重慶市墊江第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

墊江一中年春期高二（下）數(shù)學(xué)第一次月考時(shí)間：分鐘滿分：分一、選擇題（每小題5分，共8小題分）1.已知函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，令可得．【詳解】由已知，所以．故選：A．2.函數(shù)f（x）＝ex+x在[﹣1，1]上的最大值是（）A.eB.e+1C.﹣e+1D.e﹣1【答案】B【解析】【分析】可求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，從而得出在上單調(diào)遞增，從而便可求出的最大值.【詳解】，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，的最大值為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求解公式，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，指數(shù)函數(shù)的值域，根據(jù)單調(diào)性定義求函數(shù)最值的方法.3.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）第1頁(yè)/共15頁(yè)A.B.C.D.【答案】D【解析】的圖象可得的圖象.【詳解】由的圖象可知，在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故時(shí)，，故排除A，C；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是先遞增，再遞減，最后再遞增，所以的值是先正，再負(fù)，最后是正，因此排除B，故選：D.4.已知函數(shù)，若在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】恒成立.進(jìn)而推得列出不等式，解不等式即可得出答案.【詳解】由已知可得，.第2頁(yè)/共15頁(yè)因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以恒成立.因?yàn)?，所以恒成立，所以，，解?故選：D.5.函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】平行且與函數(shù)圖象相切的直線方程為：義求得切點(diǎn)，再求出切點(diǎn)到直線的距離，即得答案.【詳解】解：設(shè)與直線平行且與函數(shù)圖象相切的直線方程為：，設(shè)切點(diǎn)為，又因?yàn)椋?，解得，所以切點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是.故選：B.6.從123452）A.16B.48C.75D.96【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理列式計(jì)算即得.第3頁(yè)/共15頁(yè)234種方法，所以不同取法總數(shù)是.故選：B7.已知，則a，b，c大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，，因?yàn)?，所以，?故選：D8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷出單調(diào)性，再判斷函數(shù)的奇偶性，則不等式不等式可化為即為，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到解集.第4頁(yè)/共15頁(yè)【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則x>0時(shí)，，f(x)遞增;因?yàn)?，則f(x)為偶函數(shù)，則不等式可化為又因?yàn)閤>0時(shí),f(x)遞增，且f(x)為偶函數(shù)，所以，解得：故選:D(1)利用單調(diào)性解不等式通常用于：等式；④解析式較復(fù)雜的不等式；(2)解題的一般策略是：利用函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系，解不等式即可．二、多選題（每小題6分，共3小題分）9.如圖所示是的導(dǎo)數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的有（）A.在區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)C.是的極大值點(diǎn)D.是的極小值點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)得出導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而得出函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的極值的定義即可求解.【詳解】根據(jù)圖象知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤，故B正確；第5頁(yè)/共15頁(yè)當(dāng)時(shí)，取得是極大值，是的極大值點(diǎn)，故C正確；當(dāng)時(shí)，取得極小值，是的極小值點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.10.定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)就是三次函數(shù)圖像的對(duì)稱中心．已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的有（）A.B.函數(shù)既有極大值又有極小值C函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)D.對(duì)任意，都有【答案】AB【解析】ABB項(xiàng)結(jié)論及零點(diǎn)存在性定理可判定C，利用函數(shù)解析式取特殊值可判定D.【詳解】由題意可知，，而，故A正確；此時(shí)，，顯然或時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，時(shí)，在在時(shí)取得極小值，故B正確；易知，結(jié)合B結(jié)論及零點(diǎn)存在性定理可知在存在一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；易知，故D錯(cuò)誤故選：AB第6頁(yè)/共15頁(yè)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的取值可能為（）A.5B.4C.3D.2【答案】AB【解析】的取值范圍，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，令，則，所以在定義域上單調(diào)遞增，所以，即，又，，所以，所以，又，所以，，所以的可能取值為、.故選：AB的取值范圍.第7頁(yè)/共15頁(yè)三、填空題（每小題5分，共3小題分）12.若函數(shù)在處有極小值，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得，解出的值之后，驗(yàn)證函數(shù)在處取得極小值即可.