直角三角形（練習(xí)）【3大考點14大題型】-2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（含答案）

第19講直角三角形13大考點14大題型】

【題型1由直角三角形的性質(zhì)求解】

（2024?山西?中考真題）

1.如圖，已知ZUBC,以48為直徑的。。交2C于點。，與NC相切于點/,連接8.若

ZAOD=80°,則/C的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.45°D.50°

（2024?湖南長沙?中考真題）

2.如圖，在菱形中，AB=6,=30。，點￡是8c邊上的動點，連接NE,DE,

過點工作"，小于點尸.沒DE=x,AF=y,則歹與X之間的函數(shù)解析式為（不考慮自

變量X的取值范圍）（）

）

EC

9121836

A.y=—B.y=—C.y=——D.y=——

XXXX

（2024?海南?中考真題）

3.如圖，菱形/BCD的邊長為2,48c=120。，邊48在數(shù)軸上，將NC繞點/順時針旋

轉(zhuǎn)，點C落在數(shù)軸上的點￡處，若點E表示的數(shù)是3,則點/表示的數(shù)是（）

*

試卷第1頁，共18頁

A.1B.1-V3C.0D.3-273

（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）

4.如圖，△4BC內(nèi)接于。。，ND是直徑，若48=25。，則NC4。°.

（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）

5.矩形4BCD的面積是90,對角線4C,3。交于點。，點E是8C邊的三等分點，連接

點P是DE的中點，OP=3,連接CP,則尸C+PE的值為.

【題型2判斷直角三角形】

（2024?山東臨沂?中考真題）

6.如圖所示，在菱形4BC。中，對角線/C與3。相交于點。，過點。作CE〃助交的

延長線于點E,下列結(jié)論①=②“CE是直角三角形；③=?BE=CE

正確的個數(shù)（）

A.1B.2C.3D.4

（2024?山東?中考真題）

7.在△NBC中，8c=3,/C=4,下列說法錯誤的是（）

A.1<AB<7B.S“BC46

C.△4BC內(nèi)切圓的半徑r<lD.當4B=g時，△ABC是直角三角形

（2024?山東?中考真題）

8.△/BC的三邊長a,b,c滿足（a-bp+J2a-6-3+|c-3"=0,則△4BC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形

（2024?湖南益陽?中考真題）

9.已知"、N是線段上的兩點，AM=MN=2,NB=\,以點/為圓心，/N長為半徑

試卷第2頁，共18頁

畫弧；再以點8為圓心，8M長為半徑畫弧，兩弧交于點C,連接NC,BC,則八45。一定

是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【題型3由勾股定理求線段長度】

（2024?浙江紹興?中考真題）

10.如圖，矩形4BCD中，48=26,2C=8.點尸是邊上一動點，點M為線段/P上

一動點.ZADM=ZBAP,貝的最小值為（）.

A.2B.VC.2.4D.V21-4

21

（2024?遼寧丹東?中考真題）

11.如圖，在平面直角坐標系中，點。是坐標原點，已知點4（3,0）,8（0,4）,點C在x軸

負半軸上，連接BC,若tan48c=2,以為邊作等邊三角形BCA,則點C的坐

（2024?四川綿陽?中考真題）

12.如圖，在△4BC中，ZACB=90。，NC=8,將4ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到A44c,

滿足44IMC,過點2作垂足為E,連接若5&迦=35“￡,則N8的長

為—,

試卷第3頁，共18頁

（2024?山東青島?中考真題）

13.如圖，菱形ABCD中，BC=10,面積為60,對角線NC與AD相交于點。，過點”作

AELBC,交邊BC于點E,連接EO,則EO=.

（2024?江蘇南通?中考真題）

14.如圖，在中，ZACB=90°,AC=BC=5.正方形DEFG的邊長為石，它的

頂點D,E,G分別在△4BC的邊上，則2G的長為.

【題型4由勾股定理求面積】

（2024?浙江溫州?中考真題）

15.我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形

和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股

定理，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3,b=4,則該矩形的面積為（）

試卷第4頁，共18頁

53

A.20B.24D.

C謂T

（2024?西藏?中考真題）

16.如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知乙43。=60。，則陰影部分的面積是

()

A.|B.373C.竽D.6后

（2024?山東淄博?中考真題）

17.如圖，在邊長為10的菱形/BCD中，對角線NC,2。相交與點。，點E在8c延長線

OF5

上，OE與CD相交與點尸.若ZACD=2/OEC,==:，貝IJ菱形ABCD的面積為________.

