運(yùn)籌學(xué) 第九章學(xué)習(xí)資料

第9章存儲(chǔ)論第1節(jié)存儲(chǔ)論的基本概念第2節(jié)確定性存貯模型第1節(jié)存儲(chǔ)論的基本概念

1.1存儲(chǔ)問題的提出人們在生產(chǎn)和日常生活中往往將所需的物資、用品和食物暫時(shí)地儲(chǔ)存起來，以備將來使用或消費(fèi)。在供應(yīng)與需求這兩環(huán)節(jié)之間加入儲(chǔ)存這一環(huán)節(jié)，能起到緩解供應(yīng)與需求之間的不協(xié)調(diào)，以此為研究對象，利用運(yùn)籌學(xué)的方法去解決最合理、最經(jīng)濟(jì)地儲(chǔ)存問題。例如(1)水電站在雨季到來之前，水庫應(yīng)蓄水多少?(2)工廠生產(chǎn)需用原料，如沒有儲(chǔ)存一定數(shù)量的原料，會(huì)發(fā)生停工待料現(xiàn)象。(3)在商店里若存儲(chǔ)商品數(shù)量不足，會(huì)發(fā)生缺貨現(xiàn)象，失去銷售機(jī)會(huì)而減少利潤；如果存量過多，一時(shí)售不出去，會(huì)造成商品積壓，占用流動(dòng)資金過多而且周轉(zhuǎn)不開，這樣也會(huì)給商家造成經(jīng)濟(jì)損失。

專門研究這類有關(guān)存儲(chǔ)問題的科學(xué)，構(gòu)成運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，叫作存儲(chǔ)論(inventory)，也稱庫存論。

1.2存儲(chǔ)論的基本概念1.需求對存儲(chǔ)來說，由于需求，從存儲(chǔ)中取出一定的數(shù)量，使存儲(chǔ)量減少，這就是存儲(chǔ)的輸出。有的需求是間斷式的，有的需求是連續(xù)均勻的。圖9-1和圖9-2分別表示t時(shí)間內(nèi)的輸出量皆為S-W，但兩者的輸出方式不同。圖9-1表示輸出是間斷的，圖9-2表示輸出是連續(xù)的。圖9-1圖9-22.補(bǔ)充(訂貨或生產(chǎn))存儲(chǔ)由于需求而不斷減少，必須加以補(bǔ)充，否則最終將無法滿足需求。補(bǔ)充的辦法可能是向其他工廠購買，從訂貨到貨物進(jìn)入“存儲(chǔ)”往往需要一段時(shí)間，我們把這段時(shí)間稱為備貨時(shí)間。從另一個(gè)角度看，為了在某一時(shí)刻能補(bǔ)充存儲(chǔ)，必須提前訂貨，那么這段時(shí)間也可稱之為提前時(shí)間(leadtime)。備貨時(shí)間可能很長，也可能很短，可能是隨機(jī)性的，也可以是確定性的。存儲(chǔ)論要解決的問題是：多少時(shí)間補(bǔ)充一次，每次補(bǔ)充的數(shù)量應(yīng)該是多少。決定多少時(shí)間補(bǔ)充一次以及每次補(bǔ)充數(shù)量的策略稱為存儲(chǔ)策略。存儲(chǔ)策略的優(yōu)劣如何衡量呢?最直接的衡量標(biāo)準(zhǔn)，是計(jì)算該策略所耗用的平均費(fèi)用多少。3.費(fèi)用(1)存儲(chǔ)費(fèi)C1:

包括貨物占用資金應(yīng)付的利息以及使用倉庫、保管貨物、貨物損壞變質(zhì)等支出的費(fèi)用。(2)訂貨費(fèi):包括兩項(xiàng)費(fèi)用，一項(xiàng)是訂購費(fèi)用C3

