矩陣?yán)碚?課件 第2章第4-5節(jié)線性變換值域、核及不變子空間~線性空間的同構(gòu)

線性變換的值域、核及不變子空間2.4線性變換的值域、核及不變子空間線性變換的值域與核定義2.15設(shè)是數(shù)域上的線性空間,是上的線性變換,中的所有向量在下的像的集合稱為的值域,記為即

所有被變?yōu)榱阆蛄康脑駱?gòu)成的集合稱為的核,記為即定理2.21線性空間的線性變換的值域與核都是的子空間.證

因?yàn)樗苑强?對(duì)任意,都有

從而,是的子空間.由可知故非空.對(duì)任意都有此時(shí)線性變換的值域、核及不變子空間

即故是的子空間.因此,我們把的值域稱為的像子空間；將核稱為的核子空間或零化空間；稱的維數(shù)為的秩,記為；稱的維數(shù)為的零度或虧度,記為定理2.22設(shè)是維線性空間的線性變換,是一個(gè)基,且在此基下的矩陣是,則有以下結(jié)論.(1)(2)(3)證

(1)因?yàn)?所以

反之,對(duì)任意,存在,使設(shè)則有線性變換的值域、核及不變子空間

即(2)由(1)可知,等于的維數(shù),即等于的秩.另外,注意到

其中,矩陣是由在基下的坐標(biāo)按列排成的,而線性空間中的向量與其坐標(biāo)之間的一一對(duì)應(yīng)保持線性關(guān)系不變,因此與它們的坐標(biāo)組(矩陣的列向量組)有相同的秩.(3)設(shè)且是的一個(gè)基,將其擴(kuò)充成的基注意到于是

下面證明線性無關(guān).設(shè)有中的一組數(shù)使得線性變換的值域、核及不變子空間即,故從而,存在使得

即

由線性無關(guān)可得,故

線性無關(guān).于是

注雖然但是并不一定等于.例如,在線性空間中,微分變換

顯然,

線性變換的值域、核及不變子空間例2.38考慮例2.32的線性變換求和的一個(gè)基.解設(shè)則有于是因此又因?yàn)榍揖€性無關(guān),所以是的一個(gè)基.

取的一個(gè)基于是

線性變換的值域、核及不變子空間而因此顯然,線性無關(guān),故是的一個(gè)基.

線性變換的值域、核及不變子空間線性變換的不變子空間定義2.16設(shè)是數(shù)域上線性空間的線性變換,是的一個(gè)子空間.

若對(duì)任意都有則稱是的不變子空間,記為子空間.例2.39下列的子空間都是子空間.(1)本身和的子空間(2)和.基于此,稱線性空間及的子空間為線性變換的平凡不變子空間,除此以外的其他不變子空間稱為非平凡不變子空間.例2.40設(shè)和都是子空間,則和也是子空間.證

任取由于因此故是子空間.任取則且.由于和是子空間,因此且

于是故是子空間.

線性變換的值域、核及不變子空間例2.41若線性空間上的線性變換與可交換,即則和都是子空間.證對(duì)任意都存在使于是

因此是子空間.對(duì)任意都有

因此即是子空間.定理2.23設(shè)是線性空間的線性變換,是的子空間,則是子空間的充要條件是證必要性顯然成立.充分性：對(duì)任意有于是

因此是子空間.線性空間的同構(gòu)2.5線性空間的同構(gòu)線性空間的同構(gòu)定義2.17

設(shè)和是數(shù)域上的兩個(gè)線性空間,如果存在線性映射它是到的一個(gè)一一映射,即它既是單射又是滿射,則稱線性空間與同構(gòu),記為稱為同構(gòu)映射.定理2.24設(shè)和是數(shù)域上的兩個(gè)線性空間,是到上的一個(gè)同構(gòu)映射,則有以下結(jié)論.(1)(2)對(duì)任意(3)對(duì)任意和都有

(4)向量組線性相關(guān)的充要條件是線性相關(guān).(5)到上的同構(gòu)映射的逆映射是到上的同構(gòu)映射.線性空間的同構(gòu)證(1)因?yàn)槭蔷€性映射,所以(2)因?yàn)樗?3)由是線性映射易得結(jié)論.(4)若存在不全為零的使得則

故線性相關(guān)；反之,若線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)使得

即因?yàn)槭菃紊?所以必有故線性相關(guān).由此可知,向量組與同時(shí)線性相關(guān)或線性無關(guān).(5)因?yàn)槭堑缴系囊灰挥成?所以的逆映射是到上的一一映射.設(shè)因?yàn)槭堑缴系耐瑯?gòu)映射,所以線性空間的同構(gòu)又因?yàn)槭菃紊?所以同理可證對(duì)任意有故逆映射是到上的同構(gòu)映射.定理2.25數(shù)域上的兩個(gè)有限維線性空間和同構(gòu)的充要條件是它們有相同的維數(shù),即

證必要性：如果是到的同構(gòu)映射,設(shè)是的一個(gè)基,那么接下來只需證明是的一個(gè)基.由定理2.24可知,線性無關(guān).又因?yàn)榇嬖谑沟?/p>

所以是的一個(gè)基.充分性：設(shè)令與分別為和的基.對(duì)中任一向量