2025屆福建省福安市一中高三下學期第四次質量檢查數(shù)學試題

2025屆福建省福安市一中高三下學期第四次質量檢查數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是上的減函數(shù)，當最小時，若函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．“”是“函數(shù)（為常數(shù)）為冪函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3．某中學2019年的高考考生人數(shù)是2016年高考考生人數(shù)的1.2倍，為了更好地對比該?？忌纳龑W情況，統(tǒng)計了該校2016年和2019年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結論正確的是（）.A．與2016年相比，2019年不上線的人數(shù)有所增加B．與2016年相比，2019年一本達線人數(shù)減少C．與2016年相比，2019年二本達線人數(shù)增加了0.3倍D．2016年與2019年藝體達線人數(shù)相同4．已知向量，，若，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,26．在等腰直角三角形中，，為的中點，將它沿翻折，使點與點間的距離為，此時四面體的外接球的表面積為（）.A． B． C． D．7．點為棱長是2的正方體的內(nèi)切球球面上的動點，點為的中點，若滿足，則動點的軌跡的長度為（）A． B． C． D．8．記為數(shù)列的前項和數(shù)列對任意的滿足.若，則當取最小值時，等于（）A．6 B．7 C．8 D．99．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）．若從含有兩個及以上陽爻的卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中都恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．10．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．11．已知菱形的邊長為2，，則（）A．4 B．6 C． D．12．在平面直角坐標系中，經(jīng)過點，漸近線方程為的雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，，，則_________.14．已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為____________.15．若一組樣本數(shù)據(jù)7，9，，8，10的平均數(shù)為9，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為______.16．若函數(shù)，則__________；__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程是.（1）求的值；（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性與極值；（3）證明：.18．（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且是與的等差中項.（1）證明：為等差數(shù)列，并求；（2）設，數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù)的值.19．（12分）在直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）若射線的極坐標方程為（）.設與相交于點，與相交于點，求.20．（12分）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，判斷函數(shù)，（）有幾個零點，并證明你的結論；（3）設函數(shù)，若函數(shù)在為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）設（1）證明:當時，；（2）當時，求整數(shù)的最大值.（參考數(shù)據(jù)：，）22．（10分）誠信是立身之本，道德之基，我校學生會創(chuàng)設了“誠信水站”，既便于學生用水，又推進誠信教育，并用“”表示每周“水站誠信度”，為了便于數(shù)據(jù)分析，以四周為一周期，如表為該水站連續(xù)十二周（共三個周期）的誠信數(shù)據(jù)統(tǒng)計：第一周第二周第三周第四周第一周期第二周期第三周期（Ⅰ）計算表中十二周“水站誠信度”的平均數(shù)；（Ⅱ）若定義水站誠信度高于的為“高誠信度”，以下為“一般信度”則從每個周期的前兩周中隨機抽取兩周進行調(diào)研，計算恰有兩周是“高誠信度”的概率；（Ⅲ）已知學生會分別在第一個周期的第四周末和第二個周期的第四周末各舉行了一次“以誠信為本”的主題教育活動，根據(jù)已有數(shù)據(jù)，說明兩次主題教育活動的宣傳效果，并根據(jù)已有數(shù)據(jù)陳述理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

首先根據(jù)為上的減函數(shù)，列出不等式組，求得，所以當最小時，，之后將函數(shù)零點個數(shù)轉化為函數(shù)圖象與直線交點的個數(shù)問題，畫出圖形，數(shù)形結合得到結果.【詳解】由于為上的減函數(shù)，則有，可得，所以當最小時，，函數(shù)恰有兩個零點等價于方程有兩個實根，等價于函數(shù)與的圖像有兩個交點．畫出函數(shù)的簡圖如下，而函數(shù)恒過定點，數(shù)形結合可得的取值范圍為．故選：A.【點睛】該題考查的是有關函數(shù)的問題，涉及到的知識點有分段函數(shù)在定義域上單調(diào)減求參數(shù)的取值范圍，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題目.2、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)定義，求得的值，結合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當函數(shù)為冪函數(shù)時，，解得或，∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷，冪函數(shù)定義的應用，屬于基礎題.3、A【解析】

設2016年高考總人數(shù)為x，則2019年高考人數(shù)為，通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.【詳解】設2016年高考總人數(shù)為x，則2019年高考人數(shù)為，2016年高考不上線人數(shù)為，2019年不上線人數(shù)為，故A正確；2016年高考一本人數(shù)，2019年高考一本人數(shù)，故B錯誤；2019年二本達線人數(shù)，2016年二本達線人數(shù)，增加了倍，故C錯誤；2016年藝體達線人數(shù)，2019年藝體達線人數(shù)，故D錯誤.故選：A.【點睛】本題考查柱狀圖的應用，考查學生識圖的能力，是一道較為簡單的統(tǒng)計類的題目.4、B【解析】

