數(shù)學(xué)頻率的穩(wěn)定性教案-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第十章概率10.3頻率與概率10.3.1頻率的穩(wěn)定性

一、教學(xué)目標(biāo)

一、教學(xué)目標(biāo)1.能理解在具體情況下隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，獲得隨機(jī)事件概率的方法之一，形成一種重要的概率思想.2.會(huì)用頻率估計(jì)概率,歸納出頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).3.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題分析，培養(yǎng)使用數(shù)學(xué)的良好意識(shí)，提升推理論證能力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：頻率與概率的聯(lián)系與區(qū)別．難點(diǎn)：對(duì)頻率穩(wěn)定性規(guī)律的理解．

三、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境事件的概率越大，意味著事件發(fā)生的可能性越大，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越大；事件的概率越小，則事件發(fā)生的可能性越小，在重復(fù)試驗(yàn)中，相應(yīng)的頻率一般也越小，在初中，我們利用頻率與概率的這種關(guān)系，我們通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，用頻率去估計(jì)概率，你能舉出生活中那些事情發(fā)生的概率是用頻率來(lái)估計(jì)的？(學(xué)生舉例)想一想：在重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，頻率的大小是否就決定了概率的大小呢？頻率與概率之間到底是一種怎樣的關(guān)系呢？師生活動(dòng)：教師展示生活中用頻率估計(jì)概率的實(shí)例，例如；保險(xiǎn)領(lǐng)域的各個(gè)中“事故”，讓學(xué)生也例舉生活中的實(shí)例.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)直觀觀察，結(jié)合身邊的事物引出數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生會(huì)感到親切、生動(dòng)、真實(shí)、易于接受.同時(shí)，由知識(shí)回顧，提出問(wèn)題，引出頻率與概率的關(guān)系問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).（二）探究新知任務(wù)1：在真實(shí)試驗(yàn)探究頻率和概率之間的關(guān)系.探究：重復(fù)做同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗(yàn)，設(shè)事件A=“一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上”，統(tǒng)計(jì)A出現(xiàn)的次數(shù)并計(jì)算頻率，再與其概率進(jìn)行比較.師生活動(dòng)：1.獨(dú)立計(jì)算，事件概率；2.小組試驗(yàn)，記錄頻數(shù)；第一步：每人重復(fù)做25次試驗(yàn)，記錄事件A發(fā)生的次數(shù)，計(jì)算頻率；第二步：每4名同學(xué)為一組，相互比較試驗(yàn)結(jié)果；第三步：各組統(tǒng)計(jì)事件A發(fā)生的次數(shù)，計(jì)算事件A發(fā)生的頻率，將結(jié)果填入表中10.3-1中.3.交流討論，提出猜想;4.組內(nèi)交流，匯報(bào)展示.總結(jié)：方法一：用概率計(jì)算.把硬幣正面朝上記為1，反面朝上記為0，則這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω={(1，1)，(1，0)，