FE6

（2024?廣東廣州?中考真題）

18.如圖，在RtZX/BC中，ZACB=90°,AB=10,AC=6,點M是邊/C上一動點，點

D,E分別是M3的中點，當/M=2.4時，OE的長是.若點N在邊2c上,

且OV=M,點尸，G分別是MN,4N的中點，當4M>2.4時，四邊形DEFG面積S的取

值范圍是.

試卷第5頁，共18頁

（2024?四川資陽?中考真題）

19.如圖，在ZUBC中（NB<8C）,過點C作CD〃4B,在CD上截取CD=CB,C2上截取

CE=AB,連接DE、DB.

D

AC

（1）求證：△N8Cg△ECD；

（2）若乙4=90。,48=3,8。=2石，求△BCD的面積.

【題型5勾股數(shù)、勾股樹】

（2024?四川瀘州?中考真題）

20.《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該著作中給出了勾股數(shù)。，b,c的計算公式:

a=3（"/-a?）,b-mn,c=^m~+??2）,其中加>〃>0,加，正是互質(zhì)的奇數(shù).下列四組

勾股數(shù)中，不熊由該勾股數(shù)計算公式直接得出的是（）

A.3,4,5B.5,12,13C.6,8,10D.7,24,25

（2024?湖北黃岡?中考真題）

21.勾股定理最早出現(xiàn)在商高的《周髀算經(jīng)》：“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”.觀察下列勾股

數(shù)：3,4,5；5,12,13；7,24,25；這類勾股數(shù)的特點是：勾為奇數(shù)，弦與股相差

為1,柏拉圖研究了勾為偶數(shù)，弦與股相差為2的一類勾股數(shù)，如：6,8,10；8,15,

17；若此類勾股數(shù)的勾為2加（%N3,僅為正整數(shù)），則其弦是（結(jié)果用含加的

式子表示）.

（2024?河北?中考真題）

22.已知：整式/=（〃2-爐+（2"『，整式3>0.

試卷第6頁，共18頁

嘗試：化簡整式A.

發(fā)現(xiàn)：A=B2，求整式B.

聯(lián)想:由上可知，B2=（小1）2+⑵）2,當〃>1時-1,2”,8為直角三角形的三邊長，如

圖.填寫下表中8的值:

直角三角形三邊n2-lInB

勾股數(shù)組I/8—

勾股數(shù)組n35/—

（2024?福建莆田?中考真題）

23.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，若正方形/、B、C、。的面積分別為2,5,1,2.則最大的正方形E的面積是

【題型6由勾股定理求兩線段的平方和（差）】

（2024?江蘇鹽城?中考真題）

24.RtzX/BC中，斜邊/8=1,則//的值是.

（2024?貴州貴陽?中考真題）

25.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形/8CZ）,對

角線/C,AD交于點O.

試卷第7頁，共18頁

D

A

B

C

(1)若NO=2,80=3,CO=4,DO=5,請求出/公，BC^的值.

⑵若4B=6,CD=10,求8c2+4)2的值.

⑶請根據(jù)（1）（2）題中的信息，寫出關(guān)于“垂美”四邊形關(guān)于邊的一條結(jié)論.

（2024?河北邢臺?中考真題）

26.四邊形是邊長為行的正方形，E為對角線NC上一點，連接。E.過點E作

(1)求證：DE=EF.

（2）如圖2,以?！?石戶為鄰邊作矩形。EFG,連接CG.

①若C尸=:，求/爐+0爐的值.

CE+CG

②探究是否存在最大值，若存在，請直接寫出這個定值；若不存在，請說明理

AE2+CE2

由.

【題型7由勾股定理證明線段間的平方關(guān)系】

（2024?山東淄博?中考真題）

27.如圖，在AABC中，AD,BE分另1J是BC,AC邊上的中線，且AD1BE,垂足為點F,

設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則下列關(guān)系式中成立的是（）

試卷第8頁，共18頁

c

A.a2+b2=5c2B.a2+b2=4c2C.a2+b2=3c2D.a2+b2=2c2

（2024?山東東營?中考真題）

28.如圖，在正方形中，點尸是A8上一動點（不與48重合），對角線NC、8D相

交于點。，過點尸分別作NC、8。的垂線，分別交4C、BD于點、E、尸，交4D、BC于點、

M、N.下列結(jié)論：①MPE2AAME；②PM+PN=AC；@PE2+PF1=PO2④

△POFfBNF；⑤點。在朋\N兩點的連線上.其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤

（2024?浙江臺州?中考真題）

29.如圖，已知等腰直角三角形ABC,點P是斜邊BC上一點（不與B,C重合），PE是

AABP的外接圓OO的直徑.

