方程有解,

綜上，Ue［—

【變式4—4］（2021?全國?商三專遇練習）求函數(shù)y=da?—2a?+5+Vx2—4T+13的最小值.

【答案】體.

【解析】解法一：二函數(shù)g=Vx2—2rc+5+Va;2—4x+13=JQ—1尸+4+J（%—2尸+9的定義域

為一切實數(shù).二.y—Jd—2=+5=Vx2—4a7+13.①

又g—y/x2—2x+5>0,即g>A/——22+5=y/（x—l）2+4>2,

對①式兩邊平方，得才一2y^JX2—2x+5+x2—2x+5=x2—4：x+13.

整理，得寸—8+2x—27/Vx2—2x+5.②

對②式兩邊平方，得（才一81+42（靖一8）+4/2=4靖Q2—2c+5）,

再整理，得（4才一少/一（12才一32）/一姬+36靖—64=0.③

???4才一4>0,n為實數(shù)，.?.△=（12/—32）2—4（4靖-4）（一才+36靖-64）^0,

化簡并整理，得始一28靖+52靖>0,

即y2（y4-28才+52）>0Q靖（才一2）（才一26）>0,

又一〉2,?\才>26,V26,

當g=V26時，方程③為100/—2802+196=0,即25i-70T+49=0,

解得立=1，故函數(shù)的最小值為例.

O

解法二：y=A/X2—2a;+5+x1—4x+13=y/（x—l）2+22+y/（x—2）2+32

令PQ,0）,A（l,2）,B（2,3），則y=\AP\+\BP\

點4關于2軸的對稱點為A（1,—2）.

則ymin=\AP\+\BP\=\AP\+\BP\>\AB\=V26

（其中運用三角形兩邊之和大于第三邊，當且僅當A、尸、B三點共線時取“等號”）.

高考加油

【題型5逐層法求函數(shù)值域或最值】

【例5】(2022秋?江西宜春?高三江西省豐城中學?？茧A段練習)已知幕函數(shù)/(/)=/。的圖象過點(9,3),則

函數(shù)夕=上42在區(qū)間口⑼上的值域為()

/w+1

A.[—1,0]B.[―C.[0,2]D.[―|-,1]

【答案】B

【解析】解法一：因為賽函數(shù)/(1)=/。的圖象過點(9,3)，所以9。=3,可得Q=1~,

所以/(0=介十=L二』也)=1一介=2一(介土D=2]

，/(X)+1Vx+1Vx+1Vx+1

因為142&9,所以2+144,故g^2.

y/X+1L/」

因此，函數(shù)y=在區(qū)間[1,9]上的值域為[—]■,()].故選：B.

解法二：因為霹函數(shù)/(⑼=立。的圖象過點(9,3),所以9。=3,可得a=彳,

所以/3)=右.因為a;e[l,9],所以因為y=.、，1，

f\x)+1

所以/3)=所以解得得

l—f⑸

即函數(shù)g=在區(qū)間[1,9]上的值域為[一看。].故選：B.

/(⑼+1

[變式5—11(2022春?江蘇南京?商三統(tǒng)考開學考試)已知函數(shù)/(1)=sin(/+~^)+sin(方——，。(久)=

/(/(⑼)，則g(M的最大值為()

A.V2B.V3C.-|-D.2

【答案】B

【解析】記t=i+字則f(x)=h(t)=sint+sin(t+=~|"sint+^-cost,

所以h(t)=，^sin(i+~1je[―■，所以，(/(⑼)最大為V3.故選：B.

【變式5-2](2021秋?安徽六安?金春縣青山中學高三開學考)函數(shù)/㈤=4=2x2工—[0,2]的最小

值是.

【答案】-4

【解析】令力=2/,/e[0,2],則力￡口，4].

原函數(shù)化為g(t)=t2—2t—3=(t—I)2—4,

當力=1時,g(t)有最小值，即/㈤有最小值為—4.

【變式5—3］(2020秋?吉林白城?高三?？茧A段練習)已知函數(shù)/(0=［-1,1］,則函數(shù)

4?/I-L

/(x)的值域為.

