2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點題型課下層級訓(xùn)練61n次獨立重復(fù)試驗與二項分布含解析

PAGEPAGE1課下層級訓(xùn)練六十一n次獨立重復(fù)試驗與二項分布[A級基礎(chǔ)強化訓(xùn)練]1．設(shè)隨機變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)等于()A．eq\f(5,16) B．eq\f(3,16)C．eq\f(5,8) D．eq\f(3,8)【答案】A[X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，由二項分布可得，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(5,16).]2．(2024·山東臨沂檢測)周老師上數(shù)學(xué)課時，給班里同學(xué)出了兩道選擇題，她預(yù)估做對第一道題的概率為0.80，做對兩道題的概率為0.60，則預(yù)估做對其次道題的概率是()A．0.80 B．0.75C．0.60 D．0.48【答案】B[設(shè)“做對第一道題”為事務(wù)A，“做對其次道題”為事務(wù)B，則P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8·P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.]3．甲、乙兩地都位于長江下游，依據(jù)天氣預(yù)報的記錄知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，兩市同時下雨占12%.則在甲市為雨天的條件下，乙市也為雨天的概率為()A．0.6 B．0.7C．0.8 D．0.66【答案】A[將“甲市為雨天”記為事務(wù)A，“乙市為雨天”記為事務(wù)B，則P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.12,0.2)＝0.6.]4．設(shè)隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則P(Y≥2)的值為()A．eq\f(32,81) B．eq\f(11,27)C．eq\f(65,81) D．eq\f(16,81)【答案】B[因為隨機變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，又P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－(1－p)2＝eq\f(5,9)，解得p＝eq\f(1,3)，所以Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，則P(Y≥2)＝1－P(Y＝0)－P(Y＝1)＝eq\f(11,27).]5．(2024·陜西西安質(zhì)檢)中秋節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為eq\f(1,3)，乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5).假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少1人回老家過節(jié)的概率為()A．eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,60)【答案】B[“甲、乙、丙回老家過節(jié)”分別記為事務(wù)A，B，C，則P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,5)，所以P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(3,4)，P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(4,5)，由題意知，A，B，C相互獨立．所以三人都不回老家過節(jié)的概率P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5).故至少有一人回老家過節(jié)的概率P＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).]6．如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連結(jié)成一個系統(tǒng)．當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為____________．【答案】0．864[可知K，A1，A2三類元件正常工作相互獨立．所以當(dāng)A1，A2至少有一個能正常工作的概率為P＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系統(tǒng)能正常工作的概率為PK·P＝0.9×0.96＝0.864.]7．(2024·山東淄博月考)假如生男孩和生女孩的概率相等，則有3個小孩的家庭中女孩多于男孩的概率為_____________．【答案】eq\f(1,2)[設(shè)女孩個數(shù)為X，女孩多于男孩的概率為P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\f(1,2)＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝3×eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(1,2).]8．將一個大正方形平均分成9個小正方形，向大正方形區(qū)域隨機地投擲一個點(每次都能投中)，投中最左側(cè)3個小正方形區(qū)域的事務(wù)記為A，投中最上面3個小正方形或正中間的1個小正方形區(qū)域的事務(wù)記為B，則P(A|B)＝____________．【答案】eq\f(1,4)[依題意，隨機試驗共有9個不同的基本結(jié)果．由于隨機投擲，且小正方形的面積大小相等．所以事務(wù)B包含4個基本結(jié)果，事務(wù)AB包含1個基本結(jié)果．所以P(B)＝eq\f(4,9)，P(AB)＝eq\f(1,9)．所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(1,9),\f(4,9))＝eq\f(1,4).]9．某險種的基本保費為a(單位：元)，接著購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)01234≥5概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；【答案】解(1)設(shè)A表示事務(wù)“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事務(wù)A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1，故P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55．(2)設(shè)B表示事務(wù)“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，則事務(wù)B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，故P(B)＝0.1＋0.05＝0.15．又P(AB)＝P(B)，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.15,0.55)＝eq\f(3,11)．因此所求概率為eq\f(3,11)．[B級實力提升訓(xùn)練]10．設(shè)隨機變量X聽從二項分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，則函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點的概率是()A．eq\f(5,6) B．eq\f(4,5)C．eq\f(31,32) D．