與球有關(guān)的“切”“接”“截”問題課件-高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

第一階段突破核心升華思維專題四立體幾何§2與球有關(guān)的“切”“接”“截”問題【備考指南】

空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是歷年高考命題的熱點，幾乎每年都有涉及，熟知球與常見幾何體的切接模型，掌握確定幾何體外接球的球心的方法是破解此類問題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)考點1外接球問題（一）基礎(chǔ)考點2內(nèi)切球問題（二）基礎(chǔ)考點3球的截面問題（三）專題限時集訓(xùn)(十二)與球有關(guān)的“切”“接”“截”問題（四）√基礎(chǔ)考點1外接球問題

√2

求解空間幾何體的外接球問題的策略(1)定球心：球心到接點的距離相等且為半徑；(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的；(3)求半徑：根據(jù)作出的截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解．1．(2024·湖南張家界二模)如圖，在四面體P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥CB，PA＝AC＝2BC＝2，則此四面體的外接球表面積為(

)A．3π

B．9πC．36π

D．48π√

2．(2024·浙江紹興模擬)已知某正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為(

)A．6π

B．8π

C．16π

D．20π

√3．(2024·江蘇南京二模)在圓臺O1O2中，圓O2的半徑是圓O1半徑的2倍，且O2恰為該圓臺外接球的球心，則圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為(

)A．3∶4

B．1∶2C．3∶8

D．3∶10√

√

基礎(chǔ)考點2內(nèi)切球問題

√(2)(2024·山東濰坊二模)如圖，圓臺的上、下底面半徑分別為r1，r2，且2r1＋r2＝12，半徑為4的球與圓臺的上、下底面及每條母線均相切，則圓臺的側(cè)面積為(

)

A．36π

B．64πC．72π

D．100π√

(2)如圖所示，作出軸截面，O1，O2分別為上、下底面圓的圓心，M為側(cè)面切點，O為內(nèi)切球球心，則O為O1O2的中點，OM⊥AB，OO1＝OM＝4，O1O2＝8，O1A＝MA＝r1，O2B＝MB＝r2．因為2r1＋r2＝12，所以r2＝12－2r1，則AB＝MA＋MB＝r1＋r2＝12－r1．過點A作AG⊥O2B，垂足為G，則BG＝r2－r1＝12－3r1，在Rt△ABG中，由勾股定理得AG2＋BG2＝AB2，即82＋(12－3r1)2＝(12－r1)2，解得r1＝2或r1＝4．因為r1<r2，所以r1＝2，r2＝8，故AB＝10，所以圓臺的側(cè)面積為π×10×(2＋8)＝100π．故選D．]空間幾何體的內(nèi)切球問題的兩種解決方法：一是找球心，球心到切點的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑．

√

2．如圖，在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，若半徑為r的球O與該正四棱臺的各個面均相切，則該球的表面積S＝________．8π

[設(shè)球O與上底面、下底面分別切于點O1，O2，與平面ADD1A1、平面BCC1B1分別切于點E，F(xiàn)，作出其截面如圖所示，則MO1＝ME＝1，EN＝NO2＝2，于是MN＝1＋2＝3．8π

【教師備選資源】1．(2020·全國Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．

2．(2024·浙江溫州一模)與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球．若圓臺的上、下底面半徑分別為r1，r2，且r1·r2＝1，則它的內(nèi)切球的體積為________．

【典例3】

(1)(2020·全國Ⅰ卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為(

)A．64π

B．48πC．36π

D．32π√基礎(chǔ)考點3球的截面問題

√

巧用直角三角形解決截面圓問題的步驟(1)確定球心O和截面圓的圓心O′；(2)探求球的半徑R和截面圓的半徑r；(3)利用OO′2＋r2＝R2計算相關(guān)量．1．球的兩個平行截面面積分別為5π和8π，球心到這兩個截面的距離之差等于1，則球的直徑為(

)A．3

B．4

C．5

D．6√

√

243題號1√

243題號1243題號1

243題號1√A

[如圖所示，連接PQ，QA．由PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，可知△ABC和△PBC都是等邊三角形．設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為O，所以球心O在平面ABC和平面PBC內(nèi)的射影是△ABC和△PBC的中心E，F(xiàn)．因為△PBC是等邊三角形，Q為BC中點，所以PQ⊥BC．又因為側(cè)面PBC⊥底面ABC，側(cè)面PBC∩底面ABC＝BC，PQ?側(cè)面PBC，243題號1

243題號1

243題號1

243題號1√D

[如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球球心是BD1的中點O，而BD1∩α＝B，則點O到平面α的距離h等于點D1到平面α的距離的一半，又平面α過線段DD1的中點P，因此點D1與點D到平面α的距離相等，由AB⊥平面ADD1A1，AB?平面α，得平面α⊥平面ADD1A1．在平面ADD1A1內(nèi)過點D作DE⊥AP，垂足為E.由平面α∩平面ADD1A1＝AP，可得DE⊥平面α．243題號1

243題號14．(2024·遼寧大連一模)在邊長為4的正方形ABCD中，如圖1所示，E，F(xiàn)，M分別為BC，CD，BE的中點，分別沿AE，AF及EF所在直線把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三點重合于點P，得到三棱錐P-AEF，如圖2所示，則三棱錐P-AEF外接球的表面積是________；過點M的平面截三棱錐P-AEF的外接球所得截面的面積的取值范圍是________．243題號124π

[π，6π]

243題號1

243題號1一、單項選擇題1．(2024·山東棗莊模擬)已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，它的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為(

)A．4π

B．6π

C．8π

D．10π題號1352468791011121314√專題限時集訓(xùn)(十二)與球有關(guān)的“切”“接”“截”問題

題號1352468791011121314√

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314√

題號1352468791011121314√

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314√

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314√B

[圓錐和側(cè)面展開圖如圖所示．題號1352468791011121314

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314√A

[如圖，直角三角形ABC外接圓的圓心是斜邊AC的中點O1，過該點作一條垂直于平面ABC的直線．因為平面ABC⊥平面PAC，所以所作直線在平面PAC內(nèi)，且經(jīng)過等邊三角形PAC的中心，所以等邊三角形PAC的中心就是三棱錐P-ABC外接球的球心，所以△PAC外接圓的半徑也是三棱錐P-ABC外接球的半徑．題號1352468791011121314

題號13524687910111213148．(2024·寧夏銀川一模)如圖，球O1與圓錐相切，切點在圓錐PO的底面圓周上，圓錐PO的母線長是底面半徑的2倍，設(shè)球O1的體積為V1，圓錐PO的體積為V2，則V1∶V2＝(

)A．32∶9B．27∶8C．26∶7D．9∶4題號1352468791011121314√

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314二、多項選擇題9．已知某圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為3，球O與圓臺的兩個底面和側(cè)面都相切．則下列說法中正確的是(

)A．圓臺的母線長為4B．圓臺的高為4

C．圓臺的表面積為26πD．球O的表面積為12π題號1352468791011121314√√√

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314√√√

題號1352468791011121314

題號135246879101112131411．(2023·新高考Ⅰ卷)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有(

)A．直徑為0.99m的球體B．所有棱長均為1.4m的四面體C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體題號1352468791011121314√√√

題號1352468791011121314三、填空題12．(2024·四川成都模擬)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中存在內(nèi)切球，若AB＝3，BC＝4，AB⊥BC，則該三棱柱外接球的表面積為________．題號1352468791011121314

29π

題號135246879101112131413．(2024·陜西西安模擬)三棱錐P-ABC中，PA＝PB＝PC＝2，且PA，PB，PC兩兩垂直．設(shè)三棱錐P-ABC的外接球和