【答案】號用

XXx

【解析】由題得了(⑼=4+2+12x2=2

-xx+4^+2^+1-1+

4+2+1牙2。+1

設力=2%,大g@)=~^~+t,

所以函數(shù)gU)在［y,l］單調(diào)遞減，在［1,2］單調(diào)遞增,

5

所以9(t)min=9⑴=2,9⑴max=9⑵=’

所以函數(shù)g(±)的值域為［2,，］,

所以/Q)min=1+9J3)max=1+5

y+1(，十，3

所以/(6)￡

【題型6導數(shù)法求函數(shù)值域或最值】

【例6】(2022?陜西寶嗚?統(tǒng)考一模)函數(shù)g=ln(x—/e[2,4]的值域是.

【答案】[O,ln[]

【解析】由題意，在g=ln(N—~|~)中，xe[2A]

1A,2\x/2+24+2

"f==.(1+募)=R.丁=而匚3>°,

X

函數(shù)在[2,4]單調(diào)遞增

/(2)=ln(2-y)=lnl=O,/⑷=ln(4-^-)=Iny

函數(shù)g=ln(c—j)，se[2,4]的值域是

［變式6—1］(2022秋?江蘇?高三校聯(lián)考階段練習)函數(shù)/㈤=|3T-1|-311^的最小值為

【答案】2

【解析】令g(c)=c—1—Inrc,則g'{x}=1-=①J,令/(a;)=0,解得c=1,

當0〈力V1時，g'Q)<0,則g(x)單調(diào)遞減；

當IV」時,g'(x)>0,則g(x)單調(diào)遞增；

故g(%)>9(X)=0,則/一1>Ino?.

高考加油

因為%—1,所以/(2)=\3x—1|—Slnx>(3%—1)—3(%—1)=2

當且僅當力=1時等號成立，因此/(⑼的最小值為2.

【變式6—2](2022秋?安徽安慶?南三安慶一中統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)“0=竟1-，則/(4)在

[―2,0)U(0,1]上的值域為()

A.|-]U[3,+°°)B.(0,-j-]

C.[-1,O)U(O,3]D.[卷,+8)

【答案】D

2X+1

【解析】由題知/(2)定義域為(一8,0)U(0,+8),

力（2-1）

2-x+l21+1

???/（一/）==/（6）,

—力（2——1）力⑵一1）

.,./(2)在定義域上為偶函數(shù),

=2，+1=2'—1+2=工2

則當力>0時J(%)1+

—x（2x-l）—力（2%—1）一了以2，-1）1（

?#，/、__,2\,1/—2?2叮n2、__J_Q_12,2?2q112\

—x2\1+（2^-1）/+sI（2X-1）2J~式a；**（2“—1）+（2?！?3

,.-a;>0,.-.2^-1>0,

.1?2221n2

一必力（2,_1）（2工_1尸u，

J㈤VO,"3）在（0,+8）單調(diào)遞減，

：f（x）在定義域上為偶函數(shù)，

-''f（x）在（-8,0）單調(diào)遞增，

.-.f（x）在[-2,0）單調(diào)遞增,在（0,1]單調(diào)遞減，

"/（-2）=■，/⑴=3,lim=+00,

Ox->ox（2—1）

故/㈤在[-2,0）U（0,1]上的值域為玲，+8）.故選:D

【變式6—3](2016?遼寧沈根?東北育才學校?？既?已知函數(shù)/(⑼=esm0+8SH—5五迨以?6A)，則函數(shù)

f(x)的最大值與最小值的差是.

