第3屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題及答案

章1996年第三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽3.1理論力學(xué)試題1.是非題(共5題，每題3分，請?jiān)诖鸢讣埖南鄳?yīng)題號(hào)括弧內(nèi)填“是”或“非”)(1)一空間力系，若各力作用線與某一固定直線相平行，則其獨(dú)立的平衡方程只有5個(gè)。()(2)牽連運(yùn)動(dòng)為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，不一定有科氏加速度。()(3)平動(dòng)剛體各點(diǎn)的動(dòng)量對一軸的動(dòng)量矩之和可以用作用于質(zhì)心的剛體動(dòng)量對該軸的動(dòng)量矩表示。(4)平面運(yùn)動(dòng)剛體上慣性力系的合力必作用在剛體的質(zhì)心上。()(5)第二類拉格朗日方程的適用范圍是完整，理想約束，而動(dòng)力學(xué)普遍方程則沒有這些限制。()2.選擇題(共5題，每題5分，請將答案的序號(hào)填入答案紙的相應(yīng)題號(hào)括弧內(nèi))(1)已知一正方體，如圖3-1所示，各邊長為a,沿對角線BH作用一個(gè)力F,則該力在x,軸上的投影①0;②F/√2;③F/√6;(2)如圖3-2所示，三角形楔塊B置于楔塊A的斜面上，若A塊以vA=3m/s的速度向左運(yùn)動(dòng)，α=30°,則B塊的速度v?=()m/s。(3)在圖3-3所示系統(tǒng)中，滑塊A以勻速度v?=1m/s向下運(yùn)動(dòng)，桿CD長1m,當(dāng)α=45°且桿CD水平(4)一剛度系數(shù)為k的彈簧下掛一質(zhì)量為m的物體，如圖3-4所示。若物體從靜平衡位置(設(shè)靜伸長全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽賽題詳解及點(diǎn)評(píng)2021版為8)下降△距離，則彈性力所做的功為()。(5)圖3-5所示系統(tǒng)中主動(dòng)力作用點(diǎn)C、D、B的虛位移大小的3.填空題(共6題，第(1)~(4)題每題5分，第(5)、(6)題每題10分。請將答案填入答案紙的相應(yīng)題號(hào)括弧內(nèi))(1)如圖3-6所示，半徑為r,重為W的均質(zhì)圓柱體置于半徑為R的圓槽底部，接觸面間的摩擦因數(shù)為f。在圓柱體邊緣纏繞一不計(jì)重量的柔繩，端部懸掛重量為P的物體，則平衡時(shí)圓柱體的中心可以升高，OC連線的最大偏角θ可達(dá)()。(2)重物A的質(zhì)量為m,懸掛在剛度系數(shù)為K的鉛垂彈簧上，如圖3-7所示。若將彈簧截去一半，則系統(tǒng)的固有頻率為()。(3)如圖3-8所示，質(zhì)量為m,的物體上刻有半徑為r的半圓槽，放在光滑水平面上，原處于靜止?fàn)顟B(tài)，有一質(zhì)量為m?的小球自A處無初速地沿光滑半圓槽下滑，若m?=3m2,則小球滑至B處時(shí)，小球相對于物體的速度為()。(4)質(zhì)量為m的方塊沿傾斜的光滑斜面滑下，質(zhì)量為m,半徑為r的薄圓環(huán)沿傾角相同的粗糙斜面無確定，這個(gè)海洋環(huán)流處于()半球，緯度為()度。(1)圓盤的運(yùn)動(dòng)微分方程式(以轉(zhuǎn)角φ表示)是()。(2)甲蟲M的絕對運(yùn)動(dòng)微分方程式(以O(shè)M連線的轉(zhuǎn)角θ表示)是()。(3)圓盤沿切線方向給甲蟲的作用力是()。(4)甲蟲能升高到與0點(diǎn)相同高度的條件是()。圖3-10圖3-11(1)系統(tǒng)的自由度數(shù)是()。(2)系統(tǒng)質(zhì)心作()運(yùn)動(dòng)，其速度大小為()。全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽賽題詳解及點(diǎn)評(píng)2021版(3)在隨系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)坐標(biāo)系中觀察，方盤作()運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心0的軌跡是(),速度大小為()。(4)在上述平動(dòng)坐標(biāo)系中觀察，小球B作()運(yùn)動(dòng)，速度大小為()。