(0，1)，(0，0)}，A={(1，0)，(0，1)}，所以概率P(A)=0.5.方法二：用頻數(shù)計(jì)算.思考：比較在自己試驗(yàn)25次、小組試驗(yàn)100次和全班試驗(yàn)總次數(shù)的情況下，事件A發(fā)生的頻率：（1）各小組的試驗(yàn)結(jié)果一樣嗎？為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？（2）隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率有什么變化規(guī)律？分析：（1）試驗(yàn)結(jié)果不同---說(shuō)明隨機(jī)事件的頻率是一個(gè)變量，隨試驗(yàn)的改變而改變；（2）事件A發(fā)生的頻率----在0.5范圍左右波動(dòng)，隨著次數(shù)的增加波動(dòng)范圍變小，得到的值更加接近A的概率0.5.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)在真實(shí)試驗(yàn)探究頻率和概率之間的關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷重復(fù)試驗(yàn)，收集，整理數(shù)據(jù)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理的核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力.任務(wù)2：在模擬試驗(yàn)中探究頻率和概率之間的關(guān)系.探究：利用計(jì)算機(jī)模擬擲兩枚硬幣的試驗(yàn)，在重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)為20，100，500時(shí)各做5組試驗(yàn)，得到事件A=“一個(gè)正面朝上，一個(gè)反面朝上”發(fā)生的頻數(shù)nA師生活動(dòng)：1.從計(jì)算機(jī)模擬數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了什么？2.分別繪制n=20,n=100,n=500的頻率波動(dòng)折現(xiàn)圖;3.從圖中能得出什么結(jié)論?要求：先獨(dú)立思考完成，再小組內(nèi)交流討論，最后展示匯報(bào).總結(jié)：（1）試驗(yàn)次數(shù)n相同，頻率fn(A)可能不同，這說(shuō)明隨機(jī)事件發(fā)生的頻率具有隨機(jī)性.(2)從整體看頻率在0.5范圍內(nèi)波動(dòng)，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n小時(shí)，波動(dòng)幅度較大；當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)在計(jì)算計(jì)模擬試驗(yàn)中探究頻率和概率之間的關(guān)系，進(jìn)一步探究頻率與概率之間的關(guān)系，利用圖表，表示試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)觀察，比較發(fā)現(xiàn)頻率的特征，提升想象和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．任務(wù)3：歸納總結(jié)頻率和概率之間的關(guān)系.師生活動(dòng):1.先獨(dú)立梳理結(jié)構(gòu)圖2分鐘；2.小組內(nèi)交流討論補(bǔ)全完善自己的結(jié)構(gòu)圖；3.以小組為單位進(jìn)行展示匯報(bào).總結(jié)：教師可以先總結(jié)引出頻率穩(wěn)定性的概念：一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率PA.因此，我們可以用頻率f設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體會(huì)用試驗(yàn)驗(yàn)證概率模型的合理性，通過(guò)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律從而建立概率理論模型的思想，進(jìn)一步提高學(xué)生歸納總結(jié)和概括問(wèn)題的能力，解決問(wèn)題的能力.（三）應(yīng)用舉例例1：新生嬰兒性別比是每100名女?huà)雽?duì)應(yīng)的男嬰數(shù).通過(guò)抽樣調(diào)查得知，我國(guó)2014年、2015年出生的嬰兒性別比分別為115.88和113.51.（1）估計(jì)我國(guó)2014年和2015年男嬰的出生率（新生兒中男嬰的比率，精確到0.001）；（2）根據(jù)估計(jì)結(jié)果，你認(rèn)為“生男孩和生女孩是等可能的”這個(gè)判斷可靠嗎？提示：（1）如何去計(jì)算出生率？（2）這種計(jì)算方法能估計(jì)出生率？解：（1）2014年男嬰出生的頻率為：115.88100+115.882015年男嬰出生的頻率為：113.51100+113.51由此估計(jì)，我國(guó)2014年男嬰出生率約為0.537，2015年男嬰出生率約為0.532.（2）由于調(diào)查新生兒人數(shù)的樣本非常大，根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，上述對(duì)男嬰出生率的估計(jì)具有較高的可信度.因此，我們有理由懷疑“生男孩和生女孩是等可能的”的結(jié)論.例2：一個(gè)游戲包含兩個(gè)隨機(jī)事件A和B，規(guī)定事件A發(fā)生則甲獲勝，事件B發(fā)生則乙獲勝.判斷游戲是否公平的標(biāo)準(zhǔn)是事件A和B發(fā)生的概率是否相等.在游戲過(guò)程中甲發(fā)現(xiàn)：玩了10次時(shí)，雙方各勝5次；但玩到1000次時(shí)，自己才勝300次，而乙卻勝了700次.據(jù)此，甲認(rèn)為游戲不公平，但乙認(rèn)為游戲是公平的.你更支持誰(shuí)的結(jié)論？為什么？提示：（1）游戲玩10次和玩1000次，甲和乙的獲勝的頻率分別是多少？（2）它們的頻率是相同？若不同有什么區(qū)別？能用這些頻率估計(jì)概率？（3）概率的大小和游戲的公平性直接有什么關(guān)系？.解：（1）當(dāng)游戲玩了10次時(shí)，甲、乙獲勝的頻率都為0.5；當(dāng)游戲玩了1000次時(shí)，甲獲勝的頻率為0.3，乙獲勝的頻率為0.7.（2）根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率偏離概率很大的可能性會(huì)越來(lái)越小。相對(duì)10次游戲，1000次游戲時(shí)的頻率接近概率的可能性更大，因此我們更愿意相信1000次時(shí)的頻率離概率更近.（3）而游戲玩到1000次時(shí)，甲、乙獲勝的頻率分別是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由認(rèn)為游戲是不公平的.因此，應(yīng)該支持甲對(duì)游戲公平性的判斷.例3:氣象工作者有時(shí)用概率預(yù)報(bào)天氣，如某氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“明天的降水概率是90%.如果您明天要出門(mén)，最好攜帶雨具”.如果第二天沒(méi)有下雨，我們或許會(huì)抱怨氣象臺(tái)預(yù)報(bào)得不準(zhǔn)確.那么如何理解“降水概率是90%”？又該如何評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的結(jié)果是否準(zhǔn)確呢？提示：（1）氣象預(yù)報(bào)長(zhǎng)期記錄有什么作用？（2）90%相當(dāng)于是以往事件發(fā)生的頻率，可以用它估計(jì)事情發(fā)生的概率？（3）當(dāng)隨機(jī)事件的概率高時(shí)，事件是不是一定會(huì)發(fā)生？解：只有根據(jù)氣象預(yù)報(bào)的長(zhǎng)期記錄(相當(dāng)于大量試驗(yàn))，才能評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確性;（1）如果在類(lèi)似氣象條件下預(yù)報(bào)要下雨的那些天（天數(shù)較多）里，大約有90%確實(shí)下雨了，那么應(yīng)該認(rèn)為預(yù)報(bào)是準(zhǔn)確的；（2）如果真實(shí)下雨的天數(shù)所占的比例與90%差別較大，那么就可以認(rèn)為預(yù)報(bào)不太準(zhǔn)確.設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)例分析，讓學(xué)生掌握運(yùn)用頻率來(lái)計(jì)算事件概率，提升推理論證能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)．（四）課堂練習(xí)1.在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，同學(xué)甲用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了100次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了45次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為(