【答案】e^—e-〃

【解析】令力=sina:+cosx=V2sin^x+，則[￡[―V2,V2],且sin2x=t2—l,

則沙=/（M=e'-/（廿一1）,

,*'yr——力>0在力—A/2^,5/2]時恒成立，

=y（t2—1）在[-V2,V2]上為增函數(shù)，

故函數(shù)/（c）的最大值與最小值的差九一引仁_應==e*—e-應

【題型7已知函數(shù)的最值求參數(shù)】

【例7】（2022?浙江杭州?模擬預測）/3）=（（"1對'’《I的最小值是—1,則實數(shù)a的取值范圍是

[ax—x+1—a,x>l

（）

A.[年迎+8）B.（-8,2丁]C.[—哈卻D.房,+8）

【答案】A

【解析】當力《1時,/'（力）=跣*,令/'（力）=0,得力=0,

則73）在（—8,0）上單調(diào)遞減，（o,i）上單調(diào)遞增，

即函數(shù)/（力）在/=0處取得最小值一1,

所以問題轉化為ax2—x+1—a>—1在（1,+8）上恒成立，

令g（力）=0爐一N+2—a,則g（x）>0在（l,+oo）上恒成立

當aW0時，不符合.

1f」-vifJ->l

當a>0時,對稱軸x=-^―，則｛2Q或〈2a

。、g（l）=a—1+2-a>0、△—1—4a（2—a）40

解得a>[■或22速■，所以Q>?.巡,故選：A.

【變式7—1]（2023秋?廣東茂名?高三統(tǒng)考階段練習）設函數(shù)/（力）=[；二%；若/Q）存在最小

值，則a的取值范圍為（）

A.[/2,A/2]B.[0,V2]

C.[—/2^,V2]U（2,+8）D.[0,V2]U（2,+oo）

【答案】B

【解析】若a=0時，/（c）=[1'2安°；Q，，/3）min=*2）=-1；

若aVO時，當;rVa時，/3）=1—單調(diào)遞增，

當出一—8時，/Q）一—8,故/Q）沒有最小值；

若Q>0時，x<a時，/（2）=—ax+1單調(diào)遞減，/（2）>/（a）=1—a2,

-1,（0<a<2）

當N>a時,/Q）min=

Q?—4a+3,（Q>2）

fi—。2>_1或4°+3,解得。故選:B

若函數(shù)/（⑼有最小值，需二？

高考加油

【變式7—2］（2022秋?新瞪鳥＜?木齊?高三鳥市八中校考階段練習）若函數(shù)/㈤=矢乎在區(qū)間［0,1］上

的最大值為3,則實數(shù)巾=.

【答案】3

【解析】：函數(shù)/（/）=2某,=2+北系,

由復合函數(shù)的單調(diào)性知，

當m＞2時，〃/）=若存在［0,1］上單調(diào)遞減，最大值為了（0）=爪=3;

當成＜2時，/（力=等乎在［0,1］上單調(diào)遞增，最大值為/（1）=2護=3,

即nz=4,顯然7n=4不合題意，

故實數(shù)M=3.

【變式7—3］（2022秋?江西?高三九江一中校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)/（N）=|Q/+=+1］,力￡口,2］,且

/（名）的最大值為Q+2,則Q的取值范圍是（）

A.[-1,-y]B.[-1-y)C.[-2,-y]D,[-l.-y)

【答案】A

【解析】由題意可知，a+2>0,即Q>—2,且g(l)=a+2,/.V[1,2],\ax2+x+1|<a+2,

即一CL—2Wax2+N+1WQ+2.

.?.Vee[1,2],-彳+?---魯(當①=1時也成立)，

x2+1c+l'

令％(c)=-2可，xe[1,2],i(x)=-ce[1,2],則hmaxWaWGn,

X+1二十工

,?*h{x)——7----、2——=------------------77；--------，且c+3e[4,5]

(①+3)2—6(/+3)+103+3)+小—6

X十o

由《(4+3)H---當萬一6&1,可得一2<九(2)<-1,即hmax=-1,

/X-?o

又力（乃=一金丁在［1，2］上單調(diào)遞增，

11

「?%min=—~2~,**?—14a&l~2~.故選：A.

【變式7—4］（2022?內(nèi)蒙古赤蜂?高三赤峰二中?？茧A段練習）已知函數(shù)g=/Q）是定義域為R的奇函數(shù),

且當/V0時，/（x）—x+^+1.若函數(shù)g=/（2）在［1,+8）上的最小值為3,則實數(shù)a的值為（

）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】因為y=f（G是定義域為R的奇函數(shù)，且當cVO時，/（劣）=2+q+1.

