安徽省A10聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期3月階段考數(shù)學試卷（北師大版）

聯(lián)盟級高一下學期3月階段考數(shù)學（北師大版）試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分滿分分，考試時間分鐘請在答題卡上作答.第I卷（選擇題共分）一、選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共分，在每小題給出的四個選項中只有一項符合題目要求.1.已知全集，集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的補集運算和交集運算求解.【詳解】由題，可得，所以.故選：B.2.點在平面直角坐標系中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)角的終邊所在象限判斷三角函數(shù)值的符，得到點的坐標的符號進而判斷出點所在的象限.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以點平面直角坐標系中位于第四象限.故選：D3.已知關于的不等式的解集為，則不等式的解集是（）A.B.第1頁/共16頁C.D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.【詳解】由題可知的根為1和2，代入方程可得，，不等式等價于，則解集為，故選：D.4.某科研團隊對某產品的一項新功能進行了8次測試，將不合格、合格、良、優(yōu)的結果分別用0123標記，若8次測試結果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次優(yōu)，則對于標記后的數(shù)據(jù)，下列結論錯誤的是（）A.75%分位數(shù)為1B.極差為3C.平均數(shù)為1D.方差為1【答案】A【解析】【分析】寫出測試結果標記后得到數(shù)據(jù)，再利用極差，平均數(shù)，方差，百分位數(shù)的定義以及計算公式即可求解.【詳解】將8次測試結果標記后得到數(shù)據(jù)0，0，0，1，1，1，2，3，對于A，因為，所以這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B，這組數(shù)據(jù)的極差為，故B正確；對于C，平均數(shù)為，故C正確；對于D，方差為，故D正確.故選：A.5.已知函數(shù)，若，則（）A.0B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性性質，結合正弦余弦函數(shù)奇偶性進行求解即可.【詳解】的定義域為．第2頁/共16頁令，則，所以為奇函數(shù)，又，所以，則，所以．故選：D6.若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換可得出變換后的函數(shù)解析式，由已知結合誘導公式可得出關于的等式，即可得出結果.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到，所以，，解得，又，令，得，所以的最小值為.故選：B.7.已知曲線，，，是曲線與依次相鄰的三個交點．若是等腰直角三角形，則（）A.B.C.D.第3頁/共16頁【答案】D【解析】【分析】先做出圖形，選擇恰當?shù)?，，三點，因為三點在兩曲線上所以坐標滿足函數(shù)解析式，再根據(jù)是等腰直角三角形，找到對應的關系式解方程即可求出的值.【詳解】因為點，，是曲線與依次相鄰的三個交點，不妨設點為曲線與在軸上的交點，如圖所示，為的中點，連接,易知，,與軸平行，所以又因為是等腰直角三角形，所以，所以又因為在曲線上，所以，又因為所以：即所以.故選：D8.已知函數(shù)，則方程實數(shù)根個數(shù)為（）A.10B.8C.6D.5【答案】C【解析】【分析】設，先解出，再分別求解即可.【詳解】設，則，若，則，解得或，第4頁/共16頁則或，當時，，不合題意，則，或，解得，此時方程僅一個根；若，則，解得或，即或，當時，或，方程即在僅一個根，方程，即，，且，，兩根均為負，合題意，當時，，解得或，方程有兩根，綜上，方程的實根個數(shù)為6.故選：C.3個小題，每小題6分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.下列函數(shù)中最小正周期為的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】對于ABC，根據(jù)最小正周期公式運算求解即可；對D，根據(jù)函數(shù)圖象分析判斷.【詳解】對于A，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；對于B，因為，所以的最小正周期為，故B錯誤；對于C，的最小正周期為，故C正確；第5頁/共16頁對于D，作的圖象，如圖，由圖可知的最小正周期為，故D正確.故選：ACD.10.拋擲一枚骰子兩次.設“第一次向上的點數(shù)是2”為事件“第二次向上的點數(shù)是奇數(shù)”為事件“兩次向上的點數(shù)之和能被3整除”為事件，則下列說法正確的是（）A.事件與事件互為對立事件B.C.D.事件與事件相互不獨立【答案】BC【解析】【分析】由對立事件的定義判斷A；應用列舉法求、判斷B；根據(jù)獨立事件的判定判斷D,根據(jù)并事件的概率即可求解C.【詳解】對于A，由事件定義，事件與事件可以同時發(fā)生，故不互為對立事件，A錯誤；拋擲一枚骰子兩次的樣本點數(shù)共36種，對于B，事件的樣本點為，，，，，，，，，，，，，，，，，共18種，事件的樣本點為，，，，，，，，，，，共有12種，事件的樣本點為，，，，，共6種，所以,，，B正確；因為，所以事件與事件相互獨立，D錯誤．事件的樣本點為，共3種事件的樣本點為共12種，第6頁/共16頁由于互斥，故的樣本點共有15種，故，C正確，故選：BC．對于任意的，表示不超過的最大整數(shù)，例如：，．十八世紀，被“數(shù)學王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的是（）A.函數(shù)，的圖象關于原點對稱B.設，，則有C.函數(shù)，的值域為D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，取值驗證判斷A；利用，計算可判斷B；由取整函數(shù)的定義得，進而判斷C；解一元二次不等式，然后取整函數(shù)的定義求出解集判斷D.