如手續(xù)費(fèi)、電信往來、派人員外出采購等費(fèi)用。訂購費(fèi)與訂貨次數(shù)有關(guān)，而與訂貨數(shù)量無關(guān)。另一項(xiàng)是可變費(fèi)用，它與訂貨數(shù)量有關(guān)。如貨物單價(jià)為K元，訂購費(fèi)用為C3元，訂貨數(shù)量為Q，則訂貨費(fèi)用為：C3+KQ。(3)生產(chǎn)費(fèi):補(bǔ)充存儲(chǔ)時(shí)，如果不需向外廠訂貨，由本廠自行生產(chǎn)，這時(shí)仍需要支出兩項(xiàng)費(fèi)用。一項(xiàng)是準(zhǔn)備、結(jié)束費(fèi)用，如更換模、夾具需要工時(shí)，或添置某些專用設(shè)備等屬于這項(xiàng)費(fèi)用；它是一次性的費(fèi)用，或稱為固定費(fèi)用，也用C3表示。另一項(xiàng)是與生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量有關(guān)的費(fèi)用如材料費(fèi)、加工費(fèi)等(可變費(fèi)用)。(4)缺貨費(fèi)C2:當(dāng)存儲(chǔ)供不應(yīng)求時(shí)所引起的損失。如失去銷售機(jī)會(huì)的損失、停工待料的損失以及不能履行合同而繳納罰款等。在不允許缺貨的情況下，在費(fèi)用上處理的方式是缺貨費(fèi)為無窮大。4.存儲(chǔ)策略決定何時(shí)補(bǔ)充，補(bǔ)充多少數(shù)量的辦法稱之為存儲(chǔ)策略，常見的策略有三種類型。(1)t0-循環(huán)策略，每隔t0時(shí)間補(bǔ)充存儲(chǔ)量Q。(2)(s,S)策略，每當(dāng)存儲(chǔ)量x＞s時(shí)不補(bǔ)充。當(dāng)x≤s時(shí)補(bǔ)充存儲(chǔ)。補(bǔ)充量Q=S-x(即將存儲(chǔ)量補(bǔ)充到S)。(3)(t,s,S)混合策略，每經(jīng)過t時(shí)間檢查存儲(chǔ)量x，當(dāng)x＞s時(shí)不補(bǔ)充。當(dāng)x≤s時(shí)，補(bǔ)充存儲(chǔ)量使之達(dá)到S。一個(gè)好的存儲(chǔ)策略，既可以使總費(fèi)用最小，又可避免因缺貨影響生產(chǎn)(或?qū)︻櫩褪バ庞?第2節(jié)確定性存儲(chǔ)模型

2.1模型一：不允許缺貨，備貨時(shí)間很短假設(shè)：(1)缺貨費(fèi)用無窮大；(2)當(dāng)存儲(chǔ)降至零時(shí)，可以立即得到補(bǔ)充(即備貨時(shí)間或拖后時(shí)間很短，可以近似地看作零)；(3)需求是連續(xù)的、均勻的，設(shè)需求速度R(單位時(shí)間的需求量)為常數(shù)，則t時(shí)間的需求量為Rt；(4)每次訂貨量不變，訂購費(fèi)不變(每次備貨量不變，裝配費(fèi)不變)；(5)單位存儲(chǔ)費(fèi)不變。分析模型其存儲(chǔ)量的變化情況用圖9-3表示假定每隔t時(shí)間補(bǔ)充一次存儲(chǔ)，那么訂貨量必須滿足t時(shí)間的需求Rt，記訂貨量為Q，Q=Rt，訂購費(fèi)為C3，貨物單價(jià)為K，則訂貨費(fèi)為C3+KRt；t時(shí)間的平均訂貨費(fèi)為圖9-3t時(shí)間內(nèi)的平均存儲(chǔ)量為(此結(jié)果由圖9-3中利用幾何知識易得出，平均存儲(chǔ)量為三角形高的二分之一)單位時(shí)間內(nèi)單位物品的存儲(chǔ)費(fèi)用為C1，t時(shí)間內(nèi)所需平均存儲(chǔ)費(fèi)用為1/2(RtC1）。

t時(shí)間內(nèi)總的平均費(fèi)用為C(t）經(jīng)濟(jì)批量公式因得即存儲(chǔ)論中著名的經(jīng)濟(jì)訂購批量(economicorderingquantity)公式。簡稱為E.O.Q公式，也稱平方根公式，或經(jīng)濟(jì)批量(economiclotsize)公式。由于Q0、t0皆與K無關(guān)，所以此后在費(fèi)用函數(shù)中略去KR這項(xiàng)費(fèi)用，如無特殊需要不再考慮此項(xiàng)費(fèi)用。(9-1)式改寫為最佳費(fèi)用公式將t0代入(9-4)式得出最佳費(fèi)用從費(fèi)用曲線(見圖9-4)也可以求出t0，Q0，C0。

