2024-2025學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（滬科版2024）專題8.9 整式乘法與因式分解全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【3大考點(diǎn)10種題型】（舉一反三）（滬科版2024）（解析版）

專題8.9整式乘法與因式分解全章專項(xiàng)復(fù)習(xí)【3大考點(diǎn)10種題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)1整式的乘法】 1【題型1整式的化簡求值】 4【題型2整式乘法的應(yīng)用】 7【題型3利用整式的乘法求字母的值】 10【題型4運(yùn)用冪的乘方比較大小】 14【考點(diǎn)2乘法公式】 17【題型5利用乘法公式化簡求值】 17【題型6利用乘法公式解方程或不等式】 20【題型7乘法公式的整體應(yīng)用】 22【題型8利用乘法公式解決規(guī)律探究問題】 23【考點(diǎn)3因式分解】 26【題型9利用因式分解求代數(shù)式的值】 28【題型10因式分解與三角形知識(shí)的綜合應(yīng)用】 32【考點(diǎn)1整式的乘法】1．同底數(shù)冪的乘法一般地，對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m，n，am·an=·==．語言敘述：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．【拓展】（1）同底數(shù)冪的乘法法則的推廣：三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘，法則也適用．（m，n，…，p都是正整數(shù)）．（2）同底數(shù)冪的乘法法則的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整數(shù)）．2．冪的乘方（1）冪的乘方的意義：冪的乘方是指幾個(gè)相同的冪相乘，如（a5）3是三個(gè)a5相乘，讀作a的五次冪的三次方，（am）n是n個(gè)am相乘，讀作a的m次冪的n次方．（2）冪的乘方法則：一般地，對于任意底數(shù)a與任意正整數(shù)m，n，．語言敘述：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘．【拓展】冪的乘方的法則可推廣為（m，n，p都是正整數(shù)）．（2）冪的乘方法則的逆用：（m，n都是正整數(shù)）．3．積的乘方（1）積的乘方的意義：積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．（積的乘方的意義）=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交換律、結(jié)合律）=a3b3．積的乘方法則：一般地，對于任意底數(shù)a，b與任意正整數(shù)n，．因此，我們有．語言敘述：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．4．單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘法則：一般地，單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式．（1）只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里，注意不要把這個(gè)因式遺漏．（2）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的乘法法則對于三個(gè)及以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用．（3）單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式．【注意】（1）積的系數(shù)等于各項(xiàng)系數(shù)的積，應(yīng)先確定積的符號，再計(jì)算積的絕對值．（2）相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算．5．單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘法則：一般地，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是單項(xiàng)式）．【注意】（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同，可以以此來檢驗(yàn)在運(yùn)算中是否漏乘某些項(xiàng)．（2）計(jì)算時(shí)要注意符號問題，多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包括它前面的符號，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號．（3）對于混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，有同類項(xiàng)必須合并，從而得到最簡結(jié)果．6．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘（1）法則：一般地，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．（2）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘時(shí)，要按一定的順序進(jìn)行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)與第二個(gè)多項(xiàng)式相乘，得m（a+b+c）與n（a+b+c），再用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則展開，即（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．【注意】（1）運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則時(shí)，必須做到不重不漏．積．7．同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：一般地，我們有（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．語言敘述：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減．【拓展】（1）同底數(shù)冪的除法法則的推廣：當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì)，例如：（a≠0，m，n，p都是正整數(shù)，并且m>n+p）．