5.4.2+正、余弦函數(shù)的性質(zhì)+教學(xué)設(shè)計

教學(xué)設(shè)計課題正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)課型新授課R章/單元復(fù)習(xí)課￡專題復(fù)習(xí)課￡習(xí)題/試卷講評課￡學(xué)科實踐活動課￡其他￡教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)的主要內(nèi)容是由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，由先前學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，通過函數(shù)圖像，觀察總結(jié)函數(shù)性質(zhì)，并應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決問題。是學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)方法掌握情況的一次大檢閱。因此注意對學(xué)生研究函數(shù)方法的啟發(fā)，本節(jié)的學(xué)習(xí)有著極其重要的地位。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。學(xué)習(xí)者分析本節(jié)的主要內(nèi)容是正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)，過去學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，了解研究函數(shù)性質(zhì)的一般套路，上一節(jié)學(xué)習(xí)了正弦、余弦函數(shù)的圖象，為本節(jié)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)、奠定了基礎(chǔ)，所以利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象獲得其性質(zhì)不是一件難事，但是進行代數(shù)論證比較困難.為此，首先要培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)說理習(xí)慣，其次要給予完整的代數(shù)論證過程，還要采取具體化的方法進行說明，即選擇圖象上一個點，通過這個點的變化說明圖象的變換，并滲透換元轉(zhuǎn)化的思想方法．學(xué)習(xí)目標確定1.了解周期函數(shù)、周期、最小正周期的意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.會求常見三角函數(shù)的的周期，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)；3.通過圖象直觀理解奇偶性，并能正確確定相應(yīng)的對稱軸和對稱中心，提升直觀想象的核心素養(yǎng)。學(xué)習(xí)重點難點重點：y＝sinx(x∈R)，y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性；難點：1.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期性，以及周期函數(shù)、(最小正)周期的意義；2.會求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．學(xué)習(xí)活動設(shè)計過程學(xué)習(xí)內(nèi)容與教師活動（引領(lǐng)性問題）學(xué)生任務(wù)或?qū)W習(xí)活動設(shè)計設(shè)計意圖或評價目標環(huán)節(jié)一引入：通過前期對指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)，你知道對函數(shù)性質(zhì)的研究的一般思路嗎？教師：上節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，本節(jié)課讓我們一起利用函數(shù)的圖象研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì).（學(xué)生思考或相互討論）研究函數(shù)性質(zhì)的一般思路：繪制函數(shù)圖象——觀察圖象、發(fā)現(xiàn)性質(zhì)——證明性質(zhì)設(shè)計意圖：回顧前面所學(xué)知識，利用已有的經(jīng)驗解決新問題，形成一般觀念；評價目標：提升邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。問題1：類比以往對函數(shù)性質(zhì)的研究，思考本節(jié)課可研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？追問1：通過上一節(jié)，利用單位圓構(gòu)建正（余）弦函數(shù)圖象過程中，觀察單位圓上點的縱坐標和橫坐標的變化規(guī)律，思考正、余弦函數(shù)除了這些性質(zhì)之外還有其他特別之處嗎？閱讀資料：如果現(xiàn)在是早上9點鐘,問你:24小時以后是幾點鐘?你會毫不猶豫地回答:還是早上9點鐘.因為你很清楚,0點、1點、2點、3點……23點,每隔24小時就重復(fù)出現(xiàn)一次,如果今天是星期一,問你:7天以后是星期幾?你也會回答:還是星期一.因為你很清楚,星期一、星期二……星期天,每隔7天就重復(fù)出現(xiàn)一次.