數(shù)列的應(yīng)用（解析版）-2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練（人教B版選擇性必修第三冊）

第07講數(shù)列的應(yīng)用

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，熟記通項(xiàng)公式與求

1.理解并掌握“等額本金還款法”、“等額本和公式；

息還款法”及應(yīng)用；2.能用數(shù)列知識求解分歧還款、政府支的“乘數(shù)”效應(yīng)

2.理解并掌握政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)及數(shù)以及其他的實(shí)際問題；

列的其他應(yīng)用；3.進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素

養(yǎng)。

分期付款問題

產(chǎn)值增長問題

數(shù)列中的繁殖問題

數(shù)列中的圖推問題

03知識清單

知識點(diǎn)01分期還款

1.等額本金還款法

將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本

金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率，一次這種方式中，每期還

款金額=笑轄+（貸款本金-已還本金總額）X利率

還款期數(shù)

2.等額本息還款法

將本金和利息平均分配到每一期進(jìn)行償還，因此每一次還錢數(shù)相等，即q=&=%=…=%，每期還

款金額=4（1+可，其中4為貸款時的資金，廠為銀行貸款月利率，加為還款總期數(shù)（單位：月）

（l+r）m-l'

【即學(xué)即練1］（24-25高一上學(xué)期課時作業(yè)）某企業(yè)在2024年年初貸款M萬元，年利率為加，從該年年末

開始，每年償還的金額都是a萬元，并恰好在10年間還清，則a的值為（）

M（1+m）10MmMm（l+m）10Mm（l+

ABD

-（i+4°-i-（i+4°u（i+“一i-（i+4°+i

【答案】C

【分析】由已知條件和分期付款公式列方程求解即可

【詳解】由已知條件和分期付款公式，可得

Q［（1+加）9+（l+m）8H----F（1+加）+1］=M（l+m）10,

?'a=vo~?

（1+加）—1

故選：c

知識點(diǎn)02政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)

1.政府支出的“乘數(shù)”效應(yīng)定義

為落實(shí)惠民政策，假設(shè)正負(fù)增加某項(xiàng)支出為。億元，每個受惠的居民會將額外收入以r（r〉0）的比率用

于國內(nèi)消費(fèi)（最初政府支出也算是國內(nèi)消費(fèi)）。如果設(shè)第九輪消費(fèi)的金額為凡億元，那么4=。/',經(jīng)過〃

n+1

1_r

輪影響之后，最后的國內(nèi)消費(fèi)總額是。+“+“2+…=。------。最后的國內(nèi)消費(fèi)總額將會是。億

1-r

元的倍數(shù)，也就是說有了“乘數(shù)”效應(yīng)。

2.有關(guān)概念的理解

（1）“乘數(shù)”效應(yīng)

①“乘數(shù)”效應(yīng)是一種宏觀的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)，是指經(jīng)濟(jì)活動中某一變量的增減所引起的經(jīng)濟(jì)總量變化的連

鎖反應(yīng)程度；

②財政政策乘數(shù)是研究財政收支變化對過國民經(jīng)濟(jì)的影響，其中包括財政支出乘數(shù)、稅收乘數(shù)和平衡

預(yù)算乘數(shù)；

（2）政府支出：政府的財政支出（把政府消費(fèi)支出和政府投資支出）是一種與居民投資十分類似的高

效能支出，政府在商品和服務(wù)商的一項(xiàng)采購，將會引發(fā)一系列的再支出。因此任何一屆政府在選擇經(jīng)濟(jì)政

策時，究竟是采取擴(kuò)張性政策還是收縮性政策，在采取動作前必須知道實(shí)際的乘數(shù)究竟有多大，否則將會

對國民經(jīng)濟(jì)造成極大的傷害。

【即學(xué)即練2］（24-25高二上?全國?單元測試）某工廠2024年1月的生產(chǎn)總值為。萬元，計(jì)劃從2024年2

月起，每月生產(chǎn)總值比上一個月增長〃?％,則到2025年8月底該廠的生產(chǎn)總值為萬元.

【答案】a（l+m%）19

【分析】利用等比數(shù)列的求和公式可得答案.

【詳解】由己知可得2024年1月到2025年8月底每月的生產(chǎn)總值是以。為首項(xiàng)，

公比為1+機(jī)％的等比數(shù)列，

則到2。25年8月底該廠的生產(chǎn)總值為七;gL,2％廣萬元.

