甘肅省2025屆高三下學(xué)期3月（一模）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1甘肅省2025屆高三下學(xué)期3月（一模）數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.或C. D.【答案】C【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若其在第二象限，則，解得.故選：C.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)中，，則集合，而，所以.故選：B3.某班研究性小組的同學(xué)為了研究活性碳對(duì)污水中某種污染物的吸附能力，設(shè)計(jì)了一種活性碳污水凈化裝置.現(xiàn)污水中該種污染物含量為（單位：），測(cè)得污水通過長(zhǎng)度為（單位：）的凈化裝置后污染物的含量如下表：0123研究小組的同學(xué)根據(jù)表格數(shù)據(jù)建立了關(guān)于的函數(shù)模型.則與表格中數(shù)據(jù)吻合的函數(shù)模型是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域?yàn)椋坏诙?，在定義域單調(diào)遞減且單位減少率變慢；第三，函數(shù)圖象過.函數(shù)和圖象不過，不符合條件，故BC錯(cuò)誤；函數(shù)單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：滿足上述條件，故D正確.故選：D.4.高一年級(jí)400名學(xué)生參加數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，答題后隨機(jī)抽取22名男生和18名女生，計(jì)算得男生的平均得分為82分，女生的平均得分為80分，則估計(jì)本次比賽高一年級(jí)的總體均分為（）A.81.8 B.81.5 C.81.1 D.80.8【答案】C【解析】，故估計(jì)本次比賽高一年級(jí)的總體均分為分.故選：C.5.從1-9這9個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)數(shù)，組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，從百位到個(gè)位數(shù)字依次增大，則滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.84 B.120 C.504 D.720【答案】A【解析】從9個(gè)數(shù)字中選擇3個(gè)不同的數(shù)，無需再排序，故.故選：A.6.若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋瑒t，所以，，因此，.故選：C.7.已知梯形中，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，，，令，則，，可得，故選:D.8.已知是拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】可知，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，得，故，軸，，而，，故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知雙曲線方程為，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率是C.雙曲線的虛軸長(zhǎng)是8D.雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為6【答案】CD【解析】因?yàn)殡p曲線，得：，對(duì)于A：雙曲線的漸近線方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：離心率為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：雙曲線的虛軸長(zhǎng)是，故C正確；對(duì)于D：雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為，故D正確.故選：CD10.函數(shù)，則（）A.的最小正周期是B.的值域是C.的圖象是軸對(duì)稱圖形，其中一條對(duì)稱軸是D.的零點(diǎn)是【答案】ABD【解析】對(duì)A：，故為的周期，顯然，沒有比更小的正周期，故的最小正周期為，故A正確；對(duì)B：考慮到的最小正周期為，故只需考慮在的值域；，，故即；因?yàn)?，故，則當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)，單調(diào)遞增；又，，，故的值域?yàn)椋蔅正確；對(duì)C：，，則，即，則不是的對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：令，即，，即，則，或，解得，或，，又，，故的零點(diǎn)為，D正確.故選：ABD.11.若自變量表示時(shí)間，在長(zhǎng)為定值的時(shí)間周期中，函數(shù)的增長(zhǎng)率為，以下判斷正確的是（）A.若，則為減函數(shù)B.若，則為增函數(shù)C.若，則為增函數(shù)D.若，則為減函數(shù)【答案】AD【解析】對(duì)于函數(shù)，由于為正常數(shù)，所以為上的減函數(shù)，故A正確：對(duì)于函數(shù)，由于為正常數(shù)，所以為常函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)，，由于為正常數(shù)，所以為減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)，，令，則，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，由于為正常數(shù)，所以，即，所以為減函數(shù)，故D正確.故選：AD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.用一個(gè)平面截正方體，截面形狀為正六邊形，則截出的兩部分幾何體的體積之比是__________.