相同的間隔重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為周期現(xiàn)象,如“24小時1天”“7天1星期”“365天1年”就是我們所熟悉的周期現(xiàn)象.自然界中有很多周期現(xiàn)象,如日出日落、月圓月缺、四季交替等.追問2：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是否有這樣的周期性呢?根據(jù)正余弦函數(shù)圖像或者單位圓的坐標特點，推測一下周期是多少？學(xué)生思考總結(jié)：根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗，我們可探究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、最大（小）值等.追問1思考預(yù)設(shè)：單位圓上點的橫縱坐標都有“周而復(fù)始”的變化（引出周期性），追問2思考預(yù)設(shè)：猜測周期為2π（除了利用單位圓上點的縱坐標來解釋；也可以讓學(xué)生觀察正弦函數(shù)圖象得到：正弦函數(shù)在0，2π內(nèi)的圖象，向左或向右平移2π個單位長度，即在區(qū)間?2π，0，2π，4π內(nèi)會出現(xiàn)相同的圖象.教師適當啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)橫坐標每隔4π或?4π個單位長度，也會出現(xiàn)縱坐標相同的點.直至推廣至2設(shè)計意圖：明確研究函數(shù)的一般方法，形成一般觀念和整體意識，直觀地理解正弦函數(shù)的周期性，了解最小正周期。評價目標：以提升直觀想象數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。環(huán)節(jié)二探究1：觀察f(x)的部分圖象,函數(shù)圖象每相隔多少個單位重復(fù)出現(xiàn)?小組討論，并歸納得出對于f(x)始終有什么規(guī)律，能否寫出f(x)的一個規(guī)律式子呢？問題1:由誘導(dǎo)公式一:sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx.結(jié)合正(余)弦函數(shù)圖像以及表達式f(x)=sinx，g(x)=cosx能否寫出類似的規(guī)律式子？探究1思考預(yù)設(shè)：每相隔1個單位重復(fù)出現(xiàn),引導(dǎo)學(xué)生得出始終有f(x+1)=f(x)。問題1：學(xué)生思考、討論.當自變量x的值增加2π整數(shù)倍時所對應(yīng)的函數(shù)值，與x所對應(yīng)的函數(shù)值相等.可利用誘導(dǎo)公式sinx+2kπ=sinx（教師可引導(dǎo)學(xué)生分別討論k=1和k設(shè)計意圖：了解一般周期函數(shù)及相關(guān)概念，為今后系統(tǒng)學(xué)習(xí)周期性做好鋪墊；通過類比一般周期的概念，達成理解正弦函數(shù)的周期的目標。評價目標：進而提升學(xué)生的邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。閱讀課本P201頁有關(guān)周期性的概念：【說一說】你對一般函數(shù)周期的定義的理解，并根據(jù)定義闡述一下正（余）弦函數(shù)的周期的推理。(1)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D，都有x＋T∈D，且____________，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．______________叫做這個函數(shù)的周期．(2)如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個_______的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)叫做f(x)的最小正周期.問題2：正余弦函數(shù)周期的推理：_____________________.【注意】對周期函數(shù)的三點說明(1)并不是每一個函數(shù)都是周期函數(shù)，若函數(shù)具有周期性，則其周期也不一定唯一．(2)如果T是函數(shù)f(x)的一個周期，則nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．(3)并非所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如f(x)＝C(C為常數(shù)，x∈R)，所有的非零實數(shù)T都是它的周期，不存在最小正周期．閱讀教科書5.4.2節(jié)“1．周期性”中的內(nèi)容．預(yù)設(shè)答案：一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)f(x)的周期；如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期；周期函數(shù)的代數(shù)關(guān)系是f(x+T)=f(x)；周期函數(shù)的圖象每隔一個周期就會重復(fù)出現(xiàn)．問題2預(yù)設(shè)答案：由x∈R,都有fx+2k設(shè)計意圖：閱讀并闡述一般周期函數(shù)的定義式，通過閱讀理解考查學(xué)生對函數(shù)周期這一性質(zhì)的理解；根據(jù)掌握情況可以拓展相關(guān)的其他式子。評價目標：提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理的核心素養(yǎng)。問題3：我們知道，sin（+）=sin（），sin（+）=sin，sin（+）=sin，…，那么是正弦函數(shù)y=sinx的一個周期嗎？