故答案為：a（1+機(jī)％戶.

04題型精講

題型01分期付款問題

【典例1］（23-24高二下?河南南陽?期中）剛考入大學(xué)的小明準(zhǔn)備向銀行貸款。元購買一臺筆記本電腦，然

后上學(xué)的時候通過勤工儉學(xué)來分期還款.小明與銀行約定：每個月月末還一次款，分12次還清所有的欠款,

且每個月還款的錢數(shù)都相等，貸款的月利率為九則小明每個月所要還款的錢數(shù)為（）元.

a(l+爐+

A.41+J2I212

12[(1+O-1](1+0-1

【答案】D

【分析】根據(jù)等額本息還款法，分別寫出第一個月末，第二個月末，…，第12個月末所欠銀行貸款，其中

第12月末還清所有的欠款，利用遞推關(guān)系由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式列出方程求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)小明每個月所要還款的錢數(shù)為x元，

根據(jù)等額本息還款法得，第一個月末所欠銀行貸款為：ai=a（l+t）-x,

第二個月末所欠銀行貸款數(shù)為：&=。1（1+%）-X=。（1+。2-X（1+Z）-X；

第12個月末所欠銀行貸款為：

=tz(l+/)12-x[(1+。"+。+?！?…+(1+。+1]="1+')’2-x.Hl±￡

1-(1+。

=硝+爐+」一（1+'廠

由于分12次還清所有的欠款，所以“i+y+x.l-=0,

解得x=,'.

（1+0-1

故選：D.

【變式1】（23-24高二下?河南駐馬店?期中）某醫(yī)院購買一臺大型醫(yī)療機(jī)器價格為。萬元，實(shí)行分期付款,

每期付款6萬元，每期為一個月，共付12次，如果月利率為5%。，每月復(fù)利一次，則。，b滿足（）

A.Ub=aB.12/)=a(l+5%o)'2

C.126=a(l+5%o)D.a<126<a(l+5%o)「

【答案】D

(分析］由題意可得6(1+1.005+1.0052+---+1.0051,)=?(1+0.005)”，結(jié)合放縮即可得解.

［詳解］Z>(l+1,005+1,0052+…+1.005")=a(1+0.005)",

由1+1.005+1.0052+…+1.005">］2,故⑵<a(l+5%。)〉,

Z?(l+1.005+1.0052+---+1.00511)(1+1,005+1,0052+---+1,00511Y

(1+0.005)I1.00512J

,l+1.005+1.0052+---+1.0051112xl.00512

由--------------n-----------<-------L=12,

1.005121.00512

故a<126,即有a<126<a(l+5%o)'~.

故選：D.

【變式2】(23-24高二下?遼寧葫蘆島?期末)李華準(zhǔn)備通過某銀行貸款8800元，后通過分期付款的方式還款,

銀行與李華約定：每個月還款一次，分12次還清所有欠款，且每個月的還款額都相等，貸款的月利率為

0.5%,則李華每個月的還款額為()(精確至IJ0.01元，參考數(shù)據(jù)猶您7al7.213)

(1+0.5%)1-1

A.733.21元B.757.37元C.760.33元D.770.66元

【答案】B

【分析】首先可設(shè)每一期所還款數(shù)為x元，然后結(jié)合題意列出每期所還款本金，并根據(jù)貸款8800元列出方

程，最后借助等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)每一期所還款數(shù)為x元，

因?yàn)橘J款的月利率為0.5%,

XXXX

所以每期所還款本金依次為1+0.5%'(+o.5%y'(1+0.5%廠,5(1+0.5%)

XXXX

1+0.5%+(10.5%)2+---------------------F,??H-------------------------=8800

+(1+0.5%)3(1+0.5%)12

-----------------1-------------------------1------------------------1-?,?~|-----------------------=8800,

1+0.5%(1+0.5%)2(1+0.5%)3(1+0.5%)12

(1+0.5%)"+(1+O.5%)10+■??+(1+0.5%)+1

x=8800,

(1+0.5%)12

(1+0.5%)12-1

=8800,

0.5%(1+0.5%)12

8800x0.5%x(l+0.5%)12

x=-------------------—~757.37,

(1+0.5%)-1

即李華每個月所要還款約757.37元.

故選：B.

