2025版高考數學一輪復習第7章立體幾何初步第2節(jié)空間圖形的基本關系與公理教學案文含解析北師大版

PAGE1-其次節(jié)空間圖形的基本關系與公理[考綱傳真]1.理解空間直線、平面位置關系的定義.2.了解可以作為推理依據的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡潔命題．1．空間圖形的公理(1)公理1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)．(2)公理2：假如一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內(即直線在平面內)．(3)公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．2．空間中兩直線的位置關系(1)空間中兩直線的位置關系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線,平行直線)),異面直線：不同在任何一個平面內))(2)異面直線所成的角①定義：過空間隨意一點P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角．②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)定理(等角定理)空間中，假如兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關系(1)空間中直線與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點直線a在平面α內aα有多數個公共點直線在平面外直線a與平面α平行a∥α沒有公共點直線a與平面α斜交a∩α＝A有且只有一個公共點直線a與平面α垂直a⊥α(2)空間中兩個平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點兩平面平行α∥β沒有公共點兩平面相交斜交α∩β＝l有一條公共直線垂直α⊥β且α∩β＝aeq\o([常用結論])1．公理2的三個推論推論1經過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．推論2經過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3經過兩條平行直線，有且只有一個平面．2．異面直線的判定定理經過平面內一點的直線與平面內不經過該點的直線互為異面直線．3．等角定理的引申(1)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向相同或相反，則這兩個角相等．(2)在等角定理中，若兩角的兩邊平行且方向一個邊相同，一個邊相反，則這兩個角互補．[基礎自測]1．(思索辨析)推斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的隨意一條直線． ()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面． ()(3)假如兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合． ()(4)若直線a不平行于平面α，且a?α，則α內的全部直線與a異面． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×2．(教材改編)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°C[連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]3．(教材改編)下列命題正確的是()A．經過三點確定一個平面B．經過一條直線和一個點確定一個平面C．四邊形確定一個平面D．兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面D[依據確定平面的公理和推論知選項D正確．]4．已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形肯定是()A．空間四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形B[四邊形的相鄰兩邊分別平行于空間四邊形的兩角對角線，故選B．]5．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[由題意知aα，bβ，若a，b相交，則a，b有公共點，從而α，β有公共點，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b的位置關系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A．]空間圖形的公理及其應用【例1】(1)以下命題中，正確命題的個數是()①不共面的四點中，其中隨意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．A．0B．1C．2D．3B[①正確，可以用反證法證明，假設隨意三點共線，則四個點必共面，與不共面的四點沖突；②中若點A，B，C在同一條直線上，則A，B，C，D，E不肯定共面，故②錯誤；③中，直線b，c可能是異面直線，故③錯誤；④中，當四條線段構成空間四邊形時，四條線段不共面，故④錯誤．](2)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是AB和AA1的中點．求證：①E，C，D1，F四點共面；②CE，D1F，DA三線共點．[解]①如圖，連接EF，CD1，A1B．∵E，F分別是AB，AA1的中點，∴EF∥BA1.又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四點共面．②∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE與D1F必相交，設交點為P，則由P∈直線CE，CE平面ABCD，得P∈平面ABCD．同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線DA，∴CE，D1F，DA三線共點．[規(guī)律方法]共點、共線、共面問題的證明方法(1)證明點共線問題：①公理法：先找出兩個平面，然后證明這些點都是這兩個平面的公共點，再依據基本公理3證明這些點都在交線上；②同一法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上．(2)證明線共點問題：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經過該點．(3)證明點、直線共面問題：①納入平面法：先確定一個平面，再證明有關點、線在此平面內；②協(xié)助平面法：先證明有關的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最終證明平面α，β重合．(1)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是()ABCDD[依據異面直線的判定定理，選項D中PS與QR是異面直線，則四點P，Q，R，S不共面．故選D．](2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點．求證：D1，H，O三點共線．[證明]如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因為BB1DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因為平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三點共線．空間兩條直線的位置關系【例2】(1)已知a，b，c為三條不同的直線，且a平面α，b平面β，α∩β＝c，給出下列命題：①若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交；②若a不垂直于c，則a與b肯定不垂直；③若a∥b，則必有a∥c.其中真命題有________．(填序號)(2)在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上全部正確答案的序號)．①②③④(1)①③(2)②④[(1)對于①，若c與a，b都不相交，則c∥a，c∥b，從而a∥b，這與a與b是異面直線沖突，故①正確．對于②，a與b可能異面垂直，故②錯誤．對于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，從而a∥c，故③正確．(2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG(圖略)，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖②④中，GH與MN異面．][規(guī)律方法]異面直線的判定方法(1)已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A．肯定是異面直線 B．肯定是相交直線C．不行能是平行直線 D．不行能是相交直線(2)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結論為________．(把你認為正確的結論的序號都填上)(1)C(2)③④[(1)c與b可能相交，也可能異面，但可不能平行，故選C．(2)依據兩條異面直線的判定定理知，③④正確．]異面直線所成的角【例3】(1)(2024·全國卷Ⅱ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(\r(7),2)(2)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中點，則異面直線BC1與PD所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°(1)C(2)C[(1)如圖，連接BE，因為AB∥CD，所以異面直線AE與CD所成的角等于相交直線AE與AB所成的角，即∠EAB．不妨設正方體的棱長為2，則CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝eq\r(5).又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C．(2)取CD的中點Q，連接BQ，C1Q∵P是AB的中點，∴BQ∥PD∴∠C1BQ是異面直線BC1與PD所成的角．在△C1BQ中，C1B＝BQ＝C1Q＝eq\r(2)，∴∠C1BQ＝60°，即異面直線BC1與PD所成的角等于60°，故選C．][規(guī)律方法]用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作：依據定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；假如求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．(1)已知P是△ABC所在平面外的一點，M，N分別是AB、PC的中點，若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，則異面直線PA與MN所成角的大小是()A．30° B．45°C．60° D．90°(2)如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．(1)A(2)eq\r(2)[(1)取AC的中點O，連接OM，ON，則OMeq\f(1,2)BC，ONeq\f(1,2)PA．∴∠ONM就是異面直線PA與MN所成的角．在△OMN中，MN＝4，OM＝2，ON＝2eq\r(3)，∴cos∠ONM＝eq\f(ON2＋MN2－OM2,2ON·MN)＝eq\f(12＋16－4,2×2\r(3)×4)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠ONM＝30°即異面直線PA與MN所成角的大小為30°，故選A．(2)取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD，因為C是圓柱下底面弧AB的中點，所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD．因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝eq\r(2)AD，所以直線AC1與AD所成角的正切值為eq\r(2)，所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為eq\r(2).]1．(2024·全國卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(15),5)C．eq\f(\r(10),5)D．eq\f(\r(3),3)C[將直三棱柱ABC-A1B1C1補形為直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD．由題意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝eq\r(2)，AB1＝eq\r(5)，∠DAB＝60°.在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD＝eq\r(3)，所以B1D1＝eq\r(3).又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ，所以cosθ＝eq\f(AB\o\al(2,1)＋AD\o\al(2,1)－B1D\o\al(2,1),2×AB1×AD1)＝eq\f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10),5).故選C．]2．(2024·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(1,3)A[依據平面與平面平行的性質，將m，n所成