圖9-4費(fèi)用曲線圖9-4費(fèi)用曲線C(t)曲線的最低點(diǎn)(minC(t))的橫坐標(biāo)t0與存儲(chǔ)費(fèi)用曲線、訂購費(fèi)用曲線交點(diǎn)橫坐標(biāo)相同。即圖9-4解出t0例1某廠按合同每年需提供D個(gè)產(chǎn)品，不許缺貨。假設(shè)每一周期工廠需裝配費(fèi)C3元，存儲(chǔ)費(fèi)每年每單位產(chǎn)品為C1元，問全年應(yīng)分幾批供貨才能使裝配費(fèi)，存儲(chǔ)費(fèi)兩者之和最少。解設(shè)全年分n批供貨，每批生產(chǎn)量Q=D/n，周期為1/n年(即每隔1/n年供貨一次)。說明從例1中還看到這些公式在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還會(huì)有一點(diǎn)問題，因?yàn)閠0(或Q0，n0)不一定是整數(shù)。假設(shè)t0=16.235(天)。很明顯，小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字對實(shí)際訂貨間隔的時(shí)間是沒有意義的，這時(shí)可以取近似的整數(shù)。取t0≈16或t0≈17都可以。為了精確起見，可以比較C(16)、C(17)的大小，再?zèng)Q定t0=16或t0=17。從圖9-4也可以看到C(t)在t0附近變化平穩(wěn)，t有變化時(shí)C(t)變化不大。利用數(shù)學(xué)分析方法可以證明當(dāng)t在t0點(diǎn)有增量Δt時(shí)，總費(fèi)用的增量。即當(dāng)Δt→0時(shí)，ΔC是Δt的高階無窮小量。(證明的方法可參考微積分臺(tái)勞公式部分)例2某軋鋼廠每月按計(jì)劃需產(chǎn)角鋼3000噸，每噸每月需存儲(chǔ)費(fèi)5.3元，每次生產(chǎn)需調(diào)整機(jī)器設(shè)備等，共需準(zhǔn)備費(fèi)2500元。若該廠每月生產(chǎn)角鋼一次，生產(chǎn)批量為3000噸。每月需總費(fèi)用5.3×1/2×3000+2500=10450(元/月)全年需費(fèi)用10450×12=125400(元/年)然后按E.O.Q公式計(jì)算每次生產(chǎn)批量計(jì)算批量和批次計(jì)算結(jié)果兩次生產(chǎn)相隔的時(shí)間t0=（365/21.4）≈17(天)17天的單位存儲(chǔ)費(fèi)(5.3/30)×17=3.00(元/噸)，共需費(fèi)用5.3/30×17×1682+2500≈5025(元)。按全年生產(chǎn)21.5次(兩年生產(chǎn)43次)計(jì)算，全年共需費(fèi)用5025×21.5=108037(元/年)。兩者相比較，該廠在利用E.O.Q公式求出經(jīng)濟(jì)批量進(jìn)行生產(chǎn)即可每年節(jié)約資金125400－108037=17363(元)2.2模型二：不允許缺貨，生產(chǎn)需一定時(shí)間本模型的假設(shè)條件，除生產(chǎn)需要一定時(shí)間的條件外，其余皆與模型一的相同。設(shè)生產(chǎn)批量為Q，所需生產(chǎn)時(shí)間為T，則生產(chǎn)速度為P=Q/T。已知需求速度為R，(R＜P)。生產(chǎn)的產(chǎn)品一部分滿足需求，剩余部分才作為存儲(chǔ)，這時(shí)存儲(chǔ)變化如圖9-5所示。圖9-5在［0，T］區(qū)間內(nèi)，存儲(chǔ)以(P-R)速度增加，在［T，t］區(qū)間內(nèi)存儲(chǔ)以速度R減少。T與t皆為待定數(shù)。從圖9-5易知(P-R)T=R(t-T)，即PT=Rt(等式表示以速度P生產(chǎn)T時(shí)間的產(chǎn)品等于t時(shí)間內(nèi)的需求)，并求出公式公式公式利用t0可求出最佳生產(chǎn)時(shí)間