eq\f(1,2)【答案】C[∵函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋X存在零點，∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4，∵X聽從X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)))，∴P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－eq\f(1,25)＝eq\f(31,32).]11．投擲一枚圖釘，設(shè)釘尖向上的概率為p，連續(xù)擲一枚圖釘3次，若出現(xiàn)2次釘尖向上的概率小于3次釘尖向上的概率，則p的取值范圍為____________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))[設(shè)P(Bk)(k＝0,1,2,3)表示“連續(xù)投擲一枚圖釘，出現(xiàn)k次釘尖向上”的概率，由題意得P(B2)<P(B3)，即Ceq\o\al(2,3)p2(1－p)<Ceq\o\al(3,3)p3.∴3p2(1－p)<p3.由于0<p<1，∴eq\f(3,4)<p<1.]12．甲、乙兩個小組各10名學(xué)生的英語口語測試成果的莖葉圖如圖所示．現(xiàn)從這20名學(xué)生中隨機抽取一人，將“抽出的學(xué)生為甲小組學(xué)生”記為事務(wù)A；“抽出的學(xué)生英語口語測試成果不低于85分”記為事務(wù)B．則P(A|B)＝____________.甲乙6799476654321802459909【答案】eq\f(5,9)[“抽出的學(xué)生英語口語測試成果不低于85分”的事務(wù)有9種，其中“抽出的學(xué)生為甲小組學(xué)生”的事務(wù)有5種，所以P(A|B)＝eq\f(5,9).]13．(2024·浙江嘉興模擬)已知甲、乙兩名跳高運動員一次試跳2米高度勝利的概率分別是0.7,0.6，且每次試跳勝利與否之間沒有影響．(1)甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人勝利的概率是____________；(2)若甲、乙各試跳兩次，則甲比乙的勝利次數(shù)多一次的概率是____________．【答案】(1)0.88(2)0.3024[(1)記“甲在第i次試跳勝利”為事務(wù)Ai，“乙在第i次試跳勝利”為事務(wù)Bi，“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人勝利”為事務(wù)C．法一：P(C)＝P(A1eq\x\to(B1))＋P(eq\x\to(A1)B1)＋P(A1B1)＝P(A1)P(eq\x\to(B1))＋P(eq\x\to(A1))P(B1)＋P(A1)P(B1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88．法二：由對立事務(wù)的概率計算公式得P(C)＝1－P(eq\x\to(A1)eq\x\to(B1))＝1－P(eq\x\to(A1))P(eq\x\to(B1))＝1－0.3×0.4＝0.88．(2)設(shè)“甲在兩次試跳中勝利i次”為事務(wù)Mi，“乙在兩次試跳中勝利i次”為事務(wù)Ni，所以所求概率P＝P(M1N0)＋P(M2N1)＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1)＝Ceq\o\al(1,2)×0.7×0.3×0.42＋0.72×Ceq\o\al(1,2)×0.6×0.4＝0.3024.]14．2024年1月25日智能共享單車項目摩拜單車正式登陸濟南，兩種車型采納分段計費的方式，MobikeLite型(Lite版)每30分鐘收費0.5元(不足30分鐘的部分按30分鐘計算)；Mobike(經(jīng)典版)每30分鐘收費1元(不足30分鐘的部分按30分鐘計算)．有甲、乙、丙三人相互獨立的到租車點租車騎行(各租一車一次)．設(shè)甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2)，三人租車時間都不會超過60分鐘．甲、乙均租用Lite版單車，丙租用經(jīng)典版單車．(1)求甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率；(2)設(shè)甲、乙、丙三人所付的費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列．【答案】解(1)由題意得，甲、乙、丙在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)．設(shè)甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,24)．即甲、乙兩人所付的費用之和等于丙所付的費用的概率為eq\f(7,24)．(2)ξ的全部可能取值有2,2.5,3,3.5,4．P(ξ＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)；P(ξ＝2.5)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,24)；P(ξ＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(7,24)；P(ξ＝3.5)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,24)；P(ξ＝4)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,24)．甲、乙、丙三人所付的租車費用之和ξ的分布列為ξ22.533.54Peq\f(1,4)eq\f(5,24)eq\f(7,24)eq\f(5,24)eq\f(1,24)15．(2024·山東濟南模擬)為探討家用轎車在高速馬路上的車速狀況，交通部門隨機選取100名家用轎車駕駛員進行調(diào)查，得到其在高速馬路上行駛時的平均車速狀況為：在55名男性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有40人，不超過100km/h的有15人；在45名女性駕駛員中，平均車速超過100km/h的有20人，不超過100km/h的有25人．(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并推斷有多大的把握認為“平均車速超過100km/h與性別有關(guān)”？平均車速超過100km/h平均車速不超過100km/h總計男性駕駛員女性駕駛員總計附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0100.0050.001k02.0722.7063.8416.6357.87910.828(2)在被調(diào)查的駕駛員中，從平均車速不超過100km/h的人中隨機抽取2人，求這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員的概率；(3)以上述樣本數(shù)據(jù)估計總體，從高速馬路上行駛的家用轎車中隨機抽取3輛，記這3輛車平均車速超過100km/h且為男性駕駛員的車輛數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)．【答案】解(1)完成的2×2列聯(lián)表如下：平均車速超過100km/h平均車速不超過100km/h總計男性駕駛員401555女性駕駛員202545總計6040100K2＝eq\f(100×40×25－15×202,55×45×60×40)≈8.249>7.879，所以有99.5%的把握認為“平均車速超過100km/h與性別有關(guān)”．(2)平均車速不超過100km/h的駕駛員有40人，從中隨機抽取2人的方法總數(shù)為Ceq\o\al(2,40)，記“這2人恰好是1名男性駕駛員和1名女性駕駛員”為事務(wù)A，則事務(wù)A所包含的基本領(lǐng)件數(shù)為Ceq\o\al(1,15)Ceq\o\al(1,25)，所以所求的概率P(A)＝eq\f(C\o\al(1,15)C\o\al(1,25),C\o\al(2,40))＝eq\f(15×25,20×39)＝eq\f(25,52)．(3)依據(jù)樣本估計總體的思想，從總體中任取1輛車，平均車速超過100km/h且為男性駕駛員的概率為eq\f(40,100)＝eq\f(2,5)，故X～Beq\b\