C

（1）求證：4APE是等腰直角三角形；

（2）若。0的直徑為2,求PC2+PB2的值.

（2024?江蘇常州?中考真題）

30.己知：如圖，AABC和△￡（二）都是等腰直角三角形，NACB=NDCE=90°,D為AB邊

試卷第9頁，共18頁

上一點.

求證：(1)AACE=/\BCDi(2)AD2+AE2=DE2.

【題型8勾股定理的證明方法】

(2024?江蘇鹽城?中考真題)

31.【經(jīng)典回顧】

梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是

其中一種方法的示意圖及部分輔助線.

圖1圖2

在ZUBC中，NACB=90°,四邊形4DE3、/C7〃和8FGC分別是以必A4BC的三邊為一

邊的正方形.延長田和尸G,交于點A,連接CC并延長交于點J,交幺B于點K,延

長ZU交\于點M.

(1)證明：AD=LC；

(2)證明：正方形/C印的面積等于四邊形/CLM的面積；

(3)請利用(2)中的結(jié)論證明勾股定理.

(4)【遷移拓展】

如圖2,四邊形NCm和8/GC分別是以△NBC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下

方是否存在平行四邊形/。砂，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形8尸GC的

面積之和.若存在，作出滿足條件的平行四邊形NDE2(保留適當?shù)淖鲌D痕跡)；若不存在,

請說明理由.

(2024?四川攀枝花?中考真題)

試卷第10頁，共18頁

32.如圖是“弦圖”的示意圖，“弦圖”最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注

時給出的，它標志著中國古代的數(shù)學(xué)成就.它由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，

恰好拼成一個大正方形，每個直角三角形的兩條直角邊分別為。、b,斜邊為c.請你運用此

圖形證明勾股定理：a2+b2=c2.

（2024?山東濟寧?中考真題）

33.如圖，在平面直角坐標系中，有一RtaABC,且A（—l,3）,B（—3,—1）,C（-3,3）,

已知AAiACi是由4ABC旋轉(zhuǎn)得到的.

（1）請寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標是，旋轉(zhuǎn)角是度；

（2）以⑴中的旋轉(zhuǎn)中心為中心，分別畫出AAiACi順時針旋轉(zhuǎn)90。、180。的三角形；

（3）設(shè)RtaABC兩直角邊BC=a、AC=b、斜邊AB=c,利用變換前后所形成的圖案證明

勾股定理.

【題型9勾股定理的應(yīng)用】

（2024?四川廣安?中考真題）

34.如圖，圓柱形玻璃杯的杯高為9cm,底面周長為16cm,在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點A處

有一滴蜂蜜，此時，一只螞蟻正好在杯外壁上，它在離杯上沿1cm,且與蜂蜜相對的點8處,

則螞蟻從外壁3處到內(nèi)壁A處所走的最短路程為cm.（杯壁厚度不計）

試卷第11頁，共18頁

R

（2024?山東東營?中考真題）

35.一艘船由/港沿北偏東60。方向航行30km至3港，然后再沿北偏西30。方向航行40km

至C港，則/,C兩港之間的距離為km.

（2024?湖南湘潭?中考真題）

36.《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作之一其中記載了一道“折竹抵地”問題：今有

竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？譯為：如圖△NBC中，ZACB=90°,AC

與48的和為10尺，BC為3尺,求NC的長，AC=尺.

