2025年春華師版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)導(dǎo)學(xué)案 26.2.2 第5課時(shí) 圖形面積的最大值

26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)第5課時(shí)圖形面積的最大值學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.分析實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.（難點(diǎn)）2.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)求出圖形面積的最大值.（重點(diǎn)）自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接用一段長(zhǎng)為20m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，設(shè)AB=xm,用含x的代數(shù)式填空：如圖①，AD的長(zhǎng)為_(kāi)________m,矩形菜園的面積S=___________，x的取值范圍為_(kāi)___________;如圖②，菜園中間用一道籬笆隔開(kāi)，此時(shí)AD的長(zhǎng)為_(kāi)________m,矩形菜園的面積S=___________,x的取值范圍為_(kāi)___________;如圖③，菜園的一面靠墻，此時(shí)AD的長(zhǎng)為_(kāi)________m,矩形菜園的面積S=___________.若可利用的墻的長(zhǎng)度不限，則x的取值范圍為_(kāi)___________;若可利用的墻的長(zhǎng)度為8m,則x的取值范圍為_(kāi)___________.圖①圖②圖③自主預(yù)習(xí)填空并完成下列練習(xí)：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（x為任意實(shí)數(shù)）的最大（或小）值時(shí)，常用方法有兩種：（1）將拋物線y=ax2+bx+c通過(guò)配方，轉(zhuǎn)化為y=a(x-h)2+k的形式.若a＞0，則當(dāng)x=_____時(shí)，y取最_____值,此時(shí)，y=__________;若a＜0，則當(dāng)x=_____時(shí)，y取最______值,此時(shí)，y=__________.（2）運(yùn)用公式法，若a＞0，則當(dāng)x=時(shí)，y取得最_______值，此時(shí)y=_____________;若a＜0，則當(dāng)x=時(shí)，y取得最_______值，此時(shí)y=_____________;練習(xí)1.求二次函數(shù)y=x2－6x－5的最大(或?。┲?，可先將其配方，可化為y=(x-_______)2+_________,則該函數(shù)有最_______值，其值為_(kāi)_________;2.求二次函數(shù)y=的最(大或小）值,可利用公式法，當(dāng)x=________時(shí)，該函數(shù)有最_________值，其值為_(kāi)__________.合作探究要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：求二次函數(shù)的最大(或最小)值做一做1.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象，回答問(wèn)題:問(wèn)題1（1）當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)在何時(shí)取得最大（或小）值？（2）當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)在何時(shí)取得最大值？做一做2.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出二次函數(shù)y=-x2-2x+3的圖象，根據(jù)圖象，回答問(wèn)題：?jiǎn)栴}2（1）當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)y=-x2-2x+3在何時(shí)取得最大（或小）值？（2）當(dāng)-3≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)y=-x2-2x+3在何時(shí)取得最大值？【要點(diǎn)歸納】當(dāng)自變量的范圍有限制時(shí)，二次函數(shù)的最值可以根據(jù)以下步驟來(lái)確定：1.配方，求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸.2.畫(huà)出函數(shù)圖象，標(biāo)明對(duì)稱(chēng)軸，并在橫坐標(biāo)上標(biāo)明x的取值范圍.3.判斷，判斷x的取值范圍與對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系.根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定當(dāng)x取何值時(shí)函數(shù)有最大或最小值.然后根據(jù)x的值，求出函數(shù)的最值.【典例精析】例1求下列函數(shù)的最大值與最小值.（1）(-1≤x≤2）；(2)y=-100x2+100x+200(0≤x≤2）；（3）.探究點(diǎn)2：二次函數(shù)與幾何圖形面積的最值問(wèn)題要用總長(zhǎng)為40m的鐵欄桿，圍城一個(gè)矩形的花圃，怎樣圍，才能使圍成的花圃的面積最大？解：設(shè)AB的長(zhǎng)為xm,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_________m,此時(shí)花圃的面積S=___________m2.易知x的取值范圍為_(kāi)___________.S=___________=-（）2+_________,則當(dāng)x=_________時(shí)，S取得最大值，此時(shí)最大面積為_(kāi)_______m2.變式若花圃的一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），怎樣圍，能使圍成的花圃的面積最大？解：設(shè)AB的長(zhǎng)為xm,則BC的長(zhǎng)為_(kāi)_________m,此時(shí)花圃的面積S=___________m2.易知x的取值范圍為_(kāi)___________.S=___________=_____（）2+_________,則當(dāng)x=_________時(shí)，S取得最大值，此時(shí)最大面積為_(kāi)_______m2.想一想：（1）若可利用的墻的長(zhǎng)度為24m，怎樣圍，能使圍成的花圃的面積最大？（2）若可利用的墻的長(zhǎng)度為16m，怎樣圍，能使圍成的花圃的面積最大？【典例精析】例2如圖所示，用一根長(zhǎng)度為18米的原材料制作一個(gè)矩形窗戶邊框（即矩形ABFE和矩形DCFE），原材料剛好全部用完，設(shè)窗戶邊框AB長(zhǎng)度為x米，窗戶總面積為S平方米（注：窗戶邊框粗細(xì)忽略不計(jì)）．

