數(shù)學(xué)有限樣本空間與隨機(jī)事件教案-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第十章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.1有限樣本空間與隨機(jī)事件

一、教學(xué)目標(biāo)1.結(jié)合具體實(shí)例，經(jīng)歷用集合語(yǔ)言描述一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果，并抽象出有限樣本空間與樣本點(diǎn)概念的過(guò)程，會(huì)求實(shí)驗(yàn)結(jié)果有限的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的思想方法.2.會(huì)用集合語(yǔ)言表示一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，能利用樣本點(diǎn)解釋事件可能結(jié)果的意義以及所包含基本事件的個(gè)數(shù)，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)與交流的能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、推理的核心素養(yǎng).

二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：有限樣本空間及隨機(jī)事件的概念.難點(diǎn)：對(duì)各種不同背景的隨機(jī)試驗(yàn)，用符號(hào)表示試驗(yàn)的可能結(jié)果，列舉試驗(yàn)的樣本空間.

三、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情境你能回答下面事件結(jié)果出現(xiàn)的情況嗎？(學(xué)生回答）(1)拋擲一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況；(2)拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的情況；(3)買一注福利彩票，觀察中獎(jiǎng)、不中獎(jiǎng)的情況．引出概念：我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E表示.（二）探究新知任務(wù)1：歸納隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)思考：這些隨機(jī)試驗(yàn)共同特點(diǎn)是什么？合作探究：1.先獨(dú)立總結(jié)2分鐘；2.小組內(nèi)交流討論補(bǔ)全完善自己的總結(jié)；3.以小組為單位進(jìn)行展示匯報(bào).師生活動(dòng)：教師歸納總結(jié)學(xué)生的回答，引導(dǎo)學(xué)生思考體會(huì)隨機(jī)試驗(yàn)的概念，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)特點(diǎn).引出概念：隨機(jī)試驗(yàn)具有以下特點(diǎn)：(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；可重復(fù)性(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；可預(yù)知性(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果.隨機(jī)性設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)詳細(xì)問(wèn)題，讓同學(xué)感受隨機(jī)試驗(yàn)的概念認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)特點(diǎn).任務(wù)2：探究有限樣本空間的相關(guān)概念探究：體育彩票搖獎(jiǎng)時(shí)，將10個(gè)質(zhì)地和大小完全相同、分別標(biāo)號(hào)0,1,2，…，9的球放入搖獎(jiǎng)器中，經(jīng)過(guò)充分?jǐn)嚢韬髶u出一個(gè)球，觀察這個(gè)球的號(hào)碼，這個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)共有多少個(gè)可能結(jié)果？你是如何表示這些結(jié)果的？要求：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào)答：10個(gè)可能結(jié)果；可用集合表示為{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間.一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn).在本書(shū)中，我們只討論Ω為有限集的情況.如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω={ω1,ω2,…,ωn}為有限樣本空間.有了樣本點(diǎn)和樣本空間的概念，我們就可以用數(shù)學(xué)方法描述和研究隨機(jī)現(xiàn)象了.設(shè)計(jì)意圖：首先在認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象和隨機(jī)試驗(yàn)特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，利用集合論的知識(shí)，抽象出樣本點(diǎn)、樣本空間，將隨機(jī)事件看成樣本空間的子集，對(duì)隨機(jī)事件的概念構(gòu)建了由直觀描述到數(shù)學(xué)刻畫(huà)的精確化過(guò)程.培養(yǎng)同學(xué)數(shù)學(xué)抽象、規(guī)律推理的核心素養(yǎng).任務(wù)3：探究事件的分類思考：在上述體育彩票搖號(hào)試驗(yàn)中，搖出“球的號(hào)碼為奇數(shù)”是隨機(jī)事件嗎?搖出“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”是否也是隨機(jī)事件?如果用集合的形式來(lái)表示它們，那么這些集合與樣本空間有什么關(guān)系?要求：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報(bào)答：顯然，“球的號(hào)碼為奇數(shù)”和“球的號(hào)碼為3的倍數(shù)”都是隨機(jī)事件.我們用A表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為奇數(shù)”，則A發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)搖出的號(hào)碼為1，3，5，7，9之一，即事件A發(fā)生等價(jià)于搖出的號(hào)碼屬于集合{1，3，5，7，9}.因此可以用樣本空間Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示隨機(jī)事件A.