（2）同底數(shù)冪的除法法則的逆用：（a≠0，m，n都是正整數(shù)，并且m>n）．8．零指數(shù)冪的性質(zhì)零指數(shù)冪的性質(zhì)：同底數(shù)冪相除，如果被除式的指數(shù)等于除式的指數(shù)，例如am÷am，根據(jù)除法的意義可知所得的商為1．另一方面，如果依照同底數(shù)冪的除法來計(jì)算，又有am÷am=am-m=a0．于是規(guī)定：a0=1（a≠0）．語言敘述：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1．【注意】（1）底數(shù)a不等于0，若a=0，則零的零次冪沒有意義．（2）底數(shù)a可以是不為零的單頂式或多項(xiàng)式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．（3）a0=1中，a≠0是極易忽略的問題，也易誤認(rèn)為a0=0．9．單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則：一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．式．【歸納】該法則包括三個(gè)方面：（1）系數(shù)相除；（2）同底數(shù)冪相除；（3）只在被除式里出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．【注意】可利用單項(xiàng)式相乘的方法來驗(yàn)證結(jié)果的正確性．10．多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式多式除以單項(xiàng)式法則：一般地，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．【注意】（1）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是將其化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式問題來解決，在計(jì)算時(shí)多項(xiàng)式里的各項(xiàng)要包括它前面的符號．（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，被除式里有幾項(xiàng)，商也應(yīng)該有幾項(xiàng)，不要漏項(xiàng)．（3）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可用其進(jìn)行檢驗(yàn)．【題型1整式的化簡求值】【方法總結(jié)】首先依據(jù)整式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則進(jìn)行化簡,然后代入求值.對于冪的運(yùn)算問題,首先要判斷出冪的運(yùn)算類型,然后根據(jù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算,要注意底數(shù)和指數(shù)的變化特點(diǎn).【例1】（2024·河北唐山·三模）在化簡3a2b+ab?2a2b+ab◆2ab題中，◆表示＋，－，×，÷四個(gè)運(yùn)算符號中的某一個(gè)．當(dāng)a=?2A．÷ B．× C．＋ D．－【答案】B【分析】根據(jù)四個(gè)選項(xiàng)，依次代入原式，進(jìn)行化簡求值，即可得到答案．【詳解】解：A．若◆所表示的符號為÷，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab÷2ab=B．若◆所表示的符號為×，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab×2ab=C．若◆所表示的符號為＋，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab+2ab=D．若◆所表示的符號為－，則原式=3a2b+ab?2a2b+ab?2ab=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，理清運(yùn)算順序，正確進(jìn)行相關(guān)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（24-25八年級·黑龍江綏化·階段練習(xí)）（1）先化簡，再求值：xx2（2）先化簡，再求值：2a+b2a?b+4ab3【答案】（1）?2x3?4x2+2x，【分析】本題考查整式的化簡求值：（1）先根據(jù)乘法法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)化到最簡，最后代入求解即可得到答案；（2）先根據(jù)乘除法法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)化到最簡，最后代入求解即可得到答案；【詳解】解：（1）原式==?2x當(dāng)x=1時(shí)，原式=?2×=?4；（2）原式=4=4a當(dāng)a=?2，b=1時(shí)，∴原式=4×(?2)=16+4=20．【變式1-2】（24-25八年級·重慶北碚·期中）已知實(shí)數(shù)a，b，x，y滿足a+b=x+y=3，ax+by=4，則a2+【答案】20【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用、整式的乘法、代數(shù)式求值，解答的關(guān)鍵利用整體思想求解．先求得ay+bx=5，再將所求代數(shù)式因式分解，轉(zhuǎn)化為求ax+byay+bx【詳解】解：∵a+b=x+y=3，∴a+bx+y=ax+ay+bx+by=9∵ax+by=4，∴ay+bx=5，a==ax==4×5=20，故答案為：20．【變式1-3】（24-25八年級·江蘇蘇州·階段練習(xí)）對于任何實(shí)數(shù)，我們規(guī)定符號abcd(1)計(jì)算：0.2?3(2)已知xx+1?22x(3)當(dāng)a2?3a+1=0時(shí)，求【答案】(1)16(2)x1=0(3)1【分析】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算，涉及整式的混合運(yùn)算，解一元二次方程，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義，進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算；（2）根據(jù)新定義，得到一元二次方程，再用因式分解法求解；（3）根據(jù)新定義，進(jìn)行整式的混合運(yùn)算，再代入求值即可．