（2024?貴州六盤水?中考真題）

37.如圖，小麗想知道自家門前小河的寬度，于是她按以下辦法測出了如下數(shù)據(jù)：小麗在河

岸邊選取點A,在點A的對岸選取一個參照點C,測得NCAD=30。；小麗沿岸向前走30m

選取點B,并測得NCBD=60。.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，幫小麗計算小河的

試卷第12頁，共18頁

【題型10由勾股定理的逆定理求值】

（2024?江蘇南京?中考真題）

38.直三棱柱的表面展開圖如圖所示，NC=3,BC=4,AB=5,四邊形/施\石是正方形,

將其折疊成直三棱柱后，下列各點中，與點C距離最大的是（）

A.點MB.點NC.點PD.點。

（2024?湖南?中考真題）

39.如圖，點。是等邊三角形48c內(nèi)一點，04=2,OB=1,OC=y/3,則"OB與A50C

的面積之和為（）

3百

rD.V3

4

（2024?湖南岳陽?中考真題）

40.在AABC中8c=2,AB=2用，AC=b,且關(guān)于x的方程/-4x+b=0有兩個相等的實

數(shù)根，則AC邊上的中線長為

（2024?四川內(nèi)江?中考真題）

41.在△4BC中，44、ZB、/C的對邊分別為a、b、c,且滿足

a2+|c-10|+V^8=12a-36,則sin8的值為.

【題型11由勾股定理的逆定理證明直角三角形】

（2024?湖南永州?中考真題）

42.如圖，已知四邊形/3O是平行四邊形，其對角線相交于點。，OA=3,BD=8,AB=5.

試卷第13頁，共18頁

(1八/。8是直角三角形嗎？請說明理由；

(2)求證：四邊形ABCD是菱形.

(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題)

43.如圖，在△4BC中，內(nèi)角4B、C所對的邊分別為。、b、c.

(1)若a=6,b=8,c=12,請直接寫出//與的和與的大小關(guān)系；

(2)求證：△NBC的內(nèi)角和等于180。；

(3)若a求證：A/gc是直角三角形.

a-b+cc

(2024?內(nèi)蒙古赤峰?中考真題)

44.已知二次函數(shù)y=ax?+bx-3a經(jīng)過點A(-1,0)、C(0,3),與x軸交于另一點B,拋

物線的頂點為D,

(1)求此二次函數(shù)解析式；

(2)連接DC、BC、DB,求證：4BCD是直角三角形；

(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得△「口(:為等腰三角形？若存在，求出符

合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由.

(2024?四川綿陽?中考真題)

45.王偉準備用一段長30米的籬笆圍成一個三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔.已知第一

試卷第14頁，共18頁

條邊長為a米，由于受地勢限制，第二條邊長只能是第一條邊長的2倍多2米.

（1）請用a表示第三條邊長；

（2）問第一條邊長可以為7米嗎？請說明理由，并求出a的取值范圍；

（3）能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長均為整數(shù)？若能，說明你的圍法;

若不能，說明理由.

【題型12網(wǎng)格中判定直角三角形】

（2024?廣西貴港?中考真題）

46.如圖，在4x4網(wǎng)格正方形中，每個小正方形的邊長為1,頂點為格點，若△N3C的頂點

均是格點，貝UcosNR4c的值是（）

264

Vr/?---D.-

55

（2024?吉林?中考真題）

47.圖①，圖②均為4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點.在圖①中已畫出

線段N8,在圖②中已畫出線段CD,其中4B、C、。均為格點，按下列要求畫圖：

⑴在圖①中，以48為對角線畫一個菱形且瓦廠為格點；

⑵在圖②中，以8為對角線畫一個對邊不相等的四邊形CGDH,且G,”為格點，

ZCGD=ZCHD=90°.

48.如圖，這是5x5的正方形網(wǎng)格，小正方形的頂點為格點，請僅用無刻度的直尺按要求完

成以下作圖（保留作圖痕跡）.

試卷第15頁，共18頁

連接/c,使N8/C=45。；

(2)在圖2中作四邊形/8OE,使點。、E在格點上，且四邊形/2AE既是中心對稱圖形，又

是軸對稱圖形.

【題型13確定構(gòu)成直角三角形的點的個數(shù)】

(2024江蘇揚州?中考真題)

57

49.如圖，在平面直角坐標系中，直線48：y=-：x+：與x軸交于點C,且點4(-1,機),

44

8(〃,-2).

(1)點C的坐標為

(2)求原點O到直線42的距離；

(3)在x軸上是否存在一點尸，使得尸是直角三角形?若存在，求出點尸的坐標.

(2024?廣東江門?中考真題)

50.如圖，在平面直角坐標系中，過原點。及點40,2),。(6,0)作矩形0/8C,N/OC的

平分線交42于點。，點P從點。出發(fā)，以每秒百個單位長度的速度沿射線移動；同

時點0從點。出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動.設(shè)移動時間為/秒.

