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湖北省武漢市部分市級(jí)示范高中2025屆高三第一次月考試題數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量,(其中為實(shí)數(shù)),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.已知集合,則為()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]3.在中,分別為所對(duì)的邊,若函數(shù)有極值點(diǎn),則的范圍是()A. B.C. D.4.的展開式中,含項(xiàng)的系數(shù)為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的值域?yàn)?,函?shù),則的圖象的對(duì)稱中心為()A. B.C. D.6.已知函數(shù),則不等式的解集為()A. B. C. D.7.“是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.直線x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.9.《易經(jīng)》包含著很多哲理,在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用,《易經(jīng)》的博大精深,對(duì)今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田,圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖,八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為,陰陽(yáng)太極圖的半徑為,則每塊八卦田的面積約為()A. B.C. D.10.設(shè)集合,則()A. B.C. D.11.集合的真子集的個(gè)數(shù)為()A.7 B.8 C.31 D.3212.將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知角的終邊過(guò)點(diǎn),則______.14.已知變量(m>0),且,若恒成立,則m的最大值________.15.如圖,在中,已知,為邊的中點(diǎn).若,垂足為,則的值為__.16.在邊長(zhǎng)為2的正三角形中,,則的取值范圍為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足:,,且對(duì)任意的都有,(Ⅰ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅱ)證明:對(duì)任意,都有;(Ⅲ)證明:.18.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,為數(shù)列的前項(xiàng)和.求證:.19.(12分)已知,.(1)當(dāng)時(shí),證明:;(2)設(shè)直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線,若直線也與相切,求正整數(shù)的值.20.(12分)為了解廣大學(xué)生家長(zhǎng)對(duì)校園食品安全的認(rèn)識(shí),某市食品安全檢測(cè)部門對(duì)該市家長(zhǎng)進(jìn)行了一次校園食品安全網(wǎng)絡(luò)知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查,每一位學(xué)生家長(zhǎng)僅有一次參加機(jī)會(huì),現(xiàn)對(duì)有效問(wèn)卷進(jìn)行整理,并隨機(jī)抽取出了200份答卷,統(tǒng)計(jì)這些答卷的得分(滿分:100分)制出的頻率分布直方圖如圖所示,由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問(wèn)卷調(diào)查的得分服從正態(tài)分布,其中近似為這200人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表).(1)請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求;(2)該市食品安全檢測(cè)部門為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的學(xué)生家長(zhǎng)制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:①得分不低于的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi):②每次獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為:獲贈(zèng)的隨機(jī)話費(fèi)(單位:元)概率市食品安全檢測(cè)部門預(yù)計(jì)參加此次活動(dòng)的家長(zhǎng)約5000人,請(qǐng)依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出多少話費(fèi)?附:①;②若;則,,.21.(12分)已知函數(shù).(1)若,求的取值范圍;(2)若,對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍.22.(10分)已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且為與的等差中項(xiàng).(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求的前100項(xiàng)和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個(gè)條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點(diǎn)睛】本小題考查平面向量的運(yùn)算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識(shí).2、B【解析】
先求出,得到,再結(jié)合集合交集的運(yùn)算,即可求解.【詳解】由題意,集合,所以,則,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的混合運(yùn)算,其中解答中熟記集合的交集、補(bǔ)集的定義及運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】試題分析:由已知可得有兩個(gè)不等實(shí)根.考點(diǎn):1、余弦定理;2、函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理,函數(shù)的極值,涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想,考查邏輯思維能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力,綜合性較強(qiáng),屬于較難題型.首先利用轉(zhuǎn)化化歸思想將原命題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根,從而可得.4、B【解析】
在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中,令的冪指數(shù)等于,求出的值,即可求得含項(xiàng)的系數(shù).【詳解】的展開式通項(xiàng)為,令,得,可得含項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
由值域?yàn)榇_定的值,得,利用對(duì)稱中心列方程求解即可【詳解】因?yàn)?,又依題意知的值域?yàn)?,所以得,,所以,令,得,則的圖象的對(duì)稱中心為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì),考查函數(shù)的對(duì)稱中心,重點(diǎn)考查值域的求解,易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)稱中心縱坐標(biāo)錯(cuò)寫為06、D【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,得到,且,解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)椋詾樯系呐己瘮?shù),因?yàn)楹瘮?shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因?yàn)?,所以,且,解?故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷,考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、C【解析】,令解得當(dāng),的圖像如下圖當(dāng),的圖像如下圖由上兩圖可知,是充要條件【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件的概念,以及函數(shù)圖像的畫法.8、A【解析】
