北京市門頭溝區(qū)2025屆高三下學(xué)期3月一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1北京市門頭溝區(qū)2025屆高三下學(xué)期3月一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，又，所以，即為.故選：D.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，所以.

將代入，可得.即：.故選：B.3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A，是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，滿足條件；對(duì)于B，是奇函數(shù)，因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上不是單調(diào)函數(shù)，不滿足條件；對(duì)于C，的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件；對(duì)于D，是奇函數(shù)，但在上不是單調(diào)函數(shù)，不滿足條件.故選：A.4.“”是“直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】法一：由題意，聯(lián)立方程可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有一解，即只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，方程有兩解，即有兩個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意.所以，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，.所以“”是“直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充要條件.法二：因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，雙曲線的右頂點(diǎn)為，如圖，根據(jù)圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線只有交點(diǎn).所以“”是“直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)”的充要條件.故選：C.5.已知向量，滿足，，且，的夾角為，則（）A. B. C.5 D.10【答案】C【解析】由題意得.故選：C.6.已知圓，直線，當(dāng)變化時(shí)，若過直線上任意一點(diǎn)總能作圓的切線，則的最大值為（）A.0 B. C.1 D.【答案】D【解析】由圓可知圓心，半徑；根據(jù)題意若過直線上任意一點(diǎn)總能作圓的切線，可知直線和圓相離或相切；因此圓心到直線的距離，解得，因此的最大值為.故選：D7.已知函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的值可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闈M足，且在區(qū)間上具有單調(diào)性，則點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為函數(shù)的對(duì)稱中心，又由函數(shù)的零點(diǎn)為，解得，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，即的值可以是.故選：B.8.某紀(jì)念塔的一部分建筑結(jié)構(gòu)可抽象為三棱錐，，底面是等腰直角三角形，，頂點(diǎn)到底面的距離為3，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，且底面是等腰直角三角形，，所以點(diǎn)在平面上的射影為邊的中點(diǎn)，在直角三角形中，由勾股定理得,所以,又因?yàn)榈酌媸堑妊苯侨切危?設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則,所以.故選：C9.已知函數(shù)，若既不存在最大值也不存在最小值，則下列，關(guān)系中一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，對(duì)其求導(dǎo)可得.因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增.此時(shí).，，則，故在上函數(shù)值的取值范圍為.當(dāng)時(shí)，，的值域是，所以的值域是.因?yàn)榧炔淮嬖谧畲笾狄膊淮嬖谧钚≈?，所以且，即?選項(xiàng)A：由且，不能推出，例如，時(shí)，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.選項(xiàng)B：前面已推出，所以B選項(xiàng)正確.選項(xiàng)C：由且，不能得出，例如，時(shí)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤選項(xiàng)D：由且不能得出，例如，時(shí)，，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.10.已知函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，，則下列說法正確的是（）A.不存在，使得有無數(shù)個(gè)零點(diǎn) B.有3個(gè)零點(diǎn)的充要條件是C.存在，使得有4個(gè)零點(diǎn) D.存在，使得有5個(gè)零點(diǎn)【答案】C【解析】由題意知，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，可得，令，通過GeoGebra得到函數(shù)圖象當(dāng)時(shí)；；；當(dāng)時(shí)；；；由函數(shù)圖象可知的值域?yàn)?對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，有3個(gè)零點(diǎn)的條件是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn);對(duì)于選項(xiàng)D，不存在,使得有5個(gè)零點(diǎn).故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.的展開式中的系數(shù)為______________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】對(duì)于，則式展開式的通項(xiàng)為.要得到項(xiàng)，令，解得.當(dāng)時(shí)，.所以.故的系數(shù)為.故答案為：.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且垂直于其對(duì)稱軸的直線交于點(diǎn)，，若，則焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為_________________.【答案】2【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，因?yàn)檫^點(diǎn)且垂直于其對(duì)稱軸的直線交于點(diǎn)，，所以，將，代入拋物線方程，可得，所以，解得，焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.13.在平面直角坐標(biāo)系中，角以為始邊，其終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，寫出一個(gè)符合題意的_______________.【答案】（答案不唯一）【解析】由題意，，則或故答案為：（答案不唯一）.14.某城市為推動(dòng)新能源汽車普及，第1年在市區(qū)公共區(qū)域建設(shè)了2萬個(gè)新能源汽車充電樁，隨著新能源汽車保有量快速增長，以及城市對(duì)綠色出行基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的持續(xù)投入，每年新建設(shè)的充電樁數(shù)量比上一年增加20%，按照這樣的發(fā)展趨勢，那么該城市第3年在市區(qū)公共區(qū)域新建設(shè)了_____________萬個(gè)充電樁；從第1年起，約_____________年內(nèi)，可使該城市市區(qū)公共區(qū)域的充電樁總量達(dá)到30萬個(gè)（結(jié)果保留到個(gè)位）.