【變式3】（23-24高二下?江西贛州?階段練習(xí)）某電動汽車剛上市，就引起了小胡的關(guān)注，小胡2024年5

月1日向銀行貸款。元用來購買該電動汽車，銀行貸款的月利率是"并按復(fù)利計(jì)息.若每月月底還銀行相同

金額的貸款，到2025年4月底全部還清（即用12個月等額還款）,則小胡每個月月底需要還款（）

at(\+^)12

\12——?Q(1+￡)—

A.a(1+/)兀B.—i---兀C.D.12[。+:廠-1]兀

12("T

【答案】C

【分析】設(shè)小胡每月月底還款錢數(shù)為X元,根據(jù)等額本息還款法可得每次還款后欠銀行貸款，即第12次還

款后欠銀行貸款為42=。（1+爐-x［（i+z）11+（i+0lo+---+（i+0+1］，進(jìn)而由等比數(shù)列的前力項(xiàng)和公式可得

12

4=a(l+012+—,從而4=0可得》=

2(1+z)12-1

【詳解】設(shè)小胡每月月底還款錢數(shù)為X元，根據(jù)等額本息還款法可得:

第1次還款后欠銀行貸款為4=。（1+/）-x,

第2次還款后欠銀行貸款為4=a（l+f）2-x（l+f）-x,

第12次還款后欠銀行貸款為

U

Al2=a(l+?)—+—x(l+f)'°----+x=a(l+f)++(l+f)H---F(l+f)+l]

Fx11+12

G((1.+z)[-(0]川+爐+生上月

-1-(1+O

因?yàn)橘J款12個月還清，所以《

砌1+/)12

所以X=

故選：C.

【變式4】（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）某人買一輛15萬元的新車，購買當(dāng)天支付3萬元首付，剩余向銀行

貸款，月利率0.3%,分12個月還清（每月購買車的那一天分期還款）.有兩種金融方案：等額本金還款，

將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除

以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率；等額本息還款，每一期償還同

等數(shù)額的本息和，利息以復(fù)利計(jì)算.下列說法正確的是（）

A.等額本金方案，所有的利息和為2340元

B.等額本金方案，最后一個月還款金額為10030元

C.等額本息方案，每月還款金額中的本金部分呈現(xiàn)遞增等比數(shù)列

D.等額本金方案比等額本息方案還款利息更少，所以等額本金方案優(yōu)于等額本息方案

【答案】ABC

【分析】對于AB,根據(jù)等額本金的還款方案分析計(jì)算即可，對于C,等額本息的還款方案分析判斷，對于

D,通過比較兩種還款方案的優(yōu)劣進(jìn)行判斷.

【詳解】對于A,利息和為（120000+110000+100000+…+10000）x0.003=2340（元），故A正確；

對于B,倒數(shù)第二個月還款后，剩余本金10000,一個月利息為30元，本息和應(yīng)為10030元，故B正確；

對于C,設(shè)第九個月貸款利息為%,償還本金為“，0為貸款總額，

則%=0.3%p,a2=0.3%(p-b]),貝I[b2=(%+61)-出=0.3%p+4-0.3%(p-6J=々(I+0.3%),

%=0.3%(p—4-a),則&=(出+62)_%=O-3%(p_4)+&_0-3%(p_4_62)=62(l+O-3%)=4(l+0-3%)2,

同理得“=4(l+0.3%)3,&=4(1+0.3%)4,......,%=以1+0?3%尸,

所以數(shù)列也,｝是以1+0.3%為公比的遞增等比數(shù)列，所以C正確；

々”(1+0.3%)力120000x0.3%

對于D,由選項(xiàng)C可知,=120000,得4=

1-(1+0.3%)(1+0.3%)12-1

120000x0.3%

所以每月還款的本息和為％+4=120000x0.3%+

(1+0.3%)12-1

所以等額本息還款利息和為12（4+2-120000

120000x0.3%

=12x120000x0.3%+-120000

(1+0.3%)J

=12x120000x0.3%x1+----------------------120000~2352.84

（1+0.3%）12-1

兩種貸款方案各有優(yōu)劣，比等額本金高，但等額本金方案起初還款金額高，還款壓力大，還款金額逐年遞

減；等額本息每月還款金額相同，低于等額本金方案前半段時間還款額，高于后半段時間還款額；還有通

貨膨脹等諸多經(jīng)濟(jì)因素影響兩種方案的收益，故不能簡單認(rèn)為某種貸款方案優(yōu)于另一種方案，故D錯誤.