由直線x-3y+3=0過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,得到左焦點(diǎn)為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F,令所以c=3,即橢圓的左焦點(diǎn)為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因?yàn)镕C=2CA,所以FA=3又由點(diǎn)A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a,b,c的齊次式,轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,即可得9、B【解析】
由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個(gè)三角形的面積,再計(jì)算出圓面積的,兩面積作差即可求解.【詳解】由圖,正八邊形分割成個(gè)等腰三角形,頂角為,設(shè)三角形的腰為,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面積為:,所以每塊八卦田的面積約為:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記定理與面積公式,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可.【詳解】解:;∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義,以及交集、并集的運(yùn)算,是基礎(chǔ)題.11、A【解析】
計(jì)算,再計(jì)算真子集個(gè)數(shù)得到答案.【詳解】,故真子集個(gè)數(shù)為:.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的真子集個(gè)數(shù),意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、D【解析】
采取分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用,插空法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,求得的值.【詳解】解:∵角的終邊過(guò)點(diǎn),∴,,∴,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
在不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù),然后構(gòu)造函數(shù)f(x)=,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得,即x2lnx1<x1lnx2,又即成立,設(shè)f(x)=,x∈(0,m),∵x1<x2,f(x1)<f(x2),則函數(shù)f(x)在(0,m)上為增函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1,得0<x<e,即函數(shù)f(x)的最大增區(qū)間為(0,e),則m的最大值為e故答案為:e【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用,根據(jù)條件利用取對(duì)數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù),是解決本題的關(guān)鍵15、【解析】
,由余弦定理,得,得,,,所以,所以.點(diǎn)睛:本題考查平面向量的綜合應(yīng)用.本題中存在垂直關(guān)系,所以在線性表示的過(guò)程中充分利用垂直關(guān)系,得到,所以本題轉(zhuǎn)化為求長(zhǎng)度,利用余弦定理和面積公式求解即可.16、【解析】
建立直角坐標(biāo)系,依題意可求得,而,,,故可得,且,由此構(gòu)造函數(shù),,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得取值范圍.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),,,,根據(jù),即,,,則,,即,,,則,,所以,,,,,,且,故,設(shè),,易知二次函數(shù)的對(duì)稱軸為,故函數(shù)在,上的最大值為,最小值為,故的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意通過(guò)設(shè)元、消元,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為元二次函數(shù)的值域問(wèn)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】分析:(1)用反證法證明,注意應(yīng)用題中所給的條件,有效利用,再者就是注意應(yīng)用反證法證題的步驟;(2)將式子進(jìn)行相應(yīng)的代換,結(jié)合不等式的性質(zhì)證得結(jié)果;(3)結(jié)合題中的條件,應(yīng)用反證法求得結(jié)果.詳解:證明:(Ⅰ)證明:采用反證法,若不成立,則若,則,與任意的都有矛盾;若,則有,則與任意的都有矛盾;故對(duì)任意,都有成立;(Ⅱ)由得,則,由(Ⅰ)知,,即對(duì)任意,都有;.(Ⅲ)由(Ⅱ)得:,由(Ⅰ)知,,∴,∴,即,若,則,取時(shí),有,與矛盾.則.得證.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)命題的證明問(wèn)題,在證題的過(guò)程中,注意對(duì)題中的條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化,注意對(duì)式子的等價(jià)變形,以及證題的思路,要掌握證明問(wèn)題的方法,尤其是反證法的證題思路以及證明步驟.18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)利用求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)先將縮小即,由此結(jié)合裂項(xiàng)求和法、放縮法,證得不等式成立.【詳解】(1)∵,令,得.又,兩式相減,得.∴.(2)∵.又∵,,∴.∴.∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求,考查利用放縮法證明不等式,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.19、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)令,求導(dǎo),可知單調(diào)遞增,且,,因而在上存在零點(diǎn),在此取得最小值,再證最小值大于零即可.(2)根據(jù)題意得到在點(diǎn)處的切線的方程①,再設(shè)直線與相切于點(diǎn),有,即,再求得在點(diǎn)處的切線直線的方程為②由①②可得,即,根據(jù),轉(zhuǎn)化為,,令,轉(zhuǎn)化為要使得在上存在零點(diǎn),則只需,求解.【詳解】(1)證明:設(shè),則,單調(diào)遞增,且,,因而在上存在零點(diǎn),且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,從而的最小值為.所以,即.(2),故,故切線的方程為①設(shè)直線與相切于點(diǎn),注意到,從而切線斜率為,因此,而,從而直線的方程也為②由①②可知,故,由為正整數(shù)可知,,所以,,令,則,當(dāng)時(shí),為單調(diào)遞增函數(shù),且,從而在上無(wú)零點(diǎn);當(dāng)時(shí),要使得在上存在零點(diǎn),則只需,,因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù),,所以;因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù),且,因此;因?yàn)闉檎麛?shù),且,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于難題.20、(1);(2)估計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出100000元話費(fèi)【解析】
(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求的值.(2)設(shè)某家長(zhǎng)參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話費(fèi)為元,利用題設(shè)條件求出其分布列,再利用公式求出其期望后可得計(jì)此次活動(dòng)可能贈(zèng)送出的話費(fèi)數(shù)額.【詳解】(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計(jì)表,結(jié)合題中所給的條件,可以求得又,,所以;(2)根據(jù)題意,某家長(zhǎng)參加活動(dòng)可獲贈(zèng)話費(fèi)的可能值有10,20,30,40元,且每位家長(zhǎng)獲得贈(zèng)送1次、2次話費(fèi)的概率都為,得10元的情況為低于平均值,概率,得20元的情況有兩種,得分低于平均值,一次性獲20元話費(fèi);得分不低于平均值,2次均獲贈(zèng)10元話費(fèi),概率,得30元的情況為:得分不低于平均值,一次獲贈(zèng)10元話費(fèi),另一次獲贈(zèng)20元話費(fèi),其概率為,得40元的其情況
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