)RP(PCR2CPRtT1300-==

將前面求t0，Q0的公式與(9-6)式，

(9-7)式相比較，即知它們只差RPP-一個(gè)因子。

當(dāng)P相當(dāng)大時(shí)，RPP-趨近于1，則兩組公式就相同了。

公式

進(jìn)入存儲(chǔ)的最高數(shù)量

)99(PC)RP(R2CR)-P(PCR2CR)RP(CPR2CRTQS131313ooo--=--=-=

例3某廠每月需甲產(chǎn)品100件，每月生產(chǎn)率為500件，每批裝配費(fèi)為50元，每月每件產(chǎn)品存儲(chǔ)費(fèi)為4元，求E.O.Q及最低費(fèi)用。解已知C3=50，C1=4，P=500，R=100，將各值代入公式(9-7)及(9-8)得例4某商店經(jīng)售甲商品成本單價(jià)500元，年存儲(chǔ)費(fèi)用為成本的20%，年需求量365件，需求速度為常數(shù)。甲商品的定購費(fèi)為20元，提前期為10天，求E.O.Q及最低費(fèi)用。解此例題從表面上看，似乎應(yīng)按模型二處理。因?yàn)橥虾髸r(shí)間似乎與生產(chǎn)需一定時(shí)間意義差不多。其實(shí)不然，現(xiàn)將本題存儲(chǔ)變化情況用圖表示之(見圖9-6)，并與模型一、模型二的圖相比較，可看到與模型一完全相同。本題只需在存儲(chǔ)降至零時(shí)提前10天訂貨即可保證需求。圖9-6計(jì)算訂貨點(diǎn)由于提前期為t1=10天，10天內(nèi)的需求為10單位甲商品，因此只要當(dāng)存儲(chǔ)降至10單位時(shí)，就要訂貨。一般設(shè)t1為提前期，R為需求速度，當(dāng)存儲(chǔ)降至L=Rt1的時(shí)候即要訂貨。L稱為“訂購點(diǎn)”(或稱訂貨點(diǎn))。確定多少時(shí)間訂一次貨，雖可以用E.O.Q除以R得出t0(t0=Q0/R)，但求解的過程中并沒有求出to，只求出訂貨點(diǎn)L即可，這時(shí)存儲(chǔ)策略是：不考慮to，只要存儲(chǔ)降至L即訂貨，訂貨量為Qo，稱這種存儲(chǔ)策略為定點(diǎn)定貨。相對地每隔to時(shí)間訂貨一次稱為定時(shí)訂貨，每次訂貨量不變則稱為定量訂貨。2.3模型三：允許缺貨，備貨時(shí)間很短本模型是允許缺貨，并把缺貨損失定量化來加以研究。由于允許缺貨，所以企業(yè)可以在存儲(chǔ)降至零后，還可以再等一段時(shí)間然后訂貨。這就意味著企業(yè)可以少付幾次訂貨的固定費(fèi)用，少支付一些存儲(chǔ)費(fèi)用。一般地說當(dāng)顧客遇到缺貨時(shí)不受損失，或損失很小，而企業(yè)除支付少量的缺貨費(fèi)外也無其他損失，這時(shí)發(fā)生缺貨現(xiàn)象可能對企業(yè)是有利的。本模型的假設(shè)條件除允許缺貨外，其余條件皆與模型一相同。設(shè)單位時(shí)間單位物品存儲(chǔ)費(fèi)用為C1，每次訂購費(fèi)為C3，缺貨費(fèi)為C2(單位缺貨損失)，R為需求速度。求最佳存儲(chǔ)策略，使平均總費(fèi)用最小(見圖9-7)。圖9-7圖9-7將(9-10)式，(9-11)式代入C(t,S)由于模型三中允許缺貨在允許缺貨情況下，存儲(chǔ)量只需達(dá)到S0即可，顯然Q0＞S0，它們的差值表示在to時(shí)間內(nèi)的最大缺貨量。說明在允許缺貨條件下，經(jīng)過研究而得出的存儲(chǔ)策略是：每隔t0時(shí)間訂貨一次，訂貨量為Q0，用Q0中的一部分補(bǔ)足所缺貨物，剩余部分S0進(jìn)入存儲(chǔ)。很明顯，在相同的時(shí)間段落里，允許缺貨的訂貨次數(shù)比不允許缺貨時(shí)訂貨次數(shù)減少了。例5已知需求速度R=100件，C1=0.4元，C2=0.15元，C3=5元，求S0及C0。解利用(9-12)式，(9-13)式即可計(jì)算模型一、二、三存儲(chǔ)策略之間的差別可以看到不允許缺貨生產(chǎn)需要時(shí)間很短條件下得出的存儲(chǔ)策略：最大存儲(chǔ)量S0=Q0在不允許缺貨、生產(chǎn)需一定時(shí)間條件下，得出存儲(chǔ)策略在允許缺貨、生產(chǎn)需時(shí)間很短條件下，得出存儲(chǔ)策略模型二、三只是以模型一的存儲(chǔ)策略乘上相應(yīng)的因子，這樣可以便于記憶，再有都是同一個(gè)數(shù)值，這樣就得出它們之間的差別與內(nèi)在聯(lián)系。2.4模型四：允許缺貨(需補(bǔ)足缺貨)、生產(chǎn)需一定時(shí)間假設(shè)條件除允許缺貨生產(chǎn)需一定時(shí)間外，其余條件皆與模型一相同，其存儲(chǔ)變化如圖9-8所示圖9-8分析圖9-8［0，t］為一個(gè)周期，設(shè)t1時(shí)刻開始生產(chǎn)。［0,t2］時(shí)間內(nèi)存儲(chǔ)為零，B表示最大缺貨量。［t1,t2］時(shí)間內(nèi)除滿足需求外，補(bǔ)足［0,t1］時(shí)間內(nèi)的缺貨。［t2,t3］時(shí)間內(nèi)滿足需求后的產(chǎn)品進(jìn)入存儲(chǔ)，存儲(chǔ)量以(P-R)速度增加。S表示存儲(chǔ)量，t3時(shí)刻存儲(chǔ)量達(dá)到最大，t3時(shí)刻停止生產(chǎn)。［t3,t］時(shí)間存儲(chǔ)量以需求速度R減少。