類似地，可以用樣本空間的子集{0，3，6，9}表示隨機(jī)事件“球的號(hào)碼為3的倍數(shù).引出概念：一般地，隨機(jī)試驗(yàn)中的每個(gè)隨機(jī)事件都可以用這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的子集來(lái)表示.為了敘述方便，我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件簡(jiǎn)稱事件，并把只包含一個(gè)樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件.隨機(jī)事件一般用大寫(xiě)字母A，B，C，…表示.在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生.Ω作為自身的子集，包含了所有的樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為必然事件.而空集?不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱?為不可能事件.必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性.為了方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形.這樣，每個(gè)事件都是樣本空間Ω的一個(gè)子集.設(shè)計(jì)意圖：在具體問(wèn)題情境中，理解隨機(jī)事件的意義，初步掌握用樣本空間的子集表示事件的方法.（三）應(yīng)用舉例例1請(qǐng)嘗試寫(xiě)出下面隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間:(1)拋擲一枚硬幣，觀察它落地時(shí)哪一面朝上.(2)拋擲一枚骰子觀察它落地時(shí)朝上的面的點(diǎn)數(shù).提示：寫(xiě)樣本空間的關(guān)鍵是找樣本點(diǎn)，思考可能有幾種結(jié)果，該如何表示.解：（1）因?yàn)槁涞貢r(shí)只有正面朝上和反面朝上兩個(gè)可能結(jié)果，所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={正面朝上，反面朝上}，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，則樣本空間Ω={h，t}.（2）用i表示朝上面的“點(diǎn)數(shù)為i”.因?yàn)槁涞貢r(shí)朝上面的點(diǎn)數(shù)有1，2，3，4，5，6共6個(gè)可能的基本結(jié)果，所以試驗(yàn)的樣本空間可以表示為Ω={1，2，3，4，5，6}.例2拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時(shí)朝上的面的情況，寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間.解:擲兩枚硬幣，第一枚硬幣可能的基本結(jié)果用x表示，第二枚硬幣可能的基本結(jié)果用y表示，那么試驗(yàn)的樣本點(diǎn)可用(x，y)表示.于是，試驗(yàn)的樣本空間Ω={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.如果我們用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，那么樣本空間還可以簡(jiǎn)單表示為Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}.如圖所示，畫(huà)樹(shù)狀圖可以幫助我們理解例3的解答過(guò)程.例3如圖10.1-2，一個(gè)電路中有A，B，C三個(gè)電器元件，每個(gè)元件可能正常，也可能失效.把這個(gè)電路是否為通路看成是一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個(gè)電路中各元件是否正常.（1）寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間;（2）用集合表示下列事件:M=“恰好兩個(gè)元件正?！?N=“電路是通路”;T=“電路是斷路”解：（1）分別用，和表示元件A，B和C的可能狀態(tài)，則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用表示.進(jìn)一步地，用1表示元件的“正?！睜顟B(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)，則樣本空間.如圖，還可以借助樹(shù)狀圖幫助我們列出試驗(yàn)的所有可能結(jié)果.（2）“恰好兩個(gè)元件正?！钡葍r(jià)于，且，，中恰有兩個(gè)為1，所以.“電路是通路”等價(jià)于，，且，中至少有一個(gè)是1，所以.同理，“電路是斷路”等價(jià)于，，或，.所以.【總結(jié)】1.樣本點(diǎn)和樣本空間的概念，利用集合論的知識(shí)，抽象出樣本點(diǎn)、樣本空間.2.樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，Ω為必然事件，?為不可能事件.3.寫(xiě)樣本空間的關(guān)鍵是找樣本點(diǎn)，具體有三種方法：（1）列舉法：適用于樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)不多，可以把樣本點(diǎn)一一列舉出來(lái)的情況，但列舉時(shí)必須按一定的順序，要做到不重不漏．（2）列表法：適用于試驗(yàn)中包含兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素，且試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)較多的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解問(wèn)題，通常把樣本歸納為“有序?qū)崝?shù)對(duì)”，也可用坐標(biāo)法．列表法的優(yōu)點(diǎn)是準(zhǔn)確、全面、不易遺漏．（3）樹(shù)狀圖法：適用于較復(fù)雜問(wèn)題中的樣本點(diǎn)的探求，一般需要分步(兩步及兩步以上)完成的結(jié)果可以用樹(shù)狀圖進(jìn)行列舉．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題，熟悉以上幾種樣本空間的表示方法，并引導(dǎo)學(xué)生盡量使用數(shù)字方式，對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)，用0和1表示試驗(yàn)結(jié)果是有很多好處的.例4有A，B，C，D四位同學(xué)站成一排照相，觀察他們的站隊(duì)順序．(1)寫(xiě)出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合表示下列事件：M=“A在兩側(cè)”；N=“B，C兩人相鄰”．解：(1)該試驗(yàn)的樣本點(diǎn)用樹(shù)狀圖表示，如圖所示：