(5)方盤對小球的作用力大小為(),方向()。3.2材料力學(xué)試題1.(10分)如圖3-12所示結(jié)構(gòu)，各桿的抗拉(壓)剛度均為EA,桿BG、DG、GE、CE長度均為l,在E處作用力F。求各桿的軸力F:(i=1,2,3,4)。2.(10分)一結(jié)構(gòu)如圖3-13所示，AB軸的抗扭剛度Glp、桿CD和FG的抗拉剛度EA、尺寸a及外力偶M皆已知。圓軸與橫梁牢固結(jié)合，垂直相交，立桿與橫梁鉸接，也垂直相交，橫梁可視為剛體。試求桿的軸力FN及圓軸所受的扭矩T。3.(10分)如圖3-14所示，等截面懸臂梁抗彎剛度EI已知，梁下有一曲面，方程為y=-Ax3。欲使梁變形后與該曲面密合(曲面不受力),問梁的自由端應(yīng)施加什么載荷，即求力F與力矩M的值。4.(10分)圖3-15所示剛性桿，由彈簧支持，彈簧剛度系數(shù)為K,試導(dǎo)出它的臨界載荷F。5.(10分)圖3-16所示圓桿，d=200mm,F=200πkN,E=200×103MPa,μ=0.3,[σ]=170MPa,在桿表面上K點(diǎn)處的84s。=-3×10-?。用第四強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度。第3章1996年第三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽6.(10分)圖3-17所示兩相同梁AB、CD,自由端間距當(dāng)重為W的物體突然加于AB梁的B點(diǎn)時(shí)，求CD梁C點(diǎn)的撓度w。7.(10分)長為l的懸臂梁，在距固定端s處放一重量為W的重物，重物與梁之間有摩擦因數(shù)f,如圖3-18所示。在自由端處作用力F。(1)什么條件下不加力F,重物就能滑動(dòng)。(5分)(2)需加F才能滑動(dòng)時(shí)求F的值。(5分)8.(10分)圖3-19所示帶鉸的梁，在鉸C處允許梁的轉(zhuǎn)角不連續(xù)，試求轉(zhuǎn)角間斷值△θ。梁的抗彎剛度為EI。9.(10分)如圖3-20所示，一半徑為a、長l的彈性圓軸(彈性模量為E、泊松比為μ),套在一剛性厚管內(nèi)，軸和管之間有初始間隙8,設(shè)軸受集中軸力F作用，當(dāng)F=F?時(shí)軸和剛性壁接觸，求F,值。(4分)當(dāng)F>F?后，壁和軸之間有壓力，記f為摩擦因數(shù)，這時(shí)軸能靠摩擦力來承受扭矩，當(dāng)扭矩規(guī)定為T時(shí)，求對應(yīng)的F值。(6分)10.(10分)相互夾角為120°的三片應(yīng)變花，應(yīng)變片1、2、3按逆時(shí)針編號(hào)，今測出8?、E?、E?,并發(fā)現(xiàn)e?=83,全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽賽題詳解及點(diǎn)評(píng)2021版11.(10分)如圖3-21所示，高為h的直立圓柱只受自重作用，單位長度的重量為γ,若將其上、下端固定且保持柱的原長h不變，且柱材料抗拉彈性模量E?不等于抗壓彈性模量E?,當(dāng)σ=0時(shí)，z=c,試確定c值。12.(10分)圖3-22所示的外伸梁受兩個(gè)集中力F?=F及F?=F作用。F?只允許作用在延伸段，(0≤x?≤l/4),而F?允許在支座間移動(dòng)(0≤x?≤1)。要使F?在支座間任意位置時(shí)，梁的彎矩都不超過許用彎矩[M],并使F取最大值，求F?作用點(diǎn)的最佳位置x?及對應(yīng)的最大F值。3.3理論力學(xué)試題參考答案及詳細(xì)解答1.是非題(1)非；(2)是；(3)是；(4)非；(5)非2.選擇題3.填空題(6)南半球；4.綜合分析題(A)第3章1996年第三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽5.綜合分析題(B)(1)系統(tǒng)自由度數(shù)3+1=4。(2)系統(tǒng)動(dòng)量守恒，系統(tǒng)質(zhì)心C作等速直線運(yùn)動(dòng)；速度大小)(3)方盤作平動(dòng)，0作圓周運(yùn)動(dòng)；速度大小(4)圓周運(yùn)動(dòng)；速度大小(5)向心力大小方向始終指向C點(diǎn)或0點(diǎn)3.填空題(3)解：如圖3-23所示，由動(dòng)能定理得得得(4)解：由動(dòng)能定理方塊下滑圓環(huán)下滾但(5)解：如圖3-24所示，在矩形塊運(yùn)動(dòng)的情況下，F(xiàn)=F?