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】①.2.88②.8【解析】由題意可知第3年新建設(shè)萬個(gè)充電樁；假設(shè)第年后充電樁總量達(dá)到30萬個(gè)，則，即，取對(duì)數(shù)得，即約8年內(nèi)，可達(dá)到要求.故答案為：2.88，815.已知數(shù)列滿足，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在，使得為常數(shù)列；②對(duì)任意的，為遞增數(shù)列；③對(duì)任意的，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列；④對(duì)于任意的，都有.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______________.【答案】②③④【解析】對(duì)于①，若為常數(shù)列，則，根據(jù)遞推公式，可得，進(jìn)而可得，解得，又，故不存在，使得為常數(shù)列，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，對(duì)于，由遞推公式，可得，所以，，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，結(jié)論②正確；對(duì)于③，若是等差數(shù)列，則為常數(shù)，可得常數(shù)，則可得是常數(shù)數(shù)列，則，與矛盾，故對(duì)任意的，既不是等差數(shù)列，若是等比數(shù)列，則為常數(shù)。根據(jù)遞推公式，即為常數(shù)，則為常數(shù)數(shù)列，則可得，這與矛盾，所以對(duì)任意，不是等比數(shù)列；綜上所述：對(duì)任意的，既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故③正確；對(duì)于④，由，兩邊平方得，故④正確.故答案為：②③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.16.如圖，在正方體中，中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn).（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：依題意連接，如下圖所示：由正方體性質(zhì)可得，又平面，平面，可得平面，因?yàn)榕c平面交于點(diǎn)，即平面平面，可得，因此，又為中點(diǎn)，可得為的中點(diǎn)；（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：不妨設(shè)正方體的棱長為2，可得，即；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，即；顯然平面的一個(gè)法向量可以為，因此平面與平面夾角的余弦值為；可得平面與平面夾角的余弦值.17.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）再從以下條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積.條件①：，；條件②：，；條件③：邊上的高，.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，又，所以，得到，又，又，所以，得到，所?（2）選條件①：，；由（1）知，，根據(jù)正弦定理知，所以存在或兩種情況，存在，但不唯一，故不選此條件；選條件②：，因?yàn)?，即，又，所以，所以只有成立，存在且唯一確定，所以的面積為.選條件③：邊上的高，；如圖所示，邊上的高，在中，，即，由（1）知，，根據(jù)余弦定理知，，化簡得，得(舍去)或，存在且唯一確定，所以的面積為.18.不同AI大模型各有千秋，適配領(lǐng)域也各有所長.為了解某高校甲、乙兩個(gè)學(xué)院學(xué)生對(duì)兩款不同AI大模型是否使用，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：甲學(xué)院乙學(xué)院使用不使用使用不使用款40人80人60人20人款70人50人30人50人假設(shè)所有學(xué)生對(duì)，兩款大模型是否使用相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率，（1）分別估計(jì)該校甲學(xué)院學(xué)生使用款大模型的概率、該校乙學(xué)院學(xué)生使用款大模型的概率；（2）從該校甲學(xué)院全體學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，乙學(xué)院全體學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，記這3人中使用款大模型的人數(shù)為，估計(jì)的數(shù)學(xué)期望；（3）從該校甲學(xué)院全體學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記這2人中使用款大模型的人數(shù)為，其方差估計(jì)值為，從該校乙學(xué)院全體學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記這2人中使用款大模型的人數(shù)為，其方差估計(jì)值為，比較與的大小，（結(jié)論不要求證明）.解：（1）由表格可知：該校甲學(xué)院學(xué)生使用款大模型概率為，該校乙學(xué)院學(xué)生使用款大模型的概率為（2）由題意可知的可能取值為：，則，，，，所以；（3）同第一問，可知該校甲學(xué)院學(xué)生使用款大模型的概率為,該校乙學(xué)院學(xué)生使用款大模型的概率為，易知，由二項(xiàng)分布的方差公式可知，，則.19.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：四邊形為菱形.解：（1）因橢圓頂點(diǎn)為，離心率為，則，所以，故橢圓方程為：；（2）由題，設(shè)直線方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得.即得化簡得因直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，則.設(shè)，由韋達(dá)定理.又設(shè)，令得；設(shè)，令得；又因?yàn)?所以，，所以平分，所以四邊形為菱形.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若在定義域上單調(diào)遞減，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)可得，則，此時(shí)，因此切線方程為，即；（2）由可得其定義域?yàn)椋磺?，即，顯然，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令可得，若，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；若，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）若在定義域上單調(diào)遞減，可得在上恒成立；由（2）可得當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)，可得，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；即在處取得極大值，也是最大值；即恒成立；令，；則，顯然當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；因此，即，又恒成立，可得，即.所以的取值范圍為.21.已知有限數(shù)列，其中，.在中選取若干項(xiàng)按照一定次序排列得到的數(shù)列稱為的一個(gè)子列，對(duì)某一給定正整數(shù)，若對(duì)任意的，均存在的相應(yīng)子列，使得該子列的各項(xiàng)之和為，則稱具有性質(zhì).（1）判斷：，，，，，，是否具有性質(zhì)？說明理由；（2）若，是否存在具有性質(zhì)？若存在，寫出一個(gè)，若不存在，說明理由；（3）