故選：ABC.

題型02產(chǎn)值增長問題

【典例2】（2024?陜西寶雞,模擬預(yù)測）某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到

10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司

該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計(jì)劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（）（參考數(shù)

據(jù)：1.3X3.79）

A.3937萬元B.3837萬元C.3737萬元D.3637萬元

【答案】A

【分析】設(shè)該公司在2024年，2025年，…，2033年的銷售額(單位：萬元)分別為囚,出，…,％o，進(jìn)而可

得%=1.3%-3(〃=1,2,…,9),根據(jù)配湊法、分組求和法求得正確答案.

【詳解】設(shè)該公司在2024年，2025年，…，2033年的銷售額(單位：萬元)分別為外,電,°.

依題意可得%+1=1.36-3(〃=1,2,-,9),貝心用-10=1.3(%-10)(?=1,2,...,9),

所以數(shù)歹！-10｝是首項(xiàng)為90,公比為1.3的等比數(shù)列，

貝lj%-10=90xL3"T,即％=90xL3'i+10,

nrl90x(1-13。)、

貝"%+%+???+%()=10x10+——----------100+300x(13.79-1)=3937-

1—1.3

故從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3937萬元.

故選：A.

【變式1](2024?山西運(yùn)城?一模)某工廠加工一種電子零件，去年12月份生產(chǎn)1萬個，產(chǎn)品合格率為87%.

為提高產(chǎn)品合格率，工廠進(jìn)行了設(shè)備更新，今年1月份的產(chǎn)量在去年12月的基礎(chǔ)上提高4%,產(chǎn)品合格率比

去年12月增加0.4%,計(jì)劃以后兩年內(nèi)，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率都按此標(biāo)準(zhǔn)增長，那么該工廠的月不合格

品數(shù)達(dá)到最大是今年的()

A.5月份B.6月份

C.7月份D.8月份

【答案】C

【分析】該工廠每月的產(chǎn)量、不合格率分別用％、〃表示，月份用〃(〃eN*)表示，求出見”的表達(dá)式，分

析數(shù)列即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)從今年1月份起，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品的合格率都按題中的標(biāo)準(zhǔn)增長，

該工廠每月的產(chǎn)量、不合格率分別用巴、，表示，月份用〃(〃eN*)表示，

則%=1x0+4%)"=1.004",bn=\-(87%+n-0.4%)=-0.004M+0.13,其中〃V24,〃eN*,

則從今年1月份起，各月不合格產(chǎn)品數(shù)量為。也=L04"x(0.13-0.004〃)，單位：萬臺，

,,+1

因?yàn)椤?+也+]-anbn=1.04x[0.13-0.004(〃+1)]-1.04"x(0.13-0.004”)

=1.04"[1.04x0.13-1.04x0.004(n+1)-0.13+0.0047?]

i04〃2xif)4〃

=1.04K(0.00104-0.00016?)=^-(104-16w)=—^^(13-2w),

當(dāng)時，an+lbn+l-anbn>0,即>。也，此時，數(shù)列｛地｝單調(diào)遞增，

即aQi<a2b2<<,<四°7；

當(dāng)7W〃423且“eN*時，an+｝bn+i-anbn<0,即%+也用<。也，此時，數(shù)列｛。也｝單調(diào)遞減，

即a7b7>a8b§>???>a24b24,

因此，當(dāng)”=7時，a也最大,故該工廠的月不合格品數(shù)達(dá)到最大是今年的7月份.

故選：C.

【變式2】（23-24高二上?河南?期末）中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開,

二十大報告提出：尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然，是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的內(nèi)在要求.必須牢

固樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，站在人與自然和諧共生的高度謀劃發(fā)展.某市為了改善當(dāng)?shù)?/p>

生態(tài)環(huán)境，計(jì)劃通過五年時間治理市區(qū)湖泊污染，并將其建造成環(huán)湖風(fēng)光帶，預(yù)計(jì)第一年投入資金81萬元，

以后每年投入資金是上一年的g倍；第一年的旅游收入為20萬元，以后每年旅游收入比上一年增加10萬

元，則這五年的投入資金總額與旅游收入總額分別為（）.

A.781萬元，60萬元B.525萬元，200萬元

C.781萬元，200萬元D.1122萬元，270萬元

【答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列前"項(xiàng)和求解即可.

