2025年中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練：第二講“X”模型

PAGEPAGE1第二講“X”模型一、模型呈現(xiàn)ABCDEFOABABCDEFOABCDEFOGH常見結(jié)論：①△ABE≌△BCF②AE=BFABCDEFO常見結(jié)論：①△ABCDEFO常見結(jié)論：①△ABE∽△BCF②ABCDEFOGH常見結(jié)論：①②FEDA3．在□ABCD常見結(jié)論：①②FEDACBCBABCDP·OABCDP·OABCDP·OAABCDP·OMN常見結(jié)論：常見結(jié)論：矩形常見結(jié)論：常見結(jié)論：矩形OMPN常見結(jié)論：△APD∽△CPBABCEDO5．在銳角△ABC中，BE⊥ACABCEDO常見結(jié)論：常見結(jié)論：①△ABE∽△ACD②△ADE∽△ACB二、遷移運(yùn)用DCBAFEP例1如圖，正方形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是DA的中點(diǎn)，連接DCBAFEP求證：AP=ABAABQCPDO例2如圖，已知矩形ABCD，AB=8，BC=6，若將矩形頂點(diǎn)A、C重合折疊起來，則折痕PQ長(zhǎng)為（）A． B．7 C．8 D．ABABCDEF例3如圖，在□ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)，EC交對(duì)角線BD于點(diǎn)F，若，則．·ABCDOP例4如圖，半徑為2的⊙·ABCDOP相交于點(diǎn)P，連接OP，若OP=1．求的值．變式：如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD垂直相交于點(diǎn)P，且AB=CD=3，則OP的長(zhǎng)為．AABCEF例5如圖，銳角△ABC中，BE、CF分別是AC、AB上的高，則（）A． B． C． D．三、同類訓(xùn)練1．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕為EF，若AB=4，BC=2，那么線段EF的長(zhǎng)為．2．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)N是AB上一點(diǎn)，且BN=2AN，AC、DN相交于點(diǎn)M，則的值為（）A．3∶11 B．1∶3 C．1∶9 D．3∶103．如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)M，AM=18，BM=8，則CD的長(zhǎng)為________．4．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，弦AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)E，AB=6，AD=5，則AE的長(zhǎng)為（）A．2.5B．2.8C．3D．3.25．已知E，F(xiàn)分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)G，當(dāng)E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)時(shí)，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．試探究下列問題：（1）如圖1，若點(diǎn)E不是邊BC的中點(diǎn)，F(xiàn)不是邊CD的中點(diǎn)，且CE=DF，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？（請(qǐng)直接回答“成立”或“不成立”），不需要證明）（2）如圖2，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF，此時(shí)，上述結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和BF，若點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結(jié)論．6．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P為AB的中點(diǎn)，Q為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)DQ＝t（0≤t≤2），線段PQ的垂直平分線分別交邊AD、BC于點(diǎn)M、N，過Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，過M作MF⊥BC于點(diǎn)F．（1）當(dāng)t≠1時(shí)，求證：△PEQ≌△NFM；（2）順次連接P、M、Q、N，設(shè)四邊形PMQN的面積為S，求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值．參考答案1． 2．A 3．24 4．B5．解：（1）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述結(jié)論①，②仍然成立，理由為：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四邊形MNPQ是正方形．理由為：如圖，設(shè)MQ，DE分別交AF于點(diǎn)G，O，PQ交DE于點(diǎn)H，∵點(diǎn)M，N，P，Q分別為AE，EF，F(xiàn)D，AD的中點(diǎn)，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四邊形OHQG是平行四邊形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四邊形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四邊形MNPQ是正方形．6．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB，∵QE⊥AB，MF⊥BC，∴∠AEQ＝∠MFB＝90°，∴四邊形ABFM、AEQD都是矩形，∴MF＝AB，QE＝AD，MF⊥QE，又∵PQ⊥MN，∴∠1+∠EQP＝90°，∠2+∠FMN＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠EQP＝∠FMN，又∵∠QEP＝∠MFN＝90°，∴△PEQ≌△NFM；（2）解：分為兩種情況：①當(dāng)E在AP上時(shí)，∵點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，AB＝2，DQ＝AE＝t，∴PA＝1，PE＝1﹣t，QE＝2，由勾股定理，得PQ＝＝，∵△PEQ≌△NFM，∴MN＝PQ＝，又∵PQ⊥MN，∴S＝＝＝t2﹣t+，∵0≤t≤2，∴當(dāng)t＝1時(shí)，S最小值＝2．②當(dāng)E在BP上時(shí)，∵點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)，AB＝2，DQ＝AE＝