【詳解】（1）解：由題意得，0.2?3故答案為：16；（2）解：由xx+1?22x化簡得：2x解得：x1=0，（3）解：a+1==?2=?2a∵a∴a2∴?2a即a+13a【題型2整式乘法的應(yīng)用】【例2】（24-25八年級·福建泉州·階段練習(xí)）如圖①，將一張長方形鐵皮的四個(gè)角都剪去邊長為3cm的正方形，然后沿四周折起，做成一個(gè)無蓋鐵盒，如圖②，鐵盒底面長方形的長為8xcm，寬為5x(1)請用含x的代數(shù)式表示圖①中原長方形鐵皮的面積；(2)現(xiàn)要在鐵盒的各個(gè)外表面涂上某種油漆，若每cm2需花費(fèi)x元，則涂漆這個(gè)鐵盒需要多少錢（用含x【答案】(1)40(2)涂漆這個(gè)鐵盒需要40x【分析】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的應(yīng)用．（1）根據(jù)長方形的面積等于長乘寬表示出原長方形鐵皮的面積即可；（2）根據(jù)原長方形鐵皮的面積減去四個(gè)小正方形的面積，求出鐵盒的表面積，再乘單價(jià)即可得到結(jié)果．【詳解】（1）原鐵皮的面積是8x+65x+6（2）油漆這個(gè)鐵盒的表面積是：40x則油漆這個(gè)鐵盒需要的錢數(shù)是：40x所以涂漆這個(gè)鐵盒需要40x【變式2-1】（24-25八年級·山西太原·階段練習(xí)）位于太原市三給片區(qū)的天美杉杉超級奧特萊斯是一座集現(xiàn)代化商業(yè)、中式文化與綠色園林三位一體的大型綜合商業(yè)體，值得期待的是將于2023年9月開始正式營業(yè)．如圖，在園區(qū)內(nèi)有一塊長為a+4b米，寬為a+b米的長方形地塊，現(xiàn)規(guī)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間預(yù)留部分是邊長為a?b米的正方形．(1)求綠化的面積S（用含a，b的代數(shù)式表示，并化簡）；(2)若a=3,b=2，綠化成本為100元/平方米，則完成綠化共需要多少元？【答案】(1)7ab+3b(2)5400元【分析】本題考查整式運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，代數(shù)式求值：（1）用長方形的面積減去正方形的面積，即可；（2）將a=3,b=2代入（1）中的結(jié)果，求值后，再乘以單價(jià)即可．【詳解】（1）解：S===3（2）當(dāng)a=3,b=2時(shí)，7ab+3b54×100=5400（元）．【變式2-2】（24-25八年級·浙江寧波·期末）如圖，將兩張邊長分別為a和b（a>b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置長方形內(nèi)（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若長方形中邊AB、AD的長度分別為m、n．設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．當(dāng)

A．3b B．3a?3b C．3a D．?3b【答案】A【分析】根據(jù)題中已知線段長度，結(jié)合圖形，數(shù)形結(jié)合表示出陰影部分面積，按要求求差即可得到答案．【詳解】解：∵兩個(gè)正方形的邊長分別為a和b（a>b），且長方形中邊AB、AD的長度分別為∴在圖1中，S1在圖2中，S2∴S1∵m?n=3，∴S1故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求陰影部分面積關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，準(zhǔn)確表示出陰影部分面積是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-3】（24-25八年級·上海青浦·期中）如圖所示，有4張寬為a，長為b的小長方形紙片，不重疊的放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分為空白區(qū)域①和空白區(qū)域②．EF=2GH(1)用含a、b的代數(shù)式表示：AD=______________；AB=______________．(2)用含a、b的代數(shù)式表示區(qū)域①、區(qū)域②的面積；(3)當(dāng)a=12，b=【答案】(1)2a+b，b+a(2)43a(3)73【分析】本題考查了整式乘法的應(yīng)用，找到圖中的線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）線段AD為2個(gè)小長方形的寬加1個(gè)小長方形的長，線段AB為1個(gè)小長方形的寬加1個(gè)小長方形的長，列出式子并化簡即可；（2）區(qū)域①的面積為長DE，寬EF的長方形的面積減去一個(gè)邊長為a的小正方形的面積列式化簡即可得出；區(qū)域②的面積：長為小長方形紙片的長，寬為GH的長方形的面積加上一個(gè)邊長為a的小正方形的面積列式化簡即可得出；（3）將兩式相減化簡后，將值代入即可得出答案．【詳解】（1）∵小長方形紙片寬為a，長為b∴AD=2a+b，AB=b+a故答案為：2a+b，b+a；（2）由圖可知，ED=a+b，EH=b，F(xiàn)G=a∵EH=EF+FG+GH，EF=2GH∴b=3GH+a∴GH=∴區(qū)域①的面積為：2a+b=2=區(qū)域②的面積為：b?a3（3）由（2）知，區(qū)域①的面積為：43a∴區(qū)域①、區(qū)域②的面積的差為：4==當(dāng)a=12，b=9【題型3利用整式的乘法求字母的值】【方法總結(jié)】當(dāng)多項(xiàng)式的乘積中不含某一項(xiàng)時(shí),說明將多項(xiàng)式的乘積化簡合并后該項(xiàng)的系數(shù)為0,可利用方程思想求字母的值.【例3】（24-25八年級·江蘇鹽城·期中）我們定義：如果兩個(gè)多項(xiàng)式M與N的和為常數(shù)，則稱M與N互為“組合多項(xiàng)式”，這個(gè)常數(shù)稱為它們的“組合數(shù)”．如M=4x2?2x+6與N=?4x2+2x?3，(1)下列各組多項(xiàng)式中，互為“組合多項(xiàng)式”的是________（填序號）；①3x2?2與3x2+2；②x?9與(2)多項(xiàng)式A=(x?m)2與B=nx2+4x+n(3)關(guān)于x的多項(xiàng)式C=?mx2?6x+7m與D=m(x?1)(x+n)的“組合數(shù)”能為0嗎？