所以樣本空間可表示為Ω=BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA(2)M={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BCDA,BDCA,CBDA,CDBA,DBCA,DCBA}N={ABCD,ACBD,ADBC,ADCB,BCAD,BCDA,CBAD,CBDA,DABC,DACB,DBCA,DCBA}例5已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f(x)=ax2?4bx+1.設(shè)集合P={1,2,3}和Q={?1,1,2,3,4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a（1）寫(xiě)出以(a,b)為元素的樣本空間，共包含多少個(gè)樣本點(diǎn)？（2）指出事件“函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)”的所有樣本點(diǎn)．解：(1)Ω={(1,?1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,?1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,?1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}，共包含15個(gè)樣本點(diǎn)．(2)函數(shù)f(x)=ax2?4bx+1的圖象的對(duì)稱軸為直線x=2ba．

要使f(x)=ax2?4bx+1在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a>0且2ba?1，即2b≤a.

若a=1，則b=?1；若a=2，則b=?1或1；

若a=3，則b=?1或1，

所以事件“函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)”的所有樣本點(diǎn)有(1,?1)，（四）課堂練習(xí)1.下列事件中，是隨機(jī)事件的是()A.在只裝有5個(gè)紅球的袋子中摸出1個(gè)球，是紅球

B.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃結(jié)冰

C.打開(kāi)電視機(jī)，正在轉(zhuǎn)播足球比賽

D.地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)解：對(duì)于A，在只裝有5個(gè)紅球的袋子中摸出1個(gè)球一定是紅球，所以是必然事件，所以A不合題意；

對(duì)于B，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1°C結(jié)冰是不可能事件，所以B不合題意；

對(duì)于C，打開(kāi)電視機(jī)，有可能正在轉(zhuǎn)播足球比賽，所以是隨機(jī)事件，所以C正確；

對(duì)于D，地球繞著太陽(yáng)轉(zhuǎn)是必然事件，所以D不合題意，

故選：C．2.袋子中有9個(gè)大小和質(zhì)地相同的球，標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球．(1)寫(xiě)出試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合表示事件A=“摸到球的號(hào)碼小于5”，事件B=“摸到球的號(hào)碼大于4”，事件C=“摸到球的號(hào)碼是偶數(shù)”解：(1)用球的標(biāo)號(hào)表示對(duì)應(yīng)的球，則該試驗(yàn)的樣本空間可表示為Ω=1,2,3,4,5,6,7,8,9(2)根據(jù)條件可得：A=1,2,3,4；B=5,6,7,8,9；3.在所有考試中，小明同學(xué)的語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)這三科的成績(jī)都是優(yōu)秀或良好，隨機(jī)抽取一次考試的成績(jī)，記錄小明同學(xué)的語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)這三科成績(jī)的情況．(1)寫(xiě)出該試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合表示下列事件：A=“至少有兩科成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀”；B=“三科成績(jī)不都相同”解：分別用x1,x2,x3表示語(yǔ)文，數(shù)學(xué)，英語(yǔ)的成績(jī)，則樣本點(diǎn)表示為x(1)該試驗(yàn)的樣本空間可表示為Ω={(Ω=0,0,0(2)A=1,1,0B=1,0,04.做拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子的試驗(yàn)，用(x,y)表示結(jié)果，其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．寫(xiě)出：(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω；(2)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)；(3)指出事件A={(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含義．解：(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω為{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，

(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，

(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，

(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，

(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，

(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．

(2)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果的個(gè)數(shù)為36．

(3)事件A的含義為拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為7．

5.同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，記結(jié)果為x,y，其中x是轉(zhuǎn)盤(pán)①中指針?biāo)傅臄?shù)字，y是轉(zhuǎn)盤(pán)②中指針?biāo)傅臄?shù)字．(