河北省石家莊市外國語學(xué)校2025年高三5月會考數(shù)學(xué)試題

河北省石家莊市外國語學(xué)校2025年高三5月會考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，設(shè)，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)底數(shù)），若關(guān)于x的不等式有且只有一個正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）A． B． C． D．3．若sin(α+3π2A．-12 B．-134．設(shè)全集集合，則（）A． B． C． D．5．為了貫徹落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧決策，某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計(jì)繪制如圖，其中各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)不重復(fù)．若該市老年低收入家庭共有900戶，則下列說法錯誤的是（）A．該市總有15000戶低收入家庭B．在該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有1800戶C．在該市無業(yè)人員中，低收入家庭有4350戶D．在該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有800戶6．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．27．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．8．在的展開式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．159．設(shè)，且，則（）A． B． C． D．10．設(shè)、，數(shù)列滿足，，，則（）A．對于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立B．對于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立C．對于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立D．對于任意，都存在實(shí)數(shù)，使得恒成立11．由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則“a1>0”是“S9>S8”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若，，則（）A．5 B．3 C．－12 D．－13二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中的系數(shù)為__________．14．已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集是，則的值為_____．15．已知數(shù)列的前項(xiàng)滿足，則______.16．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動的情況，某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，繪制圖表的一部分如表.（1）從男生中隨機(jī)抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在的概率：（2）從參加公益勞動時間的學(xué)生中抽取3人進(jìn)行面談，記為抽到高中的人數(shù)，求的分布列；（3）當(dāng)時，高中生和初中生相比，那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動時間較長.（直接寫出結(jié)果）18．（12分）已知函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)為．（1）當(dāng)時，求的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時，證明：．19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在是單調(diào)遞減的函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：.20．（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）過點(diǎn)（0,），且滿足a+b＝3．（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓C交于兩個不同點(diǎn)A，B，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,1），設(shè)直線MA與MB的斜率分別為k1，k2，試問k1+k2是否為定值？并說明理由．21．（12分）（某工廠生產(chǎn)零件A，工人甲生產(chǎn)一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為，工人乙生產(chǎn)一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分別為．己知生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品零件A給工廠帶來的效益分別為10元、5元、2元.（1）試根據(jù)生產(chǎn)一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術(shù)的好壞；（2）為鼓勵工人提高技術(shù)，工廠進(jìn)行技術(shù)大賽，最后甲乙兩人進(jìn)入了決賽．決賽規(guī)則是：每一輪比賽，甲乙各生產(chǎn)一件零件A，如果一方生產(chǎn)的零件A品級優(yōu)干另一方生產(chǎn)的零件，則該方得分1分，另一方得分-1分，如果兩人生產(chǎn)的零件A品級一樣，則兩方都不得分，當(dāng)一方總分為4分時，比賽結(jié)束，該方獲勝．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲總分為i時，最終甲獲勝的概率．①寫出P0，P8的值；②求決賽甲獲勝的概率．22．（10分）已知函數(shù)，設(shè)的最小值為m.（1）求m的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，b，使得，？并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，可判斷關(guān)系；由時，，求得導(dǎo)函數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)，由進(jìn)而判斷函數(shù)在時的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】為定義在上的偶函數(shù)，所以所以;當(dāng)時，，則，令則，當(dāng)時，，則在時單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，則在時單調(diào)遞增，而，所以，綜上可知，即，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，由導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.2、A【解析】

若不等式有且只有一個正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，分別畫出與的圖象，結(jié)合圖象可得.【詳解】解：，∴，設(shè)，∴，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，當(dāng)時，，當(dāng)，，函數(shù)恒過點(diǎn)，分別畫出與的圖象，如圖所示，，若不等式有且只有一個正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值，∴且，即，且∴，故實(shí)數(shù)m的最大值為，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、B【解析】

由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因?yàn)閟inα+3π2=3故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

先求出，再與集合N求交集.【詳解】由已知，，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算，涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算，是一道容易題.5、D【解析】

根據(jù)給出的統(tǒng)計(jì)圖表，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可得到正確答案.【詳解】解：由題意知，該市老年低收入家庭共有900戶，所占比例為6%，則該市總有低收入家庭900÷6%＝15000（戶），A正確，該市從業(yè)人員中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（戶），B正確，該市無業(yè)人員中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（戶），C正確，該市大于18歲在讀學(xué)生中，低收入家庭有15000×4%＝600（戶），D錯誤．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查對統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識和分析，這類題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容，讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.7、A【解析】

設(shè)為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，可得，即，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，，，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.8、C【解析】

寫出展開式的通項(xiàng)公式，令，即，則可求系數(shù)．【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，令，即時，系數(shù)為．故選C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．9、C【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出，即可求出的范圍.【詳解】即故選：C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解，屬于簡單題目.10、D【解析】