若能，請求出m【答案】(1)②③(2)3(3)能，m=1，n=7【分析】本題主要考查了整式四則混合運(yùn)算、求代數(shù)式值，準(zhǔn)確理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用題目中的定義進(jìn)行逐一計(jì)算、辨別；（2）先運(yùn)用題目中的定義求得m，n的值，再代入求解；（3）先求C+D得，?6+mn?mx+7m?mn【詳解】（1）∵3x2?2+3∴①組多項(xiàng)式不是互為“組合多項(xiàng)式”；∵x?9+?x+8=?1，∴②組多項(xiàng)式是互為“組合多項(xiàng)式”；∵?5xy③組多項(xiàng)式是互為“組合多項(xiàng)式”，故答案為：②③（2）(x?m)=x=1+n∵A=(x?m)2與B=nx2+4x+n∴1+n=0，4?2m=0，m2解得：n=?1，m=2，∴m它們的“組合數(shù)”為3；（3）能為0，理由如下：∵C=?mx2?6x+7m∴C+D=?m=?m=?mx=若C和D的“組合數(shù)”能為0，∴?6+mn?m=0解得：m=1n=7【變式3-1】（24-25八年級·山東濟(jì)南·期中）已知M=x2?ax，N=?x，P=x3+3x2+5A．?3 B．3 C．5 D．4【答案】A【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，正確化簡M?N+P是解本題的關(guān)鍵．先求出M?N+P=a+3x2+5，再根據(jù)取值與【詳解】解：∵M(jìn)=x2?ax，N=?x∴M?N+P==?=a+3∵M(jìn)?N+P的值與x的取值無關(guān)，∴a+3=0，解得：a=?3，故選：A．【變式3-2】（24-25八年級·山西臨汾·期中）甲同學(xué)計(jì)算一道關(guān)于x的整式乘法題：(2x?a)2?x+bb?x，由于甲抄錯(cuò)了a的符號，得到的結(jié)果是5x【答案】a=?5，b=±4，5x【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，先利用整式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，得5x2+4ax+a2【詳解】解：(2x+a)=4=4=5=5x∴4a=?20，a2∴a=?5，b=±4，(2x?a)=5=5x【變式3-3】（24-25八年級·湖南長沙·階段練習(xí)）好學(xué)的小東同學(xué)，在學(xué)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式時(shí)發(fā)現(xiàn)：12x+4(2x+5)(3x?6)的結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式，并且最高次項(xiàng)為：12x?2x?3x=3x3請你認(rèn)真領(lǐng)會(huì)小東同學(xué)解決問題的思路，方法，仔細(xì)分析上面等式的結(jié)構(gòu)特征．結(jié)合自己對多項(xiàng)式乘法法則的理解，解決以下問題．（1）計(jì)算x+23x+1（2）若計(jì)算x2+x+1x（3）若(x+1)2021=a【答案】（1）-11；（2）a=?3；（3）2021．【分析】根據(jù)題意可得出結(jié)論多項(xiàng)式和多項(xiàng)式相乘所得結(jié)果的一次項(xiàng)系數(shù)是每個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)分別乘以其他多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)后相加所得．（1）(x+2)(3x+1)(5x?3)中每個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)分別是1、3、5，常數(shù)項(xiàng)分別是2、1、-3，再根據(jù)結(jié)論即可求出(x+2)(3x+1)(5x?3)所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)．（2）(x2+x+1)(x2?3x+a)(2x?1)中每個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)分別是1、-3、2，常數(shù)項(xiàng)分別是1、a、-1，再根據(jù)（3）(x+1)2021中每個(gè)多項(xiàng)式一次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)系數(shù)也為1，a2020為(x+1)2021所得多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)．所以根據(jù)結(jié)論a【詳解】（1）根據(jù)題意可知(x+2)(3x+1)(5x?3)的一次項(xiàng)系數(shù)為：1×1×(?3)+3×(?3)×2+5×2×1=?11．故答案為-11．（2）根據(jù)題意可知(x1×a×(?1)+(?3)×1×(?1)+2×1×a=a+3∵該多項(xiàng)式不含一次項(xiàng)，即一次項(xiàng)系數(shù)為0，∴a+3=0解得a=?3．（3）根據(jù)題意可知a2020即為(x+1)∴a2020故答案為2021【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及對多項(xiàng)式中一次項(xiàng)系數(shù)的理解，根據(jù)題意找出多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式所得結(jié)果的一次項(xiàng)系數(shù)與多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中每個(gè)多項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)關(guān)系規(guī)律是解題關(guān)鍵．【題型4運(yùn)用冪的乘方比較大小】【例4】（24-25八年級·廣東佛山·期中）冪的運(yùn)算逆向思維可以得到am+n=am?(1)若3m×9(2)比較大?。喝鬭=255，b=344，c=533，則【答案】(1)m=2(2)a<b<c【分析】（1）利用冪的乘方及同底數(shù)冪的乘法的逆運(yùn)算求解．（2）將a、b、c化簡為相同的指數(shù)進(jìn)行比較大?。驹斀狻浚?）解：∵3∴∴3∴m+2m+3m=12∴6m=12解得：m=2（2）解：∵a=b=c=∵32<81<125∴32∴a<b<c【點(diǎn)睛】此題考查了冪的計(jì)算法則及拓展應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用計(jì)算法則及逆運(yùn)算．【變式4-1】（24-25八年級·全國·單元測試）比較下列各題中冪的大?。海?）已知a=81（2）比較255（3）已知P=99（4）(?2)234_______5【答案】（1a>b>c;(2)255<622<【分析】（1）根據(jù)冪的乘方公式，化為底數(shù)是3的形式進(jìn)行比較；（2）根據(jù)冪的乘方公式，化為指數(shù)是11的形式進(jìn)行比較；（3）用求商法比較大??