由圖9-8易知：

最大缺貨量B=Rt1，或B=(P-R)(t2-t1)；即Rt1=(P-R)(t2-t1)，得最大存儲(chǔ)量S=(P-R)(t3-t2)，或S=R(t-t3)即(P-R)(t3-t2)=R(t-t3)，得在［0，t］時(shí)間內(nèi)所需費(fèi)用：存儲(chǔ)費(fèi)：將(9-16)式代入消去t3，得在［0，t］時(shí)間內(nèi)所需費(fèi)用：缺貨費(fèi)：將(9-15)式代入消去t1，得在［0，t］時(shí)間內(nèi)所需費(fèi)用：裝配費(fèi)：C3

在［0,t］時(shí)間內(nèi)總平均費(fèi)用為：分別求偏導(dǎo)數(shù)：

由(9-18)式得由(9-17)式得將(9-19)式代入上式消去t2得由(9-19)有公式S0(最大存儲(chǔ)量)B0(最大缺貨量)最小費(fèi)用2.5價(jià)格有折扣的存儲(chǔ)問題現(xiàn)在介紹貨物單價(jià)隨訂購(或生產(chǎn))數(shù)量而變化時(shí)的存儲(chǔ)策略。一般情況下購買數(shù)量越多，商品單價(jià)越低。在少數(shù)情況下，某種商品限額供應(yīng)，超過限額部分的商品單價(jià)要提高。除去貨物單價(jià)隨訂購數(shù)量而變化外，其余條件皆與模型一的假設(shè)相同時(shí)，應(yīng)如何制定相應(yīng)的存儲(chǔ)策略?設(shè)貨物單價(jià)為K(Q)，K(Q)按三個(gè)數(shù)量等級變化(見圖9-9)圖9-9當(dāng)訂購量為Q時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)所需費(fèi)用為：平均每單位貨物所需費(fèi)用C(Q)(見圖9-10)圖9-10如果不考慮CⅠ(Q)、CⅡ(Q)、CⅢ(Q)的定義域，它們之間只差一個(gè)常數(shù)，因此它們的導(dǎo)函數(shù)相同。為求極小，令導(dǎo)數(shù)為零，解得Q0，Q0落在哪一個(gè)區(qū)間，事先難以預(yù)計(jì)。假設(shè)Q1＜Q0＜Q2，這也不能肯定CⅡ(Q0)最小。圖9-10的直觀感覺啟發(fā)我們考慮：是否CⅢ(Q2)的費(fèi)用更小?設(shè)最佳訂購批量為Q*，在給出價(jià)格有折扣情況下，求解步驟如下(1)對CⅠ(Q)(不考慮定義域)求得極值點(diǎn)為Q0(2)若Q0＜Q1，計(jì)算：由min｛CⅠ(Q0)，CⅡ(Q1)，CⅢ(Q2)｝得到單位貨物最小費(fèi)用的訂購批量Q*。