為什么？從函數(shù)值變化的角度解釋：為什么可以說2kπ（k∈Z）是正弦函數(shù)的周期？做一做:判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)由于sin(π2+π4)＝sineq\f(π,4)，則eq\f(π,2)是函數(shù)y＝sinx的一個周期．()(2)因為sin(x3+4π)＝sineq\f(x,3)，所以函數(shù)y＝sineq\f(x,3)的周期為4π.()(3)對任意實數(shù)x，若有f(x＋1)＝f(x)，則f(x)是周期函數(shù)，T＝1是f(x)的一個周期．()學(xué)生回答，教師啟發(fā)學(xué)生說全．問題3預(yù)設(shè)答案：不是．比如sin（+）≠sin．根據(jù)誘導(dǎo)公式可知，當x取正弦函數(shù)定義域內(nèi)的每一個自變量的值時，自變量的值每增加2kπ（k∈Z）個單位，函數(shù)值都用重復(fù)出現(xiàn)．做一做答案：(1)(×)(2)(×)(3)(√)設(shè)計意圖：進一步理解周期函數(shù)定義式；評價目標：進而提升學(xué)生的邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。環(huán)節(jié)三例2求下列函數(shù)的周期：（1）y＝3sinx，x∈R；（2）y＝cos2x，x∈R；（3）y＝2sin，QUOTE12x?π6x∈R．解析：（1）?x∈R，有3sin(x+2π)=3sinx，由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為2π．（2）令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y=cosz的周期為2π，即cos(z+2π)＝cosz，于是cos(2x+2π)＝cos2x，所以cos2(x+π)＝cos2x，x∈R．由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為π．（3）令z＝，由x∈R得z∈R，且y=2sinz的周期為2π，即2sin(z+2π)＝2sinz，于是2sin(+2π)＝2sin()，所以2sin[(x+4π)－]＝2sin()，x∈R．由周期函數(shù)的定義可知，原函數(shù)的周期為4π．設(shè)計意圖：通過例題深化對周期和最小正周期概念的理解，形成求解的具體步驟，進而幫助學(xué)生理解函數(shù)y＝Asin(ωx+φ)的周期，為后續(xù)學(xué)習(xí)做準備；評價目標：提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)。探究2：回顧例2的解答過程，你能發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的周期與解析式中的哪些量有關(guān)嗎？通過小組討論，并加以小結(jié)。問題預(yù)設(shè)答案：自變量x的系數(shù)設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生找出導(dǎo)致周期變化的主要原因，并且小結(jié)整理。評價目標：提升學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。小結(jié)：對于周期問題，求解的步驟如下：第一步，先用換元法轉(zhuǎn)換：比如“（2）y＝cos2x，x∈R”，令2x＝t，所以y=cost；第二步，利用已知的三角函數(shù)的周期找關(guān)系：由cos（2π+t）＝cost，代入可得：第三步，根據(jù)定義變形：變形可得：cos2（π+x）＝cos2x，于是就有f(x+π)＝f(x)；第四步，確定結(jié)論：根據(jù)定義可知其周期為π．結(jié)論：仿照上述分析過程可得函數(shù)y＝Asin(ωx+φ)和y＝Acos(ωx+φ)（其中A，，為常數(shù)，且，）的周期為：T＝．一般地，如果函數(shù)y＝f(x)的周期是T，那么函數(shù)y＝f(ωx)的周期是．環(huán)節(jié)四問題4：觀察正弦曲線和余弦曲線，它們關(guān)于原點或y軸對稱嗎？具有奇偶性嗎？你可以通過代數(shù)思想加以推理么？預(yù)設(shè)答案：正弦曲線關(guān)于原點軸對稱．余弦曲線關(guān)于y軸對稱.也可由誘導(dǎo)公式sin?x=?sinx；cos?x=cos設(shè)計意圖：通過研究函數(shù)的奇偶性，總結(jié)方法：一是函數(shù)圖象，二是奇偶性定義。評價目標：進而提升學(xué)生的直觀想象，邏輯推理數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。問題5：知道一個函數(shù)具有周期性和奇偶性，對研究它的圖象與性質(zhì)有什么幫助?預(yù)設(shè)答案：（1）函數(shù)的周期性可以簡化對圖象和性質(zhì)的研究過程.對于一個周期函數(shù)，如果知道了周期，在對函數(shù)的探究過程中就可以從一個周期入手，只要認識到一個周期上函數(shù)的圖象與性質(zhì)，那么整個定義域上函數(shù)的圖象和性質(zhì)就都完全清楚了.（2）知道一個函數(shù)的奇偶性，同樣也可以縮小我們研究函數(shù)的范圍，因為奇、偶函數(shù)的圖象分別關(guān)于原點、y軸對稱，所以只需要搞清楚函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象與性質(zhì)，那么，整個定義域內(nèi)的圖象與性質(zhì)就都知道了，可以提高我們研究函數(shù)的效率．設(shè)計意圖：了解周期性和奇偶性的意義，為下面的研究做鋪墊.評價目標：提升學(xué)