；（4）由(?2)234【詳解】（1)因?yàn)閍=(34)31=3(2)因?yàn)?55=(25)11=3211，(3)因?yàn)镻Q=99(4)因?yàn)??2)234=(【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：冪的乘方運(yùn)用.靈活運(yùn)用冪的運(yùn)算性質(zhì)比較數(shù)的大小.【變式4-2】（24-25八年級·湖南岳陽·期中）已知a=2731，b=361，c=941，試比較a，b，【答案】a>c>b【分析】本題主要考查了有理數(shù)比較大小，冪的乘方的逆運(yùn)算，冪的乘方計(jì)算，先根據(jù)冪的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算法則得到a=393，【詳解】解：∵a=2731，∴a=3331∵393∴a>c>b，故答案為：a>c>b．【變式4-3】（24-25八年級·湖南·階段練習(xí)）在學(xué)習(xí)了“冪的運(yùn)算法則”后，經(jīng)常遇到比較冪的大小的問題，對于此類問題，通常有兩種解決方法，一種是將冪化為底數(shù)相同的形式，另一種是將冪化為指數(shù)相同的形式，請閱讀下列材料：若a3=2，b5=3，則a、b的大小關(guān)系是a______b（填“解：∵a15=a3∴a15類比閱讀材料的方法，解答下列問題：(1)上述求解過程中，逆用了哪一條冪的運(yùn)算性質(zhì)：______；A．同底數(shù)冪的乘法

B．同底數(shù)冪的除法

C．冪的乘方

D．積的乘方(2)比較815(3)比較2100與3(4)已知5a=324，5b=4，【答案】(1)C(2)27(3)2(4)a=b+2c【分析】本題主要考查了冪的乘方的逆運(yùn)算和冪的乘方運(yùn)算，同底數(shù)冪乘法計(jì)算：（1）根據(jù)冪的乘方的逆運(yùn)算法則判斷即可；（2）根據(jù)冪的乘方計(jì)算法則及其逆運(yùn)算法則得到815=320，（3）根據(jù)冪的乘方計(jì)算法則及其逆運(yùn)算法則得到2100=16（4）根據(jù)324=4×9×9得到5a=5b?【詳解】（1）解：由題意得，上述求解過程中，逆用了冪的乘方計(jì)算法則，故答案為：C；（2）解：∵815=345=3∴278（3）解：∵2100=2425∴2100（4）解：∵5a=324，5b=4，∴5a∴5a∴5a∴a=b+2c．【考點(diǎn)2乘法公式】1．平方差公式（1）平方差公式語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．這個(gè)公式叫做（乘法的）平方差公式．（2）平方差公式的特點(diǎn)①左邊是兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中有一項(xiàng)完全相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)．②右邊是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方．③公式中的a和b可以表示具體的數(shù)或單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式．2．完全平方公式（1）完全平方公式，語言敘述：兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍．這兩個(gè)公式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特點(diǎn)：兩個(gè)公式的左邊都是一個(gè)二項(xiàng)式的平方，二者僅有一個(gè)“符號”不同；右邊都是二次三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)是公式左邊二項(xiàng)式中每一項(xiàng)的平方，中間一項(xiàng)是左邊二項(xiàng)式中兩項(xiàng)乘積的2倍，二者也僅有一個(gè)“符號”不同．3．添括號法則法則：添括號時(shí)，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號．（1）首先要清楚括到括號里的是哪些項(xiàng)．（2）括號前面是什么符號，括到括號里的項(xiàng)是否要改變符號，這與去括號一樣，要變都變，要不變都不變．（3）添括號后是否正確，可以用去括號來檢驗(yàn)．【題型5利用乘法公式化簡求值】【方法總結(jié)】解題時(shí)要注意分析算式的結(jié)構(gòu)特征,符合“兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積”要考慮平方差公式,符合“兩數(shù)和(或差)的平方”要考慮完全平方公式.【例5】（24-25八年級·吉林長春·階段練習(xí)）已知a+b=3，ab=?1．求代數(shù)式下列代數(shù)式的值：①a2+b【答案】①11；②±【分析】本題考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，掌握完全平方公式及其變形形式是解題的關(guān)鍵．①由完全平方公式得a2②先求出(a?b)2【詳解】解：①∵(a+b)2∴a2②(a?b)2∴a?b=±13【變式5-1】（24-25八年級·貴州畢節(jié)·期中）已知(x+1x)【答案】23【分析】本題考查了運(yùn)用完全平方公式變形求值，先運(yùn)用完全平方公式將(x+1x)【詳解】∵(x+即x2∴x【變式5-2】（24-25八年級·湖南永州·階段練習(xí)）已知：x?y2=6，(1)xy；(2)x2【答案】(1)?(2)15【分析】本題考查野運(yùn)用完全平方公式求代數(shù)式的值，熟練運(yùn)用完全平方公式是正確解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式，即可解答．（2）根據(jù)完全平方公式，即可解答．【詳解】（1）解：由x?y2=6，∴x2x2①?②得：xy=?3（2）解，由x?y2=6，∴x2x2①+②得：2xx2∴x2+【變式5-3】（24-25八年級·貴州畢節(jié)·期中）（1）已知a+b=6，ab=1，求a2+b（2）已知(x+y)2=4，(x?y)2=6，求（3）已知x+1x=3【答案】（1）a2+（2）x2+（3）5【分析】本題考查的是利用完全平方公式變形求值，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）利用完全平方公式變形，計(jì)算即可．（2）利用完全平方公式變形，計(jì)算即可．（3）利用完全平方公式變形，計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵a+b=6，∴(a+b)∴a∵ab=1，∴a2+∴(a?b)（2）∵(x+y)2=4∴x2+2xy+①+②，得2x∴x①?②，得4xy=?2，∴xy=?1（3）∵x+1∴x+∴x∴x∴x?