4

【詳解】由題意知這五年投入的資金構(gòu)成首項(xiàng)為81,公比為項(xiàng)數(shù)為5的等比數(shù)列，

81x1平］

所以這五年投入的資金總額是L一7gl（萬元）.

1-4

3

由題意知這五年的旅游收入構(gòu)成首項(xiàng)為20,公差為10,項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列，

所以這五年的旅游收入總額是20x5+^—xl0=200（萬元）.

故選：C.

【變式3］（23-24高二上?山東青島?期末）某牧場今年年初牛的存欄數(shù)為1000,預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長

率為20%,且在每年年底賣出loo,設(shè)牧場從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)依次為4、瓦、&、???.

⑴寫出一個遞推公式來表示6角與“之間的關(guān)系；

（2）將（1）中的遞推公式表示成-左）的形式，其中晨『為常數(shù).

（3）求其前10項(xiàng)和&的值.（精確到1,其中12、6.192）

【答案】⑴%TOO

⑵晨-500=1電-500）

（3）17980

【分析】（1）由題設(shè)條件可得出4的值，以及數(shù)列抄/的遞推公式；

（2）由b“+「k=r（b,-k）及（1）中的遞推公式可求出「、上的值，即可得出結(jié)果；

（3）分析可知，數(shù)列也-500｝為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求出數(shù)列低｝的通項(xiàng)公式，再利

用分組求和法可求得幾的值.

【詳解】（1）解：由題意，得4=1000,

第"+1年年初的計(jì)劃存欄數(shù)是在第"年年初的計(jì)劃存欄數(shù)的基礎(chǔ)上增長20%,再減去100,

則加=2“T00（〃eN*）.

（2）解：將"+1_左=廠（"一人）化成”+1=仍"_泌+后，

66

對比6川=：2-100,可得-r=—

5,解得5

k-rk=-100左二500

所以，（1）中的遞推公式可表示為%—500=!色「500）.

（3）解：由（2）可知，數(shù)列也-500｝是以4-500=500為首項(xiàng)，g為公比的等比數(shù)歹！J,

所以，2-500=500（￡|,則a=5OO+5Oo]gJ,

所以，Eo=4+d+&+???+而

=500xl0+500x^+出+電+.-+0

?17980.

【變式4]（23-24高二上?新疆烏魯木齊?期末）總書記說：〃綠水青山就是金山銀山.〃某地響應(yīng)號召，投入

資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，以后每年投入將比上一年減少（，本年度當(dāng)?shù)芈?/p>

游業(yè)收入估計(jì)為500萬元，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加;.

⑴設(shè)〃年內(nèi)（2019年為第一年）總投入為S“萬元，旅游業(yè)總收入為Z,萬元，寫出S”、北的表達(dá)式;

（2）至少到哪一年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.

參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg5=0.6990.

【答案】⑴=50001-Tn=2000

（2）2023年

【分析】（1）根據(jù)題意，知每年投入資金和旅游業(yè)收入是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前"項(xiàng)和公式，即可求

解;

4

（2）根據(jù)（1）中解析式，列出不等式北-y＞0,令工=\,化簡不等式，即可求解.

【詳解】（［）解：因?yàn)槟晖度霝?000萬元，以后每年投入將比上一年減少g,

n-lM-l

第九年投入為1000x（l_［I=lOOOx4

444n-1

所以，〃年內(nèi)的總投入為=1000+1000x—+1000xIH-----F1000X

〃5

4

lOOOx1-

4

=50001-

因?yàn)?019年旅游業(yè)收入為500萬元，今后的旅游業(yè)收入每年會比上一年增加；,

n-l5n—1

則第?年旅游業(yè)收入為500xh+lI=500x

n-1

所以，〃年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為北=500+500x：+500x5I+…+500x5

500x1-

F——=^=2000-1

1--

4

（2）解：設(shè)至少經(jīng)過〃年，旅游業(yè)的總收入才能超討總投入，即（-王〉0,

54

即2000-1-50001->0,

4,貝弓一1］一5（1-耳＞0,整理可得（5x-2）（x-l）＞0,

令工=

41〃42

因?yàn)椤‥N*,貝!JX=|解得*,

5

2皿?4?2皿lgTIg2-lg50.3010-0.6990-

4

所以,<—,貝則〃>—T--------------=-------------------------~4.1

5555j421g2-lg52x0.3010-0.6990

g5

又因?yàn)椤∟*,貝故至少到2023年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入.