【詳解】對于A：當時，，當時，，即點，都在函數(shù)的圖象上，它們關于原點不對稱，則函數(shù)的圖象關于原點不對稱，故A錯誤；對于B，因為，所以，故B正確；對于C：由取整函數(shù)的定義知，，則，因此函數(shù)，的值域為，故C正確；對于D：由，得，解得，而，則，因此，不等式的解集為，故D正確.第7頁/共16頁故選：BCD.12）34）結合數(shù)學知識進行解答.第Ⅱ卷（非選擇題共分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知扇形的半徑為2，圓心角為1，則扇形的周長為______.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)扇形的弧長公式計算直接得出結果.【詳解】由題意知，扇形的弧長為，所以扇形的周長為.故答案為：613.若，且，則的最小值為______.【答案】5【解析】【分析】由，且，得到,進而有，利用基本不等式求解.【詳解】解：因為，且，所以,則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為5，故答案為：514.若定義在上的函數(shù)同時滿足：①為偶函數(shù)；②；③對任意的，且，都有，則不等式的解集為______.第8頁/共16頁【答案】【解析】【分析】構造新函數(shù)，根據(jù)題意分析判斷的奇偶性和單調性，分類討論結合的奇偶性和單調性解不等式.【詳解】令，由條件③可得，，且，所以函數(shù)在上單調遞減，又為偶函數(shù)，且，則，所以為奇函數(shù)，且，所以在上單調遞減，，所以當時，，即，當時，，即，當時，，即，當時，，即，所以不等式的解集為.故答案為：.5分解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知角以軸的非負半軸為始邊，點在角的終邊上，且，（1）求及的值；（2）求的值．【答案】（1）；；第9頁/共16頁（2）【解析】1）根據(jù)正弦函數(shù)的定義可求的值，再根據(jù)定義可求；（2）利用誘導公式和弦切互化法可求三角函數(shù)式的值.【小問1詳解】因為點角的終邊上，且，根據(jù)三角函數(shù)定義，則，解得或所以．【小問2詳解】則，16.確定一個合理的月用水量標準的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.100據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求直方圖中的值；（2）估計該地區(qū)月均用水量的60%分位數(shù)；第10頁/共16頁（3）現(xiàn)在該地區(qū)居民中任選2位居民，將月均用水量落入各組的頻率視為概率，不同居民的月均用水量相互獨立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位數(shù)的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求出；（2）根據(jù)百分位數(shù)的定義求解；（3）根據(jù)給定條件，利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式列式計算得解.【小問1詳解】根據(jù)題意，可得，解得.【小問2詳解】數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率為，數(shù)據(jù)落在區(qū)間的頻率和為，則用水量的分位數(shù)，，解得，所以估計該地區(qū)月均用水量的分位數(shù)為.【小問3詳解】設事件表示第位居民月均用水量大于分位數(shù)，，事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位數(shù)，，所以.所以恰有1位居民月均用水量大于60%分位數(shù)的概率為.17.已知為奇函數(shù)，為常數(shù).（1）求的值；（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）第11頁/共16頁（2）【解析】1）根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可求出a的值，驗證后即可確定答案；（2）分離參數(shù)，將不等式恒成立問題轉化為函數(shù)最值問題，結合判斷函數(shù)單調性，求得函數(shù)最值，即可求得答案.【小問1詳解】由于，函數(shù)為奇函數(shù)，故，即，則，即，則，當時，，不符合題意；當時，，令，則或，即函數(shù)定義域為，，即函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意，故；【小問2詳解】對于區(qū)間上的每一個的值，不等式恒成立，即對于區(qū)間上的每一個的值，不等式恒成立，所以，令，則在上單調遞增，而在上單調遞增，故在上單調遞增，在上單調遞增，故在上單調遞增，則的最小值為，故.第12頁/共16頁18.已知函數(shù)，且，，.（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的單調遞減區(qū)間；（3的方程在區(qū)間上有且僅有4的取值范圍.【答案】（1）2（2）（3）【解析】1）由已知條件確定對稱中心與對稱軸，再結合正弦函數(shù)的對稱性求得；（2）由正弦函數(shù)的單調性求解；（3或的圖象與直線和的交點個數(shù)得出參數(shù)范圍．【小問1詳解】由，所以的圖象關于直線對稱，又，所以的圖象關于對稱，，即，又，.【小問2詳解】由，即在處取得最大值2，所以，，則，第13頁/共16頁，即，又，所以，，令，得，由，可得，，所以在區(qū)間上單調遞減區(qū)間為．【小問3詳解】方程可化為，則或，由（2）可知，在區(qū)間上的圖象如圖所示，因為方程在區(qū)間上有且僅有4個不同的實數(shù)解，所以或且，解得或或.所以實數(shù)的取值范圍是.19.，雙曲余弦函數(shù)：（是自然對數(shù)的底數(shù)第14頁/共16頁（1）求的值；（2）證明：兩角和的雙曲余弦公式；（3）若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）1；（2）證明見詳解；（3）【解析】1）根據(jù)函數(shù)定義直接代入即可求；（2）根據(jù)雙曲函數(shù)的運算性質和指數(shù)冪的運算性質化簡計算即可求解；（3）由函數(shù)定義代入函數(shù)解析式，由