【詳解】由已知可得，又函數(shù)在處有極小值，所以，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在處取得極小值.故答案為：.13.由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有__________個(gè).【答案】【解析】【分析】能被整除的三位數(shù)末位數(shù)字是或，分成末位數(shù)字是5和末位數(shù)字是0兩種情況討論.【詳解】能被整除的三位數(shù)說明末尾數(shù)字是或當(dāng)末尾數(shù)字是有種方法；當(dāng)末尾數(shù)字是時(shí)，百位數(shù)字有種不同的選法，十位有種不同的選法，根據(jù)分步乘法原理一共有種方法；則一共有種故答案為：14.設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)不等式恒成立，則m的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)判定其單調(diào)性得，分離參數(shù)根據(jù)恒成立求即可.第8頁(yè)/共15頁(yè)【詳解】由，構(gòu)造函數(shù)，在為增函數(shù)，則即對(duì)不等式恒成立，則，構(gòu)造函數(shù)令，得；令，得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即.故答案為：.第題題題題題分．共5小題分）15.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】由常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得答案.【小問1詳解】【小問2詳解】第9頁(yè)/共15頁(yè)16已知函數(shù)（1）求函數(shù)的極大值;（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.【答案】（1）極大值（2）【解析】1）求導(dǎo)后，分析單調(diào)性可得極值；（2）利用（1）的單調(diào)性求出即可；【小問1詳解】由題意的，令，解得或；令，解得；則在上單調(diào)遞減；在和上單調(diào)遞增，如下表：1正0負(fù)0正增極大值減極小值增所以極大值為.【小問2詳解】由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值，又，，第10頁(yè)/共15頁(yè)所以當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?17.已知函數(shù)．（1）若，求曲線在處切線方程；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】1）先求出函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，該導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，再結(jié)合該點(diǎn)的函數(shù)值，利用點(diǎn)斜式方程可求得切線方程.（2）將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，通過求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性來確定最值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，.首先求的導(dǎo)數(shù)：可得.然后求和值：將代入，得.將代入，得.最后根據(jù)點(diǎn)斜式方程求切線方程：則切線方程為，即.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立.對(duì)不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)：可得在上恒成立.設(shè)，則.求的導(dǎo)數(shù)：可得.設(shè)，求的導(dǎo)數(shù)：.因?yàn)?，所以，，則.這說明在上單調(diào)遞減.第11頁(yè)/共15頁(yè)所以，即.則在上單調(diào)遞減.所以.因此，.則實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若方程在上有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍；【答案】（1）2）．【解析】1）利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，由此可確定；（2）求導(dǎo)后，在和兩種情況下可確定單調(diào)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，可求得單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可知只需即可滿足題意，由此可求得結(jié)果.1）當(dāng)時(shí)，，則，由得：；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；.（2）；①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，，方程在上無實(shí)數(shù)解，不合題意；②當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，方程在上無實(shí)數(shù)解，不合題意；③當(dāng)時(shí)，令得：；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；第12頁(yè)/共15頁(yè)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，若方程在上有實(shí)數(shù)解，則只需，即，解得：，；綜上所述：的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程有根求解參數(shù)范圍，解題關(guān)鍵是能夠通過分類討論得到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性確定函數(shù)最值，由此得到不等關(guān)系.19.已知函數(shù).（1）若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍；（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，證明：.【答案】（1）2）證明見解析【解析】【分析】（1）對(duì)任意，恒成立，可變形為，因此只要求得的最大值即可，這可由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解；（2轉(zhuǎn)化所要證不等式為，由，這時(shí)以退為進(jìn)，證明，即證，現(xiàn)在可構(gòu)造函數(shù)，.證明，這又可用導(dǎo)數(shù)證明．1）解：由對(duì)任意恒成立，得對(duì)任意恒成立.令，則.第13頁(yè)/共15頁(yè)令，則.在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減.故，則，即的取值范圍為.（2）證明：設(shè)，，則.在上