【題型6利用乘法公式解方程或不等式】【例6】（24-25八年級·上海寶山·期中）解不等式：2x+32x?3【答案】x<?3【分析】此題主要考查完全平方公式，平方差公式及一元一次不等式的解法，熟練掌握完全平方公式及平方差公式是解題的關(guān)鍵，先根據(jù)完全平方公式，平方差公式去括號化簡，再按照一元一次不等式的解法求解即可．【詳解】解：2x+32x?3444?2x>3x<?3【變式6-1】（24-25八年級·廣東深圳·階段練習(xí)）解方程(1)(x+1)2(2)(x?1)(x+8)?x(x+3)=0．【答案】(1)x=5(2)x=2【分析】本題考查整式運(yùn)算，涉及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握、運(yùn)用整式運(yùn)算法則．（1）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式化簡，再按照解方程步驟即可得解．（2）利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式化簡，再按照解方程步驟即可得解．【詳解】（1）解：去括號，得x2移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得2x=10．系數(shù)化為1，得x=5．（2）∵(x?1)(x+8)?x(x+3)=0，∴x∴4x=8，∴x=2．【變式6-2】（24-25八年級·上海靜安·期中）解不等式：1?2x?1?2x【答案】x≤【分析】先利用完全平方公式與平方差公式將不等式化簡為一元一次不等式，然后按照去分母、去括號、移項(xiàng)、合并、系數(shù)化為1的步驟求解即可．【詳解】解：將原不等式變形為：4即：203去分母，得20x?75≤3移項(xiàng)合并，得20x≤78系數(shù)化為1，得x≤39故不等式的解集為：x≤39【點(diǎn)睛】此題考查了一元一次不等式的解法，熟練掌握利用乘法公式化簡計(jì)算以及熟悉解一元一次不等式的方法步驟是解答此題的關(guān)鍵．【變式6-3】（24-25八年級·湖北·階段練習(xí)）計(jì)算(1)解方程：3x?22x?3(2)解不等式：3x?12【答案】(1)x=1(2)x<【分析】本題主要考查整式的乘法運(yùn)算，解一元一次不等式和一元一次方程，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）方程整理后，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解；（2）不等式整理后，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解集．【詳解】（1）解：3x?26?4x?9x?5x+6x=?5?1?6?12x=?12x=1；（2）3x?19?6x?4x>?13?2?10x>?15x<【題型7乘法公式的整體應(yīng)用】【例7】（24-25八年級·甘肅張掖·階段練習(xí)）計(jì)算：a+b?c2=【答案】a【分析】本題主要考查完全平方公式，運(yùn)用完全平方公式將括號展開即可．【詳解】解：a+b?c===a故答案為：a2【變式7-1】（24-25八年級·上海青浦·期中）計(jì)算：2a?b+3c?2a?b?3c=【答案】b【分析】本題考查了完全平方公式和平方差公式，利用平方差公式化簡，再利用完全平方公式展開即可得到結(jié)果，能熟練理解和靈活運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】原式=?b+=?b=b=b故答案為：b【變式7-2】（24-25八年級·上?！るA段練習(xí)）計(jì)算：a+b?2c【答案】a【分析】本題主要考查了平方差公式和完全平方公式，先把原式變形為a+b?2c【詳解】解：a+b?2c====a【變式7-3】（24-25八年級·上海寶山·期中）計(jì)算：a?2b?c2【答案】3a【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，原式利用完全平方公式，以及平方差公式計(jì)算即可求出值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：a?2b?c====3a【題型8利用乘法公式解決規(guī)律探究問題】【例8】（24-25八年級·四川成都·期中）如果一個(gè)正整數(shù)能夠表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”．因?yàn)?=22?12，5=32【答案】1516【分析】本題考查了新定義“智慧數(shù)”以及平方差公式的運(yùn)用；分別考慮奇數(shù)、4的倍數(shù)的數(shù)，及被4除余2與3的數(shù)；設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為k+1，k，其中k≥1，且k為整數(shù)，即(k+1)2?k【詳解】解：對于相鄰兩個(gè)自然數(shù)k+1，k，其中k≥1，且由于(k+1)2?k因而k+1和k?1就是兩個(gè)自然數(shù)，表明大于1的奇數(shù)都是“智慧數(shù)”；對于兩個(gè)自然數(shù)k+1，k?1，其中k≥1，且則(k+1)2對于4k+2的自然數(shù)，下面證明它不是“智慧數(shù)”；若它是“智慧數(shù)”，則必有m、n，滿足4k+2=m當(dāng)m、n奇偶性不同時(shí)，m+n，m?n都是奇數(shù)，其積也是奇數(shù)，但上式左邊是偶數(shù)，矛盾，即4k+2不是“智慧數(shù)”；綜上知，所有正整數(shù)中，1、4及4k+2(k≥0)不是“智慧數(shù)”外，其余都是“智慧數(shù)”；則“智慧數(shù)”3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，……，中除前兩個(gè)3與5外，其余都是3個(gè)一組的連續(xù)整數(shù)，且中間一個(gè)數(shù)為4的倍數(shù)，且2024所在的組三個(gè)數(shù)為：2023，2024，2025，而2022則不是“智慧數(shù)”，由于2022=4×505+2，即從2開始到2022，形如4k+2(k≥0)的數(shù)共有506個(gè)數(shù)不是“智慧數(shù)”，去掉1與4兩個(gè)，共有508個(gè)數(shù)不是“智慧數(shù)”，故2024是第2024?506?2=1516個(gè)“智慧數(shù)”；故答案為：1516．【變式8-1】（24-25八年級·重慶南岸·期末）觀察以下等式：第1個(gè)等式：(2×1+1)2第2個(gè)等式：(2×2+1)2第3個(gè)等式：(2×3+1)2第4個(gè)等式：(2×4+1)2按照以上規(guī)律．