【答案】【解析】如圖所示，正方體中，分別是的中點(diǎn)，連接，則六邊形是正六邊形，根據(jù)對(duì)稱性可知，截出兩部分幾何體的體積之比是.故答案為：13.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，，所以，，所以，，故數(shù)列為等差數(shù)列，所以，.故答案為：.14.如圖，甲、乙兩人在這段弧形路段跑步，該路段的內(nèi)、外弧線為兩個(gè)同心圓的圓周，內(nèi)弧半徑為米，路寬為米，兩人均從外弧點(diǎn)處跑入該路段，甲沿內(nèi)弧切線方向跑至切點(diǎn)，又沿內(nèi)弧跑至點(diǎn)處后跑出該路段，乙沿內(nèi)弧切線方向直接跑至外弧上點(diǎn)處，再沿外弧跑至點(diǎn)處后跑出該路段，則在該路段跑動(dòng)距離更短的是__________（填“甲”或“乙”），兩人跑動(dòng)距離之差的絕對(duì)值約為__________米.（結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】①.甲②.【解析】連接、，可知，，則，，中，，所以，，所以，，，所以，，則甲跑步的距離約為米，因?yàn)?，，則乙跑步的距離約為米，所以甲跑動(dòng)的距離更短，少跑米.故答案為：甲；.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了解高一學(xué)生整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題與提高數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)性，某小組通過隨機(jī)抽樣，獲得了每天整理錯(cuò)題和未每天整理錯(cuò)題的各20名學(xué)生3次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的平均分，繪制了如圖1，2的頻率分布直方圖，并且已知高一學(xué)生3次數(shù)學(xué)考試成績(jī)的總體均分為115分.（1）依據(jù)頻率分布直方圖，完成以下列聯(lián)表：成績(jī)不低于總體均分成績(jī)低于總體均分合計(jì)每天整理錯(cuò)題未每天整理錯(cuò)題合計(jì)（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析數(shù)學(xué)成績(jī)不低于總體均分是否與每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題有關(guān).附0.100.010.0012.7066.63510.828解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可得成績(jī)不低于總體均分成績(jī)低于總體均分合計(jì)每天整理錯(cuò)題14620未每天整理錯(cuò)題51520合計(jì)192140（2）假設(shè)：數(shù)學(xué)成績(jī)不低于總體均分與每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題無關(guān).計(jì)算可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可推斷不成立，即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)不低于總體均分與每天整理錯(cuò)題有關(guān).16.正四面體的三條棱是圓錐的三條母線，點(diǎn)在圓錐的底面內(nèi)，過且與圓錐底面垂直的平面與圓錐側(cè)面交于（不同于）.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.解：（1）平面平面平面，平面，平面，且.又平面，為正三角形，為中心，，，平面平面，，平面.（2）設(shè)，則是的中點(diǎn).以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的平行線為軸，為軸，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，則，，，設(shè)平面的法向量為，，則，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，，則，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，，即平面與平面所成角的余弦值為.17.數(shù)列滿足，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）證明：，且由題，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；（2）解：由（1）可知，，，，由于對(duì)恒成立，所以.18.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，A、為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，.（1）證明：向量是直線的一個(gè)法向量；（2）若線段與橢圓交于點(diǎn)，求面積的最大值.（1）證明：由于點(diǎn)在橢圓外，A、為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)、，，則，由①②得，即，由于直線的斜率為，所以直線的斜率為，故直線的一個(gè)方向向量為，從而為直線的一個(gè)法向量.（2）由得，即，由（1）可知，直線的斜率為，設(shè)直線方程為，若，則直線過原點(diǎn)，則，從而與矛盾，故，由得，則，解得或，由韋達(dá)定理可得，，所以，，由于到直線的距離，所以，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取到最大值.19.函數(shù)，且.（1）時(shí)，判斷的單調(diào)性；（2）若，判斷與的大小，且，并說明理由；（3）證明：對(duì)于任意的，有.（1）解：由于當(dāng)時(shí)，時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為減函數(shù)，在為增函數(shù)