題型03數(shù)列中的繁殖問題

【典例3】（2024?北京海淀?一模）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過觀

察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會以該直線為對稱軸分叉（分叉的

角度約為60。），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.

于是，該組同學(xué)將整個繁殖過程抽象為如圖2所示的一個數(shù)學(xué)模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開始，沿

直線繁殖到4,然后分叉向4與42方向繼續(xù)繁殖，其中乙64也=60°,且與關(guān)于。4所在

直線對稱，44=442=；%?…若％=4cm,為保證黏菌在繁殖過程中不會碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿

的半徑r（reN*,單位：cm）至少為（）

D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)黏菌的繁殖規(guī)律可得每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離，結(jié)合無窮等比遞縮數(shù)列的和的計(jì)算

公式，即可判斷答案.

【詳解】由題意可知，。&=4cm,只要計(jì)算出黏菌沿直線一直繁殖下去，在。％方向上的距離的范圍，即

可確定培養(yǎng)皿的半徑的范圍,

依題意可知黏菌的繁殖規(guī)律，由此可得每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離依次為:

.凡1V311拒

4,2x—,1,-x——

222482

°君，1V3「5粗8-

則4+2x-—■bl+—x—=5H------>5c+—=7,

22244

黏菌無限繁殖下去，每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離和即為兩個無窮等比遞縮數(shù)列的和,

4+1+—+m2+*+.146216+47316+8

----x-----------------<=Oo

即1-12----Y--3------3

44

綜合可得培養(yǎng)皿的半徑廠（reN*,單位：cm）至少為8cm,

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列的應(yīng)用問題，背景比較新穎，解答的關(guān)鍵是理解題意，能明確黏菌

的繁殖規(guī)律，從而求出每次繁殖在方向上前進(jìn)的距離的和，結(jié)合等比數(shù)列求和即可.

【變式1］（2024?河北滄州?模擬預(yù)測）自然界中某些生物的基因型是由雌雄配子的基因組合而成的，這種生

物在生育下一代時，成對的基因相互分離形成配子，配子隨機(jī)結(jié)合形成下一代的基因型.若某生物群體的

基因型為4%在該生物個體的隨機(jī)交配過程中，基因型為m的子代因無法適應(yīng)自然環(huán)境而被自然界淘

汰.例如當(dāng)親代只有Na的基因型個體時，其子一代的基因型如下表所示：

雄

雌

1

-A-Q

22

-AA—Aa

244

11,

-Q—A.ciX

24

21

由上表可知，子一代中44:/a=l:2,子一代產(chǎn)生的配子中/占。占以此類推，子七代中Az的個

體所占的比例為.

2

【答案】-/2:9

9

【分析】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，要求考生能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)列的遞推關(guān)系式，能利用等差數(shù)列

解決實(shí)際問題.

【詳解】設(shè)子〃代中占比為%,則44占比為1-?！?，

所以/:a=[2（l-a“）+aja“=（2-則子（"+1）代的基因型如下表所示：

雄

雌

22

心工。

24

工X

24

由表可知，表格中總份數(shù)為J+2x--（其中淘汰了匕份）,

I2J44

2

因此子（"+1）代中n的占比為72二.[（2i）J="向，

I2J+2~

2a111111

化簡得%+i—即一即-------=:

2+%??+i42an+lan2

所以數(shù)列，，1是首項(xiàng)為公差為3的等差數(shù)列,

11222

所以—=3〃+1，冊=因止匕〃7二三一7二=.

an2n+27+29

2

故答案為：—.

題型04數(shù)列中的圖推問題

【典例4］（23-24高三上?江西南昌?階段練習(xí)）我國古代的《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方：如

圖將1,2,3,…,9填入3x3的方格內(nèi)，使三行，三列和兩條對角線上的三個數(shù)字之和都等于15.一般地，將連

續(xù)的正整數(shù)1,2,3,…,小填入〃X幾個方格中，使得每行，每列和兩條對角線上的數(shù)字之和都相等，這個正方

形叫做”階幻方.記〃階幻方的每列的數(shù)字之和為M,如圖三階幻方的凡=15,那么N5=.

【分析】由“列之和都相等，等差數(shù)列求總和，再除以列數(shù)即可.

【詳解】由〃階幻方填入1,2,3,…,〃2,共"列，

這I個數(shù)字之和為1+2+3+…+”2,由這〃列之和都相等，

則每一列和“1+2+3H---Fn22?（1+?2）.