當n>0時，—xV0,則/（—x）=—x—+1=—f（x）,

所以當力>0時，/（力）=——此時/'（力）=1—%

力X

當Q&1時，/'（力）=1—盤>0在［1,+8）上恒成立，函數(shù)/（力）在［1,+8）上單調(diào)遞增，

當力=1時，函數(shù)取得最小值/（1）=1+。-1=3,解得。=3（舍），

當a>1時，/E［l,Va］,13）V0,函數(shù)單調(diào)遞減；

xe［Va,+oo）,/'（力）>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

x=Va時，函數(shù)取得最小值/（右）=2Va—1=3,解得a=4,

綜上，a=4.故選：D.

【變式7—5］（2022秋?上海楊浦?高三復旦附中?？茧A段練習）已知Q>0,函數(shù)/（力）=疝=手+

缶—1的最大值為四,則實數(shù)的值為.

【答案】1

222

［解析】*.*y=ax—x+N2x一心、y—y/2x—x=ax—xy

兩邊平方得：y2~2鼠2N—爐-^-2x—x2=ax—x2,

即y2+2x—ax=2yy/2x—x2,

再平方得：yA+4x2+a2x2+4xy2—2axy2—4ad=8xy2—4：x2y2,

化簡得:（4才+4+Q2—4Q）22_（旬2+2ay2）x+，=0,

當4靖+4+/_4。=0,即4g2十（°一2）2=o時，Q=2,J=O,

此時/Q）=2J26-3=2J—（力-1）2+1最大值為2,不符題意.

所以4y2+4+Q?—4QW0.

因為方程有解，所以A>0,

即A=（4y2+2ag2）2—4y4（4y2+4+a2—4a）>0,

化簡得：g2&2Q,因為g>0,所以0Wg石，

又因為g的最大值為四,所以，^=四,所以a=l.

故答案為:1.

高考加油

限時檢測

（建議用時：60分鐘）

1.（2023?全國?方三專題練習）函數(shù)/（⑼=普）的值域是（）

A.(-00,-1)U(l,+oo)B.(―8⑵

C.(―8,2)U(2,+8)D.[―1,+8)

【答案】C

【解析】/（2）=備2Q+1)—2—2

T+1X+1;

從而可知函數(shù)/（⑼=等^的值域為（-8,2）U（2,+8）.故選:C

2.（2019秋?黑龍江鳴西?高三嗚西實酷中學?？茧A段練習）函數(shù)0=尬―3|—4（1W2W4）的值域為（

）

A.[—4,—2]B.[—4,—3]C.[—3,4]D.[—3,—2]

【答案】A

【解析】依題意1&c&4,—-3《1,0W\x-3|<2,—4<\x-3|—4&—2,

所以函數(shù)夕=|x-3|-4（l<x<4）的值域為[-4,一2].故選:A

sin,-l-0,2燈)的最小值是()

3.（2022?全國?高三專題練習）函數(shù)/（⑼

V3—2cos力—2sina:

A.-4B.-1

C.—A/2^D.—V3

【答案】B

【解析】當sina?=1,f(x)=0

sinx—11—sinx

當sinxW1時，因為于（x）=

J3—2cos力一2sinc^/(l-sina;)2+(1—cosrc)2

1—CCS7

令g（力）=----；----,g（c）的含義是點（1,1）與單位圓上的點（sine,cosc）的連線的斜率,

1—since

所以gQ)0,所以Jl+g(2)21

1

所以-1,,即-l,/(x)V0,綜合得，/(劣)e[-l,0],

Jl+gQ)2

故最小值為：一1.故選：B.

4.（2021秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱三中階段練習）已知函數(shù)加）=備的定義域為[。,+8）’則

函數(shù)/3）的值域為（）

A.［-2,+oo）B.C.D.［*,+8）

【答案】C

【解析】/（%）=2：1=一二［一，定義域為［。,+8），且/3）=o

X+1J/U義I工

X

令t（工）=2+1,（0,+<?）,