2025年廣東湛江市高三二模高考數(shù)學(xué)試卷試題（答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁湛江市2025年普通高考測試（二）數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．4．某林業(yè)科學(xué)院培育新品種草莓，新培育的草莓單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種草莓10000個(gè)，估計(jì)其中單果質(zhì)量超過的草莓有（

）附：若，則．A．228個(gè) B．456個(gè) C．1587個(gè) D．3174個(gè)5．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．6．已知拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（

）A． B． C． D．8．已知正方體的棱長為，以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與正方體的表面的交線總長為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知復(fù)數(shù)，則下列復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的是（

）A． B． C． D．10．已知銳角三角形的內(nèi)角分別為，，，則（

）A． B．C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P在直線上的射影為點(diǎn)Q，且．記P的軌跡為曲線C，則下列結(jié)論正確的是（

）A．C關(guān)于直線l對(duì)稱B．C上存在點(diǎn)，使得C．的最小值為D．若C與兩條坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的面積為S，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知雙曲線的離心率為，則．13．4名醫(yī)生和2名護(hù)士站成一排，要求2名護(hù)士不相鄰，且醫(yī)生甲不站在隊(duì)伍的最左端，則不同的站法共有種．14．將數(shù)列與中所有的項(xiàng)去掉它們的公共項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)從小到大排序得到數(shù)列，則，的前202項(xiàng)和為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．為了研究觀眾對(duì)某檔節(jié)目的喜愛情況與性別的關(guān)聯(lián)性，分別調(diào)查了該檔節(jié)目男、女觀眾各100人，發(fā)現(xiàn)共有70名觀眾喜愛該檔節(jié)目，且不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)是喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)的2倍．(1)根據(jù)題中信息，完成下面列聯(lián)表；單位：人性別喜愛情況合計(jì)喜愛不喜愛男女合計(jì)(2)根據(jù)（1）中的列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別有關(guān)？附：．0.10.050.012.7063.8416.63516．如圖，在四棱錐中，是正三角形，四邊形是正方形，平面為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．已知函數(shù)．(1)若，求的極值；(2)若，討論的單調(diào)性．18．已知，若正項(xiàng)數(shù)列滿足，則稱為“上界m數(shù)列”．(1)若，判斷數(shù)列是否為“上界1數(shù)列”，并說明理由；(2)若數(shù)列是“上界m數(shù)列”，求m的最小值；(3)若，且．證明：數(shù)列是“上界1數(shù)列”．19．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，且．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N，C的左頂點(diǎn)為D．（i）求面積的最大值；（ii）若的外心為M，直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】根據(jù)題意化簡集合，即可求并集.【詳解】由題意可得：，所以．故選：A.2．B【分析】求導(dǎo)，可得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】由，得，則，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．故選：B.3．A【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，解得．故選：A.4．C【分析】根據(jù)正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率可求出結(jié)果.【詳解】由可知，則，故其中單果質(zhì)量超過的草莓約有個(gè)．故選：C.5．B【分析】利用奇函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化待求不等式，求解即得.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，且．因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，且．由，可得或，解得或．即的解集為.故選：B.6．D【分析】利用點(diǎn)差法列方程可得解.【詳解】設(shè)，，則，整理得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，從而可得，故選：D.7．D【分析】根輔助角公式和正弦函數(shù)最值求解即可.【詳解】，其中,且為銳角，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，則的最大值為，此時(shí)．故選：D.8．B【分析】根據(jù)長度關(guān)系分析可知球面與表面沒有公共點(diǎn)，且與表面，的交線都是圓心角為，半徑為2的圓弧，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎襟w的棱長為，則表面上的點(diǎn)到點(diǎn)A的最大距離為，所以以頂點(diǎn)A為球心，為半徑的球的球面與這三個(gè)表面沒有公共點(diǎn)．如圖，若球面與表面的公共點(diǎn)為P，因?yàn)椋瑒t，由，可得，同理可得，則，可知P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以D為圓心，2為半徑的圓與表面的交線都是圓心角為，半徑為2的圓弧，同理可得球面與表面的交線也都是圓心角為，半徑為2的圓弧，所以交線總長為．故選：B.9．BCD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋瑒t，．為純虛數(shù)的是，，.故選：BCD．10．AD【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角范圍，結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性分別判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)闉殇J角三角形，所以，則，從而,A選項(xiàng)正確；由，得，則，則，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，可得，則當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由，得，則，從而，D選項(xiàng)正確；故選：AD.11．