)A.0.45?0.45 B.0.5?0.5 C.0.5?0.45 D.0.45?0.5

解：出現(xiàn)正面的頻率是45÷100=0.45，出現(xiàn)正面的概率是0.5，

故選：D．2.用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率去估算這個(gè)事件發(fā)生的概率．下列結(jié)論正確的是(

)A.事件A發(fā)生的概率P(A)是0<P(A)<1

B.事件A發(fā)生的概率P(A)=0.999，則事件A是必然事件

C.用某種藥物對(duì)患有胃潰瘍的500名病人治療，結(jié)果有380人有明顯的療效，現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計(jì)有明顯療效的可能性為76%

D.某獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)率為0.5，則某人購(gòu)買(mǎi)此券10張，一定有5張中獎(jiǎng)解：對(duì)于A，P(A)可以是0或1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，事件A發(fā)生的概率P(A)=0.999，則事件A是隨機(jī)事件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，根據(jù)概率的定義，估計(jì)有明顯療效的可能性為380500=0.76，可判斷C正確；

對(duì)于D，某獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)率為0.5，某人購(gòu)買(mǎi)此券10張，不一定有5張中獎(jiǎng)，D錯(cuò)誤；

故選：3.下列關(guān)于隨機(jī)事件的頻率與概率的關(guān)系的說(shuō)法中，正確的是

(填序號(hào))．?①頻率就是概率;?②頻率是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān);?③概率是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定;?④隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率越來(lái)越接近概率．解：頻率不是概率，所以?①不正確;

頻率是通過(guò)試驗(yàn)得到的，不是客觀存在的，與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)，所以?②不正確;

概率不是隨機(jī)的，所以?③不正確;

很明顯，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率越來(lái)越接近概率，故?④正確．4.某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如表所示：射擊次數(shù)n102050100200500擊中靶心次數(shù)m8194492178455擊中靶心的頻率m(1)填寫(xiě)表中擊中靶心的頻率；

(2)這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算依次填入的數(shù)據(jù)為：

810=0.80，1920=0.95，4450=0.88，92100=0.92，178200=0.89，455500=0.91；

(2)計(jì)算15.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類(lèi)整理得到下表：電影類(lèi)型第一類(lèi)第二類(lèi)第三類(lèi)第四類(lèi)第五類(lèi)第六類(lèi)電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類(lèi)電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類(lèi)電影的部數(shù)的比值．(Ⅰ)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類(lèi)電影的概率；(Ⅱ)隨機(jī)選取1部電影，估計(jì)這部電影沒(méi)有獲得好評(píng)的概率；(Ⅲ)電影公司為增加投資回報(bào)，擬改變投資策略，這將導(dǎo)致不同類(lèi)型電影的好評(píng)率發(fā)生變化.假設(shè)表格中只有兩類(lèi)電影的好評(píng)率數(shù)據(jù)發(fā)生變化，那么哪類(lèi)電影的好評(píng)率增加0.1，哪類(lèi)電影的好評(píng)率減少0.1，使得獲得好評(píng)的電影總部數(shù)與樣本中的電影總部數(shù)的比值達(dá)到最大？(只需寫(xiě)出結(jié)論)解：(Ⅰ)總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000部，

獲得好評(píng)的第四類(lèi)電影200×0.25=50，

故從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類(lèi)電影的概率502000=140；

(Ⅱ)獲得好評(píng)的電影部數(shù)為140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0