（1）求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若窗戶邊框AB的長(zhǎng)度不少于2米，且邊框AB的長(zhǎng)度小于BC的長(zhǎng)度，求此時(shí)窗戶總面積S的最大值和最小值．【針對(duì)訓(xùn)練】如圖，有長(zhǎng)24米的鐵欄桿，一面利用墻（墻的最大長(zhǎng)度為15米），圍成中間隔有一道鐵欄桿的長(zhǎng)方形花圃．設(shè)花圃中垂直于墻AD的一邊AB的長(zhǎng)為米，花圃的總面積為平方米．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果花圃的總面積為36平方米，求AB的長(zhǎng)；（3）能否圍成面積比45平方米更大的花圃？如果能，請(qǐng)求出最大面積，并說(shuō)明圍法；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．二、課堂小結(jié)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值兩個(gè)方法（1）配方成y=a(x-h)2+h的形式；（2）公式法一個(gè)注意注意自變量的取值范圍是否為全體實(shí)數(shù)，若不是，則需結(jié)合函數(shù)的增減性來(lái)判斷圖形面積的最大值問(wèn)題一個(gè)關(guān)鍵依據(jù)常見(jiàn)幾何圖形的面積公式建立函數(shù)關(guān)系式一個(gè)注意最值有時(shí)不在頂點(diǎn)處，則要利用函數(shù)的增減性來(lái)確定當(dāng)堂檢測(cè)1.二次函數(shù)y=（x+1）2-2的最小值是（）A．-2B．-1C．1D．22.二次函數(shù)y=-2x2-4x+3（x≤-2）的最大值為_(kāi)_______.3.已知直角三角形的兩直角邊之和為8，則該三角形的面積的最大值是________.4.如圖，將邊長(zhǎng)為40cm的正方形硬紙板的四個(gè)角各剪掉一個(gè)同樣大小的正方形，剩余部分折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子．（紙板的厚度忽略不計(jì)）

（1）若該無(wú)蓋盒子的底面積為900cm2，求剪掉的正方形的邊長(zhǎng)；

（2）求折成的無(wú)蓋盒子的側(cè)面積的最大值．

5.如圖，某公司要建一個(gè)矩形的產(chǎn)品展示臺(tái)，展示臺(tái)的一邊靠著長(zhǎng)為9m的宣傳版（這條邊不能超出宣傳版），另三邊用總長(zhǎng)為40m的紅布粘貼在展示臺(tái)邊上．設(shè)垂直于宣傳版的一邊長(zhǎng)為xm.