試卷第16頁，共18頁

zf—W產(chǎn)

p/

。f0c

（1）當點尸移動到點。時，求出此時/的值；

（2）當/為何值時，△尸03為直角三角形？

【題型14由勾股定理的逆定理解決實際生活問題】

（2024?廣西玉林?中考真題）

51.如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方

向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點A,8處,

且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40。方向航行，則乙船沿—方向航行.

（2024?海南海口?中考真題）

52.深秋已至，稻客張師傅在一塊四邊形（如圖）的田地里收割稻谷.已知四邊形中,

ZC=90°,5C=15m,CD=20m,AB=24m,AD=lm,若張師傅的收割價格為0.65元

/m2,請你計算這塊田地張師傅應(yīng)該收費多少元?

（2024?江蘇蘇州?中考真題）

53.如圖1,圖2分別是某種型號拉桿箱的實物圖與示意圖，根據(jù)商品介紹，獲得了如下信

息：滑竿?！?、箱長3C、拉桿的長度都相等，即?！?2。=48=500I1,點2、尸在線

試卷第17頁，共18頁

段NC上，點C在DE上，支桿。尸=30cm.

(1)若EC=36cm時，B,。相距48cm,試判定8D與。E的位置關(guān)系，并說明理由;

⑵當/。匿=45。，CF=：/C時，求CD的長.

試卷第18頁，共18頁

1.D

【分析】本題主要考查了圓周角定理，圓的切線定理，直角三角形兩銳角互余，有圓周角定

理可得出N3=gN/OO=40。，有圓的切線定理可得出NA4c=90。，由直角三角形兩銳角

互余即可得出答案.

【詳解】M："AD=Aby

：.AB=-AAOD=^°.

2

???以AB為直徑的OO與AC相切于點A,

ABAC=90°,

.-.ZC=90°-40°=50°.

故選：D.

2.C

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì),

利用相似三角形的性質(zhì)求解x、y的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵.過。作。H_L8C,交8c延長線

于則//?汨=90。，根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到=

ZADF=ZDEH,ZDCH=ZB=30°,進而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)

1ApAf)

DH=-CD=3,證明汨得到=然后代值整理即可求解.

2DHDE

【詳解】解：如圖，過。作。交8。延長線于7/,則/。/汨=90。，

???在菱形45CD中，AB=6,Z5=30°,

AB//CD,AD//BC,CD=AD=AB=BC=6,

ZADF=ADEH,NDCH=/B=30。,

在RtZ\CD"中，DH=-CD=3,

2

?.AFLDE,

；.NAFD=NDHE=90°,又ZADF=ZDEH,

???小AFDs小DHE,

AFAD

答案第1頁，共45頁

DE=x,AF=y,

.y=i

3x'

18

????=——,

x

故選：c.

（法二：同理，DH=3,BC=6,

■：AD]\BC,

,,_2。菱彩4BCD，

：.-DEDF=-BC'DH,

22

???DE=x,AF=y,

?,.孫=6x3=18,

18

???y=——,

x

故選：C.）

3.D

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.作于點尸，利

用菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理計算即可.

【詳解】解：作C尸，/E于點產(chǎn)，

-ZABC=120°,

??.ZFBC=60°,

?；BC=2,

；.BF=；BC=l,CF=^BC2-BF2=V3,

：.4F=AB+BF=3,

...AE=AC=^AF2+CF2=52+(73)2=2G，

點E表示的數(shù)是3,

.,.點/表示的數(shù)是3-26，

答案第2頁，共45頁

故選：D.

4.65

【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的兩個銳角互余，連接根據(jù)直徑所對的

圓周角是直角得出//。=90。，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出ND=/8=25。，進而根據(jù)

直角三角形的兩個銳角互余，即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接8,

B

???△4BC內(nèi)接于4D是直徑，

//CD=90°,

AC=AC^B=25°'

:"D=NB=25°

.-.ZCAD=90°-25°=65°,

故答案為：65.

5.13或加^

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理.當時，利用三角

形中位線定理求得CE=12,再求得矩形的邊長，利用勾股定理求得DE的長，再根據(jù)斜邊中

線的性質(zhì)即可求解；當CE<8E時，同理求解即可.