取，可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使，只需，由此可得到答案.【詳解】取，，數(shù)列恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項(xiàng)；由蛛網(wǎng)圖可知，存在兩個不動點(diǎn)，且，，因?yàn)楫?dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，則；當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減，則；所以要使，只需要，故，化簡得且.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于難題．11、C【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：若{an}是等比數(shù)列，則，

若，則，即成立，

若成立，則，即，

故“”是“”的充要條件，

故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.12、B【解析】

由題得，，解得，，計(jì)算可得.【詳解】，，，，解得，，.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

分別用1和進(jìn)行分類討論即可【詳解】當(dāng)?shù)谝粋€因式取1時，第二個因式應(yīng)取含的項(xiàng)，則對應(yīng)系數(shù)為：；當(dāng)?shù)谝粋€因式取時，第二個因式應(yīng)取含的項(xiàng)，則對應(yīng)系數(shù)為：；故的展開式中的系數(shù)為.故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理中具體項(xiàng)對應(yīng)系數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】

根據(jù)題意可知的兩根為,再根據(jù)解集的區(qū)間端點(diǎn)得出參數(shù)的關(guān)系,再求解即可.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù),關(guān)于的不等式的解集是的兩根為：和；所以有：且；且；；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的解集與參數(shù)之間的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由已知寫出用代替的等式，兩式相減后可得結(jié)論，同時要注意的求解方法．【詳解】∵①，∴時，②，①－②得，∴，又，∴（）．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求數(shù)列通項(xiàng)公式，由已知條件．類比已知求的解題方法求解．16、【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）詳見解析（3）初中生平均參加公益勞動時間較長【解析】

（1）由圖表直接利用隨機(jī)事件的概率公式求解；（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，則分布列可求；（3）由圖表直接判斷結(jié)果.【詳解】（1）100名學(xué)生中共有男生48名，其中共有20人參加公益勞動時間在，設(shè)男生中隨機(jī)抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在的事件為，那么；（2）的所有可能取值為0，1，2，3.∴；；；.∴隨機(jī)變量的分布列為：（3）由圖表可知，初中生平均參加公益勞動時間較長.【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型的計(jì)算，考查超幾何分布的分布列的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

當(dāng)時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)；

當(dāng)時，分類討論x的范圍，可令新函數(shù)，計(jì)算新函數(shù)的最值可證明．【詳解】(1)的定義域?yàn)楫?dāng)時，，，易知為上的增函數(shù)，又，所以是的唯一零點(diǎn)；(2)證明：當(dāng)時，，①若，則，所以成立，②若，設(shè)，則，令，則，因?yàn)?，所以，從而在上單調(diào)遞增，所以，即，在上單調(diào)遞增；所以，即，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性，零點(diǎn)的求法．注意分類討論和構(gòu)造新函數(shù)求函數(shù)的最值的應(yīng)用．19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由在上恒成立，采用分離參數(shù)法求解；（2）觀察函數(shù)，不等式湊配后知，利用時可證結(jié)論．【詳解】（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即在上恒成立因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞減的，所以，所以（2）因?yàn)?，所以由?）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減所以即所以.【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式．解題關(guān)鍵是把不等式與函數(shù)的結(jié)論聯(lián)系起來，利用函數(shù)的特例得出不等式的證明．20、（1）（2）k1+k2為定值0，見解析【解析】

（1）利用已知條件直接求解，得到橢圓的方程；（2）設(shè)直線在軸上的截距為，推出直線方程，然后將直線與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用韋達(dá)定理求出，然后化簡求解即可.【詳解】（1）由橢圓過點(diǎn)（0,），則，又a+b＝3，所以，故橢圓的方程為；（2），證明如下：設(shè)直線在軸上的截距為，所以直線的方程為：，由得：，由得，設(shè)，則，所以，又，所以，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.21、（1）乙的技術(shù)更好，見解析（2）①，；②【解析】

（1）列出分布列，求出期望，比較大小即可；（2）①直接根據(jù)概率的意義可得P0，P8；②設(shè)每輪比賽甲得分為，求出每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，可的，可推出是等差數(shù)列，根據(jù)可得答案.【詳解】（1）記甲乙各生產(chǎn)一件零件給工廠帶來的效益分別為元、元，隨機(jī)變量，的分布列分別為10521052所以，，所以，即乙的技術(shù)更好（2）①表示的是甲得分時，甲最終獲勝的概率，所以，表示的是甲得4分時，甲最終獲勝的概率，所以；②設(shè)每輪比賽甲得分為，則每輪比賽甲得1分的概率，甲得0分的概率，甲得分的概率，所以甲得時，最終獲