幣=-------------=--------=---

nn2

故答案為：65.

【變式1］（24-25高二下?上海?單元測試）題圖是某神奇"黃金數(shù)學(xué)草”的生長圖.第1階段生長為豎直向上

長為1米的枝干，第2階段在枝頭生長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的1二1,且與舊枝成

第3階段又在每個枝頭各長出兩根新的枝干，新枝干的長度是原來的1二1,且與舊枝成;，…，依次生

23

長，直到永遠(yuǎn).

第1階段第2階段第3階段第4階段

⑴求第3階段"黃金數(shù)學(xué)草"的高度；

（2）求第13階段"黃金數(shù)學(xué)草”的所有枝干的長度之和；（精確到0.01米）

⑶該"黃金數(shù)學(xué)草"最終能長多高？（精確到0.01米）

【答案】⑴三叵米

4

⑵62.39米

⑶2.12米

【分析】（1）結(jié)合"黃金數(shù)學(xué)草"生長特征，依次表示各階段生長的長度和高度，求和即得；

（2）設(shè)設(shè)第"階段"黃金數(shù)學(xué)草"生長的長度為?！保鶕?jù)"黃金數(shù)學(xué)草"生長特征，判定｛%｝組成以1為首項(xiàng),

q=二1為公比的等比數(shù)列，計(jì)算出相同長度的條數(shù)，利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算即得；

2

（3）設(shè)第"階段"黃金數(shù)學(xué)草"生長的高度為，，依題，當(dāng)"是奇數(shù)時，b?=an,當(dāng)"為偶數(shù)時，b“=；a.,

分組求得"數(shù)學(xué)黃金草”的總高度為國，再求其極限即得.

【詳解】（1）依題意，第一階段生長的長度為1,高度為1;

第二階段生長的長度為避二L生長的高度為止二Usinq=避二

2264

第三階段生長的長度為（存i）2,生長的高度為（冷！_）2,

故第3階段“黃金數(shù)學(xué)草”的高度為：1+苴二1+（苴二1）2=三6；

424

（2）設(shè)第"階段"黃金數(shù)學(xué)草"生長的長度為見，依題意｛g｝組成以1為首項(xiàng)，《=存1為公比的等比數(shù)列，

則第13階段"黃金數(shù)學(xué)草”的所有枝干的長度之和為心=4+2%+2&+2%+-+2%i3，

因2。,2122,2?,…是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列，故數(shù)列｛2"Tg｝是一個首項(xiàng)為1,公比為右一1的等

比數(shù)列,

石-］尸］一(回］產(chǎn)-14.724

?62.39,

一1-(V5-1)-2-V5-0.236

故第13階段"黃金數(shù)學(xué)草"的所有枝干的長度之和約為62.39米.

（3）設(shè)第"階段"黃金數(shù)學(xué)草"生長的高度為，，此時“數(shù)學(xué)黃金草”的總高度為E,.

依題意知，當(dāng)〃是奇數(shù)時，b“=a“,當(dāng)"為偶數(shù)時，bn=^a?

an,n=2k-l,

即2=1”上EN*,則=4+62+63+64+2+4,

-an,n=2k,

nH

當(dāng)為偶數(shù)時，因Sa=(%+a3+a5H—??_1)+—(?2+4+。6---^凡)，

l+L且)

q1a3+V5V5+2

則limS.=222

n-><x>l-q22Xl-q21-(三A275-2-2

2

當(dāng)n為奇數(shù)時，因=(%+%+。5H--qQ+/Q+。4+。6-1---han-\)，

ax1a2

則limS”2+X2。2.12.

00l-q2l-q

即該“黃金數(shù)學(xué)草"最終能長2.12米高.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，屬于難題.

解題思路在于熟悉問題情境，弄清楚各個階段，數(shù)列的項(xiàng)之間的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)建等比或等差數(shù)列，利用基

本量的運(yùn)算即得.

【變式2】（24-25高一上?重慶?開學(xué)考試）如圖是用?擺放而成的圖案，其中第①個圖中有2個?,第②個

圖中有5個?,第③個圖中有10個*,第④個圖中有17個.,......按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中.

的個數(shù)為（）

??????

????????

????????

???????

???