【詳解】解：當時，如圖，

?.?矩形ABCD,

???點。是AD的中點,

???點尸是DE的中點,

BE=20P=6,CP=PE=PD,

答案第3頁，共45頁

?.?點E是2C邊的三等分點，

CE=2BE=12,BC=3BE=18,

?.?矩形/BCD的面積是90,

BCxCD=90,

CD=5,

?■-DE=V52+122=13>

：.PC+PE=DE=\3；

當時，如圖，

?.?矩形/BCD,

???點。是AD的中點，

???點尸是DE的中點，

BE=2OP=6,CP=PE=PD,

???點E是3c邊的三等分點，

CE=—BE=3,BC=3+6=9,

2

?.?矩形/BCD的面積是90,

BCxCD=90,

.-.CD=10,

?1?DE=A/32+102=V109，

■-PC+PE=DE=4iO9i

故答案為：13或加.

6.C

AC)1

【分析】由菱形的性質(zhì)及垂線的性質(zhì)可得//OB=90。，-^=-,由平行線的性質(zhì)可證得

△AOBSAACE,于是可得O8=gcE,點3為/￡中點，NACE=9Q°,于是可得是

答案第4頁，共45頁

直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得=由于由題意無法得出BE=CE,因而可

得結(jié)論.

【詳解】解：：四邊形42C。是菱形，

：.AO=CO=-AC,AC1BD,

2

AO1

ZAOB=90°,——=一,

AC2

???CE//BD,

:.ZACE=ZAOB=90°,ZAEC=AABO,

:JOBs^ACE,

.ABOBAO

\4E~~CE~^4C~2f

:.OB=-CE,AB=-AE,

22

??.點B為NE中點，

NACE=90°,

.n/CE是直角三角形，

又；點B是/￡中點，即8c為斜邊/￡上的中線，

BC=-AE,

2

由題意無法得出BE=CE,

二結(jié)論①②③正確，結(jié)論④不一定正確，

故選：C.

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性

質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.C

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系、三角形面積、內(nèi)切圓半徑的計算以及勾股定理逆定理逐一求

解即可.

【詳解】解：?，5C=3,/C=4,

.?.4-3<48<4+3即1</8<7,故A說法正確；

當BC±/C時，SAABC=AB-BC=6,

若以8c為底，高</C=4,

答案第5頁，共45頁

S4ABe<6,故B說法正確;

設(shè)△4BC內(nèi)切圓的半徑為r,

則3“2"+320〃+3/0廠=邑，叫，

SdBe&6,

12

.-.^(AB+BC+AC)<6fr<------------

AB+BC+AC

vl<AB<7,BC=3,AC=4

???8<45+5C+4Cvl4,

??〃1<2?=?3，故C說法錯誤；

o2

當43=近時，BC2+AB2=AC2,

.?.△4BC是直角三角形，故D說法正確；

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形面積，三角形內(nèi)切圓半徑以及勾股定理的逆定

理，掌握內(nèi)切圓半徑與圓的面積周長之間的關(guān)系廠=]■是解題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】由等式可分別得到關(guān)于“、b、c的等式，從而分別計算得到。、6、c的值，再由

/+62=c2的關(guān)系，可推導(dǎo)得到△N8C為直角三角形.

【詳解】解?:(a-b)2+J2a-b-3+1c一3行|=0

(a-/?)2>0

又?；-j2a-6-3>0

|C-3A/2|>0

(a-Z?)2=0

,Y2a-6-3=0,

1-3閩=0

a—b=0

<2a—b—3=0

C-3A/2=0

答案第6頁，共45頁

a=3

解得，6=3,

c=3y/2

■■a2+b2=c2,且a=b,

△NSC為等腰直角三角形，

故選：D.

【點睛】本題考查了非負性和勾股定理逆定理的知識，求解的關(guān)鍵是熟練掌握非負數(shù)的和為

0,每一個非負數(shù)均為0,和勾股定理逆定理.

9.B

【分析】依據(jù)作圖即可得到/C=/N=4,BC=BM=3,48=2+2+1=5,進而得到/C+BC?

=/"，即可得出△ABC是直角三角形.

【詳解】如圖所示，

AC=AN=4,BC=BM=3,A8=2+2+l=5,

：.AC2+BC2^AB~,

是直角三角形，且乙4c2=90。，

故選B.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a,b,c滿足。2+〃=C2,

那么這個三角形就是直角三角形.

10.A

【分析】設(shè)/。的中點為。，連接。8,1W,證明/4MD=90。，得出加=；/。=4,點、M

在。點為圓心，4為半徑的圓上，利用勾股定理求出從而計算出答案.