ABD【分析】對(duì)于A，設(shè)通過，得到軌跡方程即可判斷，對(duì)于B，由即可判斷，對(duì)于C，由可判斷，對(duì)于D，記C在第一象限內(nèi)的部分為曲線D，設(shè)為D上任意一點(diǎn)，則，得到+，再通過假設(shè)，推出得到矛盾，進(jìn)而可判斷.【詳解】設(shè)，則．由，得，即．關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)為，也滿足方程，故C關(guān)于直線l對(duì)稱，A正確．顯然點(diǎn)在C上，且滿足，B正確．因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，整理得，從而，C不正確．記C在第一象限內(nèi)的部分為曲線D，設(shè)為D上任意一點(diǎn)，則，由，得，即，故點(diǎn)B在直線的上方或在的下方（不重合），從而．假設(shè)，則由，可得，則，則，則，這與假設(shè)矛盾，故D在直線的上方，從而，故，D正確．故選：ABD12．3【分析】利用雙曲線方程中的關(guān)系結(jié)合離心率，列式計(jì)算即可求得的值.【詳解】由雙曲線，得，所以雙曲線C的離心率為，所以，解得故答案為：.13．408【分析】先排醫(yī)生，分兩類，醫(yī)生甲不站在醫(yī)生的最左端和醫(yī)生甲站在醫(yī)生的最左端，再將2名護(hù)士插空，即可求解.【詳解】若醫(yī)生甲不站在醫(yī)生的最左端則有種不同的站法，若醫(yī)生甲站在醫(yī)生的最左端，則有種不同的站法，故不同的站法共有種．故答案為：408.14．1449609【分析】與的公共項(xiàng)為，去掉它們的公共項(xiàng)后，得到，兩個(gè)相鄰的公共項(xiàng)之間有5項(xiàng)，其和可以構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】與的公共項(xiàng)為，去掉它們的公共項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)從小到大排序?yàn)?，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…，所以，且每兩個(gè)相鄰的公共項(xiàng)之間有5項(xiàng)，分別求和，，，，…，可以看到這5項(xiàng)的和為一項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列是首項(xiàng)為70，公差為60的等差數(shù)列．因?yàn)?，所以的?02項(xiàng)和為．故答案為：14，4960015．(1)表格見解析(2)認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)【分析】（1）利用分類統(tǒng)計(jì)，即可得到二階列聯(lián)表；（2）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算步驟即可求解.【詳解】（1）設(shè)喜愛該檔節(jié)目的男性觀眾數(shù)為x，則喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為，不喜愛該檔節(jié)目的女性觀眾數(shù)為，則，得．故列聯(lián)表完成如下．單位：人性別喜愛情況合計(jì)喜愛不喜愛男3070100女4060100合計(jì)70130200（2）零假設(shè)為：觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)．根據(jù)（1）中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為觀眾對(duì)該檔節(jié)目的喜愛情況與性別無關(guān)．16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，記的中點(diǎn)為G，連接，證明，，進(jìn)而證明線面垂直，得到線線垂直；（2）記的中點(diǎn)為O，連接，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過點(diǎn)O且與平行的直線為z軸，求解法向量，得到線面的正弦值.【詳解】（1）證明：連接，記的中點(diǎn)為G，連接．因?yàn)槠矫?，所以．由是正三角形，四邊形是正方形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，易得，則．因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以．又，所以．因?yàn)?，平面，所以平面，從而．?）記的中點(diǎn)為O，連接，則．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，過點(diǎn)O且與平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．不妨令，則，．設(shè)平面的法向量為，由得令，得，則．設(shè)直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成的角正弦值為.17．(1)極大值，無極小值；(2)答案見解析.【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在的單調(diào)性即可求出極值；（2）利用導(dǎo)函數(shù)，分類討論在不同取值范圍時(shí)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，則．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．故當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值．（2）由，得．令，得或．若，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．若，則，當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．若，則在上恒成立，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間．18．(1)不是“上界1數(shù)列”，理由見解析(2)2(3)證明見解析【分析】（1）求出，再根據(jù)新定義判斷即可；（2）根據(jù)為“上界m數(shù)列”的定義判斷即可；（3）由已知可得，則再證明即可，當(dāng)時(shí)成立，當(dāng)時(shí)，由可得，由裂項(xiàng)相消法求和可得，可得，得證.【詳解】（1）由題可知，，因?yàn)椋?，則，則，從而不是“上界1數(shù)列”．（2）因?yàn)?，又?jǐn)?shù)列是“上界m數(shù)列”，所以恒成立．又，所以，即m的最小值為2．（3）因?yàn)?，所以，，則，從而．要證數(shù)列是“上界1數(shù)列”，需證，當(dāng)時(shí)，由，得．當(dāng)時(shí)，由，得，則，整理得，則，則，即．因?yàn)椋?，則，則，從而，所以數(shù)列是“上界1數(shù)列”．19．(1)(2)（i）；（ii）為定值9，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)，得到，又，則，得到橢圓方程；（2）（i）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，表達(dá)出三角形的面積，利用基本不等式求出最值；（ii）設(shè)外接圓的方程為．代入，可得，聯(lián)立直線和外接圓方程，得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合（i）可得方程，求出，求出，為定值．【詳解】（1）由，整理得，則該圓是以為圓心，6為半徑的圓．因?yàn)镻是圓上一點(diǎn)，線段與C交于點(diǎn)Q，且，所以，即