直接利用向量的坐標運算得到向量的坐標，利用求得參數(shù)m，再用計算即可.【詳解】依題意，，而，即，解得，則.故選：B.【點睛】本題考查向量的坐標運算、向量數(shù)量積的應用，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想.5、C【解析】

先求出集合U，再根據(jù)補集的定義求出結果即可．【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C．【點睛】本題考查集合補集的運算，求解的關鍵是正確求出集合U和熟悉補集的定義，屬于簡單題．6、D【解析】

如圖，將四面體放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上下底面外接圓圓心連線中點，這樣根據(jù)幾何關系，求外接球的半徑.【詳解】中，易知，翻折后,，，設外接圓的半徑為，，，如圖：易得平面，將四面體放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線中點，設幾何體外接球的半徑為，，四面體的外接球的表面積為.故選：D【點睛】本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑時，一般可以用補形法，因正方體，長方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補形為正方體或長方體，比如三條側棱兩兩垂直的三棱錐，或是構造直角三角形法，確定球心的位置，構造關于外接球半徑的方程求解.7、C【解析】

設的中點為，利用正方形和正方體的性質，結合線面垂直的判定定理可以證明出平面，這樣可以確定動點的軌跡，最后求出動點的軌跡的長度.【詳解】設的中點為，連接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以動點的軌跡平面與正方體的內(nèi)切球的交線.正方體的棱長為2，所以內(nèi)切球的半徑為，建立如下圖所示的以為坐標原點的空間直角坐標系：因此有，設平面的法向量為，所以有，因此到平面的距離為：，所以截面圓的半徑為：，因此動點的軌跡的長度為.故選：C【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理的應用，考查了立體幾何中軌跡問題，考查了球截面的性質，考查了空間想象能力和數(shù)學運算能力.8、A【解析】

先令，找出的關系，再令，得到的關系，從而可求出，然后令，可得，得出數(shù)列為等差數(shù)列，得，可求出取最小值.【詳解】解法一：由，所以，由條件可得，對任意的，所以是等差數(shù)列，，要使最小，由解得，則.解法二：由賦值法易求得，可知當時，取最小值.故選：A【點睛】此題考查的是由數(shù)列的遞推式求數(shù)列的通項，采用了賦值法，屬于中檔題.9、B【解析】

基本事件總數(shù)為個，都恰有兩個陽爻包含的基本事件個數(shù)為個，由此求出概率.【詳解】解：由圖可知，含有兩個及以上陽爻的卦有巽、離、兌、乾四卦，取出兩卦的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（巽，乾），（離，兌），（離，乾），（兌，乾）共個，其中符合條件的基本事件有（巽，離），（巽，兌），（離，兌）共個，所以，所求的概率.故選：B.【點睛】本題滲透傳統(tǒng)文化，考查概率、計數(shù)原理等基本知識，考查抽象概括能力和應用意識，屬于基礎題．10、A【解析】

根據(jù)或，驗證交集后求得的值.【詳解】因為，所以或.當時，，不符合題意，當時，.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎題.11、B【解析】

根據(jù)菱形中的邊角關系，利用余弦定理和數(shù)量積公式，即可求出結果．【詳解】如圖所示，菱形形的邊長為2，，∴，∴，∴，且，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應用問題，屬于基礎題.．12、B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設所求雙曲線的標準方程為k．再把點代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選：B【點睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先由題意得：，再利用向量數(shù)量積的幾何意義得，可得結果.【詳解】由知：，則在方向的投影為，由向量數(shù)量積的幾何意義得：，∴故答案為【點睛】本題考查了投影的應用，考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運算，屬于基礎題.14、1【解析】

直接用表示出，然后由不等式性質得出結論．【詳解】由題意，又，∴，即，∴的最大值為1．故答案為：1．【點睛】本題考查不等式的性質，掌握不等式的性質是解題關鍵．15、1【解析】

根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得，解得的值，進而由方差公式計算，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)7，9，，8，10的平均數(shù)為9，則，解得：，則其方差.故答案為：1．【點睛】本題考平均數(shù)、方差的計算，考查運算求解能力，求解時注意求出的值，屬于基礎題．16、01【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，代入即可求解.【詳解】函數(shù)，所以，.故答案為：0；1.【點睛】本題考查了分段函數(shù)求值的簡單應用，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無極大值；（3）見解析.【解析】