【詳解】解：設(shè)ND的中點為。，連接。民。川，

答案第7頁，共45頁

???四邊形力BCD為矩形，

/BAD=90°,AD=BC=8,

ZBAP+ZMAD=90°,

/ADM=ZBAP,

/.ZMAD+ZADM=90°,

/./AMD=90°,

?.?40=00=4,

:.OM=-AD=4,

2

.??點〃在。點為圓心，4為半徑的圓。上.

?/OB=y/AO2+AB2=^42+（275）2=6,

:.BM>OB-OM=2,

???BM的最小值為2.

故選：A.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì),

圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，應(yīng)用直角三角形性質(zhì)解決問題.

11.（-2,0）（-1-26,2+6）或（2君-1,2-右）

【分析】過點。作?！?/3于點￡,根據(jù)tan/48c=2,設(shè)BE=x,CE=2x,貝U2C=J?x,

根據(jù)勾股定理可得求出［8=1。42+。爐=5,用等面積法推出。C=gx-3,最后在

RtZ\OBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC2+OB2=BC2,列出方程求出x的值，即可得出點C的

坐標；易得8c2=20,設(shè)。（用，"），根據(jù)兩點之間的距離公式得出84=/+偽-4）2,

CO?=（加+2『+/,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出802=2加=82,即可羅列出方程組

答案第8頁，共45頁

m2+(n-4)2=20

，\2,，求解即可.

(m+2)+n2=20

【詳解】解：過點C作CE/N8于點E,

tanZABC=2,

CEc

----=2,

BE

設(shè)BE=x,CE=2x,

根據(jù)勾股定理可得：BC=NBE、CE2=&,

?“(3,0),8(0,4),

OA=3,OB—4,

在RtA/OB中，根據(jù)勾股定理可得：AB=^OA2+OB2=5.

■.-S^c=^AB-CE=^AC-OB,

.-.1x5x2x=1x4x(OC+3),整理得：OC=|x-3,

在RtZkOBC中，根據(jù)勾股定理可得：OC'OB?=Bd,

+42=^>/5x),

解得：再=2,/=10(舍去)，

.-,OC=-x-3=-x2-3=2,

22

...C(-2,0)

???5(0,4),C(-2,0),

.?.O8=4,OC=2,

■■BC2=OB2+OC2=42+22=20,

設(shè)。(加，篦),

答案第9頁，共45頁

則31)2=/+(“-4)2,cr>2=(m+2)2+n2,

???△BCD為等邊三角形，

???BC2=BD2=CD2,

m2+(n-4)2=20

即,，

(m+2)+n2=20

..,[m2+n2-8n=40

整理得22,臺，

[m+〃+4m=16(2)

②一①得:4加+8〃=12,則加=3-2幾，

將機=3-2〃代入①得：(3-2〃)2+/_即=4,

解得：4=2+6,%=2-6,

當"=2+VJ時，7W=3-2/7=-1-2A/3,即。卜1-2班,2+6),

當〃=2-百時，心=3-2"=2百-1,即。(26-1,2-6)，

故答案為：(-2,0)；(-l-2?2+君)或(26-1,2-百).

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線,

構(gòu)造直角三角形，掌握等邊三角形三邊相等，以及勾股定理.

12.4A污

【分析】設(shè)4c交于。，由AXBXIIAC，由旋轉(zhuǎn)可得CD=AD，而ZACB=90。,即可得

-IS2z~?jy°

BD=CD=4D,故S3邑皿=-其被，因以獨=3L虛,即有—=可，而一，設(shè)

2MADEiDE3

CE=2x，則DE=lx,CD=5x=BD=/Z),求出

BE=^BD2-DE2=4X,BC=^BE2+CE2=2底，證明ABCESA/BC,即可得竺=撞￡，進

8AB

而即可得解.

【詳解】解：設(shè)4c交于。，如圖，

答案第10頁，共45頁

=NA】CA,

???將AABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△44。,

NA、=NBAC,

NA[CA=NBAC,

:.CD=AD,

???^ACB=90°,

ZCBD+NBAC=90°=ZAXCA+NBCD,

ZCBD=NBCD,

BD=CD,

BD=CD=AD,

?C_C_J_Q

…3BDE~Q"DE—2AABE，

??C—QC

,n"BE-J。△ACE，

-c_c__3c

一八BDE~3ADE_2AACE，

.S“CE_2

=,，

4"DEJ

?CE_2

*DE'-35

設(shè)CE=2x，貝UDE=3x,CD=5x=BD=AD,

BE=ylBD2-DE2=4x，

BC=yjBE2+CE2=2氐，

?/ZBCE=ZCBA,/BEC=90°=ZBCA,

:ABCESAABC,

.BE_BC

?,就一罰’

???4C=8,

,4x_2y/5x

??一，

8AB

AB=475

答案第11頁，共45頁

故答案為：475.