①②

③④

A.35B.48C.50D.64

【答案】C

【分析】設(shè)第"個圖中有見個*,利用題設(shè)所給條件，找出后項(xiàng)與前項(xiàng)的規(guī)律?！?%一+2”-

即可求出結(jié)果.

【詳解】設(shè)第"個圖中有。,個?,

由題有q=2,%=5=。1+3,a3=10=6Z2+5,a4=17=6Z3+7,

按此規(guī)律有=a“_i+2〃-l（〃22,〃eN*）,所以%=為+9=26,a6=a5+11=37,a7=a6+13=50,

故選：C.

【變式3】（23-24高二下?全國?期末）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)

沙?；蛐∈铀帕械男螤睿褦?shù)分成許多類，如圖中第一行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1,3,6,10,…稱為

三角形數(shù)，第二行圖形中黑色小點(diǎn)個數(shù)：1,4,9,16,…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛見｝,正方

形數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛2｝,則下列說法正確的是（）

B.1849既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)

111133

C—+—+—+...+一＜一

“b2b3b?20

D.V加eN*,刃，2,總存在P,qeN*,使得超=4+%成立

【答案】ACD

【分析】利用累加法分別求出4,bn,進(jìn)而分別利用裂項(xiàng)求和法、放縮法，逐個分析各個選項(xiàng)即可.

【詳解】解：三角形數(shù)構(gòu)成數(shù)列也,｝：1,3,6,10,

易發(fā)現(xiàn)。2-。1=2,a3-a2=3,aA-a3=4,…，an-an_x=n(n>2),

累加得，?！?q=2+3+4+…

.?“="(〃22),

顯然為=1滿足上式,

n(n+V)

an=--一，

正方形數(shù)構(gòu)成數(shù)列血｝：1,4,9,16,

易發(fā)現(xiàn)W3,b3-b2=5,-7,…，"-如=2〃-1(心2),

(2/+2)(〃—1)

累加得"-4=

2

2

:.bn=n(n>2),顯然==1滿足上式，.二或=喘,

2

ITnn

對于A,,/—=(.=—7,

Zann\n+1)n+1

Ab2b3b123n1,,..

六『六?…寸n=[XWX]X...XF=F，故A正確

242a22/2an234n+1n+1

對于B,令%=硬羅=1849,得“("+1)=3698,

v60x61=3660<3698,61x62=3844>3698,

+1)=3698無正整數(shù)解，即1849不是三角形數(shù),

令"="=1849,.l=43,即1849是正方形數(shù)，故B錯誤;

1114?11、

對于C，耳=”=（^731=2（月一句），

1、33233

----)=一+----)=--------<—,

2n+Y42n+l202H+120'

故c正確；

對于D,取加=2=4,且加eN*,

令晨誓鴛誓2,有勾=冊+%,

故WmeN*,加，2,總存在0,qeN*,使得力=4+%成立，故D正確.

故選：ACD

【變式4】（23-24高二下?北京懷柔?期末）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)，分形

幾何具有自身相似性，從它的任何一個局部經(jīng)過放大，都可以得到一個和整體全等的圖形.例如圖（1）是

一個邊長為1的正三角形，將每邊3等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得到圖

（2）,如此繼續(xù)下去，得到圖（3）,則第三個圖形的邊數(shù)；第"個圖形的周長.

(3)

【答案】483xgJ

【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，尋找規(guī)律，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】由題知，下個圖形的邊長是上一個圖形的;，邊數(shù)是上一個圖形4倍,

因?yàn)榈?個圖形的邊數(shù)3,所以第2個圖形的邊數(shù)12,第3個圖形的邊數(shù)48.

設(shè)第"個圖形的周長為”,則周長之間的關(guān)系為“二白地口〃“），

所以數(shù)列同是首先為3,公比為:的等比數(shù)列，所以…刊”.

故答案為：48；

05強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023?遼寧沈陽?高二沈陽二中?？茧A段練習(xí)）調(diào)查表明，酒后駕駛是導(dǎo)致交通事故的主要原因，交通法

規(guī)規(guī)定：駕駛員在駕駛機(jī)動車時血液中酒精含量不得超過0。2〃嚕/〃乙如果某人喝了少量酒后，血液中酒精

含量將迅速上升到03監(jiān)/〃遼，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時50%的速度減小，問他至少要經(jīng)

過幾小時才可以加強(qiáng)機(jī)動車（精確到小時）

A.1小時B.2小時C.4小時