+F得Fc=-mac=-m(22×v,)圓周運(yùn)動(dòng),所以QQ解：(1)如圖3-27所示，對0軸的動(dòng)量矩定理第3章1996年第三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽(3)如圖3-28所示，有F-mgsinθ=mre得條件為解：(1)系統(tǒng)自由度數(shù)3+1=4。(2)如圖3-29所示，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，系統(tǒng)質(zhì)心C做勻速直線運(yùn)動(dòng)(3)方盤運(yùn)動(dòng)過程中只受小球B的作用力，此力通過方盤質(zhì)心0,故方盤做平動(dòng)，在隨質(zhì)心運(yùn)動(dòng)平動(dòng)坐標(biāo)系Cxy中觀察，故0做圓周運(yùn)動(dòng)。如圖3-30所示，質(zhì)系動(dòng)量矩守恒，用相對質(zhì)心動(dòng)量矩定理，有全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽賽題詳解及點(diǎn)評(píng)2021版所以方盤質(zhì)心0的速度為(4)小球相對平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)(5)小球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所受向心力大小為方向始終指向C點(diǎn)或0點(diǎn)。3.F=6AEI(向上),M=6EAIl(順時(shí)針)第3章1996年第三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽7.(1)當(dāng)2EIf≤Ws2時(shí)，不需加力重物就能滑動(dòng)；(2)加1.解：由對稱性F=FN由載荷作用點(diǎn)E處微段的平衡由節(jié)點(diǎn)G的平衡2.解：對軸，力矩平衡對桿協(xié)調(diào)條件即由式(3-1)、式(3-2)解出比較之求得F=6AEI(向上，圖3-31),M=6EAL(順時(shí)針，圖3-31)。4.解：如圖3-32所示，往上移動(dòng)δ后有力F?=Kδ,約束力為當(dāng)出現(xiàn)力矩不平衡，時(shí)即5252L5.解：由應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式故6.解：重物降下的位能V=W(w+8)變成兩桿的應(yīng)變能。第3章1996年第三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽即由題δ=Wc,代人后得即7.解：在0≤x≤s段tan|θ,l≈10,l≥f即Ws2+Fs(2l-s)≥2EIf8.解：研究組合梁CB,可知CB段不受力，ADC段為懸臂梁如圖3-33所示。(2)F>F?后，記△F全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽賽題詳解及點(diǎn)評(píng)2021版可求出即即而10.解：設(shè)最大主應(yīng)變?chǔ)欧较虬茨鏁r(shí)針轉(zhuǎn)過θ角后為e的方向，由應(yīng)變莫爾圓則有E?=80+rcos20(8。為圓心坐標(biāo)，r為半徑)可見sin20=0,可取θ=0,則e,即為最大主應(yīng)變&?=8o+r,另一主應(yīng)變?yōu)镋n=Eo-r。由于θ=0,故,解出11.解：設(shè)頂部應(yīng)力為σB,則應(yīng)力分布為第3章1996年第三屆全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽Mg=-由于x?給定后，x?可以變，求x?變時(shí)最大的Mc,即代入Mc得Fx?≤[M]從式(3-3)、式(3-4)兩式求x?使F最大(但x?不得超過l/4),可令兩式相等時(shí)達(dá)到，即滿足要求，由式(3-4)可得F=[M]/x?從第三屆起，競賽改名為全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽，以紀(jì)念我國著名力學(xué)家周培源先競賽發(fā)展的歷史告訴我們，不應(yīng)當(dāng)局限于競賽自身來看待發(fā)展，因?yàn)樗c所處的時(shí)代的科技發(fā)展水平與需求相關(guān)，同時(shí)也與當(dāng)時(shí)的教育理念與教育形勢緊密相關(guān)。