【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線性質(zhì)及應(yīng)用，勾股

定理，等腰三角形的判定，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角

形的判定定理.

13.V10

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊的中線，解題的關(guān)鍵是利用菱

形的性質(zhì)求出/c、的長度.根據(jù)菱形的面積公式結(jié)合8。的長度即可得出2。、NC的

長度，在RMBOC中利用勾股定理即可求出C。的長度，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等

于斜邊的一半即可得出結(jié)論.

【詳解】解：??,四邊形N2C。為菱形，

AC-LBD,OA=OCQB=ODyAB=BC=CD=DA=10,

S^ABCD=^ACBD=60,

.-.AC-BD=nO,

.-.BOOC=30.

■-BO2+CO2=BC2=IOO,

(BO+OC)2-2BO-CO=100,

■-BO+CO=4y/l0(負值已舍去)，

■■BO=4y/i5-OC,

■■BO2+CO-=1()2,

.?.(4^TO-(9C)2+C(92=100,

???co=VTo,co=3Vio(舍去).

■.■AELBC,AO=CO,

???EO=CO=y/w.

故答案為：Vio.

14.3A/2

【分析】過點G作GHL/C,易得為等腰直角三角形，設(shè)AH=HG=x,得到

答案第12頁，共45頁

CH=AC-AH=5-x,證明△G/ffi也△OCE,得到CD=G7/,進而得到CZ>=x,

D"=5-2x,在RMDHG中，利用勾股定理求出工的值，根據(jù)平行線分線段成比例，求出5G

的長即可.

【詳解】解：過點G作G//LZC,貝（J：ZAHG=ZGHD=90°,

ZDGH+ZHDG=90°,

-ZACB=90°fAC=BC=5,

??.AB=5g/A=/B=45。,

ZAGH=45°=,

??.AH=HG,

設(shè)AH=HG=x,貝1J：CH=AC-AH=5-x,

???正方形DEFG,

??.DG=DE,/GDE=90。,

/HDG+NCDE=90。,

???ZHGD=ZCDE,

?：NC=/GHD=90。,

MGHDADCE,

：,CD=GH=x,

.-.DH=CH-CD=5-2x,

在RMG/TO中，由勾股定理，得：GD2=DH2+GH2,

.*.(V5)2=(5-2X)2+X2,解得：x=2,

??.AH=2,CH=3,

???NC=/AHD=90。，

答案第13頁，共45頁

:.HG//BC,

AGAH2

**_CH-3?

BG=-AB=-x5y[2=3y/2；

55

故答案為：3vL

【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正方形

的性質(zhì)，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊圖形和全等三角形.

15.B

【分析】設(shè)小正方形的邊長為x,則矩形的一邊長為(a+x)，另一邊為(b+x)，根據(jù)矩形的

面積的即等于兩個三角形的面積之和，也等于長乘以寬，列出方程，化簡再代入a,b的值,

得出X2+7X=12,再根據(jù)矩形的面積公式，整體代入即可.

【詳解】設(shè)小正方形的邊長為x,則矩形的一邊長為(a+x),另一邊為(b+x),根據(jù)題意得：

2(ax+x2+bx)=(a+x)(b+x),

化簡得：ax+x2+bx-ab=0,

又a=3,b=4,

???x2+7x=12;

;該矩形的面積為=(a+x)(b+x)=(3+x)(4+x)=x2+7x+12=24.

故答案為B.

【點睛】本題考查了勾股定理的證明以及運用和一元二次方程的運用，求出小正方形的邊長

是解題的關(guān)鍵.

16.D

【分析】首先過點8作于點￡,決口_C。于點尸，由題意可得四邊形/8C。是平

行四邊形，繼而求得=的長，判定四邊形是菱形，則可求得答案.

【詳解】過點8作BE，40于點E,BF±CD于點/，

根據(jù)題意得：AD//BC,AB//CD,BE=BF=3,

答案