解決下列問題：（1）第5個(gè)等式為：；（2）若第n個(gè)等式為t2=(17×32+1)2【答案】2×5+12=【分析】（1）觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；（2）第n個(gè)等式為2n+12=(n+1)?2n+1【詳解】解：（1）觀察第1至第4個(gè)等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個(gè)等式為：2×5+12故答案為：2×5+12（2）第n個(gè)等式為2n+12證明如下：等式左邊：2n+12等式右邊：(n+1)?2n+1===4n故等式2n+12∵t2∴t=±33；故答案為：±33．【點(diǎn)睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運(yùn)用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（24-25八年級·湖南永州·期中）觀察下列各式：a?ba?ba?b………這些等式反映出多項(xiàng)式乘法的某種運(yùn)算規(guī)律．請你猜想：a?ba2023【答案】a【分析】本題考查了平方差公式、數(shù)字的變化類，根據(jù)所列式子所反映的規(guī)律得出答案即可，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵a?ba?ba?b………∴a?ba故答案為：a2024【變式8-3】（24-25八年級·河南南陽·階段練習(xí)）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方的展開式各系數(shù)規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了a+bnn=121a+b11a+b121a+b1331a+b14641a+b4根據(jù)上述規(guī)律，x+36展開式中含x4項(xiàng)的系數(shù)為【答案】135【分析】本題考查整式的混合運(yùn)算、楊輝三角等知識(shí)，首先確定x4是展開式中第三項(xiàng)，先求出a+b6的第三項(xiàng)的系數(shù)，再把a(bǔ)=x，【詳解】解：∵x4是x+3且a+b2第三項(xiàng)系數(shù)為1，字母為aa+b3第三項(xiàng)系數(shù)為3=1+2，字母為aa+b4第三項(xiàng)系數(shù)為6=1+2+3，字母為a∴a+b6第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+3+4+5=15，字母為a當(dāng)a=x，b=3時(shí)a+b6=x+36第三項(xiàng)系數(shù)為即x+36展開式中含x4項(xiàng)為故答案為：135．【考點(diǎn)3因式分解】1．因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．【注意】（1）因式分解是針對多項(xiàng)式而言的，一個(gè)單項(xiàng)式本身就是數(shù)與字母的積，不需要再分解因式；（2）因式分解的結(jié)果是整式的積的形式，積中幾個(gè)相同因式的積要寫成冪的形式；（3）因式分解必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止；（4）因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不是互為逆運(yùn)算．因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算．2．用提公因式法分解因式（1）公因式的定義：一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．（2）怎樣確定公因式（五看）：一看系數(shù)：若各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)，應(yīng)提取各項(xiàng)系數(shù)的最大公因數(shù)；二看字母：公因式的字母是各項(xiàng)相同的字母；三看字母的指數(shù)：各相同字母的指數(shù)取指數(shù)最低的；四看整體：如果多項(xiàng)式中含有相同的多項(xiàng)式，應(yīng)將其看成整體，不要拆開；五看首項(xiàng)符號：若多項(xiàng)式中首項(xiàng)符號是“-”，則公因式的符號一般為負(fù)．（3）提公因式法的定義：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提取出來，將多項(xiàng)式寫成公因式與另一個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．（4）提公因式法分解因式的一般步驟：①確定公因式：先確定系數(shù)，再確定字母和字母的指數(shù)；②提公因式并確定另一個(gè)因式；③把多項(xiàng)式寫成這兩個(gè)因式的積的形式．【注意】（1）多項(xiàng)式的公因式提取要徹底，當(dāng)一個(gè)多項(xiàng)式提取公因式后，剩下的另一個(gè)因式中不能再有公因式．（2）提公因式后括號內(nèi)的項(xiàng)數(shù)應(yīng)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一樣．（3）若多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，通常要提出負(fù)因數(shù)．3．用平方差公式分解因式（1）平方差公式的等號兩邊互換位置，得語言敘述：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積．（2）特點(diǎn)：①等號左邊是二項(xiàng)式，兩項(xiàng)都能寫成平方的形式，且符號相反；②等號右邊是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積．4．用完全平方公式分解因式（1）完全平方公式的等號兩邊互換位置，得，語言敘述：兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方．（2）特點(diǎn)：①等號左邊是三項(xiàng)式，其中首末兩項(xiàng)分別是兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的平方，且這兩項(xiàng)的符號相同，中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的積的2倍，符號正負(fù)均可．②等號右邊是這兩個(gè)數(shù)（或兩個(gè)式子）的和（或差)的平方．當(dāng)中間的乘積項(xiàng)與首末兩項(xiàng)符號相同時(shí)，是和的平方；當(dāng)中間的乘積項(xiàng)與首末兩項(xiàng)的符號相反時(shí)，是差的平方．