2025屆遼寧省撫順市“撫順六校協(xié)作體”高三下學期質(zhì)檢考試數(shù)學試題

2025屆遼寧省撫順市“撫順六校協(xié)作體”高三下學期質(zhì)檢考試數(shù)學試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設全集為R，集合，，則A． B． C． D．2．函數(shù)在的圖象大致為A． B．C． D．3．如圖是2017年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（）A．2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江?。瓸．與去年同期相比，2017年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長．C．2017年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個D．去年同期河南省的GDP總量不超過4000億元．4．已知數(shù)列的通項公式是，則（）A．0 B．55 C．66 D．785．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．6．數(shù)學中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論：①曲線C經(jīng)過5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2；③曲線C圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④7．在中，點D是線段BC上任意一點，，，則（）A． B．-2 C． D．28．已知雙曲線，點是直線上任意一點，若圓與雙曲線的右支沒有公共點，則雙曲線的離心率取值范圍是（）．A． B． C． D．9．已知，若方程有唯一解，則實數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．10．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度11．網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1單位長度，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）A．1 B． C．3 D．412．設全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從2、3、5、7、11、13這六個質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）14．函數(shù)的圖象在處的切線方程為__________．15．已知點是拋物線的準線上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，P為拋物線上的點，且，若雙曲線C中心在原點，F(xiàn)是它的一個焦點，且過P點，當m取最小值時，雙曲線C的離心率為______.16．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的前n項和______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)（其中），且函數(shù)在處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）若函數(shù)，求證：恒成立.18．（12分）已知，其中．（1）當時，設函數(shù)，求函數(shù)的極值．（2）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．19．（12分）已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．20．（12分）已知數(shù)列{an}的各項均為正，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，an2+2an＝4Sn+1．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn，求數(shù)列{bn}的前n項和．21．（12分）如圖所示，三棱柱中，平面，點，分別在線段，上，且，，是線段的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，，，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）某學校為了解全校學生的體重情況，從全校學生中隨機抽取了100人的體重數(shù)據(jù)，得到如下頻率分布直方圖，以樣本的頻率作為總體的概率.（1）估計這100人體重數(shù)據(jù)的平均值和樣本方差；(結(jié)果取整數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)（2）從全校學生中隨機抽取3名學生，記為體重在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重近似服從正態(tài)分布.若，則認為該校學生的體重是正常的.試判斷該校學生的體重是否正常?并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】分析：由題意首先求得，然后進行交集運算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.2．A【解析】

因為，所以排除C、D．當從負方向趨近于0時，，可得.故選A．3．C【解析】

利用圖表中的數(shù)據(jù)進行分析即可求解.【詳解】對于A選項：2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，故A正確；對于B選項：與去年同期相比，2017年第一季度5省的GDP均有不同的增長，所以其總量也實現(xiàn)了增長，故B正確；對于C選項：2017年第一季度GDP總量由高到低排位分別是：江蘇、山東、浙江、河南、遼寧，2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分別是：江蘇、遼寧、山東、河南、浙江，均居同一位的省有2個，故C錯誤；對于D選項：去年同期河南省的GDP總量，故D正確.故選：C.【點睛】本題考查了圖表分析，學生的分析能力，推理能力，屬于基礎題.4．D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值，可進一步得到數(shù)列的通項公式，然后代入轉(zhuǎn)化計算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，所以當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，，所以故選：D【點睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.5．B【解析】

先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應,切不可錯位.6．B【解析】

利用基本不等式得，可判斷②；和聯(lián)立解得可判斷①③；由圖可判斷④.【詳解】，解得（當且僅當時取等號），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線C相切于點，，，，則①和③都錯誤；由，得④正確.故選：B.【點睛】本題考查曲線與方程的應用，根據(jù)方程，判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論，考查學生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.7．A【解析】

設，用表示出，求出的值即可得出答案.【詳解】設由，，.故選：A【點睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎題.8．B【解析】

先求出雙曲線的漸近線方程，可得則直線與直線的距離，根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點，可得，解得即可．【詳解】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，∵是直線上任意一點，則直線與直線的距離，∵圓與雙曲線的右支沒有公共點，則，∴，即，又故的取值范圍為，故選：B．【點睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關系，以及兩平行線間的距離公式，其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點得出是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．9．B【解析】

求出的表達式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實根的分布，求出的范圍即可．【詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數(shù)恒過，，由，，可得，，，若方程有唯一解，則或，即或；當即圖象相切時，根據(jù)，，解得舍去），則的范圍是，故選：．【點睛】本題考查函數(shù)的零點問題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．10．C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.11．A【解析】

采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱錐，然后根據(jù)錐體體積公式，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)三視圖可知：該幾何體為三棱錐如圖該幾何體為三棱錐，長度如上圖所以所以所以故選：A【點睛】本題考查根據(jù)三視圖求直觀圖的體積，熟悉常見圖形的三視圖：比如圓柱，圓錐，球，三棱錐等；對本題可以利用長方體，根據(jù)三視圖刪掉沒有的點與線，屬中檔題.12．A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以，又因為.所以.故選：A.【點睛】本題考查集合間的基本運算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