第三屆競賽的時(shí)間正值教育部基礎(chǔ)力學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會(huì)組織完成考試題庫建設(shè)，根據(jù)有關(guān)方面建議，有50%的競賽題選自題庫。這在配合教育部基礎(chǔ)力學(xué)課程指導(dǎo)分委員會(huì)的工作，宣傳和應(yīng)用試題庫方面發(fā)揮了積極的作用。另一方面，大學(xué)生科技活動(dòng)和競賽的靈魂是創(chuàng)新，只有從當(dāng)代科技前沿、國家建設(shè)重大和關(guān)鍵技術(shù)問題，從常規(guī)工程和日常生活細(xì)微之處提煉基礎(chǔ)力學(xué)問題，才能保持競賽的活力，不斷發(fā)展，真正起到配合高校力學(xué)教育和校園文化建總體來看，本次競賽試題難度是歷屆最低的一次，特別是和第一屆相比難度有大幅度的下降，基本沒全國周培源大學(xué)生力學(xué)競賽賽題詳解及點(diǎn)評(píng)2021版選擇題在考查概念的同時(shí)，需要少量的計(jì)算，當(dāng)概念清楚時(shí)很可能不通過計(jì)算就能看出答案。填空題實(shí)際上是計(jì)算題，第(4)、(5)、(6)題有一定的計(jì)算量。最容易出錯(cuò)的是第(5)題，題目綜合分析題以質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)為主，解題時(shí)沒有特別需要注意的地方，是常規(guī)的作業(yè)題。選擇題需要簡單的計(jì)算，第(1)題中x?垂直于BHE平面，所以x?垂直于F。第(2)題利用運(yùn)動(dòng)的分解很簡單得到結(jié)果。第(3)題中找AB桿瞬心，很快可以得到結(jié)果，在第2問中，以AB桿為動(dòng)系，C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，則牽連速度和相對速度都沿AB桿方向，但絕對速度又要垂直于CD桿，只能是速度為零，不需要計(jì)算。第(4)題要注意彈簧力做的功等于前后兩位置的彈性勢能差，同時(shí)要從原長處開始計(jì)算彈性勢能。第(5)題注意AB桿作瞬時(shí)平動(dòng)就能看出答案。填空題也需要簡單的計(jì)算。其中第(1)題是平衡與摩擦角的問題，需注意平衡時(shí)圓柱體的受力為三個(gè)平行力，其中兩圓接觸處的力在臨界狀態(tài)下，沿摩擦角的邊緣，因此有arctanu。第(2)題考查彈簧的串并聯(lián)關(guān)系，在相同的載荷下，彈簧截去一半后變形也只有一半，因此短彈簧的剛度系數(shù)為原彈簧的兩倍。第(3)題利用動(dòng)能定理和動(dòng)量定理，即可得到結(jié)果。需要注意的是，本題的動(dòng)能和動(dòng)量都與絕對速度有關(guān)。第(4)題有兩種方法求解：一種是利用動(dòng)能定理列出系統(tǒng)動(dòng)能和重力做的功，求導(dǎo)后得到加速度。另一種是對圓環(huán)利用動(dòng)量和動(dòng)量矩求加速度，對方塊直接進(jìn)行受力分析得出加速度。兩種方法的工作量差不多。第(5)題容易“欺騙”學(xué)生，因?yàn)橥ǔＨ藗冋J(rèn)為向前加力，會(huì)使物體向前倒下，其實(shí)這是不自覺地假設(shè)作用力的位置比較高。要注意，當(dāng)作用力的位置比較低時(shí)，因?yàn)閼T性力的作用，物體是向后倒下的。因此，本題是動(dòng)力學(xué)問題而不是靜力學(xué)問題。如果考慮到這一點(diǎn)，本題做起來并不難，否則還會(huì)以為題目出錯(cuò)了呢!第(6)題是非慣性系問題，只要概念清楚，計(jì)算量并不大。綜合分析題(A)涉及動(dòng)量矩、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，還要進(jìn)行積分。本題的幾個(gè)小問題環(huán)環(huán)相扣，難度不大，但解題時(shí)仍要格外小心。第(1)題直接利用動(dòng)量矩定理，第(2)題不必另外做，只需要對(1)題的結(jié)果作參數(shù)變換。第(3)題直接利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，并把第(2)題的關(guān)系式代入。第(4)題是對第(2)題的結(jié)果進(jìn)