（3）公式法的定義：如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法．【題型9利用因式分解求代數(shù)式的值】【例9】（24-25八年級·四川內(nèi)江·期中）若a=2019x+2020,b=2019x+2021,c=2019x+2022，則代數(shù)式a2+bA．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，由a，b，c的代數(shù)式，求出a?b，a?c，b?c的值，原式利用完全平方公式變形后代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：∵a=2019x+2020，b=2019x+2021，c=2019x+2022，∴a?b=?1，a?c=?2，b?c=?1，則a===1當(dāng)a?b=?1，a?c=?2，b?c=?1時(shí)，原式=1故選：D．【變式9-1】（24-25八年級·河北保定·期末）對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對于二次三項(xiàng)式x2+2ax?8a2，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式x閱讀以上材料，解決下列問題．(1)分解因式：a2(2)當(dāng)a為何值時(shí)，二次三項(xiàng)式a2【答案】(1)a+2(2)當(dāng)a=?2時(shí)，二次三項(xiàng)式a2+4a+5【分析】（1）仿照閱讀例子，加減一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)計(jì)算即可；（2）利用配方法，結(jié)合實(shí)數(shù)的非負(fù)性，計(jì)算即可；本題考查了配方法的應(yīng)用，因式分解的應(yīng)用，利用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行因式分解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式====a+2（2）解：原式=a=a+2∵a+22∴a+2∴當(dāng)a=?2時(shí)，二次三項(xiàng)式a2+4a+5取得最小值，最小值為【變式9-2】（2024·福建廈門·一模）若x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），則多項(xiàng)式2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy的值可能為（

）A．﹣1 B．0 C．716 D．【答案】C【分析】根據(jù)因式分解將多項(xiàng)式分解，利用0＜m＜1即可得0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：∵x﹣2y﹣2＝0，x2﹣4y2＋4m＝0（0＜m＜1），∴x﹣2y＝2，∴4m＝4y2﹣x2＝（2y＋x）（2y﹣x），∴x＋2y＝﹣2m，∴2mx﹣x2﹣4my﹣4y2﹣4xy＝（2mx﹣4my）﹣（x2＋4y2＋4xy）＝2m（x﹣2y）﹣（x2＋4y2＋4xy）＝2m（x﹣2y）﹣（x＋2y）2＝4m﹣4m2＝﹣（2m﹣1）2＋1，∵0＜m＜1，∴0＜2m＜2，∴﹣1＜2m﹣1＜1，∴0＜（2m﹣1）2＜1，∴0＜﹣（2m﹣1）2＋1＜1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，不等式的性質(zhì)等知識(shí)，能將已知條件變形和將多項(xiàng)式因式分解是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（24-25八年級·重慶璧山·階段練習(xí)）一個(gè)各數(shù)位均不相等且不為0的四位自然數(shù)M=abcd，若滿足a+c=b+d，則稱這個(gè)四位數(shù)為“明德數(shù)”．例如：四位數(shù)3256，∵3+5=2+6，∴3256是“明德數(shù)”．若abcd是一個(gè)“明德數(shù)”，則這個(gè)數(shù)的最小值為；若M=abcd是一個(gè)“明德數(shù)”，abcd9為整數(shù)，ab?cd【答案】12435346【分析】本題主要考查了新定義，因式分解的應(yīng)用，要使“明德數(shù)”abcd最小，則千位a=1，百位b=2，再根據(jù)新定義得到a+c=b+d，可求出a、b、c、d的值，進(jìn)而可得答案；先求出M=999a+99b+9c+2a+c，由abcd9為整數(shù)，得到a+c=b+d=9，分別列出a,c的值，根據(jù)ab?【詳解】解：根據(jù)題意：要使“明德數(shù)”abcd最小，則a=1,b=2，∵abcd是一個(gè)“明德數(shù)”，∴a+c=b+d，∴1+c=2+d，即c?d=1，∴c=4,d=3時(shí)，這個(gè)數(shù)最小，∴這個(gè)數(shù)為1243；∵M(jìn)=abcd∴M=1000a+100b+10c+d，∵a+c=b+d，∴d=a+c?b，∴M=1000a+100b+10c+a+c?b，=1001a+99b+11c=999a+99b+9c∵abcd9∴999a+99b+9c∴2a+c9∴0<a<9,0<c<9,a≠c，∴a+c=9，則b+d=9，∴a=1c=8或a=2c=7或a=3c=6或a=4c=5或a=5c=4或a=4c=5∵ab?∴10a+b?10c+d∵d=a+c?b，∴10a+b?10c?a+c?b=7，即∴b=11c?9a+7當(dāng)a=1c=8時(shí)，b=43當(dāng)a=2c=7時(shí)，b=33當(dāng)a=3c=6時(shí)，b=23當(dāng)a=4c=5時(shí)，b=13當(dāng)a=5c=4時(shí)，b=3，符合題意，此時(shí)d=6，即M=5346當(dāng)a=6c=3時(shí)，b=?7當(dāng)a=7c=2時(shí)，b=?17當(dāng)a=8c=1時(shí)，b=?27∴滿足題意的M的最大值即為5346；故答案為：1243；5346．【題型10因式分解與三角形知識(shí)的綜合應(yīng)用】【例10】（24-25八年級·貴州銅仁·期中）閱讀材料：把形如ax2+bx+c例如：①我們可以將代數(shù)式a2+6a+10=a∵a+3∴a+3因此，該式有最小值1．②已知：a2+b2+c2(1)按照上述方法，將代數(shù)式x2+8x+20變形為(2)若p=x2+2x+6(3)已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2【答案】(1)x+4(2)P的最小值是5(3)△ABC是等邊三角形，理由見解析【分析】本題主要考查完全平方公式的變形運(yùn)用，整式的混合運(yùn)算，非負(fù)性，等邊三角形的判定和性質(zhì)，（1）根據(jù)材料提示的配方法即可求解；（2）運(yùn)用配方法及非負(fù)性即可求解；