（1）切點既在切線上又在曲線上得一方程，再根據(jù)斜率等于該點的導數(shù)再列一方程，解方程組即可；（2）先對求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)判斷和求解即可.（3）把證明轉化為證明，然后證明極小值大于極大值即可.【詳解】解：（1）函數(shù)的定義域為由已知得，則，解得.（2）由題意得，則.當時，，所以單調(diào)遞減，當時，，所以單調(diào)遞增，所以，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，的極小值為，無極大值.（3）要證成立，只需證成立.令，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以的極大值為，即由（2）知，時，，且的最小值點與的最大值點不同，所以，即.所以，.【點睛】知識方面，考查建立方程組求未知數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值以及不等式的證明；能力方面，考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力以及運算求解能力；試題難度大.18、（1）見解析，（2）最小正整數(shù)的值為35.【解析】

（1）由等差中項可知，當時，得，整理后可得，從而證明為等差數(shù)列，繼而可求.（2），則可求出，令，即可求出的取值范圍，進而求出最小值.【詳解】解析：（1）由題意可得，當時，，∴，，當時，，整理可得，∴是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，.（2）由（1）可得，∴，解得，∴最小正整數(shù)的值為35.【點睛】本題考查了等差中項，考查了等差數(shù)列的定義，考查了與的關系，考查了裂項相消求和.當已知有與的遞推關系時，常代入進行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時，一般借助數(shù)列，即后一項與前一項的差為常數(shù).19、（1）曲線的普通方程為；直線的直角坐標方程為（2）【解析】

（1）利用消去參數(shù)，將曲線的參數(shù)方程化成普通方程，利用互化公式，將直線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）根據(jù)（1）求出曲線的極坐標方程，分別聯(lián)立射線與曲線以及射線與直線的極坐標方程，求出和，即可求出.【詳解】解：（1）因為（為參數(shù)），所以消去參數(shù)，得，所以曲線的普通方程為.因為所以直線的直角坐標方程為.（2）曲線的極坐標方程為.設的極徑分別為和，將（）代入，解得，將（）代入，解得.故.【點睛】本題考查利用消參法將參數(shù)方程化成普通方程以及利用互化公式將極坐標方程化為直角坐標方程，還考查極徑的運用和兩點間距離，屬于中檔題.20、（1）單調(diào)增區(qū)間,單調(diào)減區(qū)間為,;（2）有2個零點，證明見解析;（3）【解析】

對函數(shù)求導,利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;函數(shù)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;記函數(shù),求導后利用單調(diào)性求得,由零點存在性定理及單調(diào)性知存在唯一的,使，求得為分段函數(shù),求導后分情況討論：①當時，利用函數(shù)的單調(diào)性將問題轉化為的問題;②當時，當時,在上恒成立，從而求得的取值范圍.【詳解】（1）由題意知,，列表如下：020極小值極大值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為,.（2）函數(shù)有2個零點.證明如下：因為時，所以，因為,所以在恒成立,在上單調(diào)遞增，由，，且在上單調(diào)遞增且連續(xù)知,函數(shù)在上僅有一個零點，由（1）可得時,，即，故時，，所以，由得，平方得，所以，因為，所以在上恒成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因為,所以,由，，且在上單調(diào)遞減且連續(xù)得在上僅有一個零點，綜上可知：函數(shù)有2個零點.（3）記函數(shù)，下面考察的符號．求導得．當時恒成立．當時，因為，所以．∴在上恒成立，故在上單調(diào)遞減．∵，∴，又因為在上連續(xù)，所以由函數(shù)的零點存在性定理得存在唯一的，使，∴,因為,所以∴因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,,所以在，上恒成立．①當時，在上恒成立，即在上恒成立．記，則，當變化時，，變化情況如下表：極小值∴，故，即．②當時，，當時，在上恒成立．綜合（1）（2）知，實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值和利用零點存在性定理判斷函數(shù)零點個數(shù)、利用分離參數(shù)法求參數(shù)的取值范圍;考查轉化與化歸能力、邏輯推理能力、運算求解能力;通過構造函數(shù),利用零點存在性定理判斷其零點,從而求出函數(shù)的表達式是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式可得，構造函數(shù)，求得并令，由導函數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性并求得最大值，由即可證明恒成立，即不等式得證.（2）對函數(shù)求導，變形后討論當時的函數(shù)單調(diào)情況：當時，可知滿足題意；將不等式化簡后構造函數(shù)，利用導函數(shù)求得極值點與函數(shù)的單調(diào)性，從而求得最小值為，分別依次代入檢驗的符號，即可確定整數(shù)