（1）當(dāng)展示臺(tái)的面積為128m2時(shí)，求x的值；

（2）設(shè)展示臺(tái)的面積為ym2，求y的最大值．參考答案自主學(xué)習(xí)知識(shí)鏈接（10-x）x(10-x)0＜x＜10（10-x）x（10-x）0＜x＜（20-2x）x(20-2x)0＜x＜106≤x＜10二、新知預(yù)習(xí)(1)h小kh大k(2)小大練習(xí)：1.3(-14)小-142.大合作探究一、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：求二次函數(shù)的最大(或最小)值做一做1.解：如圖①所示.當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)在x=2時(shí)取得最小值，此時(shí)y=1.由圖象可知，當(dāng)-3≤x≤1時(shí)，二次函數(shù)在x=-3處取得最大值，此時(shí)y=26.圖①圖②2.解：如圖②所示.（1）當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次函數(shù)y=-x2-2x+3在x=-1時(shí)取得最大值，此時(shí)y=4.（2）由圖象可知，當(dāng)-3≤x≤4時(shí)，二次函數(shù)y=-x2-2x+3在x=-1時(shí)取得最大值，此時(shí)y=4.【典例精析】例1解：（1）當(dāng)x＜3時(shí),y隨x的增大而減小.∵-1≤x≤2，則當(dāng)x=-1時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=6；當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y=-9.(2)y=-100x2+100x+200=-100(x2-x+)+25+200=-100(x-)2+225.∵0≤x≤2，∴當(dāng)x=時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=225.當(dāng)x=2時(shí)，y取最小值，此時(shí)y=0.(3)∵-3≤x≤2,則當(dāng)x=-2時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y=5.當(dāng)x=2時(shí)，y取得最小值，此時(shí)y=-3.探究點(diǎn)2：二次函數(shù)與幾何圖形面積的最值問(wèn)題（20-x）x(20-x)0＜x＜20x(20-x)x-1010010100變式（40-2x）x(40-2x)0＜x＜20x(40-2x)-2x-1020010200想一想（1）解：由可利用的墻的長(zhǎng)度為24m，可得40-2x≤24，則8≤x＜20.因?yàn)閥=-2(x-10)2+200,∴當(dāng)x=10時(shí)，y取得最大值，此時(shí)圍成的花圃的最大面積為200m2.（2）解：由可利用的墻的長(zhǎng)度為16m，可得40-2x≤16，則12≤x＜20.因?yàn)閥=-2(x-10)2+200,∴當(dāng)x＞10時(shí)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x=12時(shí)，y有最大值，此時(shí)圍成的花圃的最大面積為192m2.【典例精析】例2解：（1）由題意可得S=x?=-x2+9x.

（2）由題意可得，2≤x＜，解得2≤x＜3.6.∵S=-x2+9x=-（x-3）2+,∴當(dāng)x=3時(shí)，S取得最大值，此時(shí)S=，當(dāng)x=2時(shí)，S取得最小值，此時(shí)S=12.

答：窗戶總面積S的最大值是m2、最小值是12m2．【針對(duì)訓(xùn)練】解：（1）花圃的寬AB為x米，則BC=（24-3x）米，

∴S=x（24-3x），即S=-3x2+24x（3≤x＜8）；

（2）當(dāng)S=36時(shí)，-3x2+24x=36，解得x1=2，x2=6，當(dāng)x=2時(shí)，24-3x=18＞15，不合題意，舍去；當(dāng)x=6時(shí)，24-3x=6＜15，符合題意，故AB的長(zhǎng)為6米．

（3）S=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，∵3≤x＜8，∴能?chē)擅娣e比45平方米更大的花圃，當(dāng)x=4米時(shí)面積最大，最大面積為48平方米．當(dāng)堂檢測(cè)1.A2.53.84.解：（1）設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為x

cm，則（40-2x）2=900，

即40-2x=±30，解得x1=35（不合題意，舍去），x2=5.

答：剪掉的正方形邊長(zhǎng)為5cm；

（2）設(shè)剪掉的正方形的邊長(zhǎng)為x

cm，盒子的側(cè)面積為y

cm2，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4（40-2x）x，即y=-8x2+160x，y=-8（x-1