依據(jù)古典概型的計算公式，分別求“任取兩個數(shù)”和“任取兩個數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù)，計算即可。【詳解】“任取兩個數(shù)”的事件數(shù)為，“任取兩個數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有（2,3），（2,5），（2,11）共3個，所以任取兩個數(shù)，這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?！军c睛】本題主要考查古典概型的概率求法。14．【解析】

利用導數(shù)的幾何意義,對求導后在計算在處導函數(shù)的值,再利用點斜式列出方程化簡即可.【詳解】,則切線的斜率為.又,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即.故答案為：【點睛】本題主要考查了根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點處的切線方程問題,需要注意求導法則與計算,屬于基礎題.15．【解析】

由點坐標可確定拋物線方程，由此得到坐標和準線方程；過作準線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線定義可得，可知當直線與拋物線相切時，取得最小值；利用拋物線切線的求解方法可求得點坐標，根據(jù)雙曲線定義得到實軸長，結(jié)合焦距可求得所求的離心率.【詳解】是拋物線準線上的一點拋物線方程為，準線方程為過作準線的垂線，垂足為，則設直線的傾斜角為，則當取得最小值時，最小，此時直線與拋物線相切設直線的方程為，代入得：，解得：或雙曲線的實軸長為，焦距為雙曲線的離心率故答案為：【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解問題，涉及到拋物線定義和標準方程的應用、雙曲線定義的應用；關鍵是能夠確定當取得最小值時，直線與拋物線相切，進而根據(jù)拋物線切線方程的求解方法求得點坐標.16．【解析】

,求得的通項，進而求得,得通項公式，利用等比數(shù)列求和即可.【詳解】由題為等差數(shù)列，∴,∴,∴,∴,故答案為【點睛】本題考查求等差數(shù)列數(shù)列通項，等比數(shù)列求和，熟記等差等比性質(zhì)，熟練運算是關鍵，是基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導得到，解得答案.（2）變形得到，令函數(shù)，求導得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間得到，，得到證明.【詳解】（1），，解得.（2）得，變形得，令函數(shù)，，令解得，當時，時.函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，即，即，恒成立.【點睛】本題考查了根據(jù)切線求參數(shù)，證明不等式，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，綜合應用能力.18．（1）極大值，無極小值；（2）．（3）見解析【解析】

（1）先求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)極值的關系即可求出；（2）先求導，再函數(shù)在區(qū)間上遞增，分離參數(shù)，構造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問題得以解決；（3）取得到，取，可得，累加和根據(jù)對數(shù)的運算性和放縮法即可證明.【詳解】解：（1）當時，設函數(shù)，則令，解得當時，，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當時，函數(shù)取得極大值，即極大值為，無極小值；（2）因為，所以，因為在區(qū)間上遞增，所以在上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．當時，在區(qū)間上恒成立，當時，，設，則在區(qū)間上恒成立．所以在單調(diào)遞增，則，所以，即綜上所述．（3）由（2）可知當時，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，即，取，則．所以所以【點睛】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問題，以及不等式的證明，構造函數(shù)是關鍵，屬于較難題.19．≤x≤【解析】由題知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，當且僅當(a＋b)·(a－b)≥0時取等號，∴的最小值等于2.∴x的范圍即為不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.20．（1）an＝2n+1；（2）2．【解析】

（1）根據(jù)題意求出首項，再由（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，求得該數(shù)列為等差數(shù)列即可求得通項公式；（2）利用錯位相減法進行數(shù)列求和.【詳解】（1）∵an2+2an＝4Sn+1，∴a12+2a1＝4S1+1，即，解得：a1＝1或a1＝﹣1（舍），又∵an+12+2an+1＝4Sn+1+1，∴（an+12+2an+1）﹣（an2+2an）＝4an+1，整理得：（an+1﹣an）（an+1+an）＝2（an+1+an），又∵數(shù)列{an}的各項均為正，∴an+1﹣an＝2，∴數(shù)列{an}是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，∴數(shù)列{an}的通項公式an＝1+2（n﹣1）＝2n+1；（2）由（1）可知bn，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則Tn＝1?5?（2n+1）?，Tn＝1?5??…+（2n﹣1）?（2n+1）?，錯位相減得：Tn＝1+2（?）﹣（2n+1）?＝1+2，∴Tn（）＝2．【點睛】此題考查求等差數(shù)列的基本量，根據(jù)遞推關系判定等差數(shù)列，根據(jù)錯位相減進行數(shù)列求和，關鍵在于熟記方法準確計算.21．（Ⅰ）證明見詳解；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）取中點為，根據(jù)幾何關系，求證四邊形為平行四邊形，即可由線線平